Tag: Maksima

Diketahui $f(x)=y=x^3-3x^2+3x-2.$
Nilai-nilai stasioner $f(x)$ didapat ketika $f^{\prime }(x)=0.$
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ 3x^2-6x+3& =0\\ 3(x^2-2x+1)& =0\\ 3(x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$$Untuk $x=1$, diperoleh nilai stasioner $$\begin{array}{rl}f(1)& =(1{)}^3-3(1{)}^2+3(1)-2\\ & =1-3+3-2\\ & =-1.\end{array}$$Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle y=-1}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+10.$
Nilai-nilai stasioner $f(x)$ didapat ketika $f^{\prime }(x)=0$.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ x^2-x& =0\\ x(x-1)& =0\\ x=0\text{atau}& x=1\end{array}$$Jadi, fungsi $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{{\displaystyle 0\text{atau}1}}.$
(Jawaban D)

Diketahui $g(x)=x^3-3x+3.$
Titik stasioner dicari saat $g^{\prime }(x)=0.$
$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =0\\ 3x^2-3& =0\\ 3(x^2-1)& =0\\ 3(x+1)(x-1)& =0\\ x=-1\text{atau}x& =1\end{array}$$Untuk $x=-1$, diperoleh $$\begin{array}{rl}f(-1)& =(-1{)}^3-3(-1)+3\\ & =-1+3+3=5\end{array}$$sehingga titik stasionernya adalah $(-1,5).$
Untuk $x=1$, diperoleh
$\begin{array}{rl}f(1)& =(1{)}^3-3(1)+3\\ & =1-3+3=1\end{array}$
sehingga titik stasionernya adalah $(1,1).$
Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{{\displaystyle (-1,5)\text{dan}(1,1)}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $p(x)=2x^3-9x^2+12x$.
Titik stasioner dicari saat $p^{\prime }(x)=0.$
$$\begin{array}{rl}{p}^{\prime }(x)& =0\\ 6x^2-18x+12& =0\\ 6(x^2-3x+2)& =0\\ 6(x-2)(x-1)& =0\\ x=1\text{atau}x& =2\end{array}$$Untuk $x=1$, diperoleh
$\begin{array}{rl}p(1)& =2(1{)}^3-9(1{)}^2+12(1)\\ & =2-9+12=5\end{array}$
sehingga titik stasionernya adalah $(1,5).$
Untuk $x=2$, diperoleh
$\begin{array}{rl}p(2)& =2(2{)}^3-9(2{)}^2+12(2)\\ & =16-36+24=4\end{array}$
sehingga titik stasionernya adalah $(2,4).$
Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{{\displaystyle (1,5)\text{dan}(2,4)}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $f(t)=-2t^2+t+3$.
Titik stasioner dicari saat $f^{\prime }(t)=0.$
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t)& =0\\ -4t+1& =0\\ t& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $f(t)$ adalah $f^{\prime \prime }(t)=-4$ sehingga untuk $t={\displaystyle \frac{1}{4}}$, diperoleh $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=-4<0.$ Ini artinya nilai balik maksimum $f$ tercapai saat $t={\displaystyle \frac{1}{4}},$ yaitu
$$\begin{array}{rl}f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)& =-2{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}+3\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+3\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}+3=3,125\end{array}$$Jadi, fungsi $f(t)=-2t^2+t+3$ mempunyai nilai balik maksimum, yaitu $y=3,125.$
(Jawaban C)

Diketahui $y={\displaystyle \frac{t^2+6t+9}{3t^2}}$. Persamaan fungsi itu dapat diubah bentuknya sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}y& ={\displaystyle \frac{t^2}{3t^2}}+{\displaystyle \frac{6t}{3t^2}}+{\displaystyle \frac{9}{3t^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{t}}+{\displaystyle \frac{3}{t^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}+2t^{-1}+3t^{-2}\end{array}$$Turunan pertamanya adalah
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =0+(-2)t^{-2}+(-6)t^{-3}\\ & =-2t^{-2}-6t^{-3}\end{array}$$Titik stasioner dicari saat $y^{\prime }=0.$
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =0\\ -2t^{-2}-6t^{-3}& =0\\ \text{Kedua ruas}& \text{dikalikan}{t}^2\\ -2-6t^{-1}& =0\\ t^{-1}& =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ t& =-3\end{array}$$Substitusi $t=-3$ pada $y$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}y& ={\displaystyle \frac{t^2+6t+9}{3t^2}}\\ \Rightarrow y& ={\displaystyle \frac{(-3{)}^2+6(-3)+9}{3(-3{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{9-18+9}{27}}=0\end{array}$$Jadi, titik baliknya adalah $(-3,0).$
Untuk menentukan titik baliknya maksimum atau minimum, gunakan turunan kedua.
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =4t^{-3}+18t^{-4}\\ \Rightarrow y^{\prime \prime }& =4(-3{)}^{-3}+18(-3{)}^{-4}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{-27}}+{\displaystyle \frac{18}{81}}\\ & =-{\displaystyle \frac{4}{27}}+{\displaystyle \frac{6}{27}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{27}}>0\end{array}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $(-3,0)$ adalah titik balik minimum.
(Jawaban B)

Diketahui $y=t^2-5t+6.$
Titik stasioner dicari saat $y^{\prime }=0.$
$$\begin{array}{rl}2t-5& =0\\ 2t& =5\\ t& ={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$Substitusi $t={\displaystyle \frac{5}{2}}$ pada $y$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}y& ={\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-5\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)+6\\ & ={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\displaystyle \frac{25}{2}}+6\\ & ={\displaystyle \frac{25-50+24}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime }(t)=2$ sehingga untuk $t={\displaystyle \frac{5}{2}},$ diperoleh $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=2>0.$ Ini artinya fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^2.$
Titik stasioner dicari saat $f^{\prime }(x)=0.$
$$\begin{array}{rl}{x}^3-4x& =0\\ x(x^2-4)& =0\\ x(x+2)(x-2)& =0\\ x=0\text{atau}x& =-2\text{atau}x=2\end{array}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-4.$
Substitusi $x=0$ menghasilkan $f^{\prime \prime }(0)=3(0{)}^2-4=-4<0.$
Substitusi $x=-2$ menghasilkan $f^{\prime \prime }(-2)=3(-2{)}^2-4=8>0.$
Substitusi $x=2$ menghasilkan $f^{\prime \prime }(2)=3(2{)}^2-4=8>0.$
Karena $f^{\prime \prime }(0)$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x=0$ merupakan absis titik balik maksimum
Substitusi $x=0$ pada $f(x),$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^2\\ \Rightarrow f(0)& ={\displaystyle \frac{1}{4}}(0{)}^4-2(0{)}^2=0\end{array}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{{\displaystyle (0,0)}}.$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)=4x^3-18x^2+15x-20.$
Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ 12x^2-36x+15& =0\\ 3(4x^2-12x+5)& =0\\ 3(2x-1)(2x-5)& =0\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{atau}x& ={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime }(x)=24x-36.$
Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ dan $x={\displaystyle \frac{5}{2}}.$
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =24\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-36=-24<0\\ f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)& =24\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)-36=24>0\end{array}$$Karena $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{{\displaystyle x={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $f(t)=t+\sqrt{a-2t}.$
Turunan pertama fungsi $f$ dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t)& =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (a-2t{)}^{-1/2}\cdot (-2)\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a-2t}}}\end{array}$$Fungsi $f$ maksimum ketika $f^{\prime }(t)=0$ sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{rl}1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a-2t}}}& =0\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a-2t}}}& =1\\ \sqrt{a-2t}& =1\end{array}$$Dengan demikian, didapat $f_{\text{maks}}(t)=t+1=10$, berarti $t=9.$
Karena itu,
$$\begin{array}{rl}\sqrt{a-2(9)}& =1\\ a-18& =1\\ a& =19\end{array}$$Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle a=19}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=x^3-6x^2+12x+5.$
Turunan pertama dan keduanya berturut-turut adalah
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3x^2-12x+12\\ f^{\prime \prime }(x)& =6x-12\end{array}$$Titik belok grafik fungsi dicari ketika $f^{\prime \prime }(x)=0$, yaitu $6x-12=0$ sehingga diperoleh $x=2.$
Substitusi $x=2$ pada $f(x)$ sehingga diperoleh
$$\begin{array}{rl}f(2)& =(2{)}^3-6(2{)}^2+12(2)+5\\ & =8-24+24+5=13\end{array}$$Jadi, koordinat titik beloknya adalah $\boxed{{\displaystyle (2,13)}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =x^3-4x\\ f^{\prime \prime }(x)& =3x^2-4\end{array}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime }(x)=0.$
Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}3x^2-4& =0\\ x^2& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\\ x& =\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{3}}}\\ x& =\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}=\pm {\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{3}\end{array}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $f(x).$
$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^2\\ \Rightarrow f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{3}\right)& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2-2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}=-{\displaystyle \frac{20}{9}}\\ f(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{3})& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2-2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}=-{\displaystyle \frac{20}{9}}\end{array}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{{\displaystyle (-{\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{3},-{\displaystyle \frac{20}{9}})}}$ dan $\boxed{{\displaystyle ({\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{3},-{\displaystyle \frac{20}{9}})}}.$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=x^3+3x^2-9x.$
Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ 3x^2+6x-9& =0\\ 3(x^2+2x-3)& =0\\ 3(x+3)(x-1)& =0\\ x=-3\text{atau}x& =1\end{array}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime }(x)=6x+6.$
Substitusi $x=-3$ menghasilkan $f^{\prime \prime }(-3)=6(-3)+6=-12<0.$
Substitusi $x=1$ menghasilkan $f^{\prime \prime }(1)=6(1)+6=12>0.$
Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x=1$, yaitu $\boxed{{\displaystyle f(1)=(1{)}^3+3(1{)}^2-9=-5}}.$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+5.$
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =x^2+x-2\\ f^{\prime \prime }(x)& =2x+1\end{array}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f^{\prime }(x)=0.$
$$\begin{array}{rl}{x}^2+x-2& =0\\ (x+2)(x-1)& =0\\ x=-2\text{atau}x& =1\end{array}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime }(x)=2x+1$.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(-2)& =2(-2)+1=-3<0\\ f^{\prime \prime }(1)& =2(1)+1=3>0\end{array}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x=-2$ dan mencapai nilai minimum di $x=1.$
$$\begin{array}{rl}f(-2)& ={\displaystyle \frac{1}{3}}(-2{)}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}(-2{)}^2-2(-2)+5\\ & =-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2+4+5={\displaystyle \frac{25}{3}}& & (\text{maksimum})\\ f(1)& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1{)}^3+{\displaystyle \frac{1}{3}}(1{)}^2-2(1)+5\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-2+5={\displaystyle \frac{23}{6}}& & (\text{minimum})\end{array}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{25}{3}}-{\displaystyle \frac{23}{6}}={\displaystyle \frac{27}{6}}={\displaystyle \frac{9}{2}}}}.$$(Jawaban E)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+9.$
Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =x^2-3x\\ f^{\prime \prime }(x)& =2x-3\end{array}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f^{\prime }(x)=0.$
$$\begin{array}{rl}{x}^2-3x& =0\\ x(x-3)& =0\\ x=0\text{atau}x& =3\end{array}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime }(x)=2x-3.$
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(0)& =2(0)-3=-3<0\\ f^{\prime \prime }(3)& =2(3)-3=3>0\end{array}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x=0$ karena $f^{\prime \prime }(0)$ bernilai negatif.
Substitusi $x=0$ pada $f(x)$, diperoleh $f(0)={\displaystyle \frac{1}{3}}(0{)}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}(0{)}^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+9$ pada interval $0\le x\le 3$ adalah $\boxed{{\displaystyle 9}}.$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x)=4x^3+p{x}^2+15x-20.$
Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut.
$$f^{\prime }(x)=12x^2+2px+15$$Karena diketahui bahwa $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ harus membuat $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$.
$$\begin{array}{rl}12{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+2p\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+15& =0\\ 3+p+15& =0\\ p& =-18\end{array}$$Sekarang,
$f(x)=4x^3-18x^2+15x-20.$
Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =12x^2-36x+15\\ f^{\prime \prime }(x)& =24x-36\end{array}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f^{\prime }(x)=0$.
$$\begin{array}{rl}12x^2-36x+15& =0\\ 3(4x^2-12x+5)& =0\\ 3(2x-1)(2x-5)& =0\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{atau}x& ={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$Nilai $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime }(x)=24x-36.$
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)& =24\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)-36=24>0\end{array}$$Karena nilainya positif, maka $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ membuat nilai $f$ minimum.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $g(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\text{d}t}$ mengimplikasikan $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(g(x))& ={\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}\left({\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\text{d}t}\right)\\ g^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(F(x)-F(0))\\ g^{\prime }(x)& =f(x)-0\\ g^{\prime }(x)& =f(x)\end{array}$$Grafik pada soal menunjukkan kurva turunan fungsi $g.$ Tampak bahwa grafik memotong sumbu-$X$ pada $x=0$, $x=2,$ dan $x=6$ sehingga titik ekstrem fungsi $g$ di ketiga titik tersebut. Grafik juga turun pada interval $0<x<2$ dan $6<x<7,$ serta naik pada interval $2<x<6.$

1. $g(x)$ akan mencapai nilai maksimum di $x=6$ karena $g^{\prime }(x)=f(x)$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
2. $g(x)$ akan mencapai nilai minimum di $x=2$ karena $g^{\prime }(x)=f(x)$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol. 

Dari opsi jawaban yang diberikan, pernyataan yang tepat adalah $g(x)$ mencapai nilai maksimum di $x=6.$
(Jawaban E)

Diketahui
$$x^2+5ax+a^3-4a+1=0$$memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2.$
Jumlah akar dan hasil kali akarnya adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2& =-5a\\ x_1{x}_2& =a^3-4a+1\end{array}$$Jumlahkan keduanya sehingga diperoleh
$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_1{x}_2+x_2& =-5a+(a^3-4a+1)\\ & =a^3-9a+1\end{array}$$Misalkan kita punya fungsi kubik $f(x)=x^3-9x+1.$ Akan dicari nilai maksimum $f(x)$ pada selang $[-3,3]$ dengan menggunakan turunan pertama.
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3x^2-9\\ & =3(x^2-3)\\ & =3(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\end{array}$$Diperoleh pembuat nol $x=-\sqrt{3}$ dan $x=\sqrt{3}.$
Analisis tanda pada daerah yang dibatasi oleh titik kritis $x=-3,-\sqrt{3},\sqrt{3},3$ dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti berikut.
Berdasarkan skema tersebut, $f(x)$ akan berpotensi maksimum saat $x=-\sqrt{3}$ atau $x=3.$
Uji dengan cara substitusi nilai $x$ tersebut pada $f(x)=x^3-9x+1.$
$$\begin{array}{rl}x=-\sqrt{3}& \Rightarrow f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3}{)}^3-9(-\sqrt{3})+1=6\sqrt{3}+1\\ x=3& \Rightarrow f(3)=(3{)}^3-9(3)+1=1\end{array}$$Jadi, $f(x)$ mencapai maksimum di $x=-\sqrt{3}.$ Kembali pada soal semula, $a^3-9a+1$ akan mencapai nilai maksimum saat $\boxed{{\displaystyle a=-\sqrt{3}}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=2x^3-3x^2+a.$
Titik kritis dicari ketemu $f^{\prime }(x)=0$, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}6x^2-6x& =0\\ 6x(x-1)& =0\\ x=0\text{atau}x& =1\end{array}$$Titik kritis fungsi adalah di $x=0$ dan $x=1.$
Selanjutnya, turunan keduanya diberikan oleh
$$f^{\prime \prime }(x)=12x-6.$$Untuk $x=0,$ diperoleh $$f^{\prime \prime }(0)=12(0)-6=-6.$$Karena bertanda negatif, maka $f(x)$ akan bernilai maksimum relatif di $x=0.$
Untuk $x=1,$ diperoleh $$f^{\prime \prime }(1)=12(1)-6=6.$$Karena bertanda positif, maka $f(x)$ akan bernilai minimum relatif di $x=0.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}M& =f(0)\\ & =2(0{)}^3-3(0{)}^2+a\\ & =a\\ m& =f(1)\\ & =2(1{)}^3-3(1{)}^2+a\\ & =-1+a.\end{array}$$Karena diketahui $M+m=3,$ berarti kita peroleh
$$\begin{array}{rl}a+(-1+a)& =3\\ 2a& =4\\ a& =2\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f(2)=2(2{)}^3-3(2{)}^2+2=6}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $y={\displaystyle \frac{1}{3}}(n-2{)}^2{x}^3+x^2-5nx.$
Substitusi $x=3$ dan $y=-27$ sehingga diperoleh
$$\begin{array}{rl}-27& ={\displaystyle \frac{1}{3}}(n-2{)}^2(3{)}^3+3^2-5n(3)\\ -27& ={\displaystyle \frac{1}{3}}(n^2-4n+4)(27)+9-15n\\ -27& =9(n^2-4n+4)+9-15n\\ 0& =9n^2-51n+72\\ 0& =3n^2-17n+24\\ 0& =(3n-8)(n-3)\end{array}$$Diperoleh dua nilai $n$, yaitu $n={\displaystyle \frac{8}{3}}$ atau $n=3.$
Periksa bahwa jika kita pilih $n=3,$ maka
$$\begin{array}{rl}y& ={\displaystyle \frac{1}{3}}(3-2{)}^2{x}^3+x^2-5(3)x\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2-15x\end{array}$$sehingga turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =x^2+2x-15\\ y^{\prime \prime }& =2x+2\end{array}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dicari ketika $y^{\prime }=0.$
$$\begin{array}{rl}{x}^2+2x-15& =0\\ (x+5)(x-3)& =0\\ x=-5\text{atau}x& =3\end{array}$$Substitusi $x=3$ pada $y^{\prime \prime }=2x+2$ sehingga diperoleh $y^{\prime \prime }=2(3)+2=8>0.$ Artinya, nilai $f$ minimum tercapai saat $x=3.$ Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{{\displaystyle 3}}.$