Tag: Bilangan Prima

Agar $\dfrac{18}{n}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan faktor positif dari $18,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 18} &n & \dfrac{18}{n} \\ \hline 1 & 1 & 18 \\ 2 & 2 & 9 \\ 3 & 3 & 6 \\ 6 & 6 & 3 \\ 9 & 9 & 2 \\ 18 & 18 & 1 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $\boxed{6}$ bilangan asli $n$ yang menyebabkan $\dfrac{18}{n}$ juga bilangan asli, yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.$
(Jawaban D)

Agar $\dfrac{n}{25}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan kelipatan dari $25,$ yaitu $\{25, 50, 75, 100, \cdots, 375\}.$ Untuk setiap $n$ yang kita pilih tersebut, $\dfrac{n}{25}$ pasti bilangan asli. Ini menunjukkan bahwa banyak bilangan asli $n < 400$ yang menyebabkan $\dfrac{n}{25}$ juga bilangan asli sama dengan banyak bilangan kelipatan $25$ yang kurang dari $400,$ yaitu $\boxed{\dfrac{375}{25} = 15}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n+4}{n-2}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n+4}{n-2} & = \dfrac{(n-2) + 6}{n-2} \\ & = \dfrac{n-2}{n-2} + \dfrac{6}{n-2} \\ & = 1 + \dfrac{6}{n-2} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n-2)$ harus merupakan faktor positif dari $6,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 6} & n & 1 + \dfrac{6}{n-2} \\ \hline 1 & 3 & 7 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \\ 6 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}$$Jadi, anggota $A$ ada empat, yaitu $\{2,3,4,7\}$ sehingga jumlah anggotanya adalah $\boxed{2+3+4+7=16}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{6n}{n+3}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{6n}{n+3} & = \dfrac{6(n+3)-18}{n+3} \\ & = \dfrac{6\cancel{(n+3)}}{\cancel{n+3}}-\dfrac{18}{n+3} \\ & = 6-\dfrac{18}{n+3} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+3)$ harus merupakan faktor positif dari $18,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ serta $\dfrac{18}{n+3}$ bernilai kurang dari $6.$ Kita mulai dari yang paling besar, yakni $18.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 18} & n & 6-\dfrac{18}{n+3} \\ \hline 18 & 15 & 5 \\ 9 & 6 & 4 \\ 6 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & – \\ \hline \end{array}$$Analisis kita hentikan karena nilai $n$ bukan bilangan asli lagi. Jadi, anggota $H$ ada tiga, yaitu $\{3, 4, 5\}$ sehingga hasil kali anggotanya adalah $\boxed{3 \cdot 4 \cdot 5 = 60}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n-2}{n}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n-2}{n} & = \dfrac{n}{n}-\dfrac{2}{n} \\ & = 1-\dfrac{2}{n} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan bulat, $n$ harus merupakan faktor dari $2,$ yaitu $\{\pm 1, \pm 2\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 2} & n & 1-\dfrac{2}{n} \\ \hline 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $4$ nilai $n$ yang memenuhi untuk membuat $\dfrac{n-2}{n}$ menjadi bilangan bulat, yaitu $\{\color{blue}{-2}, -1, \color{blue}{1}, 2\}.$
Selanjutnya, kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{2n}{n+1}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{2n}{n+1} & = \dfrac{2(n+1)-2}{n+1} \\ & = \dfrac{2\cancel{(n+1)}}{\cancel{n+1}}-\dfrac{2}{n+1} \\ & = 2-\dfrac{2}{n+1} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan bulat, $(n+1)$ harus merupakan faktor dari $2,$ yaitu $\{\pm 1, \pm 2\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 2} & n & 2-\dfrac{2}{n+1} \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 4 \\ -2 & -3 & 3 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $4$ nilai $n$ yang memenuhi untuk membuat $\dfrac{2n}{n+1}$ menjadi bilangan bulat, yaitu $\{-3, \color{blue}{-2}, 0, \color{blue}{1}\}.$
Sekarang, dapat kita simpulkan bahwa nilai $n$ yang membuat kedua bentuk tersebut berupa bilangan bulat adalah $\{-2, 1\}.$ Dengan kata lain, ada $\boxed{2}$ nilai $n$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n^2-2n+4}{n+1}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n^2-2n+4}{n+1} & = \dfrac{(n+1)^2-4n+3}{n+1} \\ & = \dfrac{(n+1)^2}{n+1}+\dfrac{-4n+3}{n+1} \\ & = (n+1)+\dfrac{-4(n+1)+7}{n+1} \\ & = (n+1)+\dfrac{-4\cancel{(n+1)}}{\cancel{n+1}} + \dfrac{7}{n+1} \\ & = (n+1)-4+\dfrac{7}{n+1} \\ & = n-3+\dfrac{7}{n+1} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+1)$ harus merupakan faktor positif dari $7,$ yaitu $\{1, 7\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 7} & n & n-3+\dfrac{7}{n+1} \\ \hline 1 & 0 & – \\ 7 & 6 & 4 \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa $n$ harus merupakan bilangan asli. Jika kita memilih $1$ sebagai faktor dari $7,$ maka itu berakibat $n = 0$ (bukan bilangan asli).
Jadi, anggota $D$ hanya ada satu, yaitu $4.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{10n^2+25}{n+2}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{10n^2+25}{n+2} & = \dfrac{10(n+2)^2-40n-15}{n+2} \\ & = \dfrac{10(n+2)^2}{n+2}-\dfrac{40n+15}{n+2} \\ & = 10(n+2)-\dfrac{40(n+2)-65}{n+2} \\ & = 10(n+2)-\dfrac{40\cancel{(n+2)}}{\cancel{n+2}}+\dfrac{65}{n+2} \\ & = 10(n+2)-40+\dfrac{65}{n+2} \\ & = 10n-20+\dfrac{65}{n+2} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+2)$ harus merupakan faktor positif dari $65,$ yaitu $\{1, 5, 13, 65\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 65} &n & 10n-20+\dfrac{65}{n+2} \\ \hline 1 & -1 & – \\ 5 & 3 & 23 \\ 13 & 11 & 95 \\ 65 & 63 & 611 \\ \hline & \text{Jumlah} & 729 \\ \hline \end{array}$$Jadi, anggota $H$ ada tiga, yaitu $\{23, 95, 611\}$ sehingga jumlah anggotanya adalah $\boxed{23+95+611=729}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{n+7}{\sqrt{n-1}} & = \dfrac{(n-1) + 8}{\sqrt{n-1}} \\ & = \dfrac{n-1}{\sqrt{n-1}} + \dfrac{8}{\sqrt{n-1}} \\ & = \sqrt{n-1} + \dfrac{8}{\sqrt{n-1}}. && n > 1 \\ \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat, $\sqrt{n-1}$ harus merupakan faktor (positif) dari $8,$ yaitu $\{1, 2, 4, 8\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \sqrt{n-1} & n-1 & n \\ \hline 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 4 & 16 & 17 \\ 8 & 64 & 65 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, diperoleh $4$ nilai $n$ yang mungkin, yaitu $n_1 = 2,$ $n_2 = 5,$ $n_3 = 17,$ dan $n_4 = 65$ sehingga hasil penjumlahannya adalah $\boxed{2+5+17+65 = 89}.$
(Jawaban C)

Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat. Dalam konteks ini, $n$ dapat ditinjau dari dua kasus, yaitu $n$ merupakan bilangan ganjil dan $n$ merupakan bilangan genap.

1. Misalkan $n$ ganjil. Ini berarti, pembilang pada ekspresi pecahan di atas merupakan bilangan ganjil. Akan tetapi, penyebutnya genap. Pembagian bilangan ganjil oleh bilangan genap tidak mungkin menghasilkan bilangan bulat.
2. Misalkan $n$ genap. Ini berarti, pembilang dan penyebut pada ekspresi pecahan di atas juga berturut-turut ganjil dan genap. Dengan demikian, kasus ini juga tidak membuat ekspresi pecahan tersebut berupa bilangan bulat.

Jadi, tidak ada bilangan bulat $n$ sehingga ekspresi berikut juga merupakan bilangan bulat.
$$\dfrac{n^8 + n^7 + n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 2.025}{2.025n^2 + n -2.024}.$$

Misalkan bilangan asli tersebut adalah $n.$ Ini berarti,
$$n = 7^a \cdot x_1^{b_1} \cdot x_2^{b_2} \cdots x_p^{b_p}$$dengan $x_i$ adalah faktor prima berbeda selain $7$ dari $n,$ sedangkan $b_i$ adalah bilangan cacah untuk setiap $i = 1, 2, \cdots, p.$ Dengan demikian, banyaknya pembagi (faktor) positif dari $n$ adalah
$$f(n) = (a+1)(b_1+1)(b_2+1)\cdots(b_p+1) = 2.017.$$Karena $2.017$ merupakan bilangan prima, satu-satunya kemungkinan yang dapat terjadi adalah $a = 2.016,$ sedangkan $$b_1 = b_2 = \cdots = b_p = 0.$$Jadi, bilangan asli yang dimaksud adalah $\boxed{n = 7^{2.016}}.$

Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli sehingga $a^2-b^2 = 2.012.$ Ruas kiri persamaan tersebut dapat difaktorkan sehingga diperoleh $(a+b)(a-b)=2.012.$ Sementara itu,
$$\begin{aligned} 2.012 & = 1 \cdot 2.012 \\ & = 2 \cdot 1.006 \\ & = 4 \cdot 503. \end{aligned}$$Jelas bahwa $a+b>a-b.$ Lebih lanjut, $a$ dan $b$ harus memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil) agar persamaan $(a+b)(a-b)=2.012$ dapat terpenuhi. Oleh karena itu, satu-satunya kemungkinan adalah $a+b=1.006$ dan $a-b=2.$ Solusi dari sistem ini adalah $a = 504$ dan $b = 502.$
Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya $2.012$ hanya ada dua, yaitu $(504, 502)$ dan kebalikannya, $(502, 504).$

Misalkan terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $6n+30 = k(2n+1).$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} k & = \dfrac{6n+30}{2n+1} \\ & = \dfrac{3(2n+1)+27}{2n+1} \\ & = 3 + \dfrac{27}{2n+1}. \end{aligned}$$Agar $k$ bulat, $2n+1$ harus merupakan faktor dari $27.$ Kita dapat mendaftarkan semua faktor yang mungkin dari $27$ beserta nilai $n$-nya.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Faktor dari}~27 & n \\ \hline 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 9 & 4 \\ 27 & 13 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel, terlihat bahwa nilai $n$ yang berupa bilangan asli adalah $1, 4,$ dan $13.$
Jadi, himpunan semua bilangan asli $n$ sehingga $6n+30$ adalah kelipatan dari $2n+1$ adalah $\{1, 4, 13\}.$

Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat positif. Misalkan juga $n^2-19n+99=m^2$ untuk suatu bilangan bulat positif $m.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 4n^2-76n + 396 & = 4m^2 && (\text{Dikali 4}) \\ (2n-19)^2 + 35 & = (2m)^2 && (\text{Faktorkan}) \\ (2m)^2-(2n-19)^2 & = 35 \\ (2m+2n-19)(2m-2n+19) & = 35 && (\text{Faktorkan}) \end{aligned}$$Karena $m, n \in \mathbb{N},$ dapat dimisalkan $2m+2n-19 = a$ dan $2m-2n+19=b$ dengan $a$ dan $b$ keduanya merupakan faktor berbeda dari $35$ sehingga $ab=35.$ Lebih lanjut, penjumlahan kedua persamaan itu menghasilkan $4m = a + b$ sehingga $a$ dan $b$ haruslah positif. Oleh karena itu, tinjau dua faktor positif dari $35$ sehingga hasil kalinya $35.$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 2m+2n-19 & 2m-2n+19 & m & n \\ \hline 1 & 35 & 9 & 1 \\ 5 & 7 & 3 & 9 \\ 7 & 5 & 3 & 10 \\ 35 & 1 & 9 & 18 \\ \hline \end{array}$$Jadi, bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{n = 1, 9, 10, 18}.$

Misalkan $$(a-1)(a+3)(a-4)(a-8)+b = n^2$$untuk suatu bilangan bulat positif $n.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ((a-1)(a-4))((a+3)(a-8)) + b & = n^2 \\ (a^2-5a+4)(a^2-5a-24) + b & = n^2. \end{aligned}$$Misalkan $a^2-5 = x$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} (x+4)(x-24) + b & = n^2 \\ x^2-20x-96 + b & = n^2 \\ (x-10)^2-196+b & = n^2. \end{aligned}$$Agar ruas kiri dapat ditulis sebagai bilangan kuadrat sempurna, haruslah $-196 + b = 0$ sehingga $b = 196.$
Jadi, nilai $b$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{b = 196}.$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Perhatikan bahwa $$n^4-n^2+64 > n^4-2n^2+1 = (n^2-1)^2.$$Oleh karena itu, dapat ditulis
$$n^4-n^2 + 64 = (n^2 + k)^2$$untuk suatu bilangan bulat taknegatif $k.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} n^4-n^2 + 64 & = n^4 + 2kn^2 + k^2 \\ 64-k^2 & = n^2(2k+1) \\ n^2 & = \dfrac{64-k^2}{2k+1}. \end{aligned}$$Karena $n$ merupakan bilangan asli, haruslah $0 \le k^2 < 64.$ Dengan memeriksa satu per satu nilai $k$ yang sesuai agar diperoleh bilangan asli $n$, diperoleh $k = 0, 7, 8,$ berturut-turut menghasilkan $n = 8, 1, 0.$
Jadi, bilangan asli $n$ sehingga $n^4-n^2+64$ merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah $\boxed{n = 0, 1, 8}.$

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan bulat sehingga
$$(x^2+1)(y^2+1) + 50 = 2(2x+1)(3y+1).$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} x^2y^2 + x^2 + y^2 + 51 & = 12xy + 4x + 6y + 2 \\ (x^2y^2-12xy+36) + (x^2-4x+4) + (y^2-6y+9) & = 0 \\ (xy-6)^2 + (x-2)^2 + (y-3)^2 & = 0. \end{aligned}$$Karena bilangan kuadrat selalu lebih besar dari atau sama dengan $0,$ satu-satunya kemungkinan agar persamaan terakhir terpenuhi adalah $x = 2$ dan $y = 3.$
Jadi, pasangan bilangan bulat $(x, y)$ sehingga memenuhi persamaan
$$(x^2+1)(y^2+1) + 50 = 2(2x+1)(3y+1)$$hanya ada satu, yaitu $x = 2$ dan $y = 3.$ 

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan bulat $(x, y)$ sehingga memenuhi persamaan $x^6 + 3x^3 + 1 = y^4.$ Dari persamaan tersebut, didapat
$$\begin{aligned} 4x^6 + 12x^3 + 4 & = 4y^4 && (\text{Kalikan 4}) \\ (2x^3 + 3)^2-5 & = (2y)^2 && (\text{Faktorkan}) \\ (2x^3 + 3)^2-(2y)^2 & = 5 \\ (2x^3+2y^2+3)(2x^3-2y^2+3) & = 5. && (\text{Faktorkan}) \end{aligned}$$Jelas bahwa
$$2x^3 + 2y^2 + 3 \ge 2x^3 -2y^2 + 3$$karena $y^2 \ge 0.$ Ini berarti, dapat diperoleh dua kasus dengan sistem persamaan berbeda berikut.

1. Kasus pertama adalah dengan menggunakan fakta bahwa $5 = 5 \cdot 1.$ Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan
   $$\begin{cases} 2x^3 + 2y^2 + 3 & = 5, \\ 2x^3 -2y^2 + 3 & = 1. \end{cases}$$Akibatnya, didapat $y^2 = 1,$ atau $y = \pm 1.$ Untuk $y = 1,$ diperoleh $x = 0.$ Begitu juga dengan $y = -1.$
2. Kasus kedua adalah dengan menggunakan fakta bahwa $5 = -1 \cdot (-5).$ Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan
   $$\begin{cases} 2x^3 + 2y^2 + 3 & = -1, \\ 2x^3 -2y^2 + 3 & = -5. \end{cases}$$Akibatnya, didapat $y^2 = 1,$ atau $y = \pm 1.$ Untuk $y = 1,$ diperoleh $x = 0.$ Begitu juga dengan $y = -1.$

Jadi, pasangan bilangan bulat $(x, y)$ sehingga memenuhi persamaan $x^6 + 3x^3 + 1 = y^4$ ada dua, yaitu $(0, 1)$ dan $(0, -1).$