Olimpiade Sains Nasional (OSN) merupakan ajang kompetisi akademik bergengsi yang diselenggarakan setiap tahun oleh Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI), yaitu unit pelaksana teknis dari Pusat Prestasi Nasional (Puspresnas). OSN dirancang untuk menggali potensi, mengasah kemampuan nalar, serta mendorong budaya ilmiah di kalangan peserta didik di seluruh Indonesia. Melalui ajang ini, siswa tidak hanya diuji dari sisi pengetahuan, tetapi juga ketekunan, kreativitas, serta kemampuan memecahkan masalah pada level yang lebih tinggi. Dengan sistem seleksi berjenjang, mulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, provinsi, hingga nasional, OSN menjadi ruang bagi siswa berprestasi untuk menunjukkan kemampuan terbaik mereka.
Bidang Matematika merupakan salah satu cabang yang paling diminati sekaligus menantang dalam OSN. Matematika menjadi fondasi penting bagi berbagai disiplin ilmu lain sehingga penguasaannya mencerminkan kemampuan berpikir logis, terstruktur, dan mendalam. Pada tahapan OSN tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K), peserta diharapkan mampu menunjukkan pemahaman konsep dasar yang kuat, kecermatan dalam berhitung, serta ketangguhan dalam menghadapi soal berbasis penalaran yang tidak sekadar mengandalkan hafalan rumus.
Dalam artikel ini, telah disediakan soal dan pembahasan OSN-K Bidang Matematika Tahun 2024 khusus bagian Kemampuan Dasar. Pembahasan disajikan secara jelas dan sistematis agar dapat digunakan sebagai bahan belajar mandiri maupun pendampingan guru. Harapannya, ini bakal dapat membantu siswa mempersiapkan diri secara optimal, memperkuat konsep, serta meningkatkan kepercayaan diri menghadapi kompetisi OSN yang semakin kompetitif di tahun-tahun mendatang.
Untuk bagian Kemampuan Dasar, ada $10$ soal isian singkat. Setiap soal dijawab dengan menuliskan jawaban akhirnya saja dan dipastikan merupakan bilangan bulat. Soal yang dijawab benar bernilai $4$ poin, soal yang dijawab salah bernilai $-1$ poin, dan soal yang tidak dijawab bernilai $0$ poin.
Soal Nomor 1
Sebuah persegi dibagi menjadi dua persegi panjang seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Diketahui hasil penjumlahan kedua keliling persegi panjang tersebut adalah $60.$ Luas persegi tersebut adalah $\cdots \cdot$
Diketahui penjumlahan kedua persegi panjang yang terbentuk sama dengan $60.$ Misalkan panjang sisi persegi semula adalah $x,$ sedangkan lebar persegi panjang atas adalah $y,$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Ini berarti, keliling persegi panjang atas adalah $2(x+y) = 2x+2y,$ sedangkan keliling persegi panjang bawah adalah $2(x + (x-y)) = 4x-2y.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} (2x + 2y) + (4x-2y) & = 60 \\ 6x & = 60 \\ x & = 10. \end{aligned}$$Jadi, luas perseginya adalah $\boxed{x^2 = 10^2 = 100}.$
Soal Nomor 2
Diketahui ada $6$ pilihan jalan yang dapat digunakan untuk bepergian dari Kota A ke Kota B dan ada $8$ pilihan jalan yang dapat digunakan untuk bepergian dari Kota B ke Kota C. Jika seseorang akan bepergian dari Kota A ke Kota C melalui Kota B dan pulang kembali lagi ke Kota A melalui jalan-jalan yang berbeda dari ketika saat pergi, banyaknya cara untuk pergi dan kembali adalah $\cdots \cdot$
Diketahui informasi berikut.
- Ada $6$ pilihan jalan dari A ke B.
- Ada $8$ pilihan jalan dari B ke C.
- Ada $8-1=7$ pilihan jalan dari C ke B karena satu jalan sudah tidak boleh dilalui lagi.
- Ada $6-1=5$ pilihan jalan dari B ke A karena satu jalan sudah tidak boleh dilalui lagi.
Banyaknya cara untuk pergi dan kembali sama dengan hasil kali semua pilihan jalan tersebut, yaitu $\boxed{6 \times 8 \times 7 \times 5 = 1680}$ cara.
Soal Nomor 3
Pada papan tertulis $90$ bilangan asli, yaitu $\underbrace{1, 1, 1, \cdots, 1}_{88~\text{kali}}, a,$ dan $b.$ Hasil penjumlahan maupun perkalian dari semua bilangan asli tersebut sama, yaitu $A.$ Nilai $A$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui hasil penjumlahan maupun perkalian dari semua bilangan asli tersebut sama sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{88}~kali} + a + b & = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cdots \cdot 1}_{\text{88}~kali} \cdot a \cdot b \\ 88 + a + b & = ab \\ ab-a-b & = 88 \\ (a-1)(b-1)-1 & = 88 \\ (a-1)(b-1) & = 89. \end{aligned}$$Karena $89$ prima, dua bilangan asli yang hasil perkaliannya $89$ adalah $1$ dan $89.$ Tanpa mengurangi keumuman, tinjau $89 = 1 \cdot 89.$ Dengan demikian, diperoleh $a = 2$ dan $b = 90.$
Ini berarti, $ab = 2 \cdot 90 = 180.$ Jadi, hasil penjumlahan maupun perkalian dari semua bilangan asli tersebut adalah $\boxed{A = 180}.$
Soal Nomor 4
Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan bersama yang bernilai positif selain $1.$ Jika
$$\dfrac{1+2+3+\cdots+104}{3+4+5+\cdots+106} = \dfrac{a}{b},$$maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa deret yang terbentuk pada pembilang dan penyebut pecahan tersebut merupakan deret aritmetika. Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika yang memiliki suku pertama $a$ dan suku terakhir $\text{u}_n$ dinyatakan oleh
$$\boxed{S_n = \dfrac{n}{2}(a+u_n)}.$$Pada pembilang, deret aritmetikanya memiliki suku pertama $1$ dan beda juga $1.$ Pada penyebut, suku pertamanya $3$ dan bedanya $1.$ Banyaknya suku yang dimiliki kedua deret itu adalah $n = 104.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1+2+3+\cdots+104}{3+4+5+\cdots+106} & = \dfrac{\cancel{\frac{104}{2}}(1+104)}{\cancel{\frac{104}{2}}(3+106)} \\ & = \dfrac{105}{109}. \end{aligned}$$Karena $105$ dan $109$ keduanya tidak memiliki faktor persekutuan bersama selain $1$ alias relatif prima, diperoleh $a = 105$ dan $b = 109.$ Jadi, diperoleh $\boxed{a+b=105+109 = 214}.$
Soal Nomor 5
Bilangan OSK adalah bilangan empat angka yang tidak dimulai dengan angka $0$ dan hasil penjumlahan semua angkanya adalah $8.$ Sebagai contoh, $2024$ merupakan bilangan OSK. Banyaknya bilangan OSK adalah $\cdots \cdot$
Misalkan bilangan $4$ angka tersebut dinotasikan oleh $\overline{abcd}$ dengan $a+b+c+d=8$ serta $a \ge 1$ dan $b, c, d \ge 0.$ Misalkan $a’ = a-1$ sehingga $a’+b+c+d=7$ dengan $a’, b, c, d \ge 0.$ Dengan menggunakan teorema bintang dan garis (stars and bars theorem), kasus ini ekuivalen dengan mencari banyaknya cara menempatkan $n = 7$ bola identik ke dalam $k = 4$ kotak berbeda. Dengan demikian, banyaknya pasangan $(a’, b, c, d)$ yang memenuhi adalah $$\displaystyle \binom{n+k-1}{k-1} = \binom{7+4-1}{4-1} = \binom{10}{3} = 120.$$Jadi, ada $\boxed{120}$ bilangan OSK.
Soal Nomor 6
Misalkan $u_1,u_2,u_3, \cdots$ adalah barisan geometri dengan $u_1>u_2.$ Jika $u_2=8$ dan $u_5+u_7= \dfrac{17u_6}{4},$ maka nilai dari $u_1$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $\text{u}_n = ar^{n-1}.$ Karena $u_1 > u_2,$ maka $r < 1.$ Diketahui $u_2 = 8$ dan $u_5 + u_7 = \dfrac{17u_6}{4}.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} u_5 + u_7 & = \dfrac{17u_6}{4} \\ ar^4 + ar^6 & = \dfrac{17u_6}{4} \\ 4\cancel{a}r^4(1+r^2) & = 17\cancel{a}r^5 \\ 4r^2-17r+4 & = 0 \\ (4r-1)(r-4) & = 0. \end{aligned}$$Ini berarti, $r = \dfrac14$ atau $r = 4.$ Karena $r < 1,$ haruslah $r = \dfrac14.$ Berikutnya, karena $u_2 = 8,$ diperoleh $u_1 = a = \dfrac{u_2}{r} = \dfrac{8}{\frac14} = 32.$
Jadi, nilai dari $u_1$ adalah $\boxed{32}.$
Soal Nomor 7
Misalkan kedua diagonal segi empat $ABCD$ berpotongan di titik $E$ seperti yang tampak pada gambar di bawah. Luas segitiga $AED$ sama dengan luas segitiga $BEC.$ Jika panjang $AB=50,$ $AE=45,$ dan $AC=108,$ maka panjang $CD = \cdots \cdot$ Diketahui luas segitiga $AED$ sama dengan luas segitiga $BEC$ serta panjang $AB=50,$ $AE=45,$ dan $AC=108.$ Ini berarti, $EC = AC-AE = 108-45 = 63.$ Besar $\angle BEC = \angle AED$ karena kedua sudutnya bertolak belakang. Dengan melibatkan penggunaan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{AED} & = L_{BEC} \\ \cancel{\dfrac12} \times AE \times ED \times \sin \angle AED & = \cancel{\dfrac12} \times BE \times EC \times \sin \angle BEC \\ AE \times ED & = BE \times EC. \end{aligned}$$Ini berarti, $45 \times ED = BE \times 63.$ Misalkan $BE = 45x$ sehingga $ED = 63x.$ Kemudian, dari persamaan $AE \times ED = BE \times EC,$ diperoleh $\dfrac{BE}{EA} = \dfrac{ED}{EC}.$ Lebih lanjut, $\angle BEA = \angle DEC$ karena kedua sudut ini saling bertolak belakang. Dari dua alasan ini, disimpulkan bahwa $\Delta BEA \sim \Delta DEC.$ Berdasarkan sifat kesebangunan segitiga, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{BE}{BA} & = \dfrac{ED}{CD} \\ \dfrac{45x}{50} & = \dfrac{63x}{CD} & \\ CD & = \dfrac{63 \times 50}{45} = 70. \end{aligned}$$Jadi, panjang $CD$ adalah $\boxed{70}.$
Soal Nomor 8
Banyaknya bilangan dua angka $\overline{ab}$ dengan $a,b \ne 0$ sehingga $\overline{ab} + \overline{ba}$ merupakan kelipatan $66$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $\overline{ab} + \overline{ba}$ merupakan kelipatan $66,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \overline{ab} + \overline{ba} & = 66k \\ (10a + b) + (10b + a) & = 66k \\ 11a + 11b & = 66k \\ a + b & = 6k \end{aligned}$$untuk suatu bilangan asli $k.$ Karena $a$ dan $b$ keduanya merupakan digit, nilainya tidak melebihi $9$ sehingga $k \le 3.$ Tinjau tiga kasus berdasarkan nilai $k.$
Kasus 1: Jika $k = 1,$ diperoleh $a + b = 6.$ Ini berarti,
$$(a, b) \in \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}.$$Ada $5$ pasangan $(a, b)$ untuk kasus ini.
Kasus 2: Jika $k = 2,$ diperoleh $a + b = 12.$ Ini berarti,
$$(a, b) \in \{(3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3)\}.$$Ada $7$ pasangan $(a, b)$ untuk kasus ini.
Kasus 3: Jika $k = 3,$ diperoleh $a + b = 18.$ Ini berarti,
$$(a, b) \in \{(9, 9)\}.$$Hanya ada $1$ pasangan $(a, b)$ untuk kasus ini.
Jadi, banyaknya bilangan dua angka yang memenuhi adalah $\boxed{5+7+1=13}.$
Soal Nomor 9
Misalkan $k$ merupakan bilangan bulat positif terkecil kelipatan $2024$ yang memiliki $28$ faktor positif. Sisa hasil bagi $k$ oleh $100$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa $2024 = 2^\color{red}{3} \times 11^\color{red}{1}\times 23^\color{red}{1}.$ Banyaknya faktor dari $2024$ adalah $(\color{red}{3}+1)(\color{red}{1}+1)(\color{red}{1}+1) = 16.$ Misalkan $$k = n \times 2024 = n \times 2^3 \times 11^1 \times 23^1.$$Jika $n$ memuat faktor prima selain $2, 11,$ dan $23,$ maka banyaknya faktor minimal dari $k$ akan menjadi $16 \times 2 = 32 > 28,$ sehingga $n$ tidak mungkin memuat faktor prima selain $2, 11,$ dan $23.$
Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: Jika $n = 11^x$ untuk suatu bilangan asli $x,$ maka $k = 2^3 \times 11^{x+1} \times 23^1$ sehingga diperoleh persamaan banyaknya faktor:
$$\begin{aligned} (3+1)((x+1)+1)(1+1) & = 28 \\ 4(x+2)(2) & = 28 \\ x+2 & = \dfrac72 \\ x & = \dfrac32. \end{aligned}$$Karena $x$ bukan bilangan asli, kasus ini tidak memenuhi.
Kasus 2: Jika $n = 23^x$ untuk suatu bilangan asli $x,$ maka $k = 2^3 \times 11^{1} \times 23^{x+1}$ sehingga dengan cara yang serupa seperti Kasus 1, diperoleh $x = \dfrac32$ yang bukan merupakan bilangan asli. Dengan demikian, kasus ini juga tidak memenuhi.
Kasus 3: Jika $n = 2^x$ untuk suatu bilangan asli $x,$ maka $k = 2^{x+3} \times 11^{1} \times 23^{1}$ sehingga diperoleh persamaan banyaknya faktor:
$$\begin{aligned} ((x+3)+1)(1+1)(1+1) & = 28 \\ (x+4)(2)(2) & = 28 \\ x+4 & = 7 \\ x & = 3. \end{aligned}$$Karena $x$ merupakan bilangan asli, kasus ini memenuhi.
Dengan demikian, bilangan yang dimaksud adalah $k = 2^3 \cdot 2024.$ Ini berarti,
$$\begin{aligned} k & \equiv 2^3 \cdot 24~(\text{mod}~100) \\ & \equiv 192 ~(\text{mod}~100) \\ & \equiv 92~(\text{mod}~100). \end{aligned}$$Jadi, sisa hasil bagi $k$ oleh $100$ adalah $\boxed{92}.$
Soal Nomor 10
Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif dengan $x>y.$ Jika diketahui bahwa $x^2+y^2=\dfrac{545}{272}xy,$ maka nilai dari $\dfrac{x+y}{x-y}$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif dengan $x>y.$ Diketahui bahwa $x^2+y^2=\dfrac{545}{272}xy.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} (x+y)^2-2xy & = \dfrac{545}{272}xy \\ (x+y)^2 & = \dfrac{545}{272}xy+2xy \\ (x+y)^2 & = \dfrac{1089}{272}xy = \dfrac{33^2}{272}xy. \end{aligned}$$Di sisi lain,
$$\begin{aligned} (x-y)^2+2xy & = \dfrac{545}{272}xy \\ (x-y)^2 & = \dfrac{545}{272}xy-2xy \\ (x+y)^2 & = \dfrac{1}{272}xy. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2} = \dfrac{\frac{33^2}{\cancel{272}}}{\frac{1}{\cancel{272}}} \\ \left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2 & = 33^2 \\ \dfrac{x+y}{x-y} & = 33. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{x+y}{x-y} = 33}.$