Berikut ini adalah 15 soal (beserta pembahasan) yang diujikan saat babak final Mathematics Competition (MC) tingkat SD/Sederajat pada agenda Lomba Intelegensi Matematika Antar Siswa (LIMAS) Ke-6 yang diselenggarakan oleh Himmat FKIP Untan tanggal 17 Desember 2017.
Soal Nomor 1
Misalkan $x, y, z$ merupakan bilangan satu digit. Jika $71x – 5y9 = z84$, berapakah nilai dari $x – y + z$?
Pada posisi satuan, $(10 + x) – 9 = 4$, berarti $x = 3$.
Pada posisi puluhan, $(11 – 1) – y = 8$, berarti $y = 2$
Pada posisi ratusan, $(7 – 1) – 5 = z$, berarti $z = 1$
Jadi, nilai $\boxed{x – y + z = 3 – 2 + 1 = 2}$
Soal Nomor 2
Diketahui $43PQ389R$ habis dibagi 6. Jika $P, Q, R$ bilangan satu digit, $P : Q = 2 : 3$, dan $Q = 3 \times R$, tentukanlah nilai dari $P + Q + R$
Ciri bilangan yang habis dibagi $6$ adalah bilangannya genap dan habis dibagi $3$ (bilangan yang habis dibagi $3$ berarti bilangan itu berkelipatan $3$).
Karena $Q$ dan $R$ bilangan satu digit dan $Q = 3 \times R$, maka nilai $R$ yang mungkin adalah $1, 2$, atau $3$. $R$ adalah bilangan pada posisi satuan, dan agar bilangan yang dimaksud habis dibagi $6$, nilai $R$ yang mungkin adalah 2. Dengan demikian, $Q = 3 \times R = 3 \times 2 = 6$. Diketahui juga
$P : Q = 2 : 3 = 4 : 6$, berarti nilai $P = 4$. Jadi, nilai dari $\boxed{P + Q + R = 4 + 6 + 2 = 12}$
Soal Nomor 3
Empat titik ditempatkan pada lingkaran berjari-jari $\dfrac{1}{2}$ satuan. Jika empat titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk persegi panjang, tentukan luas terbesar (maksimum) yang mungkin dari persegi panjang tersebut.
Persegi panjang tersebut akan mencapai luas maksimum apabila panjang dan lebarnya sama (dinamakan persegi). Gambar berikut merepresentasikannya.
Tinjau satu daerah perpotongan dua diagonal persegi itu, misalnya segitiga $AOB$ (siku-siku di titik sudut $O$)
$L\Delta AOB = \dfrac{1}{2} \times AO \times OB = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$
Karena keempat segitiga kongruen, maka
$\boxed{L_{ABCD} = 4 \times L\Delta AOB = 4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}}$
Jadi, luas terbesar persegi panjang tersebut adalah $\dfrac{1}{2}$ satuan luas.
Soal Nomor 4
Suatu kain terbuat dari tiga komposisi warna dasar, yaitu merah, kuning, dan biru. Jika perbandingan komposisi warna merah dan kuning adalah $2 : 3$, sedangkan perbandingan komposisi warna merah dan biru adalah $4 : 5$, tentukan perbandingan komposisi warna kuning dan biru.
Misalkan $M$ = komposisi warna merah,
$K$ = komposisi warna kuning, dan
$B$ = komposisi warna biru, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \dfrac{M}{K} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 3M = 2K~~(\cdots 1) \\ & \dfrac{M}{B} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow 5M = 4B~~(\cdots 2) \end{aligned}$
Dari persamaan pertama $3M = 2K$, kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{5}{3}$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & 3M \times \dfrac{5}{3} = 2K \times \dfrac{5}{3} \\ & \Leftrightarrow 5M = \dfrac{10}{3}K \end{aligned}$
Substitusikan pada persamaan kedua,
$\begin{aligned} 4B & = \dfrac{10}{3}K \\ \dfrac{K}{B} & = \dfrac{6}{5} \end{aligned}$
Jadi, perbandingan komposisi warna kuning dan biru pada kain itu adalah $\boxed{\dfrac{6}{5}}$
Soal Nomor 5
Tentukan panjang busur terkecil yang dibentuk oleh dua jarum jam pada pukul $16.30$ jika jari-jari jam (berbentuk lingkaran) $7$ cm.
Perhatikan sketsa gambar jam berikut.
Besar sudut terkecil yang dibentuk adalah $\dfrac{1,5}{12} \times 360^{\circ} = 45^{\circ}$
Misal $pbt$ = panjang busur terkecil, maka berlaku
$\dfrac{\text{pbt}}{\text{keliling_lingkaran}} = \dfrac{\text{sudut_busur}}{360^{\circ}}$
$\dfrac{\text{pbt}}{2\times \dfrac{22}{7}\times 7} = \dfrac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\boxed{\text{pbt} = \dfrac{44}{8} = 5,5~\text{cm}}$
Jadi, panjang busur terkecil yang terbentuk oleh dua jarum jam itu adalah $5,5$ cm.
Soal Nomor 6
Dalam suatu kelas, $\dfrac{2}{5}$ dari semua siswanya adalah laki-laki. Setelah $10$ siswa perempuan meninggalkan kelas, banyak siswa laki-laki menjadi $\dfrac{1}{2}$ dari jumlah semua siswa di kelas itu. Berapa jumlah seluruh siswa sebelum $10$ siswa perempuan tadi meninggalkan kelas?
Misalkan,
Banyak siswa seluruhnya = $x$
Banyak siswa laki-laki = $\dfrac{2}{5}x$
Banyak siswa perempuan = $\dfrac{3}{5}x$
Informasi pada soal memberikan persamaan berikut.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{3}{5}x – 10\right) + \left(\dfrac{1}{2}(x – 10)\right) & = x – 10 \\ \dfrac{3}{5}x – 10 + \dfrac{1}{2}x – 5 & = x – 10 \\ \dfrac{11}{10}x – 15 & = x – 10 \\ \dfrac{11}{10}x – x & = -10 + 15 \\ \dfrac{1}{10}x & = 5 \\ x & = 5 \times 10 = 50 \end{aligned}$
Jadi, banyak siswa seluruhnya adalah $50$ orang.
Soal Nomor 7
–
Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\dfrac{2017\times(2016^2 – 16)\times2015}{2020 \times (2016^2 – 1)}$
Misal $m = 2016$, maka
$\dfrac{2017 \times (2016^2 – 16) \times 2015}{2020 \times (2016^2 – 1)}$
$= \dfrac{(m+1) \times (m^2 – 16) \times (m-1)}{(m+4) \times (m^2 – 1)}$
$= \dfrac{(m^2 – 1)\times(m+4)\times(m-4)}{(m+4) \times (m^2 – 1)} = m – 4$
Sulihkan kembali $m = 2016$, diperoleh $m – 4 = 2016 – 4 = 2012$
Jadi, hasil dari $\dfrac{2017 \times (2016^2 – 16) \times 2015}{2020 \times (2016^2 – 1)}$ adalah $\boxed{2012}$.
Soal Nomor 9
Di suatu kelas sedang berlangsung pelajaran matematika. Setiap siswa di kelas itu diminta oleh guru matematikanya untuk menuliskan angka favorit mereka masing-masing di buku catatan. Suneo adalah salah satu siswa di kelas tersebut. Angka favoritnya merupakan bilangan asli dengan satu angka. Ia mengalikannya dengan $3$, kemudian menambahkannya dengan $7$, lalu membaginya dengan bilangan prima terkecil. Hasilnya ia kalikan dengan akar kuadrat dari $676$, kemudian ia kalikan lagi hasilnya itu dengan sisa pembagian dari $68$ dibagi $9$, sehingga ia mendapatkan hasil akhir $2015$. Berapakah angka favorit Suneo?
Ketika diberikan proses perhitungan bilangan dan yang diketahui adalah hasil akhirnya, maka untuk menentukan bilangan awal (mula-mula), lakukan operasi berkebalikan dengan yang seharusnya.
Perlu diperhatikan bahwa sisa pembagian dari $68$ dibagi $9$ adalah $5$, akar dari $676$ adalah $26$, dan bilangan prima terkecil adalah $2$.
Misalkan bilangan awal adalah $x$, maka
$x = (2015 : 5 : 26 \times 2 – 7) : 3$
$x = (403 : 13 – 7) : 3$
$x = (31 – 7) : 3 = 24 : 3 = 8$
Jadi, bilangan favorit Suneo adalah $\boxed{8}$.
Soal Nomor 10
Angka satuan dari $(3^{2017} + 7^{2013})^2$ adalah $\cdots$
Hasil perpangkatan bilangan berbasis $3$ dan satuannya dapat dilihat pada tabel di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Perpangkatan} & \text{Hasil} & \text{Satuan} \\ \hline 3^1 & 3 & 3\\ 3^2 & 9 & 9 \\ 3^3 & 27 & 7 \\ 3^4 & 81 & 1 \\ 3^5 & 243 & 3 \\ \hline \end{array}$
Pola satuannya adalah: $3, 9, 7, 1, \cdots$ dan berulang terus setiap $4$ suku.
Hasil perpangkatan bilangan berbasis $7$ dan satuannya dapat dilihat pada tabel di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Perpangkatan} & \text{Hasil} & \text{Satuan} \\ \hline 7^1 & 7 & 7\\ 7^2 & 49 & 9 \\ 7^3 & 343 & 3 \\ 3^4 & 2401 & 1 \\ 7^5 & 16807 & 7 \\ \hline \end{array}$
Pola satuannya adalah: $7, 9, 3, 1, \cdots$ dan berulang terus setiap $4$ suku.
Karena $2017 \mod 4 = 1$, maka satuan $3^{2017}$ adalah $3$, sedangkan $2013 \mod 4 = 1$, maka satuan $7^{2013}$ adalah $7$. Berarti, bila dijumlahkan, diperoleh
$(3 + 7)^2 = 100$, yang jelas satuannya adalah $0$.
Jadi, satuan dari $(3^{2017} + 7^{2013})^2$ adalah $\boxed{0}$.
Soal Nomor 11
Suatu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan beberapa anak. Rata-rata umur mereka adalah $18$ tahun. Jika ayah yang berumur $38$ tahun tidak diperhitungkan, rata-rata umurnya menjadi $14$ tahun. Berapakah banyak anak dalam keluarga tersebut?
Misalkan banyak anak = $n$ dan jumlah umur mereka semua = $S$, sehingga dengan menggunakan rumus rataan diperoleh persamaan
$18 = \dfrac{S}{2 + n} (\cdots 1)$
$14 = \dfrac{S – 38}{1 + n} (\cdots 2)$
Buatlah $S$ sebagai subjek persamaan.
Dari persamaan 1,
$18 \times (2 + n) = S$
Dari persamaan 2,
$14 \times (1+ n) + 38 = S$
Diperolehlah,
$18 \times (2 + n) = 14 \times (1+ n) + 38$
$36 + 18n = 14 + 14n + 38$
$4n = 52 – 36 = 16$
$n=4$
Jadi, banyak anak dalam keluarga tersebut adalah $\boxed{4}$ orang.
Soal Nomor 12
Tentukan banyak digit dari bilangan $4^{2011} \times 5^{2017}$
$4^{2011} \times 5^{2017} = (2^2)^{2011} \times 5^{2017}$
$ = 2^{2022} \times 5^{2017}= 2^5 \times 2^{2017} \times 5^{2017}$
$ = 2^5 \times (2 \times 5)^{2017} = 32 \times 10^{2017}$
Banyaknya digit dari $10^{2017}$ adalah $2018$, sehingga banyak digit dari $32 \times 10^{2017}$ adalah $2018 + 1 = 2019$
Jadi, banyak digit dari $4^{2011} \times 5^{2017}$ adalah $\boxed{2019}$.
Soal Nomor 13
Tabel berikut menunjukkan sebuah persegi ajaib di mana jumlah bilangan dalam semua baris, kolom, maupun diagonalnya sama.
Setiap kotak (sel) berisikan angka-angka $1, 2, 3, \cdots$, atau $9$ (tidak boleh sama). Tentukan nilai $A + B + C + D + E + F$
Jelas bahwa angka-angka pengganti $A,B,C,D,E,F$ adalah angka selain $3, 6$, dan $9$, yaitu $1, 2, 4, 5, 7, 8$. Dalam hal ini, kita tak perlu menentukan masing-masing nilainya karena yang ditanyakan adalah jumlah enam bilangan itu. Jadi,
$\boxed{A+B+C+D+E+F=1+2+4+5+7+8=28}$
Soal Nomor 14
$P, Q, R, S$, dan $T$ adalah lima bilangan bulat berbeda dari $2$ sampai dengan $19$. $P$ adalah bilangan prima dua digit yang jumlah digit-digitnya juga merupakan bilangan prima. $Q$ adalah bilangan kelipatan $5$, $R$ adalah bilangan ganjil tetapi bukan bilangan prima, $S$ adalah bilangan kuadrat dari suatu bilangan prima, sedangkan $T$ adalah bilangan prima yang merupakan mean (rerataan) dari $P$ dan $Q$. Tentukan nilai dari $P^2 + Q^2 – R^2 + S^2 – T^2$.
Berdasarkan informasi pada soal, nilai $P$ yang memenuhi adalah $11$, karena jumlah digitnya $1 + 1 = 2$ adalah bilangan prima.
Nilai $Q$ = 5, 10, atau 15.
Nilai $R$ = 9 atau 15.
Nilai $S$ = 4 atau 9.
Nilai $T = \dfrac{P+Q}{2}$
Karena $P = 11$ dan $T$ adalah bilangan prima, maka dari pilihan yang mungkin, nilai $Q$ yang memenuhi adalah $15$, sehingga $T = \dfrac{11+15}{2} = 13$. Dengan demikian, nilai $R$ dan $S$ berturut-turut adalah $9$ dan $4$. Berarti,
$\boxed{P^2 + Q^2 – R^2 + S^2 – T^2 = 11^2 + 15^2 – 9^2 + 4^2 – 13^2 = 112}$
Soal Nomor 15
Tentukan bilangan kuadrat 4 angka dengan angka pertama sama dengan angka kedua dan angka ketiga sama dengan angka keempat.