Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasan mengenai sistem bilangan kompleks, operasi dasar, aturan aljabar, grafik bilangan kompleks, dan nilai mutlak (modulus). Submateri tersebut merupakan pengantar dari analisis kompleks.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2
Today Quote
Life is like a camera. You focus on what’s important, capture the good times, develop from the negative and if things don’t work out, take another shot.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diketahui bilangan kompleks Manakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar?
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui Bilangan kompleks ini memuat bagian real dan bagian imajiner. Bagian realnya adalah sedangkan bagian imajinernya diwakili oleh koefisien dari bilangan imajiner yaitu Perhatikan juga bahwa pernyataan pada opsi jawaban E kurang tepat karena seharusnya Jadi, pernyataan yang benar adalah pada opsi jawaban A.
[collapse]
Soal Nomor 2
Manakah dari bilangan kompleks berikut yang memiliki bagian real ?
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Bilangan kompleks memiliki bentuk umum dengan dan berturut-turut disebut sebagai bagian real dan bagian imajiner serta (bilangan imajiner). Oleh karena itu, kita akan mencari bilangan kompleks yang memiliki nilai
Perhatikan tabel berikut agar lebih detail.
Jadi, bilangan kompleks yang memiliki bagian real adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 3
Bentuk umum dari bilangan kompleks adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui Perhatikan bahwa dan kita akan mengubah dalam bentuk dengan sebagai bagian real dan sebagai bagian imajiner.
Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 4
Nilai dari (dengan ) sama dengan nilai dari
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Tinjau bahwa perpangkatan dari memiliki nilai yang berulang setiap suku.
Perhatikan bahwa
Oleh karena itu, kita tinggal mencari perpangkatan yang memiliki sisa hasil bagi setelah dibagi
Dalam kasus ini,
Nilai dari sama dengan nilai dari
[collapse]
Soal Nomor 5
Nilai dari jika adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui sehingga kita peroleh
Jadi, yang berarti bahwa dan
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 6
Perhatikan gambar berikut.
Bilangan kompleks yang direpresentasikan oleh titik pada bidang Kartesius di atas adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dari gambar, tampak bahwa titik tersebut berada pada koordinat dengan bagian real dan bagian imajiner sehingga bilangan kompleks yang dinyatakan olehnya adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 7
Bila bilangan kompleks direpresentasikan pada bidang Kartesius, maka letaknya akan berada di kuadran
A. pertama
B. kedua
C. ketiga
D. keempat
E. pertama dan kedua
Pembahasan
Bilangan kompleks memiliki bagian real dan bagian imajiner sehingga koordinat titik yang merepresentasikan bilangan tersebut pada bidang Kartesius dinyatakan oleh Letaknya berada di kuadran kedua seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 8
Manakah dari pilihan berikut yang merupakan representasi dari bilangan kompleks pada bidang Kartesius?
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Bilangan kompleks memiliki bagian real dan sehingga representasinya pada bidang Kartesius dinyatakan oleh titik dengan koordinat yaitu
Adapun bilangan kompleks yang dinyatakan oleh titik yang lain adalah sebagai berikut.
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 9
Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Catat bahwa untuk
Kita peroleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 10
Bentuk polar dari bilangan kompleks adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui dengan dan
Modulus dari adalah Argumen dari adalah Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 11
Bentuk umum dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Bilangan kompleks pada umumnya memiliki bentuk dengan sebagai bagian real dan sebagai bagian imajiner. Untuk mengubah menjadi bentuk umum, langkah utama yang harus dilakukan adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan yang merupakan konjugat dari Setelah itu, lakukan operasi aljabar biasa.
Jadi, bentuk umum dari bilangan kompleks itu adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 12
Jika maka nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Ubah dulu dalam bentuk umum Nilai inilah yang merupakan
Dari bentuk terakhir, diperoleh
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 13
Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk dengan adalah bilangan real. Nilai dari sama dengan
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui Ubah menjadi bentuk umum bilangan kompleks terlebih dahulu.
Dengan demikian, kita peroleh
Jadi, bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk atau ditulis sehingga nilai dan Akibatnya, nilai
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 14
Manakah dari bilangan kompleks berikut yang memiliki modulus terbesar?
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Modulus dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai
Cek Opsi A:
Misalkan sehingga
Cek Opsi B:
Misalkan sehingga
Cek Opsi C:
Misalkan sehingga
Cek Opsi D:
Misalkan sehingga
Cek Opsi E:
Misalkan sehingga
Dari pengecekan di atas, diperoleh bahwa merupakan nilai modulus terbesar dari bilangan kompleks yang diberikan.
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 15
Solusi dari persamaan kuadrat adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Perhatikan bahwa
dengan
Jadi, solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 16
Persamaan kuadrat yang memiliki solusi dan adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Setiap persamaan kuadrat memiliki karakteristik berupa jumlah akar dan hasil akar akar.
Jumlah akar adalah hasil penjumlahan dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
Hasil kali akar adalah hasil perkalian dari kedua akar persamaan kuadrat itu.
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud dapat ditulis sebagai berikut.
Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki solusi dan adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Manakah dari bilangan kompleks berikut yang berbeda satu dengan yang lain?
Pembahasan
Didefinisikan bahwa yang dikenal sebagai bilangan imajiner (khayal).
Perhatikan bahwa
Perpangkatan membentuk pola .
Sekarang, akan ditinjau bilangan tersebut satu per satu.
Jadi, bilangan yang nilainya berbeda dengan yang lain adalah .
[collapse]
Soal Nomor 2
Selesaikan atau sederhanakan bentuk berikut.
a.
b.
c.
d.
e.
Pembahasan
Ingat bahwa
Jawaban a)
Jawaban b)
Jawaban c)
Jawaban d)
Jawaban e)
[collapse]
Soal Nomor 3
Dengan mengubah bentuk dalam terlebih dahulu, hitunglah hasil dari:
a.
b.
c.
Pembahasan
Perhatikan bahwa
Kita akan menggunakan informasi ini untuk menentukan bentuk lainnya.
Jawaban a)
Jawaban b)
Jawaban c)
[collapse]
Soal Nomor 4
Tentukan semua bilangan kompleks yang memenuhi persamaan .
(Petunjuk: Dimisalkan , lalu tentukan nilai dan )
Pembahasan
Misalkan . Persamaan dapat ditulis menjadi
Dengan menyamakan komponen real dan komponen imajiner, kita peroleh
dan
Pada persamaan , kita faktorkan menjadi sehingga atau .
Misalkan , maka
Nilai ini tidak memenuhi karena memuat bilangan imajiner.
Misalkan , maka
Dengan demikian, nilai yang memenuhi persamaan adalah atau
[collapse]
Soal Nomor 5
Sederhanakan bentuk berikut.
a.
b.
Pembahasan
Karena , maka kita dapatkan bahwa
dan juga
Dengan demikian:
Jawaban a)
Jadi, bentuk sederhana dari
Jawaban b)
Jadi, bentuk sederhana dari
[collapse]
Soal Nomor 6
Tentukan bilangan kompleks sehingga bernilai:
a. real;
b. imajiner murni.
Pembahasan
Misalkan sehingga
Jawaban a)
Agar berupa bilangan real, maka haruslah komponen imajinernya sehingga kita tulis
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Jadi, bilangan kompleks agar real adalah atau
Jawaban b)
Agar berupa bilangan imajiner murni (bilangan kompleks yang hanya memuat komponen imajiner saja, tidak ada komponen real), maka haruslah komponen realnya sehingga kita tulis
Diperoleh atau .
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Jadi, bilangan kompleks agar imajiner murni adalah atau
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya
Soal Nomor 7
Tentukan invers perkalian dari bilangan kompleks berikut.
a.
b.
c.
Pembahasan
Suatu bilangan kompleks memiliki invers perkalian (baca: invers) apabila berlaku
Jawaban a)
Diketahui Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu
Jadi, invers perkalian dari adalah
Jawabaan b)
Diketahui Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu
Jadi, invers perkalian dari adalah
Jawaban c)
Diketahui Kita akan mencari invers perkaliannya, yaitu
Jadi, invers perkalian dari adalah
[collapse]
Soal Nomor 8
Tunjukkan bahwa jika , maka
Pembahasan
Diberikan sehingga
(Terbukti)
[collapse]
Soal Nomor 9
Buktikan bahwa
Pembahasan
Misalkan dan sehingga konjugatnya adalah dan
(Terbukti)
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur
Soal Nomor 10
Tentukan semua bilangan kompleks yang memenuhi persamaan berikut.
a.
b.
c.
Pembahasan
Pada setiap ruas, samakan setiap komponen real dan imajinernya.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
dan
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
dan .
Substitusikan pada persamaan untuk mendapatkan
.
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu adalah
Jawaban c)
Perhatikan bahwa
Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas menyatakan komponen real, sedangkan warna biru menyatakan komponen imajiner.
Kita akan memperoleh
dan
Substitusi dan pada persamaan menghasilkan dan .
Jadi, bilangan kompleks yang memenuhi persamaan itu ada , yaitu dan
[collapse]
Soal Nomor 11
Tentukan bilangan real dan sedemikian sehingga
Pembahasan
Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
Sederhanakan kembali.
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh dan .
[collapse]
Soal Nomor 12
Tunjukkan bahwa jika maka atau
Petunjuk:
Jika , maka Tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan kemudian simpulkan bahwa atau .
Pembahasan
Perhatikan bahwa dapat ditulis menjadi
Karena mewakili bilangan real, maka berlaku
atau
Persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika atau Dengan demikian, mengimplikasikan bahwa atau
[collapse]
Soal Nomor 13
Buktikan bahwa untuk setiap berlaku dan
Pembahasan
Perlu diperhatikan bahwa dan memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks
Misalkan sehingga
Akan ditunjukkan bahwa dan , yaitu
dan
(Terbukti)
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks
Soal Nomor 14
Tentukan modulus dari bilangan kompleks berikut.
a.
b.
Pembahasan
Definisi modulus: Jika , maka modulus atau nilai mutlak dari adalah
Jawaban a)
Diberikan , berarti
Jawaban b)
Ubah bentuk yang diberikan sebagai berikut.
Jadi,
[collapse]
Soal Nomor 15
Tentukan nilai dari
Pembahasan
Misalkan , berarti Perhatikan bahwa
Jadi, diperoleh sehingga
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya
Soal Nomor 16
Hitunglah setiap bentuk berikut jika .
a.
b.
Pembahasan
Jawaban a)
Jawaban b)
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks