Tag: Limit

Fungsi itu dapat ditulis menjadi
$$f(z) = \dfrac{4}{(z+i) (z-i)}.$$Diperoleh titik singular $z_0 = -i$ dan $z_0 = i$, yang masing-masing berorde satu alias kutub sederhana (simple pole).  Ambil $p(z) = 4$ dan $q(z) = 1 + z^2$.
Dengan menggunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) = \underset{z=z_0}{\text{Res}} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}} $
diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \underset{z=-i}{\text{Res}} \dfrac{4}{z^2+i} & = \dfrac{4}{[2z]_{z = -i}} \\ & = \dfrac{4}{-2i} \\ & = -\dfrac{2}{i} \times \color{red}{\dfrac{i}{i}} = 2i \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} \displaystyle \underset{z=i}{\text{Res}} \dfrac{4}{z^2+i} & = \dfrac{4}{[2z]_{z = i}} \\ & = \dfrac{4}{2i} \\ & = \dfrac{2}{i} \times \color{red}{\dfrac{i}{i}} = -2i. \end{aligned}$$Jadi, untuk titik singular $z_0= i$, residu fungsinya adalah $-2i$, sedangkan untuk titik singular $z_0 = -i$, residu fungsinya adalah $2i$.

(Cara I)
Diketahui titik singular fungsi ini adalah $z_0 = 0$. Ubah bentuk fungsinya dalam deret Laurent, dengan mengingat bahwa ekspresi $\cos z$ sebagai bagian deret Taylor dan $\dfrac{1}{z^4}$ sebagai principal part deret Laurent sehingga
$$\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{z^4} \times \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n \times z^{2n}} {(2n)!} \\ & = \dfrac{1}{z^4} \times \left(1 -\dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} – \dfrac{z^6}{6!} + \cdots\right) \\ & = \dfrac{1}{z^4} -\dfrac{1}{z^2 \cdot 2!} + \dfrac{1}{4!} -\dfrac{z^2}{6!} + \cdots \end{aligned}$$Residu fungsi pada titik singular $z_0 = 0$ adalah koefisien dari $\dfrac{1}{z – z_0} = \dfrac{1}{z} $. Tampak pada ekspresi terakhir, tidak ada bentuk $\dfrac{1}{z} $ yang berarti koefisiennya $0$. Jadi, residu fungsi ini untuk titik singular $z_0 = 0$ adalah $0$.
(Cara II)
Kita dapat menggunakan rumus residu secara langsung untuk $z_0 = 0$, yaitu
$$\displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{\text{d}^{n-1}} {\text{d}z^{n-1}} \left((z – z_0)^n \times f(z)\right)\right]$$sehingga
$$\begin{aligned} \displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{(4-1)!} \lim_{z \to 0} \left[\dfrac{\text{d}^{4-1}} {\text{d}z^{4-1}} \left(z^n \times \dfrac{\cos z} {z^4} \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{3!} \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{\text{d}^3}{\text{d}z^3} (\cos z)\right) \\ & = \dfrac{1}{6} \lim_{z \to 0} (\sin z) = 0. \end{aligned}$$Jadi, residu pada titik singular dari fungsi tersebut adalah $\boxed{0}$

Diketahui titik singular fungsi ini adalah $z_0 = 0$.
Kita dapat memanfaatkan penjabaran fungsinya menjadi deret Laurent untuk mencari residunya.
$$\begin{aligned}\dfrac{\sin 2z} {z^6} & = \displaystyle \dfrac{1}{z^6} \times \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2z)^{2n+1}} {(2n+1)!} \\ & = \dfrac{1}{z^6} \times \left((2z) -\dfrac{(2z)^3} {3!} + \dfrac{(2z) ^5}{5!} -\cdots\right) \\ & = \dfrac{2}{z^5} -\dfrac{2^3}{z^3 \cdot 3!} + \dfrac{2^5}{z \cdot 5!}-\cdots \end{aligned}$$Residunya adalah koefisien dari $\dfrac{1}{z -z_0} = \dfrac{1}{z}$ (karena $z_0 = 0$), yaitu $\boxed{\dfrac{2^5}{5!} = \dfrac{4}{15}} $

Perhatikan bahwa
$f(z) = \tan z = \dfrac{\sin z} {\cos z}.$
Titik singular fungsinya adalah nilai $z$ yang membuat $\cos z = 0$, yaitu $z_0 = \dfrac{\pi}{2}$ sehingga dengan menggunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) =\underset{z=z_0}{\text{Res}} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}$
diperoleh
$\displaystyle  \underset{z=\frac{\pi}{2}}{\text{Res}} \dfrac{\sin z} {\cos z} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi} {2}} {-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1.$
Jadi, residu fungsinya adalah $\boxed{-1}$

Perhatikan bahwa
$f(z) = \sec z = \dfrac{1}{\cos z}.$
Titik singular/pole fungsinya adalah nilai $z$ saat $\cos z = 0$, yaitu $z_0 = \dfrac{\pi} {2}$ sehingga
$\displaystyle  \underset{z=\frac{\pi}{2}}{\text{Res}} \dfrac{1}{\cos z} = \dfrac{1}{-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1.$
Jadi, residu fungsinya adalah $\boxed{-1}$

Titik singular/pole fungsi ini adalah nilai $z$ sehingga $1 -e^z = 0$, yaitu $z_0 = 0.$
$\displaystyle \underset{z=0}{\text{Res}}\dfrac{1}{1 -e^z} = \dfrac{1}{-e^0} = -1.$
Jadi, residu fungsinya adalah $\boxed{-1}$

Fungsi ini dapat ditulis menjadi $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}.$
Fungsi ini ternyata memiliki dua buah pole, yaitu $z_0 = 1$ (berorde dua) dan $z_0 = -1$ (berorde dua).
Residu pada titik singular $z_0 = 1$ adalah
$$\begin{aligned}& \displaystyle  \underset{z=1}{\text{Res}} \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \left[\dfrac{\text{d}} {\text{d}z} \left((z-1)^2 \times \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \right)\right]\\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{\text{d}}{\text{d}z} \left(\dfrac{1}{(z+1)^2}\right)\right) \\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{-2}{(z+1)^3}\right) = -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$$Jadi, residu dari fungsi tersebut adalah $\boxed{-\dfrac14}$

Fungsi di atas dapat ditulis $f(z) = \dfrac{z^4}{(z-2i) (z+i)}.$
Diperoleh pole fungsinya, yaitu $z_0 = 2i$ dan $z_0 = -i$ (masing-masing berorde satu).
Residu pada titik singular/pole $z_0 = 2i$ adalah
$$\displaystyle  \underset{z=2i}{\text{Res}} \dfrac{z^4}{z^2 -iz + 2} = \dfrac{(2i)^4}{2(2i) -i} = \dfrac{16}{3i} = -\dfrac{16}{3}i.$$Residu pada titik singular/pole $z_0 = -i$ adalah
$$\displaystyle  \underset{z=-i}{\text{Res}} \dfrac{z^4}{z^2 -iz + 2} = \dfrac{(-i) ^4}{2(-i) -i} = \dfrac{1}{-3i} = \dfrac{1}{3}i.$$

Kurva yang diberikan adalah kurva lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari $1$. Pertama, kita akan mencari pole dari integrannya, yaitu $\tan \pi z = \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z}.$
Nilai $z$ yang membuat $\cos \pi z = 0$ adalah $z_0 = \pm \dfrac{1}{2}$. Selain itu, $z_0 = \pm \dfrac{3}{2}$ juga membuat $\cos \pi z = 0$, tetapi $z_0$ ini berada di luar kurva $C$ sehingga tidak perlu ditinjau.
Langkah selanjutnya akan dicari residu pada pole $z_0 = \dfrac{1}{2}$ pada fungsi tersebut, yaitu
$\displaystyle  \underset{z=\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin \dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}.$
Berikutnya, akan dicari residu pada pole $z_0 = -\dfrac{1}{2}$ pada fungsi tersebut, yaitu
$\displaystyle  \underset{z= -\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin -\dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin -\dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~\text{d}z & = 2\pi i \times \sum \text{Res} \tan \pi z \\ & = 2 \pi i\left(-\dfrac{1}{\pi} -\dfrac{1}{\pi}\right) \\ &  = -4i. \end{aligned}$
Jadi, hasil integralnya adalah $\boxed{-4i}$

Pole fungsinya adalah nilai $z$ yang membuat $4z^2 -1 = 0$, yaitu $z_0 = \pm \dfrac{1}{2}$ (keduanya berorde satu dan berada dalam kurva $C$).
Berikut akan dicari residu dari kedua pole itu satu per satu, yaitu
$\displaystyle  \underset{z=\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2- 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \frac{1}{2}} {4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}$
dan
$\begin{aligned} \displaystyle \underset{z=-\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2- 1} & = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \left(-\frac{1}{2}\right)} {-4} \\ & = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2- 1}~\text{d}z & = 2\pi i \times \left(\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{4}\pi i \sin \dfrac{1}{2}} \end{aligned}$$

Integrannya dapat ditulis menjadi $f(z) = \dfrac{e^z + z} {z(z-1)(z+1)}.$
Pole fungsi ini adalah $z_0 = 0, z_0 = 1$, dan $z_0 = -1$, ketiganya berorde satu dan berada dalam kurva $C$.
Berikut ini akan dicari residunya.
Residu untuk $z_0 = 0$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=0}{\text{Res}} \dfrac{e^z + z} {z^3 -z} = \dfrac{e^0 + 0}{3(0)^2 -1} = -.1$
Residu untuk $z_0 = 1$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=1}{\text{Res}}  \dfrac{e^z + z} {z^3- z} = \dfrac{e^1 + 1}{3(1)^2 -1} = \dfrac{e + 1}{2}.$
Residu untuk $z_0 = -1$ adalah
$\begin{aligned} \displaystyle  \underset{z=-1}{\text{Res}}  \dfrac{e^z -z} {z^3 -z} & = \dfrac{e^{-1} -1}{3(-1)^2 -1} \\ & = \dfrac{e^{-1} -1}{2}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 -z} & = 2\pi i \times \left(-1 + \dfrac{e + 1}{2} + \dfrac{e^{-1} -1}{2}\right) \\ & = \boxed{\pi i(-2 + e + e^{-1})} \end{aligned} $$