Olimpiade Sains Nasional (OSN) merupakan ajang kompetisi akademik bergengsi yang diselenggarakan setiap tahun oleh Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI), yaitu unit pelaksana teknis dari Pusat Prestasi Nasional (Puspresnas). OSN dirancang untuk menggali potensi, mengasah kemampuan nalar, serta mendorong budaya ilmiah di kalangan peserta didik di seluruh Indonesia. Melalui ajang ini, siswa tidak hanya diuji dari sisi pengetahuan, tetapi juga ketekunan, kreativitas, serta kemampuan memecahkan masalah pada level yang lebih tinggi. Dengan sistem seleksi berjenjang, mulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, provinsi, hingga nasional, OSN menjadi ruang bagi siswa berprestasi untuk menunjukkan kemampuan terbaik mereka.
Bidang Matematika merupakan salah satu cabang yang paling diminati sekaligus menantang dalam OSN. Matematika menjadi fondasi penting bagi berbagai disiplin ilmu lain sehingga penguasaannya mencerminkan kemampuan berpikir logis, terstruktur, dan mendalam. Pada tahapan OSN tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K), peserta diharapkan mampu menunjukkan pemahaman konsep dasar yang kuat, kecermatan dalam berhitung, serta ketangguhan dalam menghadapi soal berbasis penalaran yang tidak sekadar mengandalkan hafalan rumus.
Tahun 2025 menjadi momentum penting bagi penyelenggaraan OSN yang semakin menekankan kemampuan dasar dan fleksibilitas berpikir. Khusus untuk bidang Matematika, soal-soal yang diberikan dirancang untuk menguji penguasaan konsep fundamental seperti aljabar, geometri, kombinatorika, teori bilangan, dan pemecahan masalah non-rutin. Peserta dituntut tidak hanya mampu mengerjakan soal dengan benar, tetapi juga memahami alasan di balik setiap langkah penyelesaian.
Dalam artikel ini, telah disediakan soal dan pembahasan OSN-K Bidang Matematika Tahun 2025 khusus bagian Kemampuan Dasar. Pembahasan disajikan secara jelas dan sistematis agar dapat digunakan sebagai bahan belajar mandiri maupun pendampingan guru. Harapannya, ini bakal dapat membantu siswa mempersiapkan diri secara optimal, memperkuat konsep, serta meningkatkan kepercayaan diri menghadapi kompetisi OSN yang semakin kompetitif di tahun-tahun mendatang.
Untuk bagian Kemampuan Dasar, ada 10 soal isian singkat. Setiap soal dijawab dengan menuliskan jawaban akhirnya saja dan dipastikan merupakan bilangan bulat. Soal yang dijawab benar bernilai $4$ poin, soal yang dijawab salah bernilai $-1$ poin, dan soal yang tidak dijawab bernilai $0$ poin.
Soal Nomor 1
Diketahui $n^2+4n+3=16m.$ Jika $m$ bulat, banyaknya bilangan bulat $n$ dengan $1 \le n \le 110$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $n^2 + 4n + 3 = 16m,$ yang ruas kirinya dapat difaktorkan menjadi $(n+3)(n+1) = 16m.$ Karena $16m$ pasti bernilai genap, $n$ haruslah berupa bilangan ganjil. Ini berarti, $n = 2t-1$ untuk suatu bilangan bulat $t.$ Substitusi $n = 2t-1$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} ((2t-1)+3)((2t-1)+1) & = 16m \\ (2t+2)(2t) & = 16m \\ t(t+1) & = 4m. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $t$ dan $t+1$ berbeda paritas (satunya genap, satunya ganjil). Oleh karena itu, $t$ harus merupakan kelipatan $4,$ atau ditulis $t = 4b$ untuk suatu bilangan $b.$ Alternatif lain, $t+1$ yang merupakan kelipatan $4,$ atau ditulis $t+1=4c,$ atau $t=4c-1$ untuk suatu bilangan asli $c.$
Kasus 1: $t = 4b$
Dari syarat $1 \le n \le 110,$ diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} 1 & \le & 2a-1 & \le & 110 \\ 1 & \le & 2(4b)-1 & \le & 110 \\ 2 & \le & 8b & \le & 111 \\ \dfrac28 & \le & b & \le & \dfrac{111}{8} \\ 1 & \le & b & \le & 13 \end{array}$$Dengan demikian, ada $13$ nilai $b$ yang memenuhi.
Kasus 2: $t = 4c-1$
Dari syarat $1 \le n \le 110,$ diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} 1 & \le & 2a-1 & \le & 110 \\ 1 & \le & 2(4c-1)-1 & \le & 110 \\ 4 & \le & 8c & \le & 113 \\ \dfrac48 & \le & c & \le & \dfrac{113}{8} \\ 1 & \le & c & \le & 14 \end{array}$$Dengan demikian, ada $14$ nilai $c$ yang memenuhi.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa banyaknya solusi persamaan tersebut adalah $\boxed{13+14=27}.$
Soal Nomor 2
Bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $n!$ habis dibagi $1430$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa $1430 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.$ Ini berarti, $n\!$ harus memuat faktor $2, 5, 11,$ dan $13$ agar habis dibagi $1430.$ Akibatnya, $n \ge 13$ memenuhi kondisi ini. Lebih lanjut, $n = 13$ akan menjadi bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi kondisi ini karena $13!$ memuat keempat faktor tersebut.
Jadi, bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $n!$ habis dibagi $1430$ adalah $\boxed{13}.$
Soal Nomor 3
Perhatikan gambar berikut.
Diketahui $ABCD$ adalah trapesium dengan $AB \parallel CD$ dan $\angle ADC = 90^\circ.$ Titik $E$ pada ruas garis $AD$ sehingga $BE = EC.$ Jika $AB = 22,$ $CD = 27,$ dan $BC = 25\sqrt2,$ maka panjang $AE$ adalah $\cdots \cdot$
Letakkan titik $X$ pada $DC$ sehingga $BX \perp CD$ seperti yang terlihat pada gambar di bawah.
Ini berarti, $$CX = CD-DX = CD-AB = 27-22=5.$$Perhatikan bahwa $\Delta BXC$ merupakan segitiga siku-siku sehingga teorema Pythagoras berlaku, yaitu
$$\begin{aligned} AD & = BX \\ & = \sqrt{BC^2-CX^2} \\ & = \sqrt{(25\sqrt2)^2-5^2} \\ & = 5\sqrt{25 \cdot 2-1} \\ & = 35. \end{aligned}$$Misalkan panjang $AE=x$ sehingga $ED = 35-x.$ $\Delta ABE$ dan $\Delta EDC$ merupakan segitiga siku-siku dengan $BE = EC.$ Dengan menggunakan teorema Pythagoras lagi, didapat
$$\begin{aligned} BE^2 & = EC^2 \\ AE^2 + AB^2 & = ED^2 +DC^2 \\ x^2 + 22^2 & = (35-x)^2 + 27^2 \\ x^2-(35-x)^2 & = 27^2-22^2 \\ (x+(35-x))(x-(35-x)) & = (27+22)(27-22) \\ 35(2x-35) & = 49 \cdot 5 \\ 2x-35 & = 7 \\ x = 21. \end{aligned}$$Jadi, panjang $AE$ adalah $\boxed{21}.$
Soal Nomor 4
Banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat semua anggota dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $S = \{1, 2, \cdots, 7\}.$ Misalkan juga $A$ dan $B$ berturut-turut merupakan himpunan bagian dari $S$ yang memuat semua anggota dari $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $\{4, 5, 6\}.$ Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, yaitu
$$\boxed{|A \cup B| = |A| + |B|-|A \cap B|}$$
- Pertama, tentukan banyaknya himpunan bagian dari $S$ yang memuat semua anggota dari $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ yaitu $|A|.$ Himpunan bagian tersebut pasti berbentuk $\{1, 2, 3, 4, 5\} \cup X$ dengan $X \subseteq \{6, 7\}.$ Banyaknya cara memilih anggota dari $\{6, 7\}$ adalah $2^2 = 4$ sehingga $|A| = 4.$
- Kedua, tentukan banyaknya himpunan bagian dari $S$ yang memuat semua anggota dari $\{4, 5, 6\},$ yaitu $|B|.$ Himpunan bagian tersebut pasti berbentuk $\{4, 5, 6\} \cup X$ dengan $X \subseteq \{1, 2, 3, 7\}.$ Banyaknya cara memilih anggota dari $\{1, 2, 3, 7\}$ adalah $2^4 = 16$ sehingga $|B| = 16.$
- Terakhir, tentukan banyaknya himpunan bagian dari $S$ yang memuat semua anggota dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\},$ yaitu $|A \cap B|.$ Himpunan bagian tersebut pasti berbentuk $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cup Z$ dengan $Z \subseteq \{7\}.$ Banyaknya cara memilih anggota dari $\{7\}$ adalah $2^1 = 2$ sehingga $|A \cap B| = 2.$
Dengan demikian, diperoleh $|A \cup B| = 4 + 16-2 = 18.$
Jadi, banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat semua anggota dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}$ adalah $\boxed{18}.$
Soal Nomor 5
Afif menuliskan sembilan bilangan bulat positif berbeda yang lebih kecil dari $18.$ Ia memastikan bahwa penjumlahan dua bilangan mana pun di antara sembilan bilangan tersebut tidak sama dengan $18.$ Bilangan positif yang pasti ditulis Afif adalah $\cdots \cdot$
Pasangan bilangan $(a, b)$ yang keduanya kurang dari $18$ dan memenuhi $a+b=18$ adalah
$$(1, 17), (2, 16), (3, 15), \cdots, (8, 10), (9, 9).$$Dari setiap pasangan $(1, 17)$ hingga $(8, 10),$ Afif hanya dapat memilih satu bilangan agar tidak ada dua bilangan yang jumlahnya $18.$ Dengan demikian, ia bisa memilih tepat $8$ bilangan berbeda dari delapan pasangan tersebut. Akan tetapi, Afif harus menuliskan sembilan bilangan bulat positif. Satu-satunya bilangan lain yang dapat ia pilih tanpa melanggar aturan adalah $9,$ karena bilangan ini hanya berpasangan dengan dirinya sendiri agar jumlahnya $18.$
Jadi, bilangan positif yang pasti ditulis Afif adalah $\boxed{9}.$
Soal Nomor 6
Koefisien suku $x^2$ dari penjabaran $(x+3)^n$ adalah $81k$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Bilangan asli $k$ terkecil yang memenuhi syarat tersebut adalah $\cdots \cdot$
Berdasarkan teorema binomial, koefisien suku $x^2$ dari penjabaran $(x+3)^n$ adalah
$$\displaystyle \binom{n}{2} \cdot 3^{n-2} = \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} \cdot 3^{n-2} = \dfrac{n(n-1)}{2} \cdot 3^{n-2} = 81k$$untuk suatu bilangan asli $k.$ Ini berarti,
$$\begin{aligned} \dfrac{n(n-1)}{2} \cdot 3^{n-2} & = 3^4k \\ n(n-1) \cdot 3^{n-6} & = 2k. \end{aligned}$$Dengan pengecekan beberapa nilai $n$ pertama, tampak bahwa $n = 6$ akan membuat $k$ menjadi bilangan asli terkecil yang memenuhi syarat yang diminta. Substitusi $n = 6$ akan menghasilkan
$$6(6-1) \cdot 3^{6-6} = 2k \Leftrightarrow 30 = 2k \Leftrightarrow k = 15.$$Jadi, bilangan asli $k$ terkecil yang memenuhi syarat tersebut adalah $\boxed{15}.$
Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut.
Diketahui dua segitiga sama sisi $ABD$ dan $BCE$ yang kongruen, serta titik $A,$ $B,$ dan $C$ kolinear. Titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABD$ dan titik pusat lingkaran luar segitiga $BCE.$ Jika luas lingkaran luar segitiga $BPC$ adalah $126,$ maka luas lingkaran luar segitiga $BPQ$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut.
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan titik $E$ dan $F$ pada $AB,$ serta titik $G$ dan $H$ pada $BC$ sehingga $$AF = BE = DG = CH = 54.$$ Jika $AB = 68$ dan $AD = 27,$ maka luas daerah yang dibatasi oleh $AG, CE, BF,$ dan $DH$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $AF = BE = CH = DG = 54.$ Misalkan $AE = x$ dan $EF = y$ sehingga $AF = AE + EF = x + y =54.$ Dengan cara yang serupa, $BF = x$ karena $BE$ juga panjangnya $54.$ Ini berarti, $AB = (x+y)+x = 2x+y = 68.$ Dari dua sistem persamaan $x+y = 54$ dan $2x+y = 68,$ diperoleh $x = 14$ dan $y = 40.$
Misalkan $P, Q, R,$ dan $S$ merupakan titik perpotongan garis-garis dengan posisi yang seperti terlihat pada gambar di bawah.
$AECG$ merupakan jajaran genjang karena memiliki dua pasang sisi sejajar sehingga $PR = AE = GC = QS = 14.$ Berikutnya, akan dicari panjang $PR.$ Pertama, posisikan titik $X$ dan $Y$ berturut-turut di tengah $AB$ dan $CD.$ Misalkan $RX = PY = t.$ Diketahui $AD = 27$ (dari soal). Letakkan titik $T$ pada $AB$ sehingga $QT \perp AB.$ Ini berarti, $QT = \dfrac{27}{2}.$
$\Delta EFR$ dan $\Delta AFQ$ merupakan dua segitiga yang sebangun sehingga berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{EF}{RX} & = \dfrac{AF}{QT} \\ \dfrac{40}{RX} & = \dfrac{54}{\frac{27}{2}} \\ RX & = 10. \end{aligned}$$Akibatnya, $PY = 7$ sehingga $PR = 27-10-10 =7.$
$PQRS$ membentuk bangun belah ketupat sehingga luasnya dihitung dengan cara $L = \dfrac{PR \times QS}{2} = \dfrac{7 \cdot 14}{2} = 49.$ Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh $AG, CE, BF,$ dan $DH$ adalah $\boxed{49}.$
Soal Nomor 9
Diketahui polinomial $P(5^b + 1) = 5^{5b} + 4$ untuk setiap bilangan real $b.$ Nilai dari $P(3)$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $P(5^b + 1) = 5^{5b} + 4$ untuk setiap bilangan real $b.$ Untuk mencari nilai $P(3),$ tinjau persamaan $5^b + 1 = 3,$ yang ekuivalen dengan $5^b = 2.$ Ini berarti,
$$\begin{aligned} P(5^b + 1) & = 5^{5b} + 4 \\ P(5^b + 1) & = (5^b)^5 + 4 \\ P(2+1) & = 2^5 + 4 \\ P(3) & = 36. \end{aligned}$$Jadi, nilai $P(3)$ adalah $\boxed{36}.$
Soal Nomor 10
Banyaknya bilangan bulat $m$ sehingga membuat persamaan kuadrat $$x^2 + mx + 37 = m$$tidak mempunyai akar real adalah $\cdots \cdot$
Dari persamaan yang diberikan, diperoleh $x^2 +mx + (37-m) = 0.$ Ini memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ dengan $a=1,$ $b = m,$ dan $c = 37-m.$ Agar persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real, diskriminannya harus bernilai negatif.
$$\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ m^2-4(1)(37-m) & < 0 \\ m^2+4m-148 & < 0 \\ (m+2)^2-152 & < 0 \\ (m+2)^2 & < 152 \end{aligned}$$Dari sini, didapat
$$-\sqrt{152} < m+2 < \sqrt{152}$$atau ditulis ulang menjadi
$$-\sqrt{152}-2 < m < \sqrt{152}-2.$$Karena $\sqrt{152} > \sqrt{144} = 12,$ nilainya sekitar $12,\!\cdots$ sehingga diperoleh
$$-14,\!\cdots < m < 10,\!\cdots$$Karena $m$ bulat, haruslah $m \in \{-14, -13, \cdots, 9, 10\}.$ Secara keseluruhan, ada $25$ nilai $m$ yang mungkin.
Jadi, banyaknya bilangan bulat $m$ sehingga membuat persamaan kuadrat $$x^2 + mx + 37 = m$$tidak mempunyai akar real adalah $\boxed{25}.$