Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas

Penaksiran

Penaksiran (estimation) adalah proses untuk memperkirakan nilai dari suatu parameter populasi dari sampel yang diambil. Dalam penaksiran, kita melakukan inferensi untuk menduga nilai parameter populasi yang terlibat sehingga sangat memungkinkan terjadinya galat (error). Meskipun begitu, peran statistika menjadi begitu krusial karena kita berusaha untuk meminimalisasi terjadinya galat tersebut agar bernilai sekecil-kecilnya. Lebih lanjut, parameter populasi yang dimaksud umumnya berupa rata-rata (mean), proporsi (proportion), dan varians (variance).

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi

Pada artikel ini, kita akan memfokuskan bahasan pada penaksiran selisih rata-rata dua populasi bebas.

Misalkan terdapat dua populasi dengan rata-rata μ1 dan μ2 serta varians σ12 dan σ22. Taksiran titik dari selisih μ1 dan μ2 diberikan oleh statistik X1X2. Oleh karena itu, untuk mendapatkan taksiran titik dari μ1μ2, kita harus memilih dua sampel acak bebas berukuran n1 dan n2, masing-masing dari populasi yang berbeda. Ini menyebabkan kita harus memperhatikan distribusi penyampelan dari X1X2.

Varians Kedua Populasi Diketahui

Berdasarkan teorema limit pusat, kita dapat menduga bahwa distribusi penyampelan (sampling distribution) dari X1X2 cenderung normal dengan rata-rata μX1X2=μ1μ2 dan simpangan baku σX1X2=σ12n1+σ22n2. Misalkan zα/2 merupakan nilai-z yang berasosiasi dengan luas sebesar α/2 di bawah kurva normal. Dengan demikian, variabel acak yang berdistribusi normal baku
Z=(X1X2)(μ1μ2)σ12n1+σ22n2akan jatuh di antara zα/2 dan zα/2 dengan peluang 1α. Lebih lanjut, 1α disebut sebagai derajat kepercayaan (degree of confidence), atau kadang juga dikenal sebagai koefisien kepercayaan (confidence coefficient). Lebih lanjut, dapat ditulis
p(zα/2<Z<zα/2)=1α.Dengan demikian,
p(zα/2<(X1X2)(μ1μ2)σ12n1+σ22n2<zα/2)=1αyang mengantarkan kita pada cara untuk melakukan penaksiran rata-rata selisih rata-rata dua populasi jika varians populasi diketahui sebagai berikut.

Selang Kepercayaan untuk μ1μ2, σ12 dan σ22 Diketahui

Jika x1 dan x2 berturut-turut adalah rata-rata suatu sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 dari populasi yang variansnya sebesar σ12 dan σ22, maka selang kepercayaan 100(1α)% untuk μ1μ2 diberikan oleh
(x1x2)zα/2σ12n1+σ22n2<μ1μ2<(x1x2)+zα/2σ12n1+σ22n2dengan zα/2 merupakan nilai-z sehingga luas di bawah kurva normal di sebelah kanannya sebesar α/2.

Varians Kedua Populasi Tidak Diketahui, tetapi Dianggap Sama

Pada kenyataannya, varians populasi jarang diketahui atau sulit ditentukan nilainya karena berbagai kendala. Situasi penaksiran yang kita hadapi dalam kehidupan nyata lebih banyak mengarah pada kasus ketika varians populasi tidak diketahui. Tidak diketahuinya varians populasi memberikan dua asumsi baru: varians populasinya dianggap sama atau berbeda.

Jika σ12=σ22=σ2, kita akan peroleh variabel acak berdistribusi normal baku dalam bentuk
Z=(X1X2)(μ1μ2)σ2(1n1+1n2).Lebih lanjut, terdapat teorema yang menyatakan bahwa dua variabel acak
(n11)S12σ2 dan (n21)S22σ2berturut-turut berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n11 dan n21. Lebih lanjut, dua variabel acak tersebut bebas karena diambil dari sampel acak yang juga bebas. Akibatnya, hasil penjumlahannya akan berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n1+n22, yaitu
V=(n11)s12σ2+(n21)S22σ2=(n11)S12+(n21)S22σ2.Karena Z dan V keduanya dapat ditunjukkan bebas, teorema lain menyatakan bahwa statistik
T=(X1X2)(μ1μ2)σ2(1n1+1n2)÷(n11)S12+(n21)S22σ2(n1+n22)berdistribusi-t dengan derajat kebebasan n1+n22. Dengan menggunakan notasi Sp2, dapat ditulis
Sp2=(n11)S12+(n21)S22n1+n22.Jadi, statistik T yang kita punya dapat ditulis ulang menjadi
T=(X1X2)(μ1μ2)Sp1n1+1n2.Lebih lanjut,
p(tα/2<T<tα/2)=1αdengan tα/2 adalah nilai-t dengan derajat kebebasan n1+n22 yang berasosiasi dengan luas sebesar α/2 di bawah kurva distribusi-t. Substitusi nilai T akan menghasilkan
p(tα/2<(X1X2)(μ1μ2)Sp1n1+1n2<tα/2)=1α.Sedikit manipulasi aljabar akan mengantarkan kita pada
p((X1X2)tα/2Sp1n1+1n2<μ1μ2<(X1X2)+tα/2Sp1n1+1n2)=1α.Dari sini, kita peroleh cara untuk melakukan penaksiran selisih rata-rata dua populasi jika varians kedua populasi tidak diketahui, tetapi dianggap sama.

Selang Kepercayaan untuk μ1μ2, σ12 dan σ22 Tidak Diketahui, tetapi σ12=σ22

Jika x1 dan x2 berturut-turut adalah rata-rata suatu sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 dari populasi yang variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama, yaitu σ12=σ22, maka selang kepercayaan 100(1α)% untuk μ1μ2 diberikan oleh
(x1x2)tα/2sp1n1+1n2<μ1μ2<(x1x2)+tα/2xp1n1+1n2dengan sp=(n11)s12+(n21)s22n1+n22 dan tα/2 adalah nilai-t dengan derajat kebebasan n1+n22 yang berasosiasi dengan luas sebesar α/2 di bawah kurva distribusi-t.

Varians Tidak Diketahui dan Dianggap Berbeda

Jika σ12σ22, kita akan sering menggunakan statistik
T=(X1X2)(μ1μ2)S12n1+S22n2,yang kurang lebih berdistribusi-t dengan derajat kebebasan tergabung (pooled degree of freedom) sebagai berikut.
dk=(s12n1+s22n2)21n11(s12n1)2+1n21(s22n2)2.Penentuan derajat kebebasan dengan rumus di atas disebut sebagai aproksimasi Welch-Satterthwaite (Welch-Satterthwaite approximation). Dalam kebanyakan kasus, dk yang dicari dengan rumus di atas tidak bulat. Jika demikian, selalu lakukan pembulatan ke bawah untuk mendapatkan bilangan bulat. Sebagai contoh, jika dk=1,68, bulatkanlah ke bawah sehingga diperoleh dk=1.

Dengan menggunakan statistik T, dapat ditulis
p(tα/2<T<tα/2)=1αdengan tα/2 adalah nilai-t dengan derajat kebebasan n1+n22 yang berasosiasi dengan luas sebesar α/2 di bawah kurva distribusi-t. Substitusi nilai T akan menghasilkan
p(tα/2<(X1X2)(μ1μ2)S12n1+S22n2<tα/2)=1α.Sedikit manipulasi aljabar akan mengantarkan kita pada
p((X1X2)tα/2S12n1+S22n2<μ1μ2<(X1X2)+tα/2S12n1+S22n2)=1α.Dari sini, kita peroleh cara untuk melakukan penaksiran selisih rata-rata dua populasi jika varians kedua populasi tidak diketahui dan dianggap berbeda.

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas

Selang Kepercayaan untuk μ1μ2, σ12 dan σ22 Tidak Diketahui dan σ12σ22

Jika x1 dan x2 berturut-turut adalah rata-rata suatu sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 dari populasi yang variansnya tidak diketahui dan dianggap berbeda, yaitu σ12σ22, maka selang kepercayaan 100(1α)% untuk μ1μ2 diberikan oleh
(x1x2)tα/2s12n1+s22n2<μ1μ2<(x1x2)+tα/2s12n1+s22n2dengan tα/2 adalah nilai-t dengan derajat kebebasan
dk=(s12n1+s22n2)21n11(s12n1)2+1n21(s22n2)2yang berasosiasi dengan luas sebesar α/2 di bawah kurva distribusi-t.

Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

No.Bahasa IndonesiaBahasa Inggris1.PenaksiranEstimation2.Rata-RataMean3.Simpangan BakuStandard Deviation4.Galat BakuStandard Error5.Uji-zz-Test6.Uji-tt-Test7.Selang KepercayaanConfidence Interval8.Taraf SignifikansiSignificance Value9.Derajat KebebasanDegree of Freedom10.TergabungPooled11.Aproksimasi Welch-SatterthwaiteWelch-Satterthwaite Approximation


Quote by Richard Feynmann

Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.

Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan.  Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu. Lebih lanjut, silakan unduh tabel-z dan tabel-t untuk menjawab soal-soal penaksiran di bawah.

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Sampel acak pertama berukuran 25 memiliki rata-rata 81, diambil dari suatu populasi normal dengan simpangan baku 5,2. Sampel acak kedua berukuran 36 memiliki rata-rata 76, diambil dari suatu populasi normal dengan simpangan baku 3,4. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan

Soal Nomor 2

Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan partisipasi politik di dua provinsi, yaitu Provinsi A dan Provinsi B. Untuk keperluan penelitian tersebut, diambil sampel sebanyak 15 kabupaten/kota dari masing-masing provinsi tersebut. Untuk Provinsi A, diperoleh rata-rata partisipasi politik sebesar 86%. Untuk Provinsi B, diperoleh rata-rata partisipasi politik sebesar 77%. Lebih lanjut, simpangan baku populasi dari persentase partisipasi politik di Provinsi A dan Provinsi B berturut-turut adalah 6% dan 5%. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Soal Nomor 3

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap observasi, ukuran keausan dicatat. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebesar 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebesar 81 satuan dengan simpangan baku sampel 5. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut. Anggaplah kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi

Soal Nomor 4

Berikut ini merupakan data durasi film (dalam menit) yang diproduksi oleh dua rumah produksi (RP)
RP 1102869810992RP 281165971349287114Anggap distribusi populasinya normal dengan varians berbeda. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan
 

Soal Nomor 5

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat apakah peningkatan konsentrasi substrat akan memberikan pengaruh yang signifikan pada laju suatu reaksi kimia. Dengan konsentrasi substrat sebesar 1,5 mol per liter, reaksi dicoba sebanyak 15 kali dengan hasil rata-rata lajunya 7,5 mikromol per 30 menit dan simpangan bakunya 1,5 mikromol per 30 menit. Lebih lanjut, dengan konsentrasi substrat sebesar 2,0 mol per liter, reaksi dicoba sebanyak 12 kali dengan hasil rata-rata lajunya 8,8 mikromol per 30 menit dan simpangan bakunya 1,2 mikromol per 30 menit. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama. Tentukan selang kepercayaan 99% dari selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi

Soal Nomor 6

Seorang peneliti melakukan pengujian model pembelajaran X dan model pembelajaran konvensional masing-masing pada satu kelas dengan jenjang yang sama sebagai sampel. Sebanyak 30 siswa pada kelas pertama mengikuti proses pembelajaran dengan model pembelajaran X, sedangkan 35 siswa pada kelas kedua mengikuti proses pembelajaran dengan model pembelajaran konvensional. Setelah tes akhir dilakukan, diperoleh rata-rata sampel berturut-turut adalah 25,6 dan 28,3. Lebih lanjut, simpangan baku sampel berturut-turut adalah 4,2 dan 3,8. Asumsikan populasinya berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Soal Nomor 7

Data berikut merupakan data tinggi badan (dalam cm) 10 siswa dan 10 siswi pada jenjang yang sama di suatu sekolah yang didapat setelah melalui pengambilan secara acak.
Siswa120122120138130128132125127130Siswi115120118130135126127126125129Asumsikan populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi

Soal Nomor 8

Suatu penelitian dilakukan untuk menguji apakah nilai mata kuliah Statistika Sosial yang diberikan kepada mahasiswa dari program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di suatu universitas memiliki perbedaan atau tidak. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 10 nilai, masing-masing dari mahasiswa program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi, yaitu sebagai berikut.
Ilmu Komunikasi63787182937261635682Sosiologi69566772597155887949Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi

Soal Nomor 9

Seorang peneliti menduga bahwa siswa yang belajar di pagi hari dan siswa yang belajar di sore hari memiliki kemampuan yang berbeda pada mata pelajaran Matematika. Untuk itu, ia mengambil secara acak 12 orang siswa yang belajar matematika di pagi hari dan 16 orang siswa yang belajar matematika di sore hari. Setelah dilakukan proses pembelajaran selama waktu tertentu, diperoleh nilai tes akhir sebagai berikut.
Pagi517176816798586987747981Sore68727779688054638974668677737487Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan 80% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Soal Nomor 10

Seorang produsen sabun memproduksi dua jenis sabun, yaitu sabun A dan sabun B. Produsen tersebut ingin mengetahui apakah penjualan sabun A lebih besar daripada sabun B. Untuk itu, ia melakukan pengambilan sampel pada 8 daerah penjualan dan mendapatkan data banyaknya sabun yang terjual sebagai berikut.
Sabun A115125132145134152155126Sabun B124126122144133145160112Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan

Soal Nomor 11

Seorang kriminolog mencatat masa penahanan dari 10 orang narapidana karena kasus penipuan dan 8 orang narapidana karena senjata api sampai mereka bebas dari penjara sebagai berikut.
Penipuan3,65,310,78,511,815,51375,97Senjata Api25,510,418,419,620,910,318,218,1Asumsikan bahwa data berasal dari distribusi normal dan varians kedua populasi berbeda. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.

Pembahasan