Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Lantai dan Fungsi Atap

Fungsi Lantai dan Fungsi Atap

Dalam matematika, fungsi (pemetaan) adalah suatu aturan yang memasangkan satu anggota himpunan ke tepat satu anggota himpunan yang lain. Pada proses pengembangannya, fungsi dapat dikategorikan menjadi berbagai macam jenis. Setiap jenis fungsi tersebut memiliki keunikan tersendiri yang dapat dianalisis secara matematis sehingga dapat diaplikasikan dalam pengembangan ilmu pengetahuan untuk hajat hidup orang banyak.

Dalam matematika, terdapat dua fungsi yang menjadi dasar bagi banyak konsep dan aplikasi dalam berbagai disiplin ilmu, yaitu fungsi lantai (floor function) dan fungsi atap (ceiling function). Kedua fungsi tersebut merupakan fungsi diskret yang memiliki peran penting dalam pemodelan, kalkulasi, dan analisis data. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar terkait fungsi lantai dan fungsi atap, dimulai dari definisi, sifat, dan kemudian diikuti oleh sejumlah contoh soal dan pembahasan yang berkaitan dengan kedua fungsi tersebut.

Definisi: Fungsi Lantai

Suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi lantai (floor function), atau kadang disebut fungsi bilangan bulat terbesar (greatest integer function), dinotasikan oleh $f(x) = \lfloor x \rfloor = \text{floor}(x),$ jika fungsi tersebut memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $x.$ Secara matematis, dapat ditulis
$$\lfloor x \rfloor = \text{maks}\{m \in \mathbb{Z} \mid m \le x\}.$$

Sebagai contoh, $\lfloor 3,\!14 \rfloor = 3$ karena $3$ merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada $3,\!14.$ Sementara itu, $\left \lfloor -\dfrac{12}{5} \right \rfloor = 2$ karena $-3$ merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada $-\dfrac{12}{5}.$ Lebih lanjut, $\lfloor -3 \rfloor = -3$ karena $-3$ sendiri merupakan bilangan bulat.

Teorema: Sifat Fungsi Lantai

Misalkan $x$ merupakan bilangan real dan $n$ merupakan bilangan bulat.

  1. $\lfloor x \rfloor = x$ jika $x$ bulat.
  2. $x-1 < \lfloor x \rfloor \le x.$
  3. $\lfloor x \rfloor = n \Leftrightarrow n \le x < n+1.$
  4. $\lfloor x \rfloor < n \Leftrightarrow x < n.$
  5. $n \le \lfloor x \rfloor \Leftrightarrow n \le x.$
  6. $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.$
  7. $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor.$
  8. $\lfloor xy \rfloor \le \lfloor x \rfloor \cdot \lfloor y \rfloor.$

Secara sederhana, peran fungsi lantai dapat dijelaskan sebagai berikut.

  1. Pembulatan: Fungsi lantai digunakan untuk membulatkan bilangan real ke bilangan bulat terdekat ke bawah. Ini sangat berguna dalam situasi-situasi ketika bilangan bulat diperlukan, seperti dalam pemodelan atau perhitungan diskret yang sering muncul dalam kombinatorika.
  2. Fungsi sepenggal (piecewise function): Fungsi lantai digunakan dalam definisi fungsi sepenggal (fungsi yang terdiri dari beberapa bagian berbeda berdasarkan perbedaan selang/interval).
  3. Teori graf: Fungsi lantai dapat digunakan dalam teori graf untuk menghitung jumlah simpul tertentu dalam graf berdasarkan parameter yang diberikan.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Sepenggal 

Definisi: Fungsi Atap

Suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), atau kadang disebut fungsi bilangan bulat terkecil (least integer function), dinotasikan oleh $f(x) = \lceil x \rceil = \text{ceil}(x),$ jika fungsi tersebut memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x.$ Secara matematis, dapat ditulis
$$\lceil x \rceil = \text{min}\{m \in \mathbb{Z} \mid m \ge x\}.$$

Sebagai contoh, $\lceil 5,\!59 \rceil = 6$ karena $6$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada $5,\!59.$ Sementara itu, $\left \lceil -\dfrac{14}{3} \right \rceil = -4$ karena $-4$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada $-\dfrac{14}{3}.$ Lebih lanjut, $\lceil 5 \rceil = 5$ karena $5$ sendiri merupakan bilangan bulat.

Teorema: Sifat Fungsi Atap

Misalkan $x$ merupakan bilangan real dan $n$ merupakan bilangan bulat.

  1. $\lceil x \rceil = x$ jika $x$ bulat.
  2. $x \le \lceil x \rceil < x+1.$
  3. $\lceil x \rceil = n \Leftrightarrow n-1 < x \le n.$
  4. $n < \lceil x \rceil \Leftrightarrow n < x.$
  5. $\lceil x \rceil \le n \Leftrightarrow x \le n.$
  6. $\lceil x + n \rceil = \lceil x \rceil + n.$
  7. $\lceil x \rceil + \lceil y \rceil \ge \lceil x+y \rceil.$
  8. $\lceil xy \rceil \ge \lceil x \rceil \cdot \lceil y \rceil.$

Secara sederhana, peran fungsi atap dapat dijelaskan sebagai berikut.

  1. Pembulatan: Fungsi atap digunakan untuk membulatkan bilangan real ke bilangan bulat terdekat ke atas. Serupa dengan fungsi lantai, pembulatan ke atas juga kerap kali diperlukan dalam perhitungan diskret dalam kombinatorika.
  2. Fungsi sepenggal: Fungsi atap juga digunakan dalam definisi fungsi sepenggal untuk memastikan bahwa fungsi yang didefinisikan mendekati nilai tertentu dari atas.
  3. Pemodelan diskret: Dalam pemodelan matematika dan ilmu komputer, fungsi atap sering digunakan untuk mendekati data yang hanya dapat mengambil nilai diskret.

Definisi dan sifat fungsi lantai dan fungsi atap di atas secara gamblang menunjukkan bahwa kedua fungsi tersebut memiliki makna yang saling berlawanan. Meskipun begitu, kedua fungsi tersebut memiliki keterkaitan satu sama lain. Dengan kata lain, ada beberapa sifat penting yang perlu diketahui terkait hubungan fungsi lantai dan fungsi atap yang akan dijelaskan sebagai berikut.

Hubungan Fungsi Lantai dan Fungsi Atap

 Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Dengan demikian, berlaku hubungan berikut.

  1. $x-1 < \lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil < x + 1.$
  2. $-\lfloor x \rfloor = \lceil -x \rceil.$
  3. $\lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil.$
  4. $\lceil x \rceil-\lfloor x \rfloor = 0$ jika $x$ bulat.
  5. $\lceil x \rceil-\lfloor x \rfloor = 1$ jika $x$ takbulat.

Selanjutnya, ketika membahas fungsi lantai dan fungsi atap, kita akan menemukan terminologi baru, yaitu bagian pecahan dan bagian bulat. Bagian pecahan (fractional part) dari suatu bilangan real $x,$ dinotasikan oleh $\{x\},$ adalah selisih antara $x$ dan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x,$ yaitu $\lfloor x \rfloor.$ Secara matematis, dapat ditulis $\{x\} = x-\lfloor x \rfloor.$

Karena $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1,$ haruslah berlaku $0 \le \{x\} = x-\lfloor x \rfloor < 1$ untuk setiap bilangan real $x.$ Bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi $x$ disebut sebagai bagian bulat (integral part) dari $x$ karena $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}.$

Sebagai contoh, bagian pecahan dari $\dfrac54$ adalah $$\dfrac54-\left\lfloor \dfrac54 \right\rfloor = \dfrac54-1=\dfrac14.$$Dengan kata lain, dapat ditulis $\left\{\dfrac54\right\} = \dfrac14.$ Dalam kasus ini juga, $1$ merupakan bagian bulat dari $\dfrac54$ karena $1$ merupakan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi $\dfrac54.$

Paket Soal Premium

Untuk mendapatkan paket soal premium dalam bentuk file PDF dari situs web mathcyber1997.com, silakan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal.

Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Elementary Number Theory & Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Fungsi Lantai} & \text{Floor Function} \\ 2. & \text{Fungsi Atap} & \text{Ceiling Function} \\ 3. & \text{Bagian Bulat} & \text{Integer Part} \\ 4. & \text{Bagian Pecahan} & \text{Fractional Part} \\ 5. & \text{Fungsi Sepenggal} & \text{Piecewise Function} \\ \hline \end{array}$$


Today Quote

The goal of life is living in agreement with nature.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Misalkan $f(x) = 3x + \lfloor x-0,\!5 \rfloor$ dan $g(x) = -3x + \lceil x + 0,\!3 \rceil.$ Pernyataan berikut ini yang tepat terkait kedua fungsi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $f(2) < g(2)$
B. $f(0) = g(0)$
C. $f(-1) > g(-1)$
D. $f(3) + g(3) = 6$
E. $f(-1)-g(4) < 0$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3x + \lfloor x-0,\!5 \rfloor$ dan $g(x) = -3x + \lceil x + 0,\!3 \rceil.$
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa $$f(2) = 3(2) + \lfloor 2-0,\!5 \rfloor = 6 + 1 = 7,$$sedangkan $$g(2) = -3(2) + \lceil 2 + 0,\!3 \rceil = -6 + 3 = -3.$$Jadi, jelas bahwa $f(2) > g(2).$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi A tidak tepat.
Cek opsi B:
Perhatikan bahwa $$f(0) = 3(0) + \lfloor 0-0,\!5 \rfloor = 0 + (-1) = -1,$$sedangkan $$g(0) = -3(0) + \lceil 0 + 0,\!3 \rceil = 0 + 1 = 1.$$Jadi, jelas bahwa $f(0) \ne g(0).$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi B tidak tepat.
Cek opsi C:
Perhatikan bahwa $$f(-1) = 3(-1) + \lfloor -1-0,\!5 \rfloor = -3 + (-2) = -5,$$sedangkan $$g(-1) = -3(-1) + \lceil -1 + 0,\!3 \rceil = 3 + 0 = 3.$$Jadi, jelas bahwa $f(-1) < g(-1).$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi C tidak tepat.
Cek opsi D:
Perhatikan bahwa $$f(3) = 3(3) + \lfloor 3-0,\!5 \rfloor = 9 + 2 = 11,$$sedangkan $$g(3) = -3(3) + \lceil 3 + 0,\!3 \rceil = -9 + 4 = -5.$$Jadi, $f(3) + g(3) = 11+(-5)=6.$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi D tepat.
Cek opsi E:
Perhatikan bahwa $$f(-1) = 3(-1) + \lfloor -1-0,\!5 \rfloor = -3 + (-2) = -5,$$sedangkan $$g(4) = -3(4) + \lceil 4 + 0,\!3 \rceil = -12 + 5 = -7.$$Jadi, $f(-1)-g(4) = -5-(-7)=2 > 0.$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi E tidak tepat.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2

Pernyataan berikut ini yang tidak benar terkait bagian pecahan dari bilangan real adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\dfrac85\right\} = \dfrac35$
B. $\left\{\dfrac17\right\} = \dfrac17$
C. $\left\{-\dfrac{11}{4}\right\} = \dfrac14$
D. $\left\{7\right\} = 0$
E. $\left\{\dfrac{22}{7}\right\} = \dfrac37$

Pembahasan

Cek opsi A:
$$\left\{\dfrac85\right\} = \dfrac85-\left \lfloor \dfrac85 \right \rfloor = \dfrac85-1 = \dfrac35.$$Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek opsi B:
$$\left\{\dfrac17\right\} = \dfrac17-\left \lfloor \dfrac17 \right \rfloor = \dfrac17-0 = \dfrac17.$$Jadi, pernyataan pada opsi B benar.
Cek opsi C:
$$\left\{-\dfrac{11}{4}\right\} = -\dfrac{11}{4}-\left \lfloor -\dfrac{11}{4} \right \rfloor = -\dfrac{11}{4}+3 = \dfrac14.$$Jadi, pernyataan pada opsi C benar.
Cek opsi D:
$$\left\{7\right\} = 7-\left \lfloor 7 \right \rfloor = 7-7 = 0.$$Jadi, pernyataan pada opsi D benar.
Cek opsi E:
$$\left\{\dfrac{22}{7}\right\} = \dfrac{22}{7}-\left \lfloor \dfrac{22}{7} \right \rfloor = \dfrac{22}{7}-3 = \dfrac17.$$Jadi, pernyataan pada opsi E salah.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3

Penyelesaian dari $\lfloor x \rfloor-3 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0 \le x \le 3$
B. $2 \le x < 3$
C. $2 \le x \le 3$
D. $3 < x \le 4$
E. $3 \le x < 4$

Pembahasan

Persamaan $\lfloor x \rfloor-3 = 0$ ekuivalen dengan $\lfloor x \rfloor = 3.$ Berdasarkan definisi fungsi lantai, diperoleh $3 \le x < 4.$ Jadi, penyelesaian dari $\lfloor x \rfloor-3 = 0$ adalah $\boxed{3 \le x < 4}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4

Penyelesaian dari $3\lfloor x \rfloor+7 = -3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3 \le x < 7$
B. $3 \le x < 7$
C. $-10 \le x < -3$
D. $-10 < x < 7$
E. tidak ada

Pembahasan

Persamaan $3\lfloor x \rfloor+7 = -3$ ekuivalen dengan $\lfloor x \rfloor = -\dfrac{10}{3}.$ Karena $\lfloor x \rfloor$ merupakan bilangan bulat, persamaan $\lfloor x \rfloor = -\dfrac{10}{3}$ tidak mungkin terpenuhi. Akibatnya, $3\lfloor x \rfloor+7 = -3$ tidak memiliki penyelesaian.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan $a$ merupakan penyelesaian dari $0 < 3 \lfloor 3x + 3 \rfloor < 7.$ Jika $b = 0,$ manakah dari pernyataan berikut yang pasti benar?
A. $a > b.$                          D. $-a = b.$
B. $a \ge b.$                          E. $a = b.$
C. $a < b.$

Pembahasan

Diketahui $0 < 3 \lfloor 3x + 3 \rfloor < 7.$ Karena $ \lfloor 3x + 3 \rfloor$ merupakan bilangan bulat, nilai yang mungkin untuknya agar pertidaksamaan tersebut terpenuhi adalah $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 1$ atau $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 2.$
Kemungkinan 1:
Untuk $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 1,$ didapat $1 \le 3x + 3 < 2$ sehingga $-\dfrac23 \le x < -\dfrac13.$
Kemungkinan 2:
Untuk $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 2,$ didapat $2 \le 3x + 3 < 3$ sehingga $-\dfrac13 \le x < 0.$
Ini menunjukkan bahwa nilai $x$ yang memenuhi adalah $-\dfrac23 \le x < -\dfrac13$ atau $-\dfrac13 \le x < 0$ sehingga bisa digabungkan menjadi $-\dfrac23 \le x < 0.$
Jadi, dalam kasus ini, $-\dfrac23 \le a < 0.$ Karena $b = 0,$ jelas dapat disimpulkan bahwa $a < b$ untuk setiap nilai $a$ pada selang tersebut.
Dengan demikian, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{a < b}.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil = 5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0 < x < 1$
B. $1 < x < 2$
C. $2 < x < 3$
D. $1 < x < 3$
E. $2 \le x \le 3$

Pembahasan

Diketahui persamaan $\lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil = 5.$ Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $x$ bulat.
Jika $x$ merupakan bilangan bulat, maka $\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = x$ sehingga diperoleh $x + x = 5$ yang mengimplikasikan $x = \dfrac52.$ Namun, hasil ini kontradiktif dengan fakta bahwa $x$ bulat. Jadi, kasus ini tidak memberikan solusi.
Kasus 2: $x$ takbulat.
Jika $x$ merupakan bilangan takbulat, maka dapat ditulis $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Sementara itu, $\lfloor x \rfloor = n$ dan $\lceil x \rceil = n+1.$ Jadi, didapat
$$\begin{aligned} n + (n+1) & = 5 \\ 2n & = 4 \\ n & = 2. \end{aligned}$$Karena $0 < r < 1,$ haruslah $2 < 2 + r < 3.$ Lebih lanjut, karena $x = n + r,$ diperoleh $2 < x < 3.$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil = 5$ adalah $\boxed{2 < x < 3}.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7

Penyelesaian dari persamaan $\lfloor 2x \rfloor + \lfloor x \rfloor = 7$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 \le x \le 3$
B. $2 \le x < 3$
C. $2,\!5 < x \le 3$
D. $2,\!5 \le x < 3$
E. tidak ada

Pembahasan

Misalkan $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $r$ dengan $0 \le r < 1$ sehingga $\lfloor x \rfloor = n.$ Ini juga berarti $2x = 2n + 2r.$ Dengan demikian,
$$\lfloor 2x \rfloor = \begin{cases} 2n, & 0 \le r < 1/2 \\ 2n + 1, & \dfrac12 \le r < 1. \end{cases}$$Jika $0 \le r < \dfrac12,$ persamaan $\lfloor 2x \rfloor + \lfloor x \rfloor = 7$ akan menjadi $2n + n = 7$ sehingga $n = \dfrac73,$ kontradiktif dengan fakta bahwa $n$ bulat. Sementara itu, jika $1/2 \le r < 1,$ persamaan $\lfloor 2x \rfloor + \lfloor x \rfloor = 7$ akan menjadi $(2n+1) + n = 7$ sehingga $n = 2,$ sesuai dengan fakta bahwa $n$ bulat.
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $2+\dfrac12 \le x < 2 + 1$ yang berarti $2,\!5 \le x < 3.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif sehingga $\left\lfloor \dfrac{x}{y} \right\rfloor = 3$ dan $\left\lfloor \dfrac{x}{2y} \right\rfloor = 1.$ Nilai dari $\left\lfloor \dfrac{x}{4y} \right\rfloor$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                    E. $5$
B. $1$                       D. $3$

Pembahasan

Diketahui $\left\lfloor \dfrac{x}{y} \right\rfloor = 3$ dan $\left\lfloor \dfrac{x}{2y} \right\rfloor = 1.$ Berdasarkan definisi fungsi lantai, dua persamaan tersebut berturut-turut mengimplikasikan $3 \le \dfrac{x}{y} < 4$ dan $1 \le \dfrac{x}{2y} < 2.$ Bagi pertidaksamaan $3 \le \dfrac{x}{y} < 4$ dengan $4$ untuk memperoleh
$$\dfrac34 \le \dfrac{x}{4y} < 1.$$Serupa dengan itu, bagi pertidaksamaan $1 \le \dfrac{x}{2y} < 2$ dengan $2$ untuk memperoleh
$$\dfrac12 \le \dfrac{x}{4y} < 1.$$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa selang nilai $\dfrac{x}{4y}$ adalah $\dfrac34 \le \dfrac{x}{4y} < 1.$ Akibatnya, nilai dari $\left\lfloor \dfrac{x}{4y} \right\rfloor$ sama dengan $\boxed{0}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9

Misalkan $$x = \dfrac{2}{\dfrac{1}{1.001} + \dfrac{2}{1.002} + \dfrac{3}{1.003} + \cdots + \dfrac{10}{1.010}}.$$Nilai dari $\lceil x \rceil = \cdots \cdot$
A. $35$                 C. $37$               E. $39$
B. $36$                 D. $38$

Pembahasan

Misalkan $$x = \dfrac{2}{\dfrac{1}{1.001} + \dfrac{2}{1.002} + \dfrac{3}{1.003} + \cdots + \dfrac{10}{1.010}}.$$Dengan meninjau batas bawah dan batas atas $x$ saat nilai penyebutnya disamakan, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \dfrac{2}{\dfrac{1}{1.001} + \dfrac{2}{1.001} + \dfrac{3}{1.001} + \cdots + \dfrac{10}{1.001}} & < & x & < &\dfrac{2}{\dfrac{1}{1.010} + \dfrac{2}{1.010} + \dfrac{3}{1.010} + \cdots + \dfrac{10}{1.010}} \\ \dfrac{2}{55/1.001} & < & x & < & \dfrac{2}{55/1.010} \\ \dfrac{2.002}{55} & < & x & < & \dfrac{2.020}{55} \\ 36,\!4 & < & x & < & 36,\!7. \\ \end{array}$$Dengan demikian, nilai dari $\lceil x \rceil = 37.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10

Misalkan $k$ merupakan bilangan bulat yang memenuhi persamaan
$$\left\lfloor \sqrt{\lfloor \sqrt{2.012} \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{\sqrt{2.012}} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor.$$Banyaknya nilai $k$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2.010$                   D. $2.013$
B. $2.011$                    E. $2.020$
C. $2.012$

Pembahasan

Diketahui $$\left\lfloor \sqrt{\lfloor \sqrt{2.012} \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{\sqrt{2.012}} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor.$$Dari persamaan tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} \left \lfloor \sqrt{\lfloor 44,\!\cdots \rfloor } \right \rfloor & = \lfloor \sqrt{44,\!\cdots} \rfloor + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor \\ \lfloor \sqrt{44} \rfloor & = \lfloor 6,\!\cdots \rfloor + \lfloor \dfrac{k}{2.012} \rfloor \\ \lfloor 6,\!\cdots \rfloor & = 6 + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor \\ 6 & = 6 + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor \\ \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor & = 0. \end{aligned}$$Persamaan terakhir mengimplikasikan bahwa $0 \le k < 2.012.$ Karena $k$ merupakan bilangan bulat, banyaknya nilai $k$ yang memenuhi syarat $0 \le k < 2.012$ adalah $2.012.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Misalkan $$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{jika}~x \le 0, \\ 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{x}{2} \right\rfloor \right) & \text{jika}~x > 0. \end{cases}$$dan
$$g(x, y) = \begin{cases} f(x) & \text{jika}~x = y, \\ 1 + g(x-1, y) & \text{jika}~x > y. \end{cases}$$Nilai dari $g(100, 50)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                    C. $50$                   E. $58$
B. $48$                  D. $56$

Pembahasan

Dari definisi fungsi $g$ yang diberikan, diperoleh
$$\begin{aligned} g(100, 50) & = 1 + g(99, 50) \\ g(99, 50) & = 1 + g(98, 50) \\ g(98, 50) & = 1 + g(97, 50)  \\ \vdots~~~&~~~ \vdots \\ g(51, 50) & = 1 + g(50, 50) \end{aligned}$$sehingga $g(100, 50) = 50 + g(50, 50).$ Sementara itu, $g(50, 50) = f(50).$ Berikutnya, tinjau definisi fungsi $f.$ Dari definisi tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} f(50) & = 1 + 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{50}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(25) \\ f(25) & = 1 + f\left(\left\lfloor \dfrac{25}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(12) \\ f(12) & = 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{12}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(6) \\ f(6) & = 1 + 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{6}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(3) \\ f(3) & = 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{3}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(1) \\ f(1) & = 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{1}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(0) \\ f(0) & = 0. \end{aligned}$$Ini berarti,
$$f(50) = 1 + 1 + 1+1+1+1+0 = 6.$$Jadi, nilai dari $\boxed{g(100, 50) = 50 + 6 = 56}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Tentukan nilai berikut.
a. $\lfloor 1,\!2 \rfloor$
b. $\lfloor -0,\!1 \rfloor$
c. $\left \lfloor -\dfrac34 \right \rfloor$
d. $\left \lfloor \dfrac12 + \left \lceil \dfrac12 \right \rceil \right \rfloor$
e. $\left \lceil 2 + \left \lceil -\dfrac12 \right \rceil \right \rceil$
f. $\left \lfloor \dfrac12 \cdot \left \lfloor \dfrac52 \right \rfloor \right \rfloor$

Pembahasan

Jawaban a)
$\lfloor 1,\!2 \rfloor = 1.$
Jawaban b)
$\lfloor -0,\!1 \rfloor = -1.$
Jawaban c)
$\lceil -\dfrac34 \rceil = 0.$
Jawaban d)
$\left \lfloor \dfrac12 + \left \lceil \dfrac12 \right \rceil \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac12 + 1 \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac32 \right \rfloor = 1.$
Jawaban e)
$\lceil 2 + \lceil -\dfrac12 \rceil \rceil = \lceil 2 + 0 \rceil = \lceil 2 \rceil = 2.$
Jawaban f)
$\left \lfloor \dfrac12 \cdot \left \lfloor \dfrac52 \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac12 \cdot 2 \right \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1.$

[collapse]

Soal Nomor 2

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Tentukan nilai dari $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor.$

Pembahasan

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $x$ bulat.
Jika $x$ merupakan bilangan bulat, maka $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = x + (-x) = 0.$
Kasus 2: $x$ takbulat.
Jika $x$ merupakan bilangan takbulat, maka dapat ditulis $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Akibatnya, $-x = -n-r.$ Jadi, didapat
$$\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor & = \lfloor n+r \rfloor + \lfloor -n-r \rfloor \\ & = n + (-n-1) \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$ adalah $\begin{cases} 0, & \text{jika}~x~\text{bulat} \\ -1, & \text{jika}~x~\text{takbulat}. \end{cases}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Buktikan bahwa $-\lfloor -x \rfloor$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan $x.$

Pembahasan

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Misalkan juga $x$ bulat. Akibatnya, $-\lfloor -x \rfloor = -(-x) = x$ dan tentunya $x \ge x$ merupakan pernyataan yang benar. Berikutnya, misalkan $x$ takbulat. Artinya, $x = n+ r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Akibatnya,
$$\begin{aligned} -\lfloor -x \rfloor & = -\lfloor -n-r \rfloor \\ & = -(-n + \lfloor -r \rfloor) \\ & = n-\lfloor -r \rfloor \\ & = n-(-1) \\ & = n+1. \end{aligned}$$Jelas bahwa $-\lfloor -x \rfloor = n+1 \ge n+r = x$ dan tidak ada bilangan bulat lain di antara $n+1$ dan $n+r.$
Jadi, disimpulkan bahwa $-\lfloor -x \rfloor$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan $x$ untuk setiap bilangan real $x.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4

Buktikan bahwa $\lfloor x + y \rfloor \ge \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ untuk setiap bilangan real $x$ dan $y.$

Pembahasan

Ambil sembarang bilangan real $x$ dan $y.$ Berdasarkan definisi fungsi lantai, diketahui bahwa $\lfloor x \rfloor \le x$ dan $\lfloor y \rfloor \le y.$ Dengan menambahkan kedua pertidaksamaan ini sesuai ruasnya, diperoleh $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le x + y.$ Akibatnya, $\lfloor x+y \rfloor \ge \lfloor \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ karena $\lfloor x \rfloor$ dan $\lfloor y \rfloor$ bulat sehingga $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ juga bulat.

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan $x$ merupakan bilangan real dan $n$ merupakan bilangan bulat. Buktikan bahwa $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.$

Pembahasan

Misalkan $\lfloor x \rfloor = m$ untuk suatu bilangan bulat $m$ sehingga $m \le x < m+1.$ Dengan menambahkan $n$ pada ketiga ruas pertidaksamaan tersebut, didapat $$(m + n) \le (x + n) < (m+n) + 1.$$ Akibatnya, $\lfloor x+n \rfloor = m + n.$ Karena $\lfloor x \rfloor = m,$ haruslah $\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.$
Jadi, terbukti bahwa $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 6

Buktikan bahwa $\left \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor$ untuk setiap bilangan real nonnegatif $x.$

Pembahasan

Ambil sembarang bilangan real nonnegatif $x.$ Misalkan $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 \le r < 1.$ Misalkan juga $n = a^2 + b$ dengan $a$ merupakan bilangan bulat terbesar sehingga $a^2 \le n$ dan $b$ merupakan bilangan real. Dengan demikian,
$$a^2 \le n = a^2 + b \le x = a^2 + b + r < (a + 1)^2.$$Akibatnya, $x < (a + 1)^2$ akan mengimplikasikan $\sqrt{x} < a + 1$ dan akhirnya, $\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor = a.$ Selain itu, $\left \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor = a.$ Jadi, terbukti bahwa $\left \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor$ untuk setiap bilangan real nonnegatif $x.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 7

Tentukan semua bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi persamaan $\left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor = \dfrac{n}{6}.$

Pembahasan

Diketahui $\left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor = \dfrac{n}{6}.$ Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $\dfrac{n}{5}$ bulat.
Jika $\dfrac{n}{5}$ merupakan bilangan bulat, maka $\dfrac{n}{5} = \dfrac{n}{6}$ sehingga mengharuskan $5 = 6$ (kontradiktif).
Kasus 2: $\dfrac{n}{5}$ takbulat.
Jika $\dfrac{n}{5}$ merupakan bilangan takbulat, maka dapat ditulis $\dfrac{n}{5} = k + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor & = \dfrac{n}{6} \\ \left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor & = \dfrac{n}{5} \cdot \dfrac56 \\ k & = (k+r) \cdot \dfrac56 \\ \dfrac16k & = \dfrac56r \\ \dfrac{k}{5} & = r. \end{aligned}$$Karena $0 < r< 1,$ persamaan terakhir di atas menunjukkan bahwa nilai bulat positif $k$ yang memenuhi adalah $1 \le k \le 4.$

  1. Untuk $k = 1,$ diperoleh $r = \dfrac15$ sehingga $n = 6.$
  2. Untuk $k = 2,$ diperoleh $r = \dfrac25$ sehingga $n = 12.$
  3. Untuk $k = 3,$ diperoleh $r = \dfrac35$ sehingga $n = 18.$
  4. Untuk $k = 4,$ diperoleh $r = \dfrac45$ sehingga $n = 24.$

Jadi, ada $4$ nilai bulat positif $n$ yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu $n = 6, 8, 12, 24.$

[collapse]

Soal Nomor 8

Buktikan bahwa jika $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif, maka $\lfloor xy \rfloor \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$ Apa implikasi yang terjadi jika $x$ dan $y$ negatif atau tepat satu di antaranya negatif?

Pembahasan

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif. Misalkan juga $x = a + r$ dan $y = b + s$ untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$ serta bilangan real $r$ dan $s$ dengan $0 \le r, s < 1.$ Ini menunjukkan $\lfloor x \rfloor = a$ dan $\lfloor y \rfloor = b.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \lfloor xy \rfloor & = \lfloor (a+r)(b+s) \rfloor \\ & = \lfloor ab + as + br + rs \rfloor \\ & = ab + \lfloor as + br + rs \rfloor. \end{aligned}$$Karena $\lfloor as + br + rs \rfloor$ tidak mungkin bernilai negatif dan $ \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor = ab,$ diperoleh $\lfloor xy \rfloor \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$ Jadi, terbukti bahwa jika $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif, maka $\lfloor xy \rfloor \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real negatif. Dengan menggunakan cara yang serupa, diperoleh fakta bahwa $\lfloor as + br + bs \rfloor$ tidak mungkin bernilai positif. Akibatnya, $\lfloor xy \rfloor \le \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan $x$ merupakan bilangan real positif, sedangkan $y$ negatif. Akibatnya, tanda pertidaksamaan tidak dapat ditetapkan. Sebagai contoh, pilih $x = 2$ dan $y = -5,\!5$ sehingga $\lfloor 2 \cdot (-5,\!5) \rfloor = \lfloor -11 \rfloor = -11$ dan $\lfloor 2 \rfloor \lfloor -5,\!5 \rfloor = 2(-6) = -12.$ Ini menunjukkan bahwa $\lfloor xy \rfloor > \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor$ untuk $x = 2$ dan $y = -5,\!5.$ Berikutnya, pilih $x = 5,\!5$ dan $y = -1$ sehingga $\lfloor 5,\!5 \cdot (-1) \rfloor = \lfloor -5,\!5 \rfloor = -6$ dan $\lfloor 5,\!5 \rfloor \lfloor -1 \rfloor = 5(-1) = -5.$ Ini menunjukkan bahwa $\lfloor xy \rfloor < \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor$ untuk $x = 5,\!5$ dan $y = -1.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 9

Tentukan dan buktikan rumus untuk $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ dalam $n$ dan $\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor.$
Petunjuk: Gunakan rumus $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Pembahasan

Klaim bahwa $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\dfrac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\left(\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)\left(2\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)}{6}.$$Bukti diberikan sebagai berikut.
Observasi awal dapat dilakukan dengan menjabarkan notasi sigmanya, yaitu
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor & = \left \lfloor \sqrt{1} \right \rfloor + \left \lfloor \sqrt{2} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor \\ & = 1 + 1 + 1 + \underbrace{2 + 2 + \cdots + 2}_{\text{5 suku}} + \underbrace{3 + 3 + \cdots + 3}_{\text{8 suku}} + \cdots + \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor. \end{aligned}$$Observasi menghasilkan fakta berikut.

  1. Jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge 1.$ Ada sebanyak $n$ nilai $k$ yang memenuhi, yaitu $k = 1, 2, 3, \cdots, n.$
  2. Jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge 2.$ Ada sebanyak $n-3$ nilai $k$ yang memenuhi, yaitu $k = 4, 5, 6, \cdots, n.$
  3. Jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge 3.$ Ada sebanyak $n-8$ nilai $k$ yang memenuhi, yaitu $k = 9, 10, 11, \cdots, n.$
  4. Secara umum, untuk $m = 1, 2, 3, \cdots, \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor,$ jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge m$ dan ada $n-(m^2-1)$ nilai $k$ yang memenuhi.

Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor & = \displaystyle \sum_{m=1}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} (n-(m^2-1)) \\ & = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\sum_{m=1}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} m^2 \\ & = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\dfrac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\left(\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)\left(2\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)}{6}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor= \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\dfrac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\left(\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)\left(2\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)}{6}.$$

[collapse]