Tag: Kuantor Eksistensial

$P(x)$ menyatakan kalimat “$x \leq 4.$”
Pernyataan $P(-3)$ bernilai benar karena $-3 \leq 4$ benar. Sebaliknya, pernyataan $P(5), P(8),$ $P(40),$ dan $P(100)$ keempatnya bernilai salah karena $5, 8, 40, 100$ lebih dari $4.$
(Jawaban A)

Cek opsi A:
$\exists x~(x^2 = 2)$ bernilai salah karena kita tidak menemukan kuadrat dari bilangan bulat apa pun yang menghasilkan $2.$
Cek opsi B:
$\forall x~(x^2 + 2 \geq 1),$ dapat ditulis ulang menjadi $\forall x~(x^2 \geq -1),$ bernilai benar karena bilangan bulat kuadrat memiliki nilai minimum $0.$
Cek opsi C:
$\exists x~(x^2 = -1)$ bernilai salah karena kita tidak menemukan kuadrat dari bilangan bulat apa pun yang menghasilkan $-1.$
Cek opsi D:
$\forall x~(x^2 \neq x)$ bernilai salah karena ada bilangan bulat yang memenuhi $x^2 = x,$ yaitu $x = 0$ atau $x = 1.$
Cek opsi E:
$\forall x~(2x < x)$ bernilai salah karena bilangan bulat positif tidak memenuhi pertidaksamaan $2x < x.$ 
(Jawaban B)

$P(x)$ menyatakan kalimat “kata $x$ mengandung huruf $\text{a}.$”
Jawaban a)
$P(\text{kelapa})$ bernilai benar karena kata $\text{kel}{\color{red}{\text{a}}}\text{p}{\color{red}{\text{a}}}$ mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban b)
$P(\text{betul})$ bernilai salah karena kata $\text{betul}$ tidak mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban c)
$P(\text{kura-kura})$ bernilai benar karena kata $\text{kur}{\color{red}{\text{a}}}\text{-kur}{\color{red}{\text{a}}}$ mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban d)
$P(\text{aktuaria})$ bernilai benar karena kata ${\color{red}{\text{a}}}\text{ktu}{\color{red}{\text{a}}}\text{ri}{\color{red}{\text{a}}}$ mengandung huruf $\text{a}.$

$Q(x, y)$ menyatakan kalimat “$x$ adalah ibu kota dari $y.$”
Jawaban a)
$Q(\text{Pontianak}, \text{Kalimantan Barat})$ bernilai benar karena Pontianak memang ibu kota dari Kalimantan Barat.
Jawaban b)
$Q(\text{Banjarmasin}, \text{Kalimantan Selatan})$ bernilai benar karena Banjarmasin memang ibu kota dari Kalimantan Selatan.
Jawaban c)
$Q(\text{Kupang}, \text{Nusa Tenggara Barat})$ bernilai salah karena Kupang seharusnya merupakan ibu kota dari Nusa Tenggara Timur.
Jawaban d)
$Q(\text{Wamena}, \text{Papua Pegunungan})$ bernilai benar karena Wamena memang ibu kota dari Papua Pegunungan.

$P(x)$ menyatakan kalimat “$x$ menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari” dengan domain dari $x$ meliputi semua orang.
Jawaban a)
$\exists x P(x)$ menyatakan “Ada orang yang menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari.”
Jawaban b)
$\forall x P(x)$ menyatakan “Semua orang menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari.”
Jawaban c)
$\exists x~\neg P(x)$ menyatakan “Ada orang yang tidak menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam selama beberapa hari dalam seminggu.”
Jawaban d)
$\forall x~\neg P(x)$ menyatakan “Semua orang tidak menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam selama beberapa hari dalam seminggu.”

$N(x)$ menyatakan kalimat “$x$ pernah mengunjungi Kota Pontianak” dengan domain dari $x$ adalah semua siswa yang ada di sekolah saya.
Jawaban a)
$\exists x~N(x)$ menyatakan “Ada siswa di sekolah saya yang pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban b)
$\forall x~N(x)$ menyatakan “Semua siswa di sekolah saya pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban c)
$\neg \exists x~N(x)$ menyatakan “Tidak benar bahwa ada siswa di sekolah saya yang pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban d)
$\exists x~\neg N(x)$ menyatakan “Ada siswa di sekolah saya yang tidak pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban e)
$\neg \forall x~N(x)$ menyatakan “Tidak benar bahwa semua siswa di sekolah saya pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban f)
$\forall x~\neg N(x)$ menyatakan “Semua siswa di sekolah saya tidak pernah mengunjungi Kota Pontianak.”

Diketahui $C(x)$ menyatakan “$x$ adalah seorang pelawak” dan $F(x)$ adalah “$x$ lucu” dengan domain dari $x$ adalah semua orang.
Jawaban a)
$\forall x \,(C(x) \Rightarrow F(x))$ menyatakan “Semua pelawak lucu.”
Jawaban b)
$\exists x \, (C(x) \Rightarrow F(x))$ menyatakan “Sebagian orang yang merupakan (berprofesi sebagai) pelawak pasti lucu.”
Jawaban c)
$\forall x \, (C(x) \wedge F(x))$ menyatakan “Semua orang adalah pelawak yang lucu.”
Jawaban d)
$\exists x \, (C(x) \wedge F(x))$ menyatakan “Ada pelawak yang lucu” atau “Beberapa pelawak lucu”, atau “Orang yang lucu adalah pelawak.”

Diketahui $A(x)$ menyatakan “$x$ adalah kodok” dan $B(x)$ adalah “$x$ melompat” dengan domain dari $x$ adalah semua binatang.
Jawaban a)
$\forall x \,(A(x) \Rightarrow B(x))$ menyatakan “Semua binatang yang merupakan kodok pasti melompat.”
Jawaban b)
$\exists x \, (A(x) \Rightarrow B(x))$ menyatakan “Sebagian binatang yang merupakan kodok pasti melompat.”
Jawaban c)
$\forall x \, (A(x) \wedge B(x))$ menyatakan “Semua binatang adalah kodok dan mereka melompat.”
Jawaban d)
$\exists x \, (A(x) \wedge B(x))$ menyatakan “Sebagian binatang adalah kodok dan mereka melompat.”

Jawaban a)
“Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia dan Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\exists x \, (P(x) \wedge Q(x)).$
Jawaban b)
“Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia, tetapi tidak untuk bahasa Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\exists x \, (P(x) \wedge \neg Q(x)).$
Jawaban c)
“Semua siswa di sekolah Anda bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\forall x \, (P(x) \lor Q(x)).$
Jawaban d)
“Tidak ada satu pun siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\neg \exists x \, (P(x) \lor Q(x))$ atau ekuivalen secara logika dengan $\forall x \, \neg(P(x) \wedge Q(x)).$

Diketahui $Q(x)$ menyatakan kalimat “$x + 1 > 2x$”.
Jawaban a)
$Q(0)$ menyatakan “$0 + 1 > 2(0)$” atau dapat ditulis menjadi “$1 > 0$.” Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban b)
$Q(1)$ menyatakan “$1 + 1 > 2(1)$” atau dapat ditulis menjadi “$2 > 2$.” Pernyataan ini jelas bernilai salah.
Jawaban c)
$Q(-1)$ menyatakan kalimat “$-1 + 1 > 2(-1)$” atau dapat ditulis menjadi “$0 > -2$.” Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban d)
$\exists x~Q(x)$ menyatakan kalimat” Ada bilangan bulat $x$ sedemikian sehingga $x + 1 > 2x$”. Pernyataan ini bernilai benar karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu,misalnya $x = -1.$
Jawaban e)
$\forall x~Q(x)$ menyatakan kalimat” Semua bilangan bulat $x$ memenuhi $x + 1 > 2x$”. Pernyataan ini bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x = 0.$
Jawaban f)
$\exists x~\neg Q(x)$ menyatakan kalimat” Ada bilangan bulat $x$ sedemikian sehingga $x + 1 \leq 2x$”. Pernyataan ini bernilai benar karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x = 1.$
Jawaban g)
$\forall x~\neg Q(x)$ menyatakan kalimat” Semua bilangan bulat $x$ memenuhi $x + 1 \leq 2x$”. Pernyataan ini bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x = 0.$

Jawaban a)
$\exists x \, (x^3 = -1)$ menyatakan bahwa ada bilangan real $x$ yang memenuhi $x^3 = -1.$ Pernyataan ini bernilai benar karena $x = -1$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Jawaban b)
$\exists x \, (x^4 < x^2)$ menyatakan bahwa ada bilangan real $x$ yang memenuhi $x^4 < x^2.$ Pernyataan ini bernilai benar karena $x = 0,5$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Jawaban c)
$\forall x \, ((-x)^2 = x^2)$ menyatakan bahwa semua bilangan real $x$ memenuhi $(-x)^2 = x^2.$ Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban d)
$\forall x \, (2x > x)$ menyatakan bahwa semua bilangan real $x$ memenuhi $2x > x.$ Pernyataan ini jelas bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan real yang tidak memenuhi pertidaksamaan tersebut, misalnya $x = 0.$

Perlu diingat kembali bahwa aturan praktis (rule of thumb) dari penggunaan kuantor universal $\forall$ berkaitan dengan notasi konjungsi $\wedge,$ sedangkan kuantor eksistensial $\exists$ berkaitan dengan notasi disjungsi $\lor.$
Jawaban a)
$\exists x \, P(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$P(-5) \lor P(-3) \lor P(-1) \lor P(1) \lor P(3) \lor P(5).$$Jawaban b)
$\forall x \, P(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$P(-5) \wedge P(-3) \wedge P(-1) \wedge P(1) \wedge P(3) \wedge P(5).$$Jawaban c)
$\forall x \, ((x \neq 1) \Rightarrow P(x))$ menandakan bahwa semua anggota domain selain $1$ adalah input bagi $P(x).$ Jadi, kalimat tersebut dapat kita nyatakan sebagai
$$P(-5) \wedge P(-3) \wedge P(-1) \wedge P(3) \wedge P(5).$$Jawaban d)
$\exists x \, ((x \geq 0) \wedge P(x))$ menandakan bahwa semua anggota domain yang memenuhi $\geq 0$ adalah input bagi $P(x).$ Jadi, kalimat tersebut dapat kita nyatakan sebagai
$$P(1) \lor P(3) \lor P(5).$$Jawaban e)
$\exists x \, ((\neg P(x)) \wedge \forall x \, ((x < 0) \Rightarrow P(x))$ melibatkan penggunaan dua kuantor pada bagian yang berbeda. Dengan menggunakan cara yang sama, kita dapat nyatakan sebagai
$$(\neg P(-5) \lor \neg P(-3) \lor \neg P(-1) \lor \neg P(1) \lor \neg P(3) \lor \neg P(5)) \wedge (P(-5)$$ $$\wedge P(-3) \wedge P(-1)).$$

Domain #1 menandakan domain yang membuat kalimat bernilai benar, sedangkan domain #2 salah.
Jawaban a)
Kalimat:
Semua orang mempelajari matematika diskret.
Domain #1:
Mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika diskret.
Domain #2:
Mahasiswa di Institut Teknologi Bandung (ITB).
Jawaban b)
Kalimat:
Semua orang berusia lebih dari $5$ tahun.
Domain #1:
Anggota dewan legislatif di negara Indonesia.
Domain #2:
Siswa tingkat Taman Kanak-kanak (TK)
Jawaban c)
Kalimat:
Ada orang yang berteman dengan lebih dari $2$ orang.
Domain #1:
Presiden di setiap negara.
Domain #2:
Bapak Joko Widodo dan Ibu Sri Mulyani.
Jika domainnya hanya meliputi $2$ orang, maka masing-masing orang paling banyak mengenal $1$ orang saja.
Jawaban d)
Kalimat:
Ada orang yang telah memiliki KTP Indonesia.
Domain #1:
Penduduk yang berdomisili di Pulau Kalimantan.
Domain #2:
Anak Indonesia yang berumur kurang dari $17$ tahun.

Misalkan $P(x)$ menyatakan “$x$ sempurna” dengan domain pembicaraannya meliputi semua orang di dunia.
Jawaban a)
Kalimat:
Tidak ada orang yang sempurna.
Ekspresi Logika: $\forall x \, \neg P(x)$
Jawaban b)
Kalimat:
Tidak semua orang itu sempurna.
Ekspresi Logika: $\neg \forall x \, P(x)$
Jawaban c)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Semua temanmu sempurna.
Ekspresi Logika: $\forall x \, (T(x) \Rightarrow P(x))$
Jawaban d)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Paling sedikit satu temanmu sempurna.
Ekspresi Logika: $\exists x \, (T(x) \wedge P(x))$
Jawaban e)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Semua orang adalah temanmu dan mereka sempurna.
Ekspresi Logika: $\forall x \, (T(x) \wedge P(x))$
Jawaban f)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Tidak semua orang adalah temanmu atau seseorang tidak sempurna.
Ekspresi Logika: $\neg \forall x \, T(x) \lor \exists x \, \neg P(x)$