Berikut ini merupakan soal Kompetisi Hari Pendidikan Nasional (Hardiknas) Pelatihan Olimpiade Sains Indonesia (POSI) Bidang Matematika Tingkat Guru SMA/Sederajat Tahun 2021 yang diselenggarakan dalam rangka memperingati Hari Pendidikan Nasional Tahun 2021. Perlombaan ini diselenggarakan pada tanggal 9 Mei 2021 dan dikerjakan secara daring berbentuk CBT melalui laman situs POSI. Bentuk soal adalah pilihan ganda sebanyak 30 butir. Soal dapat diunduh dalam file berformat PDF melalui tautan berikut: Download (PDF).
Quote by Polya George
Soal Nomor 1
Diberikan bilangan real $a, b, c$ yang memenuhi $a+b+c=3.$ Misalkan jumlah semua akar-akar real dari $$(x-a)(x-b)+(b-x)(c-x)=0$$adalah $S.$ Nilai dari $S + \dfrac{a+c-3}{2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$ C. $\dfrac17$ E. $\dfrac35$
B. $\dfrac32$ D. $\dfrac37$
Diketahui $\color{blue}{a+b+c=3}.$
Perhatikan bahwa ruas kiri persamaan $$(x-a)\color{red}{(x-b)}+\color{red}{(b-x)}(c-x)=0$$ dapat difaktorkan sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (x-b)((x-a)+(-1)(c-x)) & = 0 \\ (x-b)(2x-a-c) & = 0. \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh dua akar, yaitu:
$$\begin{cases} x-b = 0 & \Rightarrow x_1 = b \\ 2x-a-c = 0 & \Rightarrow x_2 = \dfrac{a+c}{2} \end{cases}$$Karena jumlah semua akarnya adalah $S,$ maka kita tulis
$$S = x_1 + x_2 = b + \dfrac{a+c}{2}.$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} S + \dfrac{a+c-3}{2} & = b + \dfrac{a+c}{2} + \dfrac{a+c-3}{2} \\ & = \dfrac{2b + (a+c) + (a+c-3)}{2} \\ & = \dfrac{2\color{blue}{(a+b+c)}-3}{2} \\ & = \dfrac{2(3)-3}{2} = \dfrac32. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $S + \dfrac{a+c-3}{2}$ adalah $\boxed{\dfrac32}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Diberikan barisan $x_1, x_2, x_3, \cdots$ dengan $x_1 = 4.$ Untuk bilangan asli $n \ge 1,$ berlaku $x_{n+1} = x_n + n + \dfrac12.$ Nilai maksimum $n$ agar $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n} \le 2018$ adalah $\cdots \cdot$
A. $17$ C. $20$ E. $24$
B. $19$ D. $22$
Soal Nomor 3
Pada $\triangle ABC,$ titik $D$ terletak pada $AB.$ Jika $AB = 7,$ $BC = 5,$ $AC = 3,$ dan $AD = 4,$ maka nilai $CD^2 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{21}{8}$ C. $\dfrac{23}{7}$ E. $\dfrac{43}{7}$
B. $\dfrac{19}{7}$ D. $\dfrac{33}{7}$
Soal Nomor 4
Seekor semut berada di perpotongan sumbu koordinat $O(0, 0).$ Setiap menit, ia bergerak $1$ satuan secara acak (kiri, kanan, atas, bawah) dengan peluang yang sama. Arah pergerakannya setiap menit bergantung pada arah pergerakan pada menit sebelumnya. Ia berhenti ketika ia mencapai koordinat $(x, y)$ sehingga $|x| + |y| = 3.$ Ekspektasi banyaknya gerakan semut itu hingga berhenti dapat dinyatakan dalam pecahan sederhana $\dfrac{m}{n}.$ Nilai $m+n=\cdots \cdot$
A. $3079$ D. $4001$
B. $3900$ E. $4090$
C. $3907$
Soal Nomor 5
Misal $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif sehingga $(2b+a)(2a+b) = 4752.$ Nilai $ab$ adalah $\cdots \cdot$
A. $151$ D. $499$
B. $225$ E. $520$
C. $425$
Soal Nomor 6
Sebuah kertas berbentuk persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 120$ dan $BC = 160.$ Kertas ini dilipat mengikuti diagonal $AC.$ Misalkan $B_1$ adalah posisi titik $B$ setelah kertasnya dilipat. Panjang $B_1D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $56$ C. $74$ E. $112$
B. $59$ D. $75$
Soal Nomor 7
Diberikan $f$ sebagai fungsi yang dirumuskan dengan $$f(x, y, z) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{xz} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xyz}$$untuk setiap bilangan real tak nol $x, y, z.$ Jika $f(2019, 2020, 2021)$ dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana $\dfrac{a}{b},$ maka nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $599$ D. $678$
B. $673$ E. $681$
C. $674$
Soal Nomor 8
Digit satuan dari $2^{2020} + 3^{2020}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $7$ E. $9$
B. $6$ D. $8$
Pola angka satuan dari $2^n$ untuk bilangan asli $n$ adalah $(2, 4, 8, \color{red}{6}).$
Pola angka satuan dari $3^n$ untuk bilangan asli $n$ adalah $(3, 9, 7, \color{blue}{1}).$
Karena $2020$ habis dibagi $4$ (tanpa sisa), maka angka satuan dari $2^{2020}$ sama dengan angka satuan dari $2^4,$ yaitu $\color{red}{6}$, sedangkan angka satuan dari $3^{2020}$ sama dengan angka satuan dari $3^4,$ yaitu $\color{blue}{1}.$ Jadi, angka/digit satuan dari $2^{2020} + 3^{2020}$ adalah $\boxed{6+1=7}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 9
Diberikan bilangan real tak nol $a, b, c$ sehingga $$\dfrac{a+2b}{c} = \dfrac{2a+c}{2b} = \dfrac{b+2c}{2a+c}.$$Nilai $\dfrac{a}{b} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac38$ C. $\dfrac78$ E. $\dfrac49$
B. $\dfrac58$ D. $\dfrac23$
Soal Nomor 10
Diberikan bilangan real positif $a, b, c, d$ yang memenuhi $a+b+c+d=4.$ Nilai minimum dari $a^3+b^3+c^3+$ $d^3+2a^2+2b^2+$ $2c^2+2d^2+4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$ C. $13$ E. $19$
B. $11$ D. $16$
Soal Nomor 11
Diberikan $A=\{1, 2, 3\}$ dan $B = \{4, 5, 6\}.$ Banyak fungsi $f: A \to B$ sehingga $f(n)-n$ merupakan kelipatan $2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $4$ E. $7$
B. $3$ D. $6$
Soal Nomor 12
Lingkaran luar $\triangle ABC$ memiliki luas $4\pi$ satuan luas. Perbandingan hasil kali ketiga panjang sisi $\triangle ABC$ terhadap luas $\triangle ABC$ (satuan diabaikan) adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 8$ D. $3 : 2$
B. $8 : 1$ E. $3 : 8$
C. $2 : 3$
Soal Nomor 13
Bilangan real $x$ yang memenuhi $$\sqrt[3]{\dfrac{x-1}{2017}} + \sqrt[3]{\dfrac{x}{2018}} + \sqrt[3]{\dfrac{x+1}{2019}} = \sqrt[3]{x-2017} + \sqrt[3]{\dfrac{x-2016}{2}} + \sqrt[3]{\dfrac{x-2015}{3}}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $2018$ D. $2021$
B. $2019$ E. $2023$
C. $2020$
Soal Nomor 14
Sebanyak $8$ orang mengikuti kompetisi lomba renang. Di antara kedelapan orang tersebut terdapat Anto, Bani, Dani, dan Vito. Asumsikan tidak ada yang mencapai garis finis bersamaan. Jika peringkat Anto lebih tinggi dari Bani, peringkat Bani lebih tinggi dari Dani, dan peringkat Dani lebih tinggi dari Vito, maka banyak susunan peringkat yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $1680$ D. $1304$
B. $1623$ E. $1289$
C. $1571$
Soal Nomor 15
Pada $\triangle ABC$ lancip, garis $BE$ dan $CF$ merupakan garis tinggi dengan $E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada $AC$ dan $AB.$ Jika $\sin \angle BAC = \dfrac23,$ maka perbandingan keliling $\triangle AEF$ dan keliling $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2 : 1$ D. $3 : \sqrt5$
B. $\sqrt5 : 1$ E. $2 : \sqrt3$
C. $\sqrt5 : 3$
Soal Nomor 16
Misalkan $(x, y)$ merupakan solusi dari $x^2+y^2+13=4x-6y.$ Nilai $x + y = \cdots \cdot$
A. $-1$ C. $1$ E. $3$
B. $0$ D. $2$
Soal Nomor 17
Bilangan asli $n \ge 2018$ terkecil sehingga $\left(\dfrac{\sqrt[4]{8} + \sqrt[4]{4} + \sqrt[4]{2} + 2}{\sqrt[4]{8} + \sqrt[4]{4} + \sqrt[4]{2} + 1}\right)^n$ merupakan bilangan bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $2018$ D. $2021$
B. $2019$ E. $2023$
C. $2020$
Soal Nomor 18
Jumlah digit-digit penyusun $n$ dengan $n = \displaystyle \sum_{k=1}^3 4^k \binom{3}{k} \cdot \sum_{k = 0}^{2018} 9^k \binom{2018}{k}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $7$ E. $9$
B. $6$ D. $8$
Soal Nomor 19
Pada $\triangle ABC,$ titik $D, E, F$ berturut-turut terletak pada $AB, BC, AC$ sehingga $AE, CD, BF$ berpotongan di satu titik $K.$ Diketahui perbandingan $CE : EB = 2 : 1$ dan $KD : KC = 1 : 3.$ Jika luas $\triangle ABC$ adalah $1,$ maka luas $\triangle DEF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac19$ C. $\dfrac37$ E. $\dfrac79$
B. $\dfrac29$ D. $\dfrac35$
Soal Nomor 20
Pada trapesium $ABCD,$ sisi $AB$ sejajar dengan $CD.$ Terdapat lingkaran di dalam trapesium $ABCD$ yang menyinggung semua sisinya. Jika $AB+CD=18,$ maka keliling trapesium $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $26$ C. $32$ E. $39$
B. $28$ D. $36$
Soal Nomor 21
Diberikan $\triangle ABC$ dengan $AB = 7.$ Titik $D$ pada $AB$ sehingga $AD = 4.$ Jika luas $\triangle ABC = 7,$ maka luas $\triangle ADC = \cdots \cdot$
A. $2$ C. $6$ E. $14$
B. $4$ D. $7$
Soal Nomor 22
Diberikan $f(x+5) = 2x+17.$ Jika $p$ dan $q$ adalah bilangan prima berbeda sehingga $f(p)+f(q) = 34,$ maka nilai $pq = \cdots \cdot$
A. $13$ C. $21$ E. $31$
B. $17$ D. $29$
Soal Nomor 23
Persamaan kubik $x^3-5x^2+ax+p=0$ memiliki tiga akar bilangan bulat berbeda. Jika $p$ prima, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $-1$ C. $2$ E. $4$
B. $1$ D. $3$
Soal Nomor 24
Misalkan $$S = 8 + 98 + 998 + 9998 + \cdots + \underbrace{999\cdots998}_{2020~\text{digit}}.$$Jumlah digit-digit dari $S$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2013$ D. $2021$
B. $2019$ E. $2030$
C. $2020$
Soal Nomor 25
Bilangan asli $k$ terkecil sehingga $2020!$ tidak habis dibagi oleh $100^k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $185$ C. $201$ E. $264$
B. $199$ D. $252$
Soal Nomor 26
Banyaknya bilangan asli palindrom empat digit yang habis dibagi $8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$ C. $8$ E. $10$
B. $7$ D. $9$
Soal Nomor 27
Jika $m^2+n^2 = 33$ dan $mn=8$ untuk $m + n > 0,$ maka nilai dari $\dfrac{1}{m-2} + \dfrac{1}{n-2} = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac32$ D. $\dfrac34$
B. $-\dfrac34$ E. $\dfrac32$
C. $-\dfrac14$
Soal Nomor 28
Diberikan $\triangle ABC$ siku-siku di $B$ dengan $AB : BC = 1 : 2.$ Lingkaran berdiameter $AB$ dan lingkaran berdiameter $BC$ berpotongan di $B$ dan $D.$ Nilai dari $\dfrac{DC}{DA}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $4$ E. $14$
B. $3$ D. $13$
Soal Nomor 29
Diberikan lingkaran $L_1, L_2, L_3, \cdots, L_{2020}$ terletak sepusat. Jari-jari lingkaran $L_n$ adalah $n$ untuk $1 \le n \le 2020.$ Misalkan $A_i$ menyatakan luas daerah di dalam lingkaran $L_{i + 1},$ tetapi di luar lingkaran $L_i$ untuk $i = 1, 2, 3, \cdots, 2019.$ Banyaknya pasangan $(k, j)$ sehingga $A_k + A_j = 2020\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1001$ D. $2020$
B. $1008$ E. $2038$
C. $2016$
Soal Nomor 30
Pasangan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} \lfloor x \rfloor + 2y & = 7 \\ \lfloor y \rfloor + 2x & = 11 \end{cases}$ adalah $(x, y).$ Nilai $x + y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $5$ E. $8$
B. $3$ D. $6$