Category: SPLDV

Persamaan $4x-12=3\color{red}{xy}$ tidak tergolong sebagai persamaan linear dua variabel karena memuat suku yang merupakan perkalian antara dua variabel berbeda (ditandai dengan warna merah).
(Jawaban C)

Diketahui $2x + 4y = 8$.
Persamaan ini dapat disederhanakan dan diubah bentuknya seperti berikut.
$\begin{aligned} 2x + 4y & = 8 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ x + 2y & = 4 \\ 2y & = 4-x \\ y & = \dfrac{4-x}{2} \end{aligned}$
Jika $x = 0$, maka $y = \dfrac{4-0}{2} = 2$.
Jika $x = 1$, maka $y = \dfrac{4-1}{2} = \dfrac32$.
Jika $x = 2$, maka $y = \dfrac{4-2}{2} = 1$.
Jika $x = 3$, maka $y = \dfrac{4-3}{2} = \dfrac12$.
Jika $x = 4$, maka $y = \dfrac{4-4}{2} = 0$.
Jika $x = 5$, maka $y = \dfrac{4-5}{2} = -\dfrac12$.
Karena $y \in$ bilangan bulat, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{(0, 2), (2, 1), (4, 0)\}.$
(Jawaban D)

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2x-3y & = -13 && (\cdots 1) \\ x+2y & = 4 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-3y & = 13 \\ x + 2y & = 4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x-3y & = -13 \\ 2x+4y & = 8 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -7y & = -21 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 3$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x+2\color{red}{y} & = 4 \\ x+2(3) & = 4 \\ x+6 & = 4 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x=-2$ dan $y=3$.
(Jawaban B)

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} 2x-y & = 7 && (\cdots 1) \\ x+3y& = 14 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x -y & = 7 \\ x + 3y & = 14 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x -3y & = 21 \\ x+3y & = 14 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 35 \\ x & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 5$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} -y & = 7 \\ 2(5) -y & = 7   \\  10 -y & = 7 \\ y & = 3  \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = 3$ sehingga $\boxed{x+2y=5+2(3)=11}.$
(Jawaban C)

Diberikan SPLDV
$\begin{cases} 2x+3y & = 3 && (\cdots 1) \\ 3x-y & = 10 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 3x -y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y & = 3 \\~9x-3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 33 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 3$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} + 3y & = 3 \\ 2(3) + 3y & = 3 \\ 6 + 3y & = 3 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = -1$ sehingga $\boxed{2x-y = 2(3)-(-1) = 7}.$
(Jawaban D)

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} 7x+3y & =-5 && (\cdots 1) \\ 5x+2y & =1 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x+6y & = -10 \\~15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 13$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 7\color{red}{x}+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\boxed{\{(13, -32)\}}.$
(Jawaban A)

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} x- y & = 5 && (\cdots 1) \\ 3x -5y & = 5 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x-3y & = 15 \\~3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x-\color{red}{y} & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\boxed{\{(10, 5)\}}.$
(Jawaban B)

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} & = \dfrac74 && (\cdots 1) \\ \dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} & = \dfrac14 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kedua ruas dikalikan $4$ pada persamaan pertama, sedangkan kedua ruas dikalikan $12$ pada persamaan kedua sehingga kita peroleh
$\begin{cases} 2p + q & = 7 && (\cdots 1) \\ 3p+4q & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+q & = 7 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8p+4q & = 28 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5p & = 25 \\ p & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $p=5$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{p}+q & = 7 \\ 2(5)+q & = 7 \\ 10+q & = 7 \\ q & = -3 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=5$ dan $q=-3.$
(Jawaban B)

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{x+3}{4}-\dfrac{y-2}{3} & = \dfrac{37}{12} && (\cdots 1) \\ \dfrac{x-3}{2}-\dfrac{y+4}{3} & = -\dfrac16 && (\cdots 2) \end{cases}$
Pada Persamaan $(1)$, kalikan $12$ pada kedua ruasnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3(x+3)-4(y-2) & = 37 \\ 3x+9-4y+8 & = 37 \\ 3x-4y+17 & = 37 \\ 3x-4y & = 20 \end{aligned}$
Pada Persamaan $(2)$, kalikan $6$ pada kedua ruasnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3(x-3)-2(y+4) & = -1 \\ 3x-9-2y-8 & = -1 \\ 3x-2y-17 & = -1 \\ 3x-2y & = 16. \end{aligned}$
Kita peroleh SPLDV yang lebih sederhana.
$\begin{cases} 3x-4y & = 20 && (\cdots 1) \\ 3x-2y & = 16 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ pada kedua persamaan di atas sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} -4y-(-2y) & = 20-16 \\ -2y & = 4 \\ y & = -2. \end{aligned}$
Substitusi $y=-2$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x-2\color{red}{y} & = 16 \\ 3x-2(-2) & = 16 \\ 3x+4 & = 16 \\ 3x & = 12 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian) sistem persamaan tersebut adalah $x = 4$ dan $y = -2.$
(Jawaban C)

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2p+3q & = 2 && (\cdots 1) \\ 4p-q & = 18 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+3q & = 2 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4p+6q & = 4 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 7q & = -14 \\ q & = -2. \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $q = -2$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 4p-\color{red}{q} & = 18 \\4p-(-2) & = 18 \\ 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=4$ dan $q=-2$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 5p-2q^2 & =5(4)-2(-2)^2 \\ & =20-8=12. \end{aligned}}$
(Jawaban B)

Sistem persamaan di atas memang bukan termasuk SPLDV, tetapi dapat dibuat sebagai SPLDV dengan melakukan permisalan $x^2 = a$ dan $y^2 = b$ sehingga diperoleh
$\begin{cases} a-2b &= -2 && (\cdots 1) \\ 3a+b & = 57 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b & = -2 \\ 3a+b & = 57 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~a-2b & = -2 \\~6a+2b & = 114 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7a & = 112 \\ a & = 16 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a = 16$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}+b & = 57 \\ 3(16) + b & = 57 \\ b & = 9 \end{aligned}$
Untuk itu, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 2x^2-3y^2 & = 2a-3b \\ & = 2(16)-3(9) \\ &= 32-27=5. \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Misalkan $x = \dfrac{1}{a+b}$ dan $y = \dfrac{1}{a-b}$ sehingga kita peroleh SPLDV
$\begin{cases} 7x+6y & = 3 && (\cdots 1) \\ 7x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kita akan mencari nilai dari $a^2-b^2=(a+b)(a-b) = \dfrac{1}{xy}$, yang mengharuskan kita untuk mencari masing-masing nilai $x$ dan $y$ terlebih dahulu.
Dari SPLDV di atas, kita dapat langsung mengeliminasi $x$ dengan mengurangkan kedua persamaan.
$\begin{aligned} (7x+6y)-(7x-3y) & = 3-0 \\ 9y & = 3 \\ y & = \dfrac13 \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac13$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 7x-3\color{red}{y} & = 0 \\ 7x-3\left(\dfrac13\right) & = 0 \\ 7x-1 & = 0 \\ x & = \dfrac17 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita akan peroleh $\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{\frac17 \cdot \frac13} = 21$. Jadi, nilai dari $\boxed{a^2-b^2=21}.$
(Jawaban C)

Kita akan menentukan dua persamaan garis yang ada pada gambar di atas.
Garis pertama melalui titik $(2, 0)$ dan $(0, 4)$. Karena kita tahu koordinat titik potong terhadap sumbu koordinat, kita akan lebih mudah menentukan persamaan garisnya.
Persamaan garis pertama adalah $2x + y = 4$.
Garis kedua melalui titik $(-3, 0)$ dan $(1, 2)$. Untuk mencari persamaan garisnya, bisa menggunakan cara kece berikut.
Persamaan garis kedua adalah $x-2y=-3.$
Jadi, titik $(1, 2)$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $x-2y=-3$ dan $2x+y=4.$
(Jawaban D)

Misalkan bilangan cacah itu adalah $a$ dan $b$ dengan $a > b$ sehingga diperoleh SPLDV
$\begin{cases} a+b & = 27 && (\cdots 1) \\ a-b & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan keduanya dan kita peroleh $2a = 30$, berarti $a = 15$, dan $b = 12$.
Hasil kali $a$ dan $b$ adalah $ab = 15(12) = 180$.
Jadi, hasil kali dua bilangan tersebut adalah $\boxed{180}.$
(Jawaban C)

Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, kita tulis $5a + 2b = 26.000.$
Harga $3$ pensil dan $4$ buku adalah Rp38.000,00, kita tulis $3a + 4b = 38.000.$
Jadi, SPLDV yang sesuai adalah
$\begin{cases} 5a+2b=26.000 \\ 3a+4b=38.000 \end{cases}$ 
(Jawaban B)

Misalkan $x$ = harga $1$ buku tulis dan $y$ = harga $1$ pensil sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 && (\cdots 1) \\ 3x + 2y & = 9.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3.4 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli $1$ buku tulis dan $1$ pensil.
(Jawaban D) 

Misalkan umur Amar = $A$ dan umur Bondan = $B$.
Kita peroleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} A & = \dfrac23B && (\cdots 1) \\ (A+6)+(B+6) & = 42 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi Persamaan $(1)$ pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{A}+6)+(B+6) & = 42 \\ \dfrac23B+6+B+6 & = 42 \\ \dfrac53B & = 30 \\ B & = 30 \times \dfrac35 = 18 \end{aligned}$
Umur Bondan saat ini $18$ tahun, berarti umur Amar sekarang adalah $\dfrac23(18) = 12$ tahun.
Selisih umur mereka berdua adalah $\boxed{18-12=6~\text{tahun}}.$
(Jawaban D)

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 5x + 30y & = 410.000 && (\cdots 1) \\ 2x + 60y & = 740.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+30y & = 410.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 10x+60y & = 820.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 8x & = 80.000 \\ x & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 5\color{red}{x} +30y & = 410.000 \\ 5(10.000) + 30y & = 410.000 \\ 50.000 + 30y & = 410.000 \\ 30y & = 360.000 \\ y & = 12.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp10.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp12.000,00.
Dengan demikian, harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah
$2 \times 10.000 + 5 \times 12.000 =$ $\boxed{\text{Rp}80.000,00}.$
(Jawaban B) 

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 && (\cdots 1) \\ 3x + 3y & = 33.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\  \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp5.000,00.
(Jawaban A)

Diketahui keliling persegi panjang 58 meter, berarti ditulis
$2(p + l) = 58 \Leftrightarrow p + l = 29.$
Diketahui juga bahwa selisih panjang dan lebar 9 meter, berarti ditulis $p -l = 9.$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} p + l  &= 29 && (\cdots 1) \\ p -l & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $l$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2).$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} p + l & = 29 \\ p -l& = 9 \end{aligned} \\ \rule{2.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2p & = 38 \\ p & = 19 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $p=19$, diperoleh $19-l = 9$, yang berarti $l = 10$. 
Jadi, luasnya adalah $\boxed{L = pl = 19(10) = 190~\text{m}^2}.$ 
(Jawaban B)

Misalkan $x =$ harga satu kaleng kue nastar dan $y =$ harga satu kaleng kue keju. Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x & = 2y \\ 3x + 2y & = 480.000 \end{cases}$ 
Substitusi $2y = x$ pada persamaan $2$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} 3x + \color{red}{x} & = 480.000 \\ 4x & = 480.000 \\ x & = 120.000 \end{aligned}$
Ini berarti, $y = \dfrac{1}{2} \cdot 120.000 = 60.000$ 
Harga $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah
$\begin{aligned} 2x + 3y & = 2(120.000) + 3(60.000) \\ & = 240.000 + 180.000 \\ & = 420.000 \end{aligned}$
Jadi, uang yang harus dibayar Sukardi adalah Rp420.000,00.
(Jawaban B)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen sehingga terbentuk SPLDV
$\begin{cases} 10x + 4y & = 36.000 && (\cdots 1) \\ 5x + 8y & = 27.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 10x + 4y & = 36.000 \\ 5x + 8y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5x+2y & = 18.000 \\~5x+8y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 6y & = 9.000 \\ y & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1.500$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 5x + 2\color{red}{y} & = 18.000 \\ 5x + 2(1.500) & = 18.000 \\ 5x + 3.000 & = 18.000 \\ 5x & = 15.000 \\ x & = 3.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp3.000,00 dan Rp1.500,00.
(Jawaban D)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga 1 buku tulis 10’s dan 1 pensil sehingga terbentuk SPLDV
$\begin{cases} 2x + 3y & = 80.000 && (\cdots 1) \\ x + y & = 35.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 80.000 \\ x + y & = 35.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x + 3y & = 80.000 \\~2x + 2y & = 70.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 10.000  \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x + \color{red}{y} & = 35.000 \\ x + 10.000 & = 35.000 \\ x & = 25.000  \end{aligned}$
Ini berarti, harga $1$ buku tulis 10’s dan $1$ pensil berturut-turut adalah Rp25.000,00 dan Rp10.000,00.
Cek alternatif jawaban:

1. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
   $\begin{aligned} 4x + 6y & = 4(25.000) + 6(10.000) \\ & = 160.000 \end{aligned}$
2. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B
   $\begin{aligned} 6x + 4y & = 6(25.000) + 4(10.000) \\ & = 190.000 \end{aligned}$
   (kelebihan)
3. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
   $\begin{aligned} 10x + 6y & = 10(25.000) + 6(10.000) \\ & = 310.000 \end{aligned}$
   (kelebihan)
4. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B
   $\begin{aligned} 6x + 8y & = 6(25.000) + 8(10.000) \\ & = 230.000 \end{aligned}$
   (kelebihan)
   (Jawaban A)  
   [collapse]

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen sehingga terbentuk SPLDV
$\begin{cases} 3x + 5y & = 43.000 && (\cdots 1) \\ 4x + 2y & = 34.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x + 5y & = 43.000 \\ 4x + 2y & = 34.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 6x + 10y & = 86.000 \\~20x + 10y & = 170.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 14x & = 84.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 3\color{red}{x} + 5y & = 43.000 \\ 3(6.000) + 5y & = 43.000 \\ 18.000 + 5y & = 43.000 \\ 5y & = 25.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Ini berarti, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
Karena Roy membeli $5$ buku tulis dan $7$ pulpen, diperoleh
$\begin{aligned} 5x + 7y & = 5(6.000) + 7(5.000) \\ & = 30.000 + 35.000 = 65.000. \end{aligned}$
Jadi, uang yang harus dibayar Roy sebesar Rp65.000,00.
(Jawaban A) 

Misalkan banyaknya uang adik disimbolkan $x$ dan banyaknya uang kakak disimbolkan $y$ sehingga diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x -y & = 10.000 && (\cdots 1) \\ x + 2y & = 40.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + 2y & = 40.000 \\ x -y & = 10.000 \end{aligned} \\ \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3y & = 30.000 \\ y & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$ 
Untuk $y=10.000$, diperoleh $x = 10.000 + 10.000$, yang berarti $x = 20.000.$
Jumlah uang mereka berdua kita tulis
$\boxed{x+y=20.000+10.000=30.000}.$
Jadi, jumlah uang mereka berdua adalah Rp30.000,00.
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 6x+2y & = 12 \\ 3x+y & = 6 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times \frac12 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+y & = 6 \\ 3x+y & = 6 \end{aligned} \end{aligned}$
Sistem tersebut memiliki dua persamaan yang sebenarnya ekuivalen (sama). Ini berarti, sistem tersebut mengandung dua variabel dalam persamaan tunggal sehingga ada $\infty$ (takhingga) banyaknya penyelesaian.
(Jawaban D)

Karena $x=2$ dan $y=1$ merupakan penyelesaian dari SPLDV di atas, substitusi menghasilkan
$\begin{cases} 2a-b = 6 \\ 4a+3b=2 \end{cases}$
Akan ditentukan nilai $b$ dengan menggunakan metode eliminasi.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a-b & = 6 \\ 4a+3b & = 2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a-2b & = 12 \\ 4a+3b & = 2 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.8pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5b & = 10 \\ b & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b=-2$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $2a-b=6$ sehingga diperoleh
$2a-(-2)=6 \Leftrightarrow 2a=4 \Leftrightarrow a = 2$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a^2+b^2=(2)^2+(-2)^2=4+4=8}.$
(Jawaban D)

Misalkan
$\begin{aligned} x & = \text{banyak siswa} \\ y & = \text{banyak komputer}. \end{aligned}$
Berdasarkan kalimat kedua soal, kita dapat membentuk model matematika berupa SPLDV.
$\begin{cases} x & = 2y + 3 && (\cdots 1) \\ x & = 3(y -4) = 3y -12 && (\cdots 2)\end{cases}$
Substitusi nilai $x$ dari salah satu persamaan ke persamaan yang lain sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2y + 3 & = 3y-12 \\ 3y-2y & = 12+3 \\ y & = 15 \end{aligned}$
Jadi, banyak komputer di sekolah ABC adalah $\boxed{15~\text{unit}}.$
(Jawaban C)

Misalkan $S$ dan $K$ berturut-turut mewakili banyak siswa dan banyak kamar yang ada di asrama. Berdasarkan informasi yang diberikan, diperoleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} S & = 2K + 12 && (\cdots 1) \\ S & = 3(K-2) = 3K-6 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi nilai $S$ dari salah satu persamaan pada persamaan yang lain sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2K+12 & = 3K-6 \\ 3K-2K & = 6+12 \\ K & = 18 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{18}$ kamar di asrama sekolah tersebut.
(Jawaban B)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut mewakili banyak kursi dan banyak ruang kelas. Dari informasi yang diberikan, kita dapat membuat model matematika berupa SPLDV berikut.
$\begin{cases} x & = 36y + 96 && (\cdots 1) \\ x & = 42y-48 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kurangi kedua persamaan tersebut dan diperoleh
$\begin{aligned} 6y-144 & = 0 \\ 6y & = 144 \\ y & = \dfrac{144}{6} = 24 \end{aligned}$
Jadi, banyak ruang kelas di sekolah tersebut adalah $\boxed{24}.$
(Jawaban B)

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} 2R_1+3R_2 & = 8 && (\cdots 1) \\ R_1-3R_2& = 1 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $R_2$ dari kedua persamaan di atas.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2R_1+3R_2 & = 8 \\ R_1-3R_2 & = 1 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3R_1 & = 9 \\ R_1 & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $R_1 = 3~\Omega$ pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \color{red}{R_1}-3R_2 & = 1 \\ 3-3R_2 & = 1 \\ -3R_2 & = -2 \\ R_2 & = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $R_1$ dan $R_2$ berturut-turut adalah $3~\Omega$ dan $\dfrac23 ~\Omega$.
(Jawaban B)

Diketahui
$\begin{cases} mx+3y & = 21 && (\cdots 1) \\ 4x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Pada Persamaan $(2)$, diperoleh
$-3y = -4x \Leftrightarrow y = \dfrac43x.$
Agar $y$ bulat, $x$ harus habis dibagi $3$.
Substitusi $y = \dfrac43x$ pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} mx+3\color{red}{y} & = 21 \\ mx + \cancel{3}\left(\dfrac{4}{\cancel{3}}x\right) & = 21 \\ mx + 4x & = 21 \\ (m+4)x & = 21 \end{aligned}$
Bentuk $(m+4)x$ dapat dianggap sebagai perkalian dua bilangan bulat yang menghasilkan $21$. Faktor dari $21$ adalah $1, 3, 7$, dan $21$ (hanya $3$ dan $21$ yang mungkin untuk menjadi nilai $x$ karena keduanya habis dibagi $3$).
Misalkan diambil $x = 3$. Akibatnya, $m = 3$ dan $y = 4$ sehingga $\boxed{m+x+y = 3+3+4 = 10}.$ Misalkan diambil $x = 21$. Akibatnya, $m = -3$ dan $y = 28$ sehingga
$\boxed{m+x+y = -3+21+28 = 46}.$
Jadi, nilai $m+x+y$ yang mungkin adalah $10$ atau $46.$
(Jawaban C)

Diketahui
$\begin{cases} (a+3)x + y & = 0 && (\cdots 1) \\ x + (a+3)y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dua ruas pada Persamaan $(2)$ dikali dengan $(a+3)$ menghasilkan
$(a+3)x + (a+3)^2y = 0~~~~~(\cdots 3)$.
Kurangi $(1)$ dan $(3)$, lalu selesaikan untuk mencari nilai $a$.
$\begin{aligned} y-(a+3)^2y & = 0 \\ y(1-(a+3)^2) & = 0 \\ 1-(a+3)^2 & = 0 && (\text{Bagi}~y) \\ 1-(a^2+6a+9) & = 0 \\ a^2+6a+8 & = 0 \\ (a+4)(a+2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a=-4$ atau $a=-2$.
Substitusi $a=-4$ dan $a=-2$ pada bentuk $a^2+6a+17$.
$$\begin{aligned} a = -4 & \Rightarrow (-4)^2 + 6(-4) + 17 = 9 \\ a = -2 & \Rightarrow (-2)^2 + 6(-2) + 17 = 9 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+6a+17 = 9}.$
(Jawaban D)

Misalkan $L$ dan $N$ berturut-turut menyatakan upah saat hari lembur dan upah saat hari normal.
Pak Dede bekerja selama $6$ hari dengan $4$ hari di antaranya lembur ($2$ hari sisanya normal) dan ia mendapat upah Rp74.000,00. Secara matematis, ditulis $\boxed{4L + 2N = 74.000}.$
Pak Asep bekerja selama $5$ hari dengan $2$ hari di antaranya lembur ($3$ hari sisanya normal) dan ia mendapat upah Rp55.000,00. Secara matematis, ditulis $\boxed{2L + 3N = 55.000}.$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} 4L + 2N & = 74.000 && (\cdots 1) \\ 2L+3N & = 55.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Persamaan $(1)$ dapat disederhanakan menjadi $2L + N = 37.000$.
Akan dicari nilai dari $L$ dengan mengeliminasi $N$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2L + N & = 37.000 \\ 2L+3N & = 55.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6L + 3N & = 111.000 \\~2L + 3N & = 55.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4L & = 56.000 \\ L & = 14.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, upah untuk satu hari lembur adalah Rp14.000,00.
Diketahui bahwa Pak Dian bekerja selama $4$ hari dan seluruhnya lembur. Upah yang diterimanya adalah
$\boxed{4L = 4(14.000) = \text{Rp}56.000,00}.$
(Jawaban C)

Misalkan larutan pertama dibutuhkan sebanyak $A$ liter dan larutan kedua dibutuhkan sebanyak $B$ liter.
Jumlah larutan secara keseluruhan adalah $8$ liter. Secara matematis, ditulis $\boxed{A+B = 8}.$
Larutan pertama mempunyai kadar asam $25\%$ dan larutan kedua mengandung $65\%$ asam. Campuran keduanya menghasilkan $8$ liter larutan baru dengan kadar asam $40\%$. Secara matematis, ditulis
$25\%A + 65\%B = 40\% \cdot 8.$
Sederhanakan menjadi $\boxed{5A + 13B = 64}.$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} A+B & = 8 && (\cdots 1) \\ 5A +13B & = 64 && (\cdots 2) \end{cases}$
Persamaan $(1)$ ekuivalen dengan $A=8-B$.
Substitusi $A=8-B$ pada Persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 5\color{red}{A} +13B &= 64 \\ \Rightarrow 5(8-B)+13B & = 64 \\ 40-5B+13B & = 64 \\ 8B & = 24 \\ B & = 3 \end{aligned}$
Substitusi $B = 3$ pada Persamaan $(1).$
$\begin{aligned} A+\color{red}{B} & =8 \\ A+3 & = 8 \\ A & = 5 \end{aligned}$
Jadi, dibutuhkan larutan pertama sebanyak $5$ liter dan larutan kedua sebanyak $3$ liter.
(Jawaban A)

Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kecepatan Elvand saat mendayung dan kecepatan arus sungai dalam satuan km/jam.
Dengan demikian, dapat dibuat SPLDV
$\begin{cases} 2A+2B & = 9 && (\cdots 1) \\ 6A-6B & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Persamaan $(2)$ dapat disederhanakan menjadi $2A-2B = 3$.
Eliminasi $A$ dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2A+2B & = 9 \\ 2A-2B & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4A & = 12 \\ A & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, kecepatan Elvand mendayung adalah $3$ km/jam.
(Jawaban D)

SPLDV $\begin{cases} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x+b_2y & = c_2 \end{cases}$ memiliki takhingga banyaknya penyelesaian jika $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}.$
Pemenuhan Persamaan Pertama:
$\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_2} & = \dfrac{b_1}{b_2} \\ \dfrac{p+1}{3p-1} & = \dfrac{3p-2}{4p+2} \\ (p+1)(4p+2) & = (3p-1)(3p-2) \\ 4p^2+6p+2 & = 9p^2-9p+2 \\ 5p^2-15p & = 0 \\ 5p(p-3) & = 0 \\ p = 0 &~\text{atau}~p=3 \end{aligned}$
Pemenuhan Persamaan Kedua:
$\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_2} & = \dfrac{c_1}{c_2} \\ \dfrac{p+1}{3p-1} & = \dfrac{\cancel{p}}{2\cancel{p}} \\ (p+1)(2) & = 3p-1 \\ 2p+2 & = 3p-1 \\ p & = 3 \end{aligned}$
Jelas bahwa $p=3$ akan mengakibatkan SPLDV di atas memiliki takhingga banyaknya penyelesaian. Sekarang, uji $p = 0$.
$\begin{cases} (0+1)x+(3(0)-2)y & = 0 \\ (3(0)-1)x + (4(0)+2)y & = 2(0) \end{cases}$
Sederhanakan menjadi
$\begin{cases} x-2y & = 0 && (1) \\ -x+2y & = 0 && (2) \end{cases}$
Tampak bahwa Persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen sehingga akan ada takhingga banyaknya penyelesaian untuknya.
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=0$ atau $p=3$.
(Jawaban D)

Diberikan sistem persamaan linear
$\begin{cases} 3x+2y & = 12 && (\cdots 1) \\ 2x-y & = 1 && (\cdots 2) \\ kx + 2y & = 16 && (\cdots 3) \end{cases}$
Selesaikan persamaan $1$ dan $2$, artinya mencari nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+2y & = 12 \\ 2x-y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+2y & = 12 \\~4x-2y & = 2 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 14\\ x & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $x = 2$, kita substitusikan pada persamaan $2$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 2(\color{red}{2})-y & = 1 \\ 4-y & = 1 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Kita peroleh $(x, y) = (2, 3)$ merupakan penyelesaian untuk Persamaan $1$ dan $2$, artinya agar sistem persamaan tersebut memiliki penyelesaian, Persamaan $3$ juga harus memiliki penyelesaian serupa, yakni $(2, 3)$.
$\begin{aligned} kx+2y & = 16 \\ \Rightarrow k(2) + 2(3) & = 16 \\ 2k + 6 & = 16 \\ 2k & = 10 \\ k & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ sama dengan $\boxed{5}.$
(Jawaban E)

Diketahui $$\begin{cases} kx + y & = 1 && (\cdots 1) \\ 4x + ky & = 2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Pertama, samakan dulu konstanta di ruas kanan. Kalikan kedua ruas pada Persamaan $(1)$ dengan $2$ sehingga didapat
$$\begin{cases} 2kx + 2y & = 2 && (\cdots 1) \\ 4x + ky & = 2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Agar memiliki takhingga banyaknya solusi, koefisien $x$ dan $y$ perlu disamakan sehingga berlaku
$$\begin{cases} 2k & = 4 \\ 2 & = k \end{cases}$$Jelas bahwa $k = 2$ memenuhi.
Jadi, hanya ada $\boxed{1}$ nilai $k$ yang mungkin.
(Jawaban B)

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} \dfrac13(x-5)+\dfrac34(y+2) &=-2\dfrac12&& (\cdots 1) \\ \dfrac12(2x+3)-\dfrac23(2y+1) & = 8\dfrac16 && (\cdots 2) \end{cases}$$Sederhanakan Persamaan $(1)$ terlebih dahulu dengan mengalikan kedua ruas dengan $12$.
$$\begin{aligned} \dfrac13(x-5)+\dfrac34(y+2) &=-2\dfrac12 && (\times 12) \\ 4(x-5)+9(y+2) & = -30 \\ 4x-20+9y+18 & = -30 \\ 4x+9y-2 & = -30 \\ 4x+9y & = -28 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Sederhanakan juga Persamaan $(2)$ dengan mengalikan kedua ruas dengan $6$.
$$\begin{aligned} \dfrac12(2x+3)-\dfrac23(2y+1) & = 8\dfrac16 && (\times 6) \\ 3(2x+3)-4(2y+1) & = 49 \\ 6x+9-8y-4 & = 49 \\ 6x-8y+5 & = 49 \\ 6x-8y & = 44 \\ 3x-4y & = 22 && (\cdots 4) \end{aligned}$$Sekarang, dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+9y & = -28 \\ 3x-4y & = 22 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12x+27y & = -84 \\ 12x-16y & = 88 \end{aligned} \\ & \rule{3.4cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 43y & = -172 \\ y & = -4 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = -4$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} 3x-4\color{red}{y}& = 22 \\ 3x-4(-4) & = 22 \\ 3x+16 & = 22 \\ 3x & = 6 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\boxed{(2, -4)}.$
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y} & = 1\dfrac15 \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{y} & = -\dfrac{1}{10} \end{cases}$
Misalkan $a = \dfrac{1}{x}$ dan $b = \dfrac{1}{y}$ sehingga kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{aligned} 2a + b & = \dfrac65 && (\cdots 1) \\ a-3b & = -\dfrac{1}{10} && (\cdots 2) \end{aligned}$
Sekarang, dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+b & = \frac65 \\ a-3b & = -\frac{1}{10} \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a+b & = \frac65 \\ 2a-6b & = -\frac15 \end{aligned} \\ & \rule{3.2cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 7b & = \frac75 \\ b & = \frac15 \end{aligned} \end{aligned}$
Karena $b = \dfrac{1}{y}$, itu berarti $y = 5$.
Substitusi $y = 5$ pada salah satu persamaan $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac65$.
$\begin{aligned} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{5} & = \dfrac65 \\ \dfrac{2}{x} & = 1 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\boxed{(2, 5)}.$

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan berat botol dan berat air yang ditampung botol tersebut hingga penuh. Dengan demikian, dapat dibuat SPLDV berikut.
$$\begin{cases} x + y & = 1.500 && (1) \\ x + \dfrac12y & = 900 && (2) \end{cases}$$Eliminasi $x$ dengan mengurangkan Persamaan $(1)$ dengan Persamaan $(2)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} x-\dfrac12y & = 1.500-900 \\ \dfrac12y & = 600 \\ y & = 1.200. \end{aligned}$$Ini berarti, berat air yang ditampung botol hingga penuh adalah $1.200$ gram. Akibatnya, berat botol itu sendiri adalah $1.500-1.200 = 300$ gram.
Jadi, berat botol tersebut (tanpa diisi air) adalah $\boxed{300~\text{gram}}.$

Jawaban a)
Misalkan uang Ali = $A$ dan uang Hadi = $H$. Kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{cases} \dfrac12A + H & = 60.000 && (\cdots 1) \\ \dfrac23A-\dfrac13H & = 20.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} \frac12A+H & = 60.000 \\ \frac23A-\frac13H & = 20.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~\frac12A+H & = 60.000 \\ 2A-H & = 60.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \dfrac52A & = 120.000 \\ A & = 48.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $A = 48.000$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \dfrac12\color{red}{A} + H & = 60.000 \\ \dfrac12(48.000)+H & = 60.000 \\ 24.000+H & = 60.000 \\ H & = 36.000 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah $A = 48.000$ dan $H = 36.000$.
Jawaban b)
Uang Ali dan uang Hadi masing-masing adalah Rp48.000,00 dan Rp36.000,00 sehingga jumlah uang mereka berdua adalah Rp84.000,00.

Pada persegi panjang, kedua sisi yang berhadapan memiliki panjang yang sama sehingga kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{cases} x + 3y & = 7 && (\cdots 1) \\ 2x+y & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+3y & = 7 \\ 2x+y & = 9 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+6y & = 14 \\ 2x+y & = 9 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 5 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 1$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x+3\color{red}{y} & = 7 \\ x+3(1) & = 7 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x = 4$ dan $y = 1$.

Misalkan banyak permen = $p$ dan banyak siswa = $s$.
Jika tiap siswa mendapat $2$ permen, maka akan tersisa $4$ permen sehingga kita tuliskan $p = 2s + 4.$
Jika tiap siswa mendapat $3$ permen, maka akan ada $2$ siswa yang tidak mendapat permen sama sekali dan $1$ siswa lainnya hanya mendapat $2$ permen. Ini berarti, jumlah permennya sama dengan $3$ kali dari jumlah siswa, tetapi dikurangi dengan $6$ (karena $2$ siswa tadi harusnya mendapat total $6$ permen), lalu dikurangi lagi dengan $1$ (karena $1$ siswa lainnya kekurangan $1$ permen). Kita tulis, $p = 3s-6-1 = 3s-7.$
Jadi, sistem persamaan linear dari masalah di atas adalah
$\boxed{\begin{cases} p & = 2s + 4 \\ p & = 3s-7 \end{cases}}$

Diketahui berat tabung = $50$ gram. Misalkan $A, B$ berturut-turut adalah berat logam $A$ dan berat logam $B$.
Kondisi pertama:
Dimasukkan material $X$, sehingga berat tabung menjadi $70$ gram, artinya berat material $X$ sama dengan $70-50 = 20$ gram. Karena material $X$ terdiri dari campuran logam $A$ dan logam $B$ dengan perbandingan $1 : 2$, diperoleh persamaan $$2A + B = 20~~~~(\cdots 1)$$Kondisi kedua:
Dimasukkan material $Y$ sehingga berat tabung menjadi $75$ gram, artinya berat material $Y$ sama dengan $75-50 = 25$ gram. Karena material $Y$ terdiri dari campuran logam $A$ dan logam $B$ dengan perbandingan $2 : 1$, diperoleh persamaan $$A + 2B = 25~~~~(\cdots 2)$$Dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita eliminasi variabel $B$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2A+B & = 20 \\ A+2B & = 25 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4A + 2B & = 40 \\~A + 2B & = 25 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.9pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3A & = 15 \\ A & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi nilai $A = 5$ yang didapat pada Persamaan $1$.
$$\begin{aligned} 2\color{red}{A} + B & = 20 \\ 2(5) + B & = 20 \\ B & = 10 \end{aligned}$$Jadi, berat logam $A$ dan logam $B$ berturut-turut adalah $5$ gram dan $10$ gram.
Berat material $Z$ yang mengandung logam $A$ dan logam $B$ dengan perbandingan $1 : 1$ adalah $5 + 10 = 15$ gram sehingga berat tabung menjadi $\boxed{50 + 15 = 65}.$ gram.