Persamaan irasional (irrational equation) adalah persamaan yang melibatkan variabel dalam tanda akar. Lima contoh berikut semuanya merupakan persamaan irasional. Perhatikan bahwa setiap persamaan memuat variabel di bawah tanda akar (diberi warna merah).
$$\begin{aligned} 2\sqrt{\color{red}{x}-2} & = x+4 && (1) \\ \sqrt{\color{red}{x}^2-2\color{red}{x}+1} & = \sqrt{\color{red}{x}^2-4} && (2) \\ \sqrt{\color{red}{x}^{99}+\color{red}{x}^{10}} & = 0 && (3) \\ \dfrac{\color{red}{x} + 7}{\sqrt{\color{red}{x} + 4}} + \dfrac34 & = 0 && (4) \\ \sqrt[3]{\color{red}{x}+7} & = \sqrt{\color{red}{x}+9} && (5) \end{aligned}$$Di sisi lain, dua contoh berikut bukan termasuk persamaan irasional.
$$\begin{aligned} x\sqrt{3} & = 2-\sqrt5 && (6) \\ \dfrac{x+1}{x+2} & = \dfrac{x + 4}{x + 2} && (7) \end{aligned}$$Persamaan $(6)$ bukan termasuk persamaan irasional karena variabelnya tidak berada di dalam tanda akar. Persamaan $(6)$ tergolong persamaan linear.
Persamaan $(7)$ juga bukan persamaan irasional karena variabelnya tidak termuat dalam tanda akar. Persamaan $(7)$ merupakan persamaan rasional.
Dengan memperhatikan beberapa contoh di atas, kita diharapkan dapat membedakan mana yang termasuk persamaan irasional dan mana yang bukan. Dalam persamaan irasional, kita umumnya diharuskan untuk menentukan penyelesaian, yaitu nilai pengganti variabel yang membuat persamaan yang bersangkutan menjadi benar.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar)
Berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan mengenai penyelesaian persamaan irasional (bentuk akar). Semoga bermanfaat.
Quote by Ki Hajar Dewantara
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Penyelesaian $\sqrt{2x+6} = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 3$
B. $x = -3$
C. $x = 0$
D. $x = -3$ atau $x = 3$
E. $\text{tidak ada}$
Diketahui $\sqrt{2x+6} = 0.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x+6})^2 & = 0^2 \\ 2x+6 & = 0 \\ 2x & = -6 \\ x & = -3 \end{aligned}$
Syarat akar:
$2x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3.$
Karena $x = -3$ memenuhi syarat $x \geq -3,$ maka solusi ini diterima. Jadi, penyelesaian persamaan irasional tersebut adalah $x = -3.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Jika $x$ memenuhi $\sqrt{3x-1} = 2$, maka nilai dari $x + \dfrac13 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac13$ C. $2$ E. $3$
B. $\dfrac53$ D. $\dfrac73$
Diketahui $\sqrt{3x-1} = 2.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{3x-1})^2 & = 2^2 \\ 3x-1 & = 4 \\ 3x & = 5 \\ x & = \dfrac53 \end{aligned}$
Syarat akar:
$3x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac13.$
Karena $x = \dfrac53$ memenuhi syarat $x \geq \dfrac13$, maka solusi ini diterima.
Jadi, penyelesaian persamaan irasional tersebut adalah $x = \dfrac53.$
Dengan demikian, nilai dari
$\boxed{x + \dfrac13 = \dfrac53 + \dfrac13 = 2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 3
Penyelesaian dari persamaan $\sqrt[3]{x + 8} = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 3$ D. $x = 27$
B. $x = 19$ E. $x = 31$
C. $x = 21$
Diketahui $\sqrt[3]{x + 8} = 3.$
Kubikkan (pangkat tigakan) kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt[3]{x + 8})^3 & = 3^3 \\ x + 8 & = 27 \\ x & = 19 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x=19}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Semua bilangan real yang memenuhi persamaan $\sqrt{x^2+4x-5} = 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -7$ atau $x = 3$
B. $x = -3$ atau $x = 7$
C. $x = 3$ atau $x = 7$
D. $x = -7$ saja
E. $x = 3$ saja
Diketahui $\sqrt{x^2+4x-5} = 4.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2+4x-5})^2 & = 4^2 \\ x^2+4x-5 & = 16 \\ x^2+4x-21 & = 0 \\ (x+7)(x-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -7$ atau $x = 3.$
Syarat akar:
$\begin{aligned} x^2+4x-5 & \geq 0 \\ (x+5)(x-1) & \geq 0 \\ x \leq -5 &~\text{atau}~x \geq 1 \end{aligned}$
Karena $x = -7$ maupun $x = 3$ memenuhi syarat akar di atas, maka solusi ini diterima.
Jadi, semua bilangan real yang memenuhi persamaan irasional di atas adalah $x = -7$ atau $x = 3.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 5
Himpunan penyelesaian persamaan $\sqrt{x^2-16} = \sqrt{x+4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-5, -4\}$ D. $\{-4\}$
B. $\{-4, 5\}$ E. $\{5\}$
C. $\{4, 5\}$
Diketahui $\sqrt{x^2-16} = \sqrt{x+4}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-16})^2 & = (\sqrt{x+4})^2 \\ x^2-16 & = x+4 \\ x^2-x-20 & = 0 \\ (x+4)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -4$ atau $x = 5$.
Syarat akar $(1)$:
$\begin{aligned} x^2-16 & \geq 0 \\ (x-4)(x+4) & \geq 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol: $x = 4$ atau $x = -4$. Penyelesaiannya adalah
$x \leq -4~\text{atau}~x \geq 4$ (bertanda $>,$ menggunakan kata ATAU).
Syarat akar $(2)$:
$x + 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -4.$
Sekarang, analisislah menggunakan bantuan garis bilangan.
Tampak bahwa $x = -4$ atau $x = 5$ memenuhi kedua syarat akar. Dengan demikian, HP persamaan irasional di atas adalah $\boxed{\{-4, 5\}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{x-3} = 5-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -4$
B. $x = 4$
C. $x = 7$
D. $x = -4$ atau $x = 7$
E. $x = 4$ atau $x = 7$
Diketahui $\sqrt{x-3} = 5-x.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x-3})^2 & = (5-x)^2 \\ x-3 & = 25-10x+x^2 \\ x^2-11x+28 & = 0 \\ (x-4)(x-7) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 4$ atau $x = 7.$
Syarat akar $(1)$:
$x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3.$
Syarat nonnegatif $(2)$:
$5-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 5.$
Catatan: Syarat nonnegatif ada untuk memastikan bahwa nilai/hasil dari bentuk akar kuadrat tidak mungkin negatif. Dalam kasusi ini, $\sqrt{x-3}$ hasilnya pasti lebih dari atau sama dengan $0.$
Sekarang, analisislah menggunakan bantuan garis bilangan.
Tampak bahwa $x = 4$ memenuhi syarat akar dan syarat nonnegatif di atas, sedangkan $x = 7$ tidak memenuhi syarat $x \leq 5.$ Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi persamaan irasional di atas adalah $\boxed{x = 4}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x+2 = \sqrt{10-x^2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -3$
B. $x = -2$
C. $x = 1$
D. $x = -3$ atau $x = 1$
E. $x = -1$ atau $x = 3$
Diketahui $x+2 = \sqrt{10-x^2}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (x+2)^2 & = (\sqrt{10-x^2})^2 \\ x^2+4x+4 & = 10-x^2 \\ 2x^2+4x-6 & = 0 \\ x^2+2x-3 & = 0 \\ (x+3)(x-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -3$ atau $x = 1$.
Syarat nonnegatif $(1)$:
$x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2.$
Syarat akar $(2)$:
$$10-x^2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10}) \leq 0.$$Pembuat nol: $x = -\sqrt{10}$ atau $x = \sqrt{10}.$
Penyelesaiannya adalah $-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}.$
Sekarang, analisislah menggunakan bantuan garis bilangan.
Tampak bahwa $x = 1$ memenuhi kedua syarat, sedangkan $x = -3$ tidak memenuhi syarat $x \geq -2$. Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi persamaan irasional di atas adalah $\boxed{x = 1}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{10x-25} = 20-5x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{17}{5}$ atau $5$ D. $\dfrac{17}{5}$ saja
B. $\dfrac{17}{5}$ atau $-5$ E. $5$ saja
C. $17$ atau $1$
Diketahui $\sqrt{10x-25} = 20-5x.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} (\sqrt{10x-25})^2 & = (20-5x)^2 \\ 10x-25 & = 400-200x+25x^2 \\ 25x^2-210x+425 & = 0 \\ 5x^2-42x+85 & = 0 \\ (5x-17)(x-5)& = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = \dfrac{17}{5}$ atau $x = 5.$
Syarat akar $(1)$:
$10x-25 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac52.$
Syarat nonnegatif $(2)$:
$20-5x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4.$
Sekarang, analisislah menggunakan bantuan garis bilangan.
Tampak bahwa $x = \dfrac{17}{5}$ memenuhi kedua syarat , sedangkan $x = 5$ tidak memenuhi syarat $x \leq 4$. Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi persamaan irasional di atas adalah $\boxed{x = \dfrac{17}{5}~\text{saja}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 9
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{17x-\sqrt{x^2-5}} = 7$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -3$ D. $x = 9$
B. $x = 3$ E. $x = 49$
C. $x = 5$
Diketahui $\sqrt{17x-\sqrt{x^2-5}} = 7.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu sederhanakan sampai diperoleh bentuk akar tunggal dalam satu ruas.
$\begin{aligned} (\sqrt{17x-\sqrt{x^2-5}})^2 & = 7^2 \\ 17x-\sqrt{x^2-5} & = 49 \\ -\sqrt{x^2-5} & = 49-17x \\ \sqrt{x^2-5} & = 17x-49 \end{aligned}$
Kuadratkan kedua ruas lagi, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-5})^2 & = (17x-49)^2 \\ x^2-5 & = 289x^2-1.666x+2.401 \\ 288x^2-1.666x+2.406 & = 0 \\ 144x^2-833x+1.203 & = 0 \\ (144x-401)(x-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = \dfrac{401}{144}$ atau $x = 3$.
Syarat akar:
$17x-49 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{49}{17}.$
Perhatikan bahwa $x = 3$ memenuhi syarat akar ini, tetapi tidak untuk $x = \dfrac{401}{144}.$
Uji nilai $x = 3$ pada persamaan mula-mula.
$\begin{aligned} \sqrt{17x-\sqrt{x^2-5}} & = 7 \\ \Rightarrow \sqrt{17(3)-\sqrt{3^2-5}} & = 7 \\ \sqrt{51-\sqrt{4}} & = 7 \\ \sqrt{49} & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x = 3$ merupakan penyelesaian persamaan tersebut.
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Penyelesaian $x$ dari persamaan $\sqrt{x^2-13} = 2\sqrt{2x+5}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$ D. $1$ atau $7$
B. $7$ E. $-3$ atau $11$
C. $11$
Diketahui $\sqrt{x^2-13} = 2\sqrt{2x+5}.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-13})^2 & = (2\sqrt{2x+5})^2 \\ x^2-13 & = 4(2x+5) \\ x^2-13 & = 8x+20 \\ x^2-8x-33 & = 0 \\ (x-11)(x+3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 11$ atau $x = -3.$
Syarat akar $(1)$:
$\begin{aligned} x^2-13 & \geq 0 \\ (x+\sqrt{13})(x-\sqrt{13}) & \geq 0 \\ x \leq -\sqrt{13}~&\text{atau}~x \geq \sqrt{13} \end{aligned}$
Syarat akar $(2)$:
$2x+5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac52.$
Perhatikan bahwa $x = 11$ memenuhi kedua syarat akar, tetapi $x=-3$ tidak memenuhi syarat akar $(2),$ dengan $x \geq -\dfrac52.$ Dengan demikian, penyelesaian persamaan irasional tersebut adalah $\boxed{x = 11}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 11
Banyak penyelesaian dari persamaan $\sqrt{x^2-9} = x-3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ D. $3$
B. $1$ E. takhingga
C. $2$
Diketahui $\sqrt{x^2-9} = x-3.$
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-9})^2 & = (x-3)^2 \\ \cancel{x^2}-9 & = \cancel{x^2}-6x+9 \\ 6x & = 18 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$\begin{aligned} x^2-9 & \geq 0 \\ (x+3)(x-3) & \geq 0 \\ x \leq -3~&\text{atau}~x \geq 3 \end{aligned}$
Syarat nonnegatif $(2)$:
$x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3.$
Perhatikan bahwa $x = 3$ memenuhi kedua syarat sehingga memenuhi penyelesaian persamaan irasional tersebut. Jadi, hanya ada $\boxed{1}$ penyelesaian persamaan tersebut.
(Jawaban B)
Soal Nomor 12
Penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3x+7} + \sqrt{x+3} = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -3$ saja
B. $x = 6$ saja
C. $x = 118$ saja
D. $x = 6$ atau $x = 118$
E. $x = 12$ atau $x = 118$
Diketahui $\sqrt{3x+7} + \sqrt{x+3} = 8$.
Posisikan masing-masing ruas dengan suku yang memuat tanda akar, lalu kuadratkan.
$$\begin{aligned} \sqrt{3x+7} & = 8-\sqrt{x+3} \\ (\sqrt{3x+7})^2 & = (8-\sqrt{x+3})^2 \\ 3x+7 & = 64-16\sqrt{x+3} + (x+3) \end{aligned}$$Sederhanakan persamaan terakhir, lalu kuadratkan sekali lagi, dan diselesaikan seperti biasa.
$\begin{aligned} 16\sqrt{x+3} & = 60-2x \\ 8\sqrt{x+3} & = \color{red}{30-x} \\ (8\sqrt{x+3})^2 & = (30-x)^2 \\ 64(x+3) & = 900-60x+x^2 \\ 64x+192 & = 900-60x + x^2 \\ x^2-124x+708 & = 0 \\ (x-6)(x-118) & = 0 \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$3x+7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac73.$
Syarat akar $(2)$:
$x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3.$
Syarat akar $(3)$:
$30-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 30.$
Perhatikan hasil irisan penyelesaian menggunakan garis bilangan berikut.
Tampak bahwa $x = 6$ memenuhi ketiga syarat akar, sedangkan $x = 118$ tidak memenuhi syarat akar $(3)$. Jadi, penyelesaian persamaan irasional tersebut adalah $\boxed{x=6~\text{saja}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 13
Diketahui bilangan real positif $x$ memenuhi persamaan $\sqrt[3]{1-x^3} + \sqrt[3]{1+x^3} = 1$. Nilai dari $x^2$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\sqrt[3]{28}}{3}$ D. $\dfrac{\sqrt{26}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt[3]{26}}{3}$ E. $\dfrac{3}{\sqrt[3]{28}}$
C. $\dfrac{\sqrt{28}}{3}$
Diketahui $\color{red}{\sqrt[3]{1-x^3} + \sqrt[3]{1+x^3} = 1}.$
Pangkatkan tiga di kedua ruas dan terapkan penguraian
$\begin{aligned} (a+b)^3 & = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ & = (a^3+b^3)+3ab(a+b) \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} & (\sqrt[3]{1-x^3}+ \sqrt[3]{1+x^3})^3 = 1^3 \\ & (1-\cancel{x^3})+(1+\cancel{x^3})+3(\sqrt[3]{1-x^3}) \\ & (\sqrt[3]{1+x^3})(\color{red}{\sqrt[3]{1-x^3} + \sqrt[3]{1+x^3}}) = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 + 3(\sqrt[3]{1-x^6})(1) & = 1 \\ 3\sqrt[3]{1-x^6} & = -1 \\ (3\sqrt[3]{1-x^6})^3 & = (-1)^3 && (\text{Kedua ruas dipangkatkan 3}) \\ 27(1-x^6) & = -1 \\ 1-x^6 & = -\dfrac{1}{27} \\ x^6 & = \dfrac{28}{27} \\ x^2 & = \sqrt[3]{\dfrac{28}{27}} \\ x^2 & = \dfrac{\sqrt[3]{28}}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x^2 = \dfrac{\sqrt[3]{28}}{3}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 14
Diketahui persamaan $x-3\sqrt{\dfrac{5}{x}} = 8$ untuk $x > 0$. Nilai dari $x-\sqrt{5x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $5$ E. $7$
B. $3$ D. $6$
Dari persamaan $x-3\sqrt{\dfrac{5}{x}} = 8$, kita peroleh
$$\begin{aligned} x-8 & = 3\sqrt{\dfrac{5}{x}} \\ x-5 & = 3 + 3\sqrt{\dfrac{5}{x}} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~\sqrt{x} \\ (x-5)\sqrt{x} & = 3\sqrt{x} + 3\sqrt5 \\ (\sqrt{x}-\sqrt5)\cancel{(\sqrt{x}+\sqrt5)}\sqrt{x} & = 3\cancel{(\sqrt{x} + \sqrt5)} \\ (\sqrt{x}-\sqrt5)\sqrt{x} & = 3 \\ x-\sqrt{5x} & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{x-\sqrt{5x} = 3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 15
Jumlah dari semua solusi persamaan $\sqrt[4]{x} = \dfrac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $81$ D. $418$
B. $256$ E. $593$
C. $337$
Diketahui $\sqrt[4]{x} = \dfrac{12}{7-\sqrt[4]{x}}.$
Misalkan $n = \sqrt[4]{x}.$
Persamaan irasional di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} n & = \dfrac{12}{7-n} \\ n(7-n) & = 12 \\ 7n-n^2 & = 12 \\ n^2-7n+12 & = 0 \\ (n-3)(n-4) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n = 3 \lor n = 4$.
Bila $n = 3 = \sqrt[4]{x}$, maka $x_1= 3^4 = 81.$
Bila $n = 4 = \sqrt[4]{x}$, maka $x_2 = 4^4 = 256.$
Jumlah semua solusi persamaan di atas adalah $\boxed{x_1+x_2 = 81+256=337}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 16
Jika $$\sqrt{14y^2-20y+48} + \sqrt{14y^2-20y-15} = 9,$$ maka nilai dari $$\sqrt{14y^2-20y+48}- \sqrt{14y^2-20y-15}$$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $9$ E. $18$
B. $7$ D. $11$
Diketahui
$$\sqrt{14y^2-20y+48} + \sqrt{14y^2-20y-15} = 9.~~~(\cdots 1)$$Misalkan $$\sqrt{14y^2-20y+48}- \sqrt{14y^2-20y-15} = x~~~(\cdots 2),$$ maka dengan mengalikan kedua persamaan tersebut sesuai ruasnya, diperoleh
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{14y^2-20y+48} + \sqrt{14y^2-20y-15}\right)\left(\sqrt{14y^2-20y+48}- \sqrt{14y^2-20y-15}\right) & = 9x \\ (\cancel{14y^2-20y}+48)-(\cancel{14y^2-20y}-15) & = 9x \\ 48+15 & = 9x \\ 63 & = 9x \\ 7 & = x \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\sqrt{14y^2-20y+48}- \sqrt{14y^2-20y-15} = 7}$$(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Dua bilangan real $x, y$ memenuhi $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$. Nilai $x+y$ adalah $\cdots \cdot$
A.$-1$ C. $1$ E. $4$
B. $0$ D. $2$
Diketahui bilangan real $x,y$ memenuhi
$$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1~~~~(\cdots 1)$$Kedua ruas pada Persamaan $(1)$ dikalikan $(x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1})$, diperoleh
$$\begin{aligned} (x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})(y-\sqrt{y^2+1}) & = (x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1}) \\ (x^2-(x^2+1))(y^2-(y^2+1)) & = (x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1}) \\ (-1)(-1) & = (x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1}) \\ (x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1}) & = 1. \end{aligned}$$Kita sebut persamaan $(x-\sqrt{x^2+1})(y-\sqrt{y^2+1}) = 1$ sebagai Persamaan $(2).$
Persamaan $(1)$ dapat ditulis ulang menjadi
$y+\sqrt{y^2+1} = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.$
Persamaan $(2)$ dapat ditulis ulang menjadi
$y-\sqrt{y^2+1} = \dfrac{1}{x-\sqrt{x^2+1}}.$
Jumlahkan kedua persamaan di atas untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} 2y & = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{1}{x-\sqrt{x^2+1}} \\ 2y & = \dfrac{x-\bcancel{\sqrt{x^2+1}}+x+\bcancel{\sqrt{x^2+1}}}{x^2-(x^2+1)} \\ 2y & = \dfrac{2x}{-1} \\ y & = -x \\ x+y & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{x+y=0}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 18
Hasil kali semua akar real dari persamaan $2x^2+3x+4 = 2\sqrt{2x^2+3x+12}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ C. $-1$ E. $2$
B. $-2$ D. $1$
Misalkan $y = \sqrt{2x^2+3x+12}.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 2x^2+3x+4 & = (2x^2+3x+12)-8 \\ & = (\sqrt{2x^2+3x+12})^2-8 \\ & = y^2-8. \end{aligned}$$Sekarang dari persamaan semula, diperoleh
$\begin{aligned} 2x^2+3x+4& = 2\sqrt{2x^2+3x+12} \\ \Rightarrow y^2-8 & = 2y \\ y^2-2y-8 & = 0 \\ (y-4)(y+2) & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh $y = 4$ atau $y = -2.$ Karena $y = \sqrt{2x^2+3x+12}$, maka nilai $y$ tidak mungkin negatif sehingga diambil $y=4.$
Kita dapatkan,
$\begin{aligned} \sqrt{2x^2+3x+12} & = 4 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ (\sqrt{2x^2+3x+12})^2 & = 4^2 \\ 2x^2+3x+12 & = 16 \\ \underbrace{2}_{a}x^2+\underbrace{3}_{b}x\underbrace{-4}_{c} & = 0 \end{aligned}$
Hasil kali semua akarnya adalah $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{2} = -2.$
(Jawaban B)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}} = 1.$
Diketahui $x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}} = 1.$
Posisikan bentuk aljabar pada tiap ruas untuk dikuadratkan (agar notasi akarnya dapat dihilangkan).
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+\sqrt{\color{red}{x^3+1}}} & = 1-x \\ (\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}})^2 & = (\color{red}{1-x})^2 \\ \cancel{x^2}+\sqrt{x^3+1} & = 1-2x+\cancel{x^2} \\ \sqrt{x^3+1} & = 1-2x \\ (\sqrt{x^3+1})^2 & = 1-2x \\ x^3+1 & = (\color{red}{1-2x})^2 \\ x^3+\cancel{1} & = \cancel{1}-4x+4x^2 \\ x^3-4x^2+4x & = 0 \\ x(x^2-4x+4) & = 0 \\ x(x-2)^2 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 0$ atau $x = 2.$
Syarat akar $(1)$:
$1-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1.$
Syarat akar $(2)$:
$1-2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \dfrac12.$
Syarat akar $(3)$:
$x^3 + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x^3 \geq -1 \Leftrightarrow x \geq -1.$
Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, tampak bahwa $x=0$ memenuhi kedua syarat, namun $x=2$ tidak memenuhi keduanya.
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut hanya ada $1$, yakni $\boxed{x = 0}$
Soal Nomor 2
Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan irasional berikut.
$$\sqrt{2x+1} + 2 = \sqrt{2x-5}$$
Persamaan irasional tersebut tidak memiliki solusi real yang memenuhi.
Jawaban intuitif:
Persamaan
$$\sqrt{2x+1} = \sqrt{2x-5}$$tampak tidak memiliki penyelesaian karena jelas $2x+1 > 2x-5$. Hal ini juga berlaku demikian bila ruas kiri diperbesar nilainya dengan ditambah $2$ sehingga
$$\sqrt{2x+1} + 2 = \sqrt{2x-5}$$juga tidak memiliki penyelesaian.
Jawaban analitis:
Andaikan ada solusi $x$ yang memiliki syarat bahwa $2x-5 \geq 0$ sehingga $x \geq \dfrac52$.
Ini berarti $\sqrt{2x+1} > 0$ dan akibatnya,
$$\begin{aligned} \sqrt{2x+1} & > \sqrt{2x-5} \\ \Rightarrow \sqrt{2x+1} + 2 & > \sqrt{2x-5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan $\sqrt{2x+1} + 2 = \sqrt{2x-5}$ tidak memiliki solusi. Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ \}.$
Soal Nomor 3
Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan irasional berikut.
$$2^x-3^x=\sqrt{6^x-9^x}$$
Diketahui $2^x-3^x=\sqrt{6^x-9^x}.$
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menguadratkan kedua ruas, kemudian sederhanakan.
$$\begin{aligned} (2^x-3^x)^2 & = \left(\sqrt{6^x-9^x}\right)^2 \\ 2^{2x} + 3^{2x}-2 \cdot 2^x \cdot 3^x & = 6^x-9^x \\ 2^{2x} + 3^{2x}-2 \cdot 2^x \cdot 3^x & = 2^x \cdot 3^x -3^{2x} \\ 2^{2x}-3 \cdot 2^x \cdot 3^x+3^{2x} & = 0 \\ (2^{x}-2 \cdot 3^x)(2^x-3^x) & = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh dua kemungkinan.
Kemungkinan 1:
$$\begin{aligned} 2^x-2 \cdot 3^x & = 0 \\ 2^x & = 2 \cdot 3^x \\ \log 2^x & = \log (2 \cdot 3^x) \\ \log 2^x & = \log 2 + \log 3^x \\ x \log 2 & = \log 2 + x \log 3 \\ x(\log 2-\log 3) & = \log 2 \\ x \cdot \log \dfrac23 & = \log 2 \\ x & = \dfrac{\log 2}{\log \frac23} \\ x & = \! ^{2/3} \log 2 \end{aligned}$$Kemungkinan 2:
$$\begin{aligned} 2^x-3^x & = 0 \\ 2^x & = 3^x \\ x & = 0 \end{aligned}$$Kedua nilai $x$ ini diterima karena memenuhi syarat akar bahwa radikannya tidak boleh negatif, yaitu $6^x-9^x \ge 0.$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan irasional tersebut adalah $$\boxed{x = \! ^{2/3} \log 2 \lor x = 0}$$
Soal Nomor 4
Diketahui bilangan real $a$ dan $b$ memenuhi $\sqrt{a}-\sqrt{b} = 20.$ Berapa nilai maksimum dari $a-5b?$
Diketahui
$$\begin{aligned} \sqrt{a}-\sqrt{b} & = 20 \\ \sqrt{a} & = 20+\sqrt{b} \\ (\sqrt{a})^2 & = (20+\sqrt{b})^2 \\ a & = 400 + 40\sqrt{b} + b. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a-5b & = (400 + 40\sqrt{b} + b)-5b \\ & = 400 + 40\sqrt{b}-4b \\ & = -4(b -10\sqrt{b}) + 400 \\ & = -4((\sqrt{b}-5)^2-25) + 400 \\ & = -4(\sqrt{b}-5)^2+500. \end{aligned}$$Bentuk $-4(\sqrt{b}-5)^2+500$ akan bernilai maksimum apabila $\sqrt{b}-5$ bernilai $0,$ yaitu ketika $b = 25.$ Akibatnya, nilai maksimum dari $a-5b$ adalah $\boxed{500}$