Tag: Koefisien Determinasi

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan massa gula (dalam gram), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan suhu (dalam derajat Celsius).
Jawaban a)
Diagram pencar dari data di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
Jawaban b)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Gula).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=16,5& \sum y=100,4\\ \sum x^2=25,85& \sum y^2=923,58\\ \sum xy=152,59& n=11.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=152,59-{\displaystyle \frac{16,5\cdot 100,4}{11}}=1,99\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=25,85-{\displaystyle \frac{(16,5{)}^2}{11}}=1,1\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{1,99}{1,1}}\approx 1,8091\\ b_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{100,4-1,8091\cdot 16,5}{11}}\\ & \approx 6,4136.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=6,4136+1,8091x}}.$
Jawaban c)
Nilai ${\text{JK}}_{YY}$ diperlukan sehingga perlu dicari terlebih dahulu.
$${\text{JK}}_{YY}=\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=923,58-{\displaystyle \frac{(100,4{)}^2}{11}}\approx 7,2018.$$Dengan demikian, koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{r}_{XY}& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}\cdot {\text{JK}}_{YY}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1,99}{\sqrt{1,1\cdot 7,2018}}}\\ & \approx 0,7070.\end{array}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ cukup erat dan bersifat searah.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{R}^2& =b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}{\text{JK}}_{YY}\\ & ={\displaystyle \frac{1,8091\cdot 1,99}{7,2018}}\\ & \approx 0,4999.\end{array}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $49,99\mathrm{\%}.$  
Jawaban e)
Untuk $x=1,75,$ diperoleh nilai $$\hat{y}=6,4136+1,8091\cdot 1,75\approx 9,5795.$$Jadi, taksiran massa gula yang terbentuk pada suhu $1,{75}^{\circ }\text{C}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 9,5795}}$ gram.

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan skor keterampilan berpikir kritis, sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai ujian trigonometri siswa.
Jawaban a)
Diagram pencar dari data di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
Jawaban b)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Berpikir Kritis).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=61& \sum y=52\\ \sum x^2=403& \sum y^2=298\\ \sum xy=345& n=10.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=345-{\displaystyle \frac{61\cdot 52}{10}}=27,8\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=403-{\displaystyle \frac{(61{)}^2}{10}}=30,9\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{27,8}{30,9}}\\ & \approx 0,8997\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{52-0,8997\cdot 61}{10}}\\ & =-0,2882.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=-0,2882+0,8997x}}.$
Jawaban c)
Diketahui $b_1=0,8997,$ $B_1=0,$ dan $\alpha =5\mathrm{\%}=0,05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=298-{\displaystyle \frac{(52{)}^2}{10}}=27,6\\ s_e& =\sqrt{{\displaystyle \frac{J{K}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{27,6-0,8997\cdot 27,8}{10-2}}}\\ & \approx 0,5088.\end{array}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk ${\beta }_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah ${\beta }_1.$
$$\begin{array}{cc}\text{Hipotesis nol}& H_0:{\beta }_1=0.\\ \text{Hipotesis alternatif}& H_1:{\beta }_1\ne 0.\end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}}={\displaystyle \frac{b_1-B_1}{s_e/\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}={\displaystyle \frac{0,8997-0}{0,5088/\sqrt{30,9}}}\approx 9,829.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=10-2=8$ adalah $t_{\text{tabel}}=t_{0,025;8}\approx 2,306.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t<-2,306$ dan $t>2,306.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}|=9,829>2,306=t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, koefisien dari variabel prediktor tidak dapat diabaikan.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{R}^2& ={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{YY}}}\\ & ={\displaystyle \frac{0,8997\cdot 27,8}{27,6}}\\ & \approx 0,9062.\end{array}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $90,62\mathrm{\%}.$
Jawaban e)
Untuk $x=6,5,$ diperoleh nilai $$\hat{y}=-0,2882+0,8997\cdot 6,5\approx 5,5599.$$Jadi, taksiran ujian trigonometri yang didapat saat diketahui skor keterampilan berpikir kritis sebesar $6,5$ adalah $\boxed{{\displaystyle 5,5599}}.$

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan nilai ulangan tengah semester, sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai ujian akhir semester.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet UTS dan UAS).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=707& \sum y=658\\ \sum x^2=57.557& \sum y^2=51.980\\ \sum xy=53.258& n=9.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=53.258-{\displaystyle \frac{707\cdot 658}{9}}\approx 1.568,4444\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=57.557-{\displaystyle \frac{(707{)}^2}{9}}\approx 2.018,2222\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{1.568,4444}{2.018,2222}}\\ & \approx 0,7771\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{658-0,7771\cdot 707}{9}}\\ & \approx 12,0656.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=12,0656+0,7771x}}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_0=12,0656$ dan $\alpha =(100-10)\mathrm{\%}=0,1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=57.557-{\displaystyle \frac{(658{)}^2}{9}}\approx 3.872,8889\\ s_e& =\sqrt{{\displaystyle \frac{J{K}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{3.872,8889-0,7771\cdot 1.568,4444}{9-2}}}\\ & \approx 19,4718.\end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran parameter ${\beta }_0.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=9-2=7$ adalah $t_{0,05;7}\approx 1,895.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{b}_0-t_{\alpha /2;\text{dk}}{s}_e\sqrt{{\displaystyle \sum x^2/(n\cdot {\text{JK}}_{XX})}}& <& {\beta }_0& <& b_0+t_{\alpha /2;\text{dk}}{s}_e\sqrt{{\displaystyle \sum x^2/(n\cdot {\text{JK}}_{XX})}}\\ 12,0656-1,895(19,4718)\sqrt{707/(9\cdot 2.018,2222)}& <& {\beta }_0& <& 12,0656+1,895(19,4718)\sqrt{707/(9\cdot 2.018,2222)}\\ 4,7858& <& {\beta }_0& <& 19,3454.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk parameter ${\beta }_0$ adalah $4,7858<{\beta }_0<19,3454.$
Jawaban c)
Diketahui $b_1=0,7771,$ $\alpha =(100-95)\mathrm{\%}=0,05,$ dan $s_e=379,1501.$ Ini merupakan kasus penaksiran parameter ${\beta }_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=9-2=7$ adalah $t_{0,025;7}\approx 2,365.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{b}_1-t_{\alpha /2;\text{dk}}\cdot {\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}& <& {\beta }_1& <& b_1-t_{\alpha /2;\text{dk}}\cdot {\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}\\ 0,7771-2,365\cdot {\displaystyle \frac{19,4718}{\sqrt{2.018,2222}}}& <& {\beta }_1& <& 0,7771+2,365\cdot {\displaystyle \frac{19,4718}{\sqrt{2.018,2222}}}\\ -0,2480& <& {\beta }_1& <& 1,8022.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk parameter ${\beta }_1$ adalah $-0,2480<{\beta }_1<1,8022.$
Jawaban d)
Diketahui $s_e^2\approx 379,1501.$ Ini merupakan kasus uji kebaikan model regresi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Rumusan hipotesis:
$$\begin{array}{cc}\text{Hipotesis nol}& H_0:\text{Model regresi tidak memadai}.\\ \text{Hipotesis alternatif}& H_1:\text{Model regresi memadai}.\end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}}={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{s_e^2}}={\displaystyle \frac{0,7771\cdot 1.568,4444}{379,1501}}\approx 3,2147$$Daerah kritis:
Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha =0,05$ dan derajat kebebasan ${\text{dk}}_1=1$ dan ${\text{dk}}_2=n-2=9-2=7$ adalah $f_{\text{tabel}}=t_{0,05;1;7}\approx 5,59.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f>5,59.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}}=3,2147<5,59=f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti belum cukup untuk mengatakan bahwa model regresi memadai.
Jawaban e)
Untuk $x=85,$ diperoleh nilai $$\hat{y}=12,0656+0,7771\cdot 85=78,1191.$$Jadi, taksiran nilai ujian trigonometri yang didapat saat diketahui nilai tengah semester sebesar $85$ adalah $\boxed{{\displaystyle 78,1191}}.$

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan suhu (dalam derajat Celsius), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan banyaknya komponen kimia yang terurai dalam $100$ gram air.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Komponen Kimia).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=675& \sum y=488\\ \sum x^2=37.125& \sum y^2=17.142\\ \sum xy=25.005& n=18.\end{array}}$$ Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=25.005-{\displaystyle \frac{675\cdot 488}{18}}=6.705\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=37.125-{\displaystyle \frac{(675{)}^2}{18}}=11.812,5\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{6.705}{11.812,5}}\\ & \approx 0,5676\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{488-0,5676\cdot 675}{18}}\\ & \approx 5,8261.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=5,8261+0,5676x}}.$
Jawaban b)
Untuk menentukan koefisien korelasi, nilai ${\text{JK}}_{YY}$ perlu dicari terlebih dahulu.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=17.142-{\displaystyle \frac{(488{)}^2}{18}}\approx 3.911,7778.\end{array}$$Dengan demikian, koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{r}_{XY}& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}\cdot {\text{JK}}_{YY}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{6.705}{\sqrt{11.812,5\cdot 3.911,7778}}}\\ & \approx 0,9864.\end{array}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ sangat erat dan bersifat searah.
Jawaban c)
Karena ${\text{JK}}_{YY}=3.911,7778,$ $b_1=0,5676,$ dan ${\text{JK}}_{XY}=6.705,$ diperoleh
$$\begin{array}{rl}{s}_e^2& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}\\ & ={\displaystyle \frac{3.911,7778-0,5676\cdot 6.705}{18-2}}\\ & \approx 6,6262.\end{array}$$Ini merupakan kasus uji kebaikan model regresi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Rumusan hipotesis:
$$\begin{array}{cc}\text{Hipotesis nol}& H_0:\text{Model regresi tidak memadai}.\\ \text{Hipotesis alternatif}& H_1:\text{Model regresi memadai}.\end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}}={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{s_e^2}}={\displaystyle \frac{0,5676\cdot 6.705}{6,6262}}\approx 574,35$$Daerah kritis:
Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha =0,05$ dan derajat kebebasan ${\text{dk}}_1=1$ dan ${\text{dk}}_2=n-2=18-2=16$ adalah $f_{\text{tabel}}=t_{0,05;1;16}\approx 4,49.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f>4,49.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}}=574,35>4,49=f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti sudah cukup untuk mengatakan bahwa model regresi memadai.
Jawaban d)
Untuk $x=50,$ diperoleh nilai $$\hat{y}=5,8261+0,5676\cdot 50=34,2061.$$Jadi, taksiran banyaknya komponen kimia yang akan terurai dalam $100$ gram air pada suhu ${50}^{\circ }\text{C}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 34,2061}}$ gram.

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan lamanya waktu belajar (dalam jam) dan nilai UTS.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Waktu Belajar).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=117& \sum y=660\\ \sum x^2=1.869& \sum y^2=54.638\\ \sum xy=9.519& n=8.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=9.519-{\displaystyle \frac{117\cdot 660}{8}}=-133,5\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=1.869-{\displaystyle \frac{(117{)}^2}{8}}=157,875\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{-133,5}{157,875}}\\ & \approx -0,8456\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{660-(-0,8456)(117)}{8}}\\ & =94,8669.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=94,8669-0,8456x}}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_0=94,8669,$ $B_1=0,$ dan $\alpha =5\mathrm{\%}=0,05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=54.638-{\displaystyle \frac{(660{)}^2}{8}}=188\\ s_e& =\sqrt{{\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{188-94,8669\cdot (-133,5)}{8-2}}}\\ & \approx 46,2831.\end{array}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk ${\beta }_0.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah ${\beta }_0.$
$$\begin{array}{cc}\text{Hipotesis nol}& H_0:{\beta }_0=0.\\ \text{Hipotesis alternatif}& H_1:{\beta }_0\ne 0.\end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}}={\displaystyle \frac{b_0-B_0}{s_e\sqrt{\sum x^2/(n\cdot {\text{JK}}_{XX})}}}={\displaystyle \frac{94,8669-0}{46,2831\sqrt{1.869/(8\cdot 157,875)}}}\approx 53,2831.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=8-2=6$ adalah $t_{\text{tabel}}=t_{0,025;6}\approx 2,447.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t<-2,447$ dan $t>2,447.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}|=53,2831>2,447=t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, konstanta dari persamaan regresi tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Koefisien korelasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{r}_{XY}& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}\cdot {\text{JK}}_{YY}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{-133,5}{\sqrt{157,875\cdot 188}}}\\ & =-0,7749.\end{array}$$Dari nilai koefisien korelasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa hubungan variabel prediktor $X$ dan variabel respons $Y$ cukup erat dan bersifat berlawanan arah.
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{R}^2& ={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{YY}}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-0,8456)(-133,5)}{188}}\\ & \approx 0,6005.\end{array}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $60,05\mathrm{\%}.$  
Jawaban e)
Untuk $x=15,$ diperoleh nilai $$\hat{y}=94,8669-0,8456\cdot 15=82,1829.$$Jadi, taksiran nilai UTS yang dihasilkan jika waktu belajar yang diluangkan mahasiswa selama $15$ jam adalah $\boxed{{\displaystyle 82,1829}}.$ 

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan besarnya curah hujan harian (dalam $0,01$ cm), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah zarah (partikel, dalam mikrogram per m³) kotoran udara yang terbawa hujan.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Zarah).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=45& \sum y=1.094\\ \sum x^2=244,26& \sum y^2=133.786\\ \sum xy=5.348,2& n=9.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=5,348,2-{\displaystyle \frac{45\cdot 1.094}{9}}=-121,8\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=244,26-{\displaystyle \frac{(45{)}^2}{9}}=19,26\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{-121,8}{19,26}}\\ & \approx -6,3240\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{1.094-(-6,3240)(45)}{9}}\\ & \approx 153,1756.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=153,1756-6,3240x}}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_1=-6,3240,$ $B_1=0,$ dan $\alpha =5\mathrm{\%}=0,05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=133.786-{\displaystyle \frac{(1.094{)}^2}{9}}\approx 804,2222\\ s_e& =\sqrt{{\displaystyle \frac{J{K}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{804,2222-(-6,3240)(-121,8)}{9-2}}}\\ & \approx 2,2026.\end{array}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk ${\beta }_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah ${\beta }_1.$
$$\begin{array}{cc}\text{Hipotesis nol}& H_0:{\beta }_1=0.\\ \text{Hipotesis alternatif}& H_1:{\beta }_1\ne 0.\end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}}={\displaystyle \frac{b_1-B_1}{s_e/\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}={\displaystyle \frac{-6,3240-0}{2,2026/\sqrt{19,26}}}\approx -12,6004.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=9-2=7$ adalah $t_{\text{tabel}}=t_{0,025;7}\approx 2,365.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t<-2,365$ dan $t>2,365.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}|=12,6004>2,365=t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, koefisien dari variabel prediktor tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{R}^2& ={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{YY}}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-6,3240)(-121,8)}{804,2222}}\\ & \approx 0,9578.\end{array}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $95,78\mathrm{\%}.$
Jawaban d)
Untuk $x=4,8,$ diperoleh nilai $$\hat{y}=153,1756-6,3240\cdot 4,8=122,8204.$$Jadi, taksiran banyaknya zarah yang terbawa hujan jika besarnya curah hujan harian sama dengan $0,048$ cm adalah $\boxed{{\displaystyle 122,8204}}$ mikrogram per m³.

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan dosis senyawa organofosfat (dalam mg/kgBB), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan ukuran aktivitas otak.
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Organofosfat).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=28,8& \sum y=107,4\\ \sum x^2=87,04& \sum y^2=1.157,6\\ \sum xy=313,27& n=10.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=313,27-{\displaystyle \frac{28,8\cdot 107,4}{10}}=3,958\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=87,04-{\displaystyle \frac{(28,8{)}^2}{10}}=4,096\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{3,958}{4,096}}\\ & \approx 0,9663\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{107,4-0,9663\cdot 28,8}{10}}\\ & \approx 7,9571.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=7,9571+0,9663x}}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_0=7,9571,$ $B_1=0,$ dan $\alpha =5\mathrm{\%}=0,05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=1.157,6-{\displaystyle \frac{(107,4{)}^2}{10}}=4,124\\ s_e& =\sqrt{{\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{4,124-0,9663\cdot 3,958)}{10-2}}}\\ & \approx 0,1935.\end{array}$$Ini merupakan kasus uji koefisien regresi untuk ${\beta }_0.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah ${\beta }_0.$
$$\begin{array}{cc}\text{Hipotesis nol}& H_0:{\beta }_0=0.\\ \text{Hipotesis alternatif}& H_1:{\beta }_0\ne 0.\end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}}={\displaystyle \frac{b_0-B_0}{s_e\sqrt{\sum x^2/(n\cdot {\text{JK}}_{XX})}}}={\displaystyle \frac{7,9571-0}{0,1935\sqrt{87,04/(10\cdot 4,096)}}}\approx 28,2094.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=10-2=8$ adalah $t_{\text{tabel}}=t_{0,025;8}\approx 2,306.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t<-2,306$ dan $t>2,306.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}|=28,2094>2,306=t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, konstanta dari persamaan regresi tidak dapat diabaikan.
Jawaban c)
Diketahui $b_1=0,9663,$ $\alpha =(100-90)\mathrm{\%}=0,1,$ dan $s_e=0,1935.$ Ini merupakan kasus penaksiran parameter ${\beta }_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=10-2=8$ adalah $t_{0,05;8}\approx 1,86.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{b}_1-t_{\alpha /2;\text{dk}}\cdot {\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}& <& {\beta }_1& <& b_1-t_{\alpha /2;\text{dk}}\cdot {\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}\\ 0,9663-1,86\cdot {\displaystyle \frac{0,1935}{\sqrt{4,096}}}& <& {\beta }_1& <& 0,9663+1,86\cdot {\displaystyle \frac{0,1935}{\sqrt{4,096}}}\\ 0,7885& <& {\beta }_1& <& 1,1441.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk parameter ${\beta }_1$ (koefisien dosis) adalah $0,7885<{\beta }_1<1,1441.$
Jawaban d)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{R}^2& ={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{YY}}}\\ & ={\displaystyle \frac{0,9663\cdot 3,958}{4,124}}\\ & \approx 0,9274.\end{array}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $92,74\mathrm{\%}.$

Misalkan $X$ merupakan variabel yang menyatakan berat batu bara padat (dalam kg), sedangkan $Y$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume gas batu bara yang dihasilkan (dalam m³).
Jawaban a)
Dalam konteks ini, $X$ merupakan variabel prediktor, sedangkan $Y$ merupakan variabel respons. Misalkan model regresi linearnya berbentuk $\hat{y}=b_0+b_{1}x.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari informasi berikut dengan menggunakan bantuan Excel (lihat sheet Batu Bara).
$$\overline{)\begin{array}{cc}\sum x=26,06& \sum y=25,68\\ \sum x^2=85,6104& \sum y^2=83,381\\ \sum xy=84,463& n=8.\end{array}}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{XY}& =\sum xy-{\displaystyle \frac{\sum x\sum y}{n}}=84,463-{\displaystyle \frac{26,06\cdot 25,68}{8}}=0,8104\\ {\text{JK}}_{XX}& =\sum x^2-{\displaystyle \frac{(\sum x{)}^2}{n}}=85,6104-{\displaystyle \frac{(26,06{)}^2}{8}}\approx 0,72\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{XX}}}={\displaystyle \frac{0,8104}{0,72}}\\ & \approx 1,1256\end{array}$$dan
$$\begin{array}{rl}{b}_0& ={\displaystyle \frac{\sum y-b_1\sum x}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{25,68-1,1256\cdot 26,06}{8}}\\ & =-0,4566.\end{array}$$Jadi, model regresi linear yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle \hat{y}=-0,4566+1,1256x}}.$
Jawaban b)
Diketahui $b_1=1,1256$ dan $\alpha =(100-90)\mathrm{\%}=0,1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\text{JK}}_{YY}& =\sum y^2-{\displaystyle \frac{(\sum y{)}^2}{n}}=83,381-{\displaystyle \frac{(26,06{)}^2}{8}}=0,9482\\ s_e& =\sqrt{{\displaystyle \frac{{\text{JK}}_{YY}-b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{n-2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{0,9482-1,1256\cdot 0,8104}{8-2}}}\\ & \approx 0,5568.\end{array}$$Ini merupakan kasus penaksiran parameter ${\beta }_1.$ Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Nilai-$t$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-2=9-2=7$ adalah $t_{0,05;7}\approx 1,895.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{b}_1-t_{\alpha /2;\text{dk}}\cdot {\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}& <& {\beta }_1& <& b_1-t_{\alpha /2;\text{dk}}\cdot {\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\text{JK}}_{XX}}}}\\ 1,1256-1,895\cdot {\displaystyle \frac{0,5568}{\sqrt{0,72}}}& <& {\beta }_1& <& 1,1256+1,895\cdot {\displaystyle \frac{0,5568}{\sqrt{0,72}}}\\ -0,1179& <& {\beta }_1& <& 2,3691.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk parameter ${\beta }_1$ adalah $-0,1179<{\beta }_1<2,3691.$
Jawaban c)
Koefisien determinasi dari $X$ dan $Y$ adalah
$$\begin{array}{rl}{R}^2& ={\displaystyle \frac{b_1\cdot {\text{JK}}_{XY}}{{\text{JK}}_{YY}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1,1256\cdot 0,8104}{0,9482}}\\ & \approx 0,9620.\end{array}$$Dari nilai koefisien determinasi yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa model regresi yang diperoleh dapat memprediksi nilai variabel yang lain sebesar $96,2\mathrm{\%}.$
Jawaban d)
Untuk $\hat{y}=3,51,$ diperoleh $$3,51=-0,4566+1,1256x$$sehingga didapat $x\approx 3,524.$ Jadi, berat batu bara padat yang diperlukan adalah $\boxed{{\displaystyle 3,524}}$ kg.