Tag: Metode Horner

Berdasarkan definisi, suatu ekspresi berbentuk $$\boxed{a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}$ $+\cdots+a_{n-1}x + a_n}$$ dengan $n$ bilangan bulat positif, disebut suku banyak (polinomial) satu variabel.
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa $\sqrt[3]{t^6} = t^2$ sehingga ekspresi yang diberikan sama dengan $t^6-2t^2+1$ dan jelas ini merupakan suku banyak.
Cek opsi B:
Jelas suku banyak karena berbentuk seperti definisi. Perhatikan bahwa koefisien tidak harus bernilai bulat.
Cek opsi C:
Bukan suku banyak karena ada ekspresi trigonometri $\sin (2t^2+4t-7)$ dengan $t$ adalah variabel.
Cek opsi D:
Jelas suku banyak karena berbentuk seperti definisi.
Cek opsi E:
Koefisien dari setiap suku dinyatakan dalam bentuk trigonometri yang nilainya sudah jelas (misalnya $\sin 30^{\circ} = 1/2$), sedangkan variabelnya berpangkat bulat positif. Karena sesuai definisi, ekspresi tersebut tergolong suku banyak.
(Jawaban C)

Diketahui: $P(x) = x^6 -x^3 + 2$
Pembagi: $D(x) = x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
Dalam hal ini, dapat ditulis
$$x^6 -x^3 + 2 = (x+1)(x-1)H(x) + S(x)$$Karena pembagi (divisor) berbentuk polinomial berderajat dua, maka sisa hasil baginya berupa polinomial berderajat satu, yaitu $S(x) = ax + b$ sehingga
$$x^6 – x^3 + 2 = (x+1)(x-1)H(x) + (ax + b)$$Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{aligned} (-1)^6 -(-1)^3 + 2 & = 0 + a(-1) + b \\ -a + b & = 4 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$$\begin{aligned} (1)^6 -(1)^3 + 2 & = 0 + a(1) + b \\ a + b & = 2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a+b=4 \\ a+b=2 \end{cases}$
Selesaikan sistem sehingga diperoleh $a=-1$ dan $b=3$. 
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = -x + 3}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 3x^3-5x^2+px+q$ memiliki faktor $(x+1)$ dan $(x-3).$
Pembuat nol pembagi: $x = -1.$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$$\begin{array}{c|cccc} & 3 & -5 & p & q \\ -1 & \downarrow & -3 & 8 & -p-8 \\\hline & 3 & -8 & p+8 & q-p-8 \end{array}$$Karena $(x+1)$ merupakan faktor dari $f(x)$, berdasarkan teorema faktor, diperoleh $q-p-8=0 \Leftrightarrow q-p=8.$
Pembuat nol pembagi: $x = 3.$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$$\begin{array}{c|cccc} & 3 & -5 & p & q \\ 3 & \downarrow & 9 & 12 & 3p+36 \\\hline & 3 & 4 & p+12 & q+3p+36 \end{array}$$Karena $(x-3)$ juga merupakan faktor dari $f(x),$ berdasarkan teorema faktor, diperoleh $q+3p+36=0 \Leftrightarrow q+3p=-36.$ 
Jadi, diperoleh SPLDV:$\begin{cases} q-p = 8 \\ q+3p = -36 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $p = -11$ dan $q = -3.$ 
Jadi, nilai dari $\boxed{p=-11; q = -3}$ 
(Jawaban A)

Misalkan: 
$\begin{aligned} P(x) & = x^3-4x^2+5x+a \\ Q(x) & = x^2+3x-2 \end{aligned}$
dengan pembagi $D(x) = x +1.$
Pembuat nol pembagi: $x = -1.$
Dengan menggunakan metode Horner, untuk polinom $P(x)$ diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -4 & 5 & a \\ -1 & \downarrow & -1 & 5 & -10 \\ \hline & 1 & -5 & 10 & a-10 \end{array}$ 
Untuk polinom $Q(x)$ diperoleh 
$\begin{array}{c|ccc} & 1 & 3 & -2 \\ -1 & \downarrow & -1 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & -4 \end{array}$
Karena sisa hasil baginya sama, didapat
$a – 10 = -4 \Leftrightarrow a = -4+10=6.$
Jadi, nilai $\boxed{a=6}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x) = 2x^3+ax^2+bx-2$ memiliki faktor $(x-2)$ 
Pembuat nol pembagi: $x = 2.$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & a & b & -2 \\ 2 & \downarrow & 4 & 2a+8 & 4a+2b+16 \\ \hline & 2 & a+4 & 2a+b+8 & 4a+2b+14 \end{array}$$Karena $(x-2)$ merupakan faktor $f(x)$, haruslah $4a+2b+14=0 \Leftrightarrow 2a+b=-7.$
Diketahui $f(x)$ dibagi $(x+3)$ memiliki sisa hasil bagi $-50$. 
Pembuat nol pembagi: $x = -3.$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & a & b & -2 \\ -3 & \downarrow & -6 & -3a+18 & 9a-3b-54 \\ \hline & 2 & a-6 & -3a+b+18 & 9a-3b-56 \end{array}$$Karena bersisa $-50$, diperoleh
$9a-3b-56=-50 \Leftrightarrow 3a-b=2$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2a+b=-7 \\ 3a-b=2 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a=-1$ dan $b=-5$. 
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a+b=(-1)+(-5)=-6}$
(Jawaban C)

Diketahui bahwa:
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2 + x -2)H_1(x) && (\cdots 1) \\ f(x) & = (x^2 + x – 6)H_2(x) + (-6x + 6) && (\cdots 2) \end{aligned}$$Catatan: Karena $(x^2+x-2)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka sisa hasil baginya adalah $0$.
Pada persamaan $2$, bentuk $x^2 + x -6$ dapat difaktorkan menjadi $(x + 3)(x-2)$ sehingga dapat ditulis $$f(x) = (x+3)(x-2)H_2(x) + (-6x + 6).$$Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f(-3) = 0 + (-6(-3) + 6) = 24.$
Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f(2) = 0 + (-6(2) + 6) = -6.$
Misalkan hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2+x-12)$ adalah $H_1(x) = ax + b$ sehingga dapat ditulis $f(x) = (x^2 + x -2)(ax + b).$
Substitusi $x = -3$, diperoleh
$$\begin{aligned} f(-3) & = ((-3)^2 + (-3) -12)(-3a + b) \\ 24 & = -6(-3a + b) \\ -3a + b & = -4 \end{aligned}$$Substitusi $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(2) & = ((2)^2 + (2) -12)(2a + b) \\ -6 & = -6(2a + b) \\ 2a + b & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -3a + b = -4 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = 1$ dan $b = -1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(x) &= (x^2 + x -12)(x -1) \\ & = x^3 -13x + 12 \end{aligned}$
Jadi, suku banyak tersebut adalah $\boxed{x^3-13x+12}$
(Jawaban C)

Karena $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor suku banyak $x^3+ax^2-13x+b$, dapat ditulis
$$x^3 + ax^2 -13x + b = (x-2)(x-1)H(x)$$dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dua tingkat dengan pembuat nol pembagi $x = 2$ dan $x=1$, diperoleh
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & -13 & b \\ 2 & \downarrow & 2 & 2a+4 & 4a-18 \\ \hline & 1 & a+2 & 2a-9 & \color{red}{4a+b-18} \\ 1 & \downarrow & 1 & a + 3 \\ \hline & 1 & a+3 & 3a-6 \end{array}$
Dari tahap II Skema Horner di atas, diperoleh $3a -6 = 0$ sehingga $a = \dfrac{6}{3} = 2$.
Dari tahap I Skema Horner di atas, diperoleh $4a + b -18 = 0$. Substitusi $a = 2$, diperoleh $4(2) + b – 18 = 0 \Leftrightarrow b = 10.$
Dari baris terakhir Skema Horner, diperoleh hasil baginya adalah
$\begin{aligned} H(x) & = 1x + (a + 3) \\ & = x + (2 + 3) = x + 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, suku banyak itu adalah $(x-2)(x-1)(x+5)$ dengan akar-akarnya adalah $x_1 = 2; x_2 = 1; x_3 = -5$ sehingga
$\boxed{x_1x_2x_3=(2)(1)(-5) = -10}$
(Jawaban A)

Karena salah satu akar suku banyaknya adalah $4$, dapat ditulis
$3x^3 + ax^2 -61x + 20 = (x-4)H(x)$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dengan pembuat nol pembagi $x=4$, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & a & -61 & 20 \\ 4 & \downarrow & 12 & 4a+48 & 16a-52 \\ \hline &3 & a+12 & 4a-13 & 16a -32 \end{array}$
Diperoleh: $16a -32 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{32}{16} = 2.$
dengan hasil baginya $H(x) = 3x^2+(a+12)x+(4a-13).$
Substitusi $a=2$, diperoleh $H(x) = 3x^2+14x-5.$
Dengan demikian, suku banyaknya dapat ditulis
$\begin{aligned} & 3x^3 + 2x^2 -61x + 20 \\ & = (x-4)(3x^2+14x-5) \\ & = (x-4)(3x-1)(x+5) \end{aligned}$
Diperoleh dua akar yang lain, yaitu $x = \dfrac13$ dan $x = -5.$
Jumlah akarnya adalah $\boxed{\dfrac13 + (-5) = -\dfrac{14}{3}}$
(Jawaban C)

Diketahui: $f(x) = 2x^3-px^2-28x+15$ memiliki faktor $(x-5).$
Pembuat nol pembagi: $x = 5.$
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & -p & -28 & 15 \\ 5 & \downarrow & 10 & -5p+50 & -25p+110 \\ \hline & 2 & -p+10 & -5p+22 & -25p+125 \end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$-25p+125=0 \Leftrightarrow p = \dfrac{0-125}{-25} = 5$
Hasil baginya adalah 
$$H(x) = 2x^2+(-p+10)x+(-5p+22)$$Substitusi $p=5$, diperoleh
$$H(x) = 2x^2+5x-3 = (2x-1)(x+3)$$Oleh karena itu, suku banyak tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^3 -5x^2 -28x + 15 \\ & = (2x-1)(x+3)(x-5) \end{aligned}$
Jadi, faktor linear lainnya dari $f(x)$ adalah $(2x-1)$ dan $(x+3).$
(Jawaban C)

Diketahui: $P(x)=x^4+0x^3-15x^2-10x+n$ memiliki faktor $(x+2).$
Pembuat nol pembagi: $x = -2.$
$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -15 & -10 & n \\ -2 & \downarrow & -2 & 4 & 22 & -24 \\ \hline & 1 & -2 & -11 & 12 & n-24 \end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$n-24=0 \Leftrightarrow n = 24.$ 
Hasil baginya adalah
$H(x) = x^3 -2x^2 -11x + 12.$
Perhatikan bahwa konstanta $12$ memiliki faktor bulat, yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 6$, dan $\pm 12$. 
Beberapa dari bilangan tersebut akan menjadi faktor dari $H(x)$. 
Substitusi $x=4$ pada $H(x)$, diperoleh
$\begin{aligned} H(4) & = 4^3 -2(4)^2 -11(4) + 12 \\ & = 64 -32 -44 + 12 = 0 \end{aligned}$
Karena $H(4) = 0$, haruslah $x-4$ merupakan salah satu faktor dari $H(x)$ sehingga sekarang dapat ditulis
$\begin{aligned} P(x) & = (x^3-2x^2-11x+12)(x+2) \\ & = (x^2+2x-3)(x-4)(x+2) \\ & = (x+3)(x-1)(x-4)(x+2) \end{aligned}$
Jadi, faktor lainnya dari $P(x)$ adalah $x-4$ (sesuai dengan alternatif pilihan yang diberikan). 
(Jawaban A)

Diketahui:
$f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $13$;
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-14$. 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{cases} f(x) = (x-2)H_1(x) + 13 \\ f(x) = (x+1)H_2(x) -14 \end{cases}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan pertama dan kedua, diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 13\\ f(-1) & = -14 \end{cases}$
Misalkan sisa hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2-x-2)$ adalah $(ax+b)$, yang satu derajat kurang dari pembaginya sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = (x^2-x-2)H(x) + ax + b \\ & = (x-2)(x+1)H(x) + ax + b \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan di atas sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 2a + b = 13 \\ f(-1) & = -a + b = -14 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV di atas untuk memperoleh $a = 9$ dan $b=-5.$
Dengan demikian, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = 9x -5}$
(Jawaban B)

Karena $f(x)$ merupakan polinomial berderajat $3$, hasil baginya ketika dibagi oleh $(x^2-x-12)$ pasti dalam bentuk linear. Ini juga sama ketika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2+2x+2)$.
Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{cases} f(x) = (x^2-x-12)(ax+b)+(6x-2) & (\cdots 1) \\ f(x) = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) & (\cdots 2) \end{cases}$$Faktorkan pembagi pada persamaan pertama sehingga 
$$\begin{cases} f(x) = (x-4)(x+3)(ax+b)+(6x-2) & (\cdots 1) \\ f(x) = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi $x = 4$ dan $x = -3$ berturut-turut pada persamaan pertama sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(4) = 6(4) -2 = 22 \\ f(-3) = 6(-3) -2 = -20 \end{cases}$
Sekarang, substitusi $x=4$ pada persamaan kedua. 
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) \\ f(4) & = (4^2+2(4)+2)(4c+d) + (3(4)+4) \\ 22 & = 26(4c+d) + 16 \\ 6 & = 26(4c+d) \\ 3 & = 13(4c +d) \\ 52c + 13d & = 3 \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$ menghasilkan
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) \\ f(-3) & = ((-3)^2+2(-3)+2)(-3c+d) + (3(-3)+4) \\ -20 & = 5(-3c+d) -5 \\ -15 & = 5(-3c+d) \\ -3c + d & = -3 \end{aligned}$$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 52c+ 13d = 3 & (\cdots 1) \\ -3c +d = -3 & (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 52c + 13d & = 3 \\ -3c+d & = -3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 13 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 52c+13d & = 3 \\ -39c + 13d & = -39 \end{aligned} \\ & \rule{3.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 91c & = 42 \\ c & = \dfrac{42}{91} = \dfrac{6}{13} \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $c = \dfrac{6}{13}$ ke salah satu persamaan, misalkan pada persamaan kedua. 
$\begin{aligned} -3c + d & = -3 \\ -3\left(\dfrac{6}{13}\right) + d & = -3 \\ d & = -3 + \dfrac{18}{13} = -\dfrac{21}{13} \end{aligned}$
Dengan demikian, sekarang dapat ditulis
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)\left(\dfrac{6}{13}x-\dfrac{21}{13}\right) + (3x + 4) \\ & = \dfrac{6}{13}x^3 – \dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13} \end{aligned}$$Jadi, suku banyak $f(x)$ adalah $\boxed{\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}}$
(Jawaban A)

Karena $(x+2)$ dan $(x+1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $f(x)=2x^4+tx^3-9x^2+nx+4$, diperoleh
$\begin{aligned} & 2x^4+tx^3-9x^2+nx+4 \\ & = (x+2)(x+1)H(x) \end{aligned}$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya. 
Dengan menggunakan metode Horner dua tingkat untuk pembuat nol pembagi $x = -2$ dan $x=-1$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & t & -9 & n & 4 \\ -2 & \downarrow & -4 & -2t+8 & 4t+2 & -2n-8t-4 \\ \hline & 2 & t-4 & -2t-1 & n+4t+2 & \color{red} -2n-8t \\ -1 & \downarrow & -2 & -t+6& 3t-5 \\ \hline & 2 & t-6 & -3t+5 & \color{blue}n+7t-3 \end{array}$$Diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} -2n -8t = 0 \Leftrightarrow n + 4t = 0 \\ n + 7t -3 = 0 \Leftrightarrow n + 7t = 3 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $n = -4$ dan $t = 1$. 
Dari barisan terakhir skema Horner di atas, diperoleh hasil baginya adalah
$H(x) = 2x^2 + (t-6)x + (-3t+5)$
Substitusi $t = 1$ menghasilkan
$\begin{aligned} H(x) & = 2x^2-5x+2  \\ & = (2x-1)(x-2) \end{aligned}$
Dengan demikian, suku banyak $f(x)$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} 2x^4+x^3&-9x^2-4x+4 = (x+2)\\ & (x+1)(2x-1)(x-2) \end{aligned}$
sehingga akar-akarnya adalah
$x_1 = -2; x_2 = -1, x_3 = \dfrac12; x_4 = 2$
Jadi, nilai dari $2(x_1+x_2+x_3)-x_4$ adalah $\boxed{2\left(-2+(-1)+\dfrac12\right)-2 = -7}$
(Jawaban B)

Diketahui: $f(x) = 2x^4+0x^3+$ $(p+2)x^2+qx-8.$ 
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-2$ sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ -1 & \downarrow & -2 & 2 & -p-4 & -q+p+4 \\ \hline & 2 & -2 & p + 4 & q-p-4 & \color{red} {-q+p-4} \end{array}$$Karena bersisa $-2$, berarti
$-q + p -4 = -2 \Leftrightarrow p -q = 2.$
Selanjutnya, $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $22$ sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ 2 & \downarrow & 4 & 8 & 2p+20 & 2q+4p+40 \\ \hline & 2 & 4 & p+10 & q+2p+20 & \color{red}{2q + 4p + 32} \end{array}$$Karena bersisa $22$, berarti
$2q + 4p + 32 = 22 \Leftrightarrow 2p + q = -5.$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} p -q = 2 \\ 2p + q = -5 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $p = -1$ dan $q = -3.$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^4 + (p+2)x^2+qx-8 \\ & = 2x^4 + x^2 -3x -8 \end{aligned}$
Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-p) (x-q) = (x+1)(x+3)$ bersisa $(ax + b)$ sehingga dapat ditulis $f(x) = (x+1)(x+3)H(x)$ $+ (ax + b).$
Substitusi $x = -1$, didapat
$$\begin{aligned} f(-1) & = -a + b \\ 2(-1)^4 + (-1)^2 -3(-1) -8 & = -a + b \\ 2 + 1 + 3 -8 & = -a+b \\ -2 & = -a + b \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$, didapat
$$\begin{aligned} f(-3) & = -3a + b \\ 2(-3)^4 + (-3)^2 – 3(-3) – 8 & = -3a + b \\ 162 + 9 + 9 -8 & = -3a+b \\ 172 & = -3a + b \end{aligned}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a + b & = -2 \\ -3a + b & = 172 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = -87$ dan $b = -89.$
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{ax + b = -87x -89}$
(Jawaban D)

$f(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$f(x) = \dfrac{x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 24x -15}{x-1}.$$Dengan menggunakan metode Horner dua tingkat, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & a & b-10 & 24 & -15 \\ 1 & \downarrow & 1 & a+1 & a+b-9 & a+b+15 \\ \hline & 1 & a+1 & a+b-9 & a+b+15 & \color{red}{a+b=0} \\ 1 & \downarrow & 1 & a+2 & 2a+b-7 \\ \hline & 1 & a+2 & 2a+b-7 & \color{red}{3a+2b+8=0} \end{array}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} a + b = 0 \\ 3a + 2b = -8 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 0 \\ 3a + 2b & = -8 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 3a+3b & = 0 \\ 3a+2b & = -8 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} b & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban A)

Perhatikanlah bahwa 
$\begin{aligned} f(x) & = x^2 – (a+b)x + ab \\ & = (x-a) (x-b) \end{aligned}$
Ini artinya, $x=a$ dan $x=b$ akan mengakibatkan $p(x) = 0$, karena $(x-a) (x-b)$ merupakan faktornya. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & (x-a)^7 + (x -b)^6 + (x-3) \\ & = (x-a)(x-b)H(x) \end{aligned}$
Substitusi $x=a$, diperoleh
$\begin{aligned} (a-a)^7 + (a-b)^6 + (a-3) & = 0 \\ (a-b)^6 & = 3-a \end{aligned}$
Substitusi $x=b$, diperoleh
$$\begin{aligned} (b-a)^7 + (b-b)^6 + (b-3) & = 0 \\ -(a-b)^7 + 0 + b – 3 & = 0 \\ -(a-b)(a-b)^6 + b – 3 & = 0 \\ \text{Substitusikan}~(a-b)^6 & = 3-a \\ -(a-b) (3-a) + b – 3 & = 0 \\ (-3a+3b+a^2-ab) +b-3 & = 0 \\ (4-a)b & = 3a-a^2+3 \\ b & = \dfrac{3a-a^2+3}{4-a} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{b = \dfrac{3a-a^2+3}{4-a}}$
(Jawaban A)

Misalkan $p(x) = Ax^{2014} + x^{2015} – B(x-2)^2$ sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} p(x) & = (x^2-1)H(x) + (5x-4) \\ & = (x+1)(x-1)H(x)+(5x-4) \end{aligned}$$Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(-1) & = 5(-1)-4 \\ A(-1)^{2014} + (-1)^{2015} -B(-1-2)^2 & = -9 \\ A -1 -B(-3)^2 & = -9 \\ A -9B & = -8 \end{aligned}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(1) & = 5(1)-4 \\ A(1)^{2014} + (1)^{2015} -B(1-2)^2 & = 1 \\ A + 1 -B(-1)^2 & = 1 \\ A -B & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} A -9B & = -8 \\ A -B & = 0 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $A = B = 1$ sehingga nilai dari $\boxed{A+B=1+1=2}$
(Jawaban D)

Diketahui: $p(x) = ax^5+bx-1.$
Karena $p(x)$ dibagi $(x-2.006)$ bersisa $3$, dapat ditulis
$p(x) = (x-2.006)H(x) + 3$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya. 
Substitusi $x=2.006$, diperoleh $$p(2.006) = 3 = a(2.006)^5 + 2.006b-1$$atau ditulis $\color{red} {2.006b = 4 -a(2.006)^5}.$
Misalkan $p(x)$ dibagi $(x+2.006)$ bersisa $m$ sehingga $p(x) = (x+2.006)K(x) + m.$
Substitusi $x=-2.006$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(-2.006) & = m \\ m & =  a(-2.006)^5 -2.006b -1 \\  m & = a(-2.006)^5 -(\color{red} {4 -a(2.006)^5}) – 1 \\ m & = -4 -1 = -5 \end{aligned}$$Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban E)

Misalkan $$f(x) = \dfrac{x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4}{(x-a)^2}$$Dengan menggunakan metode Horner untuk $x = a$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -6a & 8a^2 & -ma^3 & na^4 \\ a & \downarrow & a & -5a^2 & 3a^3 & (-m+3)a^4 \\ \hline & 1 & -5a & 3a^2 & (-m+3)a^3 & \color{red}{(-m+3+n)a^4 = 0} \\ a & \downarrow & a & & -4a^2 & -a^3 \\ \hline & 1 & -4a & -a^2 & \color{red}{(-m+2)a^3 = 0} \end{array}$$Dari persamaan $(-m+2)a^3 = 0$, diperoleh $-m + 2 = 0$ sehingga $m=2$. 
Substitusi $m=2$ pada persamaan $(-m+3+n)a^4 = 0$ sehingga didapat
$-2 + 3 + n= 0 \Leftrightarrow n = -1.$
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n=2+(-1)=1}$
(Jawaban B)

Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-2)(x+2)(x+3)$ bersisa $(ax^2+bx+c)$ (sisanya polinomial berderajat dua karena pembaginya berderajat tiga). 
Dengan demikian, dapat ditulis
$f(x) = (x-2)(x+2)(x+3)H(x)$ $+ (ax^2+bx+c)$
Karena $f(x)$ habis dibagi oleh $x^2-4 = (x+2)(x-2)$, substitusi $x = 2$ menghasilkan
$f(2) = 4a + 2b + c = 0 \tag{1}$
dan substitusi $x=-2$ menghasilkan
$f(-2) = 4a -2b + c = 0. \tag{2}$
Eliminasi $b$ pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$8a + 2c = 0 \Leftrightarrow c = -4a.$
Eliminasi $4a + c$ pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $b = 0$. 
Selanjutnya, substitusi $x = 3$ pada $f(x)$ sehingga diperoleh $f(3) = 9a + 3b + c.$
Karena $b = 0$ dan $c = -4a$, diperoleh
$\begin{aligned} f(3) & = 9a + 0 + (-4a) \\  \Leftrightarrow a & = \dfrac15f(3). \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$c = -4a = -4\left(\dfrac15f(3)\right) = -\dfrac45f(3).$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} S(x) & = ax^2+bx+c \\ & = \dfrac15f(3)x^2 + 0 -\dfrac45f(3) \\ & = \dfrac15f(3)(x^2-4). \end{aligned}$
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{\dfrac15f(3)(x^2-4)}$
(Jawaban C)

Karena persamaan itu berderajat $4$, ada paling banyak $4$ akar yang memenuhi.
Misalkan $x_1, x_2, x_3, x_4$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak tersebut.
Berdasarkan teorema Vieta, kita peroleh
$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 & = -\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x^3}{\text{Koefi}\text{sien}~x^4} \\ & = -\dfrac{-8}{1} \\ & = 8~~\bigstar \end{aligned}$
Keempat akar itu membentuk barisan aritmetika dengan beda $2$ sehingga jika dimisalkan $x_1$ sebagai suku pertama, maka $x_2, x_3, x_4$ ketiganya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} x_2 & = x_1 + 2 \\ x_3 & = x_1 + 4 \\ x_4 & = x_1 + 6 \end{aligned}$
Dari $\bigstar$, kita peroleh
$$\begin{aligned} x_1 + (x_1 + 2) + (x_1 + 4) + (x_1 + 6) & = 8 \\ 4x_1 + 12 & = 8 \\ 4x_1 & = -4 \\ x_1 & = -1 \end{aligned}$$Untuk itu, didapat $x_2 = 1$, $x_3 = 3$, dan $x_4 = 5$ sehingga ruas kiri persamaan suku banyak dapat ditulis dalam pemfaktoran:
$(x+1)(x-1)(x-3)(x-5) = 0.$
Jika kita jabarkan kembali, diperoleh
$$\begin{aligned} (x^2-1)(x^2-8x+15) & = 0 \\ x^4-8x^3+15x^2-x^2+8x-15 & = 0 \\ x^4-8x^3+\underbrace{14}_{a} x^2-\underbrace{(-8)}_{b}x+\underbrace{(-15)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$yang didasari pada persamaan semula: $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0.$
Jadi, nilai $a = 14$, $b = -8$, dan $c = -15$.
(Jawaban D)

Persamaan $\color{red}{2}x^3+3x^2+px+\color{blue}{8}=0$ berderajat tiga sehingga paling banyak memiliki $3$ akar.
Misalkan ketiga akar itu adalah $x_1, x_2$, dan $x_3$. Sepasang akar diketahui berkebalikan, yaitu $x_1 = \dfrac{1}{x_2}$, ekuivalen dengan $x_1x_2 = 1$.
Berdasarkan teorema Vieta, hasil kali ketiga akar itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} x_1x_2x_3 & = -\dfrac{d}{a} \\ (1)x_3 & = -\dfrac{\color{blue}{8}}{\color{red}{2}} \\ x_3 & = -4 \end{aligned}$
Substitusi $x = -4$ pada persamaan polinomial tersebut.
$$\begin{aligned} 2x^3+3x^2+px+8 & =0 \\ \implies 2(-4)^3 + 3(-4)^2 + p(-4) + 8 & = 0 \\ -128 + 48-4p+8 & = 0 \\ -4p & = 72 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{p=-18}$
(Jawaban A)

Diketahui bahwa $p(p(x))$ adalah polinom monik berderajat $4$.
Agar ini terpenuhi, $p(x)$ haruslah merupakan polinom monik berderajat $2$.
Misalkan $p(x) = x^2+bx+c$.
Akibatnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} p(p(x)) & = (p(x))^2 + b(p(x))+c \\ & = (x^2+bx+c)^2+b(x^2+bx+c)+c \\ & = x^4+2x^2(bx+c)+(bx+c)^2+bx^2+b^2x+bc+c \\ & = x^4+(2bx^3+2cx^2)+(b^2x^2+2bcx + c^2) + bx^2 + b^2x + bc + c \\ & = x^4 + 2bx^3 + (2c + b^2 + b)x^2 + (2bc + b^2)x + (c^2+c+bc) \end{aligned}$$Bandingkan koefisien tiap suku dengan $p(p(x)) = x^4+4x^3+8x^2+8x+4$.
Pada kesamaan koefisien $x^3$, kita peroleh $2b = 4$ yang berarti $b = 2$.
Sekarang, pada kesamaan koefisien $x^2$, kita substitusikan $b = 2$ untuk mendapatkan nilai $c$.
$\begin{aligned} 2c + b^2 + b & = 8 \\ \implies 2c + (2)^2 + 2 & = 8 \\ 2c + 6 & = 8 \\ 2c & = 2 \\ c & = 1 \end{aligned}$
Didapat $p(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{29} p(i) & = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + 30^2 \\ & = (\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots+30^2}_{*})-1^2 \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{30} \cdot (30+1) \cdot (2 \cdot 30 + 1)}{\cancel{6}}-1 \\ & = 5 \cdot 31 \cdot 61-1 \\ & = 9.454 \end{aligned}$$Catatan:
$$\boxed{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}~~~*}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^{29} p(i) = 9.454}$
(Jawaban A)

Diketahui $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ dibagi $x^2-x$ bersisa $x+2$. Kita tuliskan,
$\begin{aligned} \dfrac{g(x)}{f(x)} & = (x^2-x)H_1(x) + (x + 2) \\ & = x(x-1)H_1(x) + (x + 2) \end{aligned}$
Substitusi $x = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{g(1)}{f(1)} & = 0 + (1 + 2) \\ \color{blue}{g(1)} & \color{blue}{= 3f(1)} \end{aligned}$
Diketahui juga $xf(x) + g(x)$ dibagi $x^2+x-2$ bersisa $x-4$. Kita tuliskan,
$$\begin{aligned} xf(x) + g(x) & = (x^2+x-2)H_2(x) + (x-4) \\ & = (x+2)(x-1)H_1(x) + (x-4) \end{aligned}$$Substitusi $x = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} 1f(1) + g(1) & = 0 + (1-4) \\ f(1) + \color{blue}{g(1)} & = -3 \\ f(1) + \color{blue}{3f(1)} & = -3 \\ 4f(1) & = -3 \\ f(1) & = -\dfrac34 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(1) = -\dfrac34}$
(Jawaban E)

Diberikan:
$\begin{aligned} f(x) & = (x^2-4)H_1(x) + ax+a \\ & = (x+2)(x-2)H_1(x)+ax+a \end{aligned}$
Jika $x = -2$, kita peroleh
$f(-2) = 0 + a(-2)+a = -a.$
Jika $x = 2$, kita peroleh
$f(2) = 0 + a(2) + a = 3a.$
Diberikan juga:
$$\begin{aligned} g(x) & = (x^2-9)H_2(x) + ax+a-5 \\ & = (x+3)(x-3)H_2(x)+ax+a-5 \end{aligned}$$Jika $x = -3$, kita peroleh
$\begin{aligned} g(-3) & = 0 + a(-3)+a-5 \\ & = -2a-5 \end{aligned}$
Jika $x = 3$, kita peroleh
$g(3) = 0 + a(3) + a-5= 4a-5.$
Misalkan sisa hasil bagi $f(x)$ oleh $(x+2)$ dan $g(x)$ oleh $(x-3)$ adalah $k$ sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = (x+2)H_3(x) + k && (1) \\ g(x) & = (x-3)H_4(x) + k. && (2) \end{aligned}$
Dari persamaan polinomial pertama, ambil $x = -2$ dan kita peroleh $f(-2) = k = -a.$
Dari persamaan polinomial kedua, ambil $x = 3$ dan kita peroleh $g(3) = k = 4a-5.$
Akibatnya, $-a = 4a-5$ sehingga $a = 1.$
Karena itu, berturut-turut didapat
$\begin{aligned} g(-3) & = -2(1)-5 = -7 \\ f(2) & = 3(1) = 3. \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$, dimisalkan $cx + d$.
Catat bahwa $f(-3) = -2$, $g(-3) = -7$, $f(2) = 3$, dan $g(2) = -2$.
$$\begin{aligned} f(x)g(x) & = (x^2+x-6)H_5(x) + cx + d \\ & = (x+3)(x-2)H_5(x) + cx + d \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$, didapat
$\begin{aligned} f(-3)g(-3) & = -3c + d \\ (-2)(-7) & = -3c + d \\ 14 & = -3c + d && (\cdots 1) \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$, didapat
$\begin{aligned} f(2)g(2) & = 2c + d \\ (3)(-2) & = 2c + d \\ -6 & = 2c + d && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari dua persamaan di atas, kita akan memperoleh $c = -4$ dan $d = 2$. Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{-4x+2}$
(Jawaban D)

Misalkan $a^2+b^2+c^2 = p$.
Dengan demikian, tiga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{cases} a^3 & = 3(p-a^2)-25 \\ b^3 & = 3(p-b^2)-25 \\ c^3 & = 3(p-c^2)-25 \end{cases}$$Perhatikan bahwa $a, b, c$ dapat diasumsikan sebagai akar dari polinom
$$\begin{aligned} x^3 & = 3(p-x^2)-25 \\ x^3 & = 3p-3x^2-25 \\ x^3+3x^2+25-3p & = 0 \\ \underbrace{1}_{k}x^3 + \underbrace{3}_{l}x^2 + \underbrace{0}_{m}x + \underbrace{(25-3p)}_{n} & = 0 \end{aligned}$$Berdasarkan Teorema Vieta, kita peroleh
$$\begin{aligned} a + b + c & = -\dfrac{l}{k} = -\dfrac{3}{1} = -3 \\ ab+ac+bc & = \dfrac{m}{k} = 0 \end{aligned}$$Karena dimisalkan $a^2+b^2+c^2 = p$, diperoleh
$$\begin{aligned} (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) & = p \\ (-3)^2-2(0) & = p \\ 9 & = p. \end{aligned}$$Dengan menggunakan teorema Vieta untuk hasil kali ketiga akar pada polinom di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} abc & = -\dfrac{n}{k} \\ & = -(25-3p) \\ & = -(25-3(9)) \\ & = -(25-27) = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{abc = 2}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $P(x)$ berderajat enam. Untuk $a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, berlaku $P(a) = a.$ Ini menandakan bahwa ada satu suku $x$ yang memengaruhi nilai $P(x),$ sedangkan suku lainnya bisa kita atur agar nilainya $0$ dengan menggunakan teorema faktor.
$$\begin{aligned} P(0) = 0 & \Rightarrow P(x) = x + x \\ P(1) = 1 & \Rightarrow P(x) = x(x-1) + x \\ P(2) = 2 & \Rightarrow P(x) = x(x-1)(x-2) + x \\ P(3) = 3 & \Rightarrow P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3) + x \\ P(4) = 4 & \Rightarrow P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x \\ P(5) = 5 & \Rightarrow P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x \\ \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $P(6)$ adalah $\boxed{P(6) = 6(5)(4)(3)(2)(1) + 6 = 726}$
(Jawaban E)

Jawaban a) 
Diketahui: $P(x) = 4x^2+3x+2.$
Susun koefisien variabel $P(x)$ mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner. 
$\begin{array}{c|ccc} & 4 & 3 & 2 \\ 2 & \downarrow & 8 & 22 \\\hline & 4 & 11 & 24 \end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{P(2)=24}$
Jawaban b) 
Diketahui: $P(x) = 5-x^2+3x^4.$
Susun menjadi: $P(x) = 3x^4+0x^3-x^2+0x + 5.$
Susun koefisien variabel $P(x)$ mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner. 
$\begin{array}{c|ccccc} & 3 & 0 & -1 & 0 & 5 \\ -1 & \downarrow & -3 & 3 & -2 & 2 \\\hline & 3 & -3 & 2 & -2 & 7 \end{array}$ 
Jadi, nilai dari $\boxed{P(-1) = 7}$

Jawaban a) 
Misal $P(x) = 3x^2-2x-7.$
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi: $x = 3.$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
$\begin{array}{c|ccc} & 3 & -2 & -7 \\ 3 & \downarrow & 9 & 21 \\ \hline & 3 & 7 & 14 \end{array}$ 
Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x+7$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 14$.
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun
$\dfrac{3x^2-2x-7}{x-3}$

Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x+7$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 14$.
Jawaban b) 
Misal $P(x) = 3x^4+0x^3+0x^2-7x-20.$
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi: $x = -2.$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|ccccc} & 3 & 0 & 0 & -7 & -20 \\ -2 & \downarrow & -6 & 12 & -24 & 62 \\\hline & 3 & -6 & 12 & -31 & 42 \end{array}$
Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x^3-6x^2+12x-31$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 42$.
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun
$\dfrac{3x^4+0x^3+0x^2-7x-20}{x+2}$

Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x^3-6x^2+12x-31$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 42$.

Misalkan $p(x) = x^4-ax^3-(a-b)x^2$ $+ (3a+b+2)x -3a-b$
sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} p(x) & = (x^2+x-2)H(x) + (x-3) \\ & = (x+2)(x-1)H(x) + (x-3) \end{aligned}$
Jika $x = -2$, diperoleh $p(-2) = -5$. 
Jika $x=1$, diperoleh $p(1) = -2$. 
Dengan menggunakan metode Horner untuk $x=-2$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -a+b & 3a+b+2 & -3a-b \\ -2 & \downarrow & -2 & 2a+4 & -2a-2b-8 & -2a+2b+12 \\ \hline & 1 & -a-2 & a+b+4 & a-b-6 & \color{red}-5a + b + 12 \end{array}$$Karena bersisa $p(-2) = -5$, diperoleh
$\begin{aligned} & -5a + b + 12 =-5 \\ & \Leftrightarrow -5a+b=-17 \end{aligned}$
Dengan menggunakan metode Horner untuk $x=1$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -a+b & 3a+b+2 & -3a-b \\ 1 & \downarrow & 1 & -a+1 & -2a+b+1 & a+2b+3 \\ \hline & 1 & -a+1 & -2a+b+1 & a+2b+3 & \color{red}{-2a+b+3} \end{array}$$Karena bersisa $p(1) = -2$, diperoleh
$-2a + b + 3=-2\Leftrightarrow -2a+b=-5.$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -5a+b & = -17 \\ -2a + b & = -5 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $a = 4$ dan $b = 3$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{a=4; b = 3}$

Misalkan: $p(x) = x^4 -ax^3 -(6a+5b)x^2$ $+ abx + 144.$
Pembagi: $D(x) = x^2+6x+8 =(x+4)(x+2).$
Dengan menggunakan metode Horner untuk $x = -4$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -6a-5b & ab & 144 \\ -4 & \downarrow & -4 & 4a + 16& 8a+20b-64 & (1) \\ \hline & 1 & -a-4 & -2a-5b+16 & 8a+20b+ab-64 & \color{red}{(2)} \end{array}$$dengan $(1) = -32a-80b-4ab+256$ dan
$(2) = -32a -80b -4ab + 400.$
Karena $(x+4)$ merupakan salah satu faktor $p(x)$, berlaku
$\color{blue}{-32a -80b -4ab + 400 = 0}.$
Berikutnya, dengan menggunakan metode Horner untuk $x = -2,$ diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -6a-5b & ab & 144 \\ -2 & \downarrow & -2 & 2a + 4 & 8a+10b-8 & (3) \\ \hline & 1 & -a-2 & -4a-5b+4 & 8a+10b+ab-8 & \color{red}{(4)} \end{array}$$dengan $(3) = -16a-20b-2ab+16$ dan
$(4) = -16a -20b -2ab + 160$. 
Karena $(x+2)$ merupakan salah satu faktor $p(x)$, berlaku
$\color{blue}{-16a -20b -2ab + 160 = 0}$ 
Diperoleh SPL:
$\begin{cases} -32a -80b -4ab + 400 & = 0 \\ -16a -20b -2ab + 160 & = 0 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $a = 6$ dan $b = 2$. 
Jadi, nilai $\boxed{a=6; b = 2}$

Misalkan $f(x)=ax^2+bxy+cy^2-$ $5x+11y-3.$ Perhatikan bahwa $x+2y-3 = x-(3-2y)$ merupakan faktor dari $f(x)$ sehingga $f(3-2y) = 0.$
Dari sini, kita dapatkan
$$\begin{aligned} a(3-2y)^2+b(3-2y)y + cy^2-5(3-2y)+11y-3 & = 0 \\ a(9-12y+4y^2)+b(3y-2y^2)+cy^2-15+10y+11y-3 & = 0 \\ (4a-2b+c)y^2+(-12a+3b+21)y+(9a-18) & = 0 \end{aligned}$$Agar ruas kanan bernilai $0$, semua koefisien dan konstanta pada ruas kiri harus dibuat menjadi $0$.
Pada konstanta, diperoleh $9a-18=0 \Leftrightarrow a = \color{red}{2}$.
Pada koefisien $y$, diperoleh
$\begin{aligned} -12a+3b+21 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan}~3 \\ -4a+b+7 & = 0 \\ -4(\color{red}{2})+b+7 & = 0 \\ b & = \color{blue}{1} \end{aligned}$
Pada koefisien $y^2$, diperoleh
$\begin{aligned} 4a-2b+c & = 0 \\ 4(\color{red}{2})-2(\color{blue}{1})+c & = 0 \\ 6+c & = 0 \\ c & = -6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a,b$, dan $c$ berturut-turut adalah $2, 1$, dan $-6$.

Misalkan $f(y)=(a+b)x^2+(2a+b)xy+cy^2$ $-x+13y-15$.
Perhatikan bahwa $2x-y+5 = -y+(2x+5)$ merupakan faktor dari $f(y)$ sehingga $f(2x+5) = 0$.
Dari sini, kita dapatkan
$$\begin{aligned} (a+b)x^2+(2a+b)x(2x+5)+c(2x+5)^2-x+13(2x+5)-15 & = 0 \\ (a+b)x^2+(4ax^2+10ax+2bx^2+5bx)+c(4x^2+20x+25)-x+26x+50 & = 0 \\ (5a+3b+4c)x^2+(10a+5b+20c+25)x+(25c+50) & = 0 \end{aligned}$$Agar ruas kanan bernilai $0$, semua koefisien dan konstanta pada ruas kiri harus dibuat menjadi $0$.
Pada konstanta, diperoleh $25c+50=0 \Leftrightarrow c = \color{red}{-2}$.
Pada koefisien $y$, diperoleh
$\begin{aligned} 10a+5b+20c+25 & = 0 \\ 10a+5b+20(\color{red}{-2})+25 & = 0 \\ 10a+5b & = 15 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~5 \\ 2a+b & = 3~~~~~~(\cdots 1) \end{aligned}$
Pada koefisien $y^2$, diperoleh
$\begin{aligned} 5a+3b+4c & = 0 \\ 5a+3b+4(\color{red}{-2}) & = 0 \\ 5a+3b & = 8 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita dapatkan $a=b=1$.
Jadi, nilai $a, b$, dan $c$ berturut-turut adalah $1, 1$, dan $-2$.

Karena suku banyak tersebut berderajat $7$ dan memiliki tujuh akar real berbeda, tidak ada satu pun akar yang nilainya sama.
Diketahui salah satu akarnya nol sehingga substitusi $x = 0$ pada $f(x)$ menghasilkan $f(0) = g = 0$. Jadi, $$f(x) = x^7 + ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx.$$Dari bentuk ini, nilai $f$ tidak boleh bernilai nol karena jika ini terjadi, maka $f(x)$ memiliki dua akar yang sama, yaitu nol. Dalam hal ini, ditulis
$$f(x) = x^2(x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e).$$Jadi, koefisien yang tidak boleh bernilai nol adalah $\boxed{f}$

Persamaan polinomial berderajat genap memiliki kemungkinan untuk tidak memiliki akar real, sedangkan persamaan polinomial berderajat ganjil pasti setidaknya memiliki satu akar real.
Misalkan $f$ adalah fungsi polinomial berderajat $5$. Polinomial tersebut dapat memiliki $5$ akar real jika dapat dituliskan dalam lima faktor linear.
$$f(x) = p(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)$$Polinomial juga dapat memiliki $3$ akar real jika dapat dituliskan dalam tiga faktor linear.
$$f(x)=p(x+a)(x+b)(x+c)(x^2+dx+e)$$Polinomial juga dapat memiliki $1$ akar real jika dapat dituliskan dalam satu faktor linear.
$$f(x)=p(x+a)(x^2+bx+c)(x^2+dx+e)$$Polinomial tersebut tidak akan mungkin memiliki akar real sebanyak genap. Dalam hal ini, polinomial tidak mungkin memiliki $\boxed{2}$ atau $\boxed{4}$ akar real.

Perhatikan bahwa koefisien dari setiap polinomial pada ruas kiri persamaan tersebut adalah bilangan rasional, padahal dua akarnya diketahui irasional, yaitu $\sqrt5$ dan $\sqrt{2.020}.$ Agar menghasilkan koefisien rasional, haruslah bentuk $(x-\sqrt5)$ harus dipasangkan dengan $(x+\sqrt5)$, begitu juga dengan $(x-\sqrt{2.020})$ harus dipasangkan dengan $(x+\sqrt{2.020}).$ Jadi, kita dapat tuliskan.
$$\begin{aligned} (x + \sqrt5)(x-\sqrt5) (x+\sqrt{2.020})(x-\sqrt{2.020}) & = 0 \\ (x^2-5)(x^2-2.020) & = 0 \\ x^4-2.025x^2+10.100 & = 0 \\ x^4+\underbrace{0}_{a}x^3+\underbrace{(-2.025)}_{b}x^2+\underbrace{0}_{c}x + \underbrace{10.100}_{d} & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai koefisien:
$$\begin{aligned} a & = 0\\ b & = -2.025 \\ c & = 0 \\ d & = 10.100 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai $\boxed{a+b+c+d=8.075}$

Perhatikan bahwa persamaan polinom tersebut dapat kita tulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} P(x) + 8x & = P(x-2) + 6x^2 \\ P(x)-P(x-2) & = 6x^2-8x \end{aligned}$$Jika $P(x)$ adalah polinom berderajat $n$ dengan koefisien $a,$ maka $P(x-2)$ juga demikian halnya sehingga hasil pengurangannya mengeliminasi suku berderajat tertinggi. Artinya, tersisa suku dengan variabel berderajat di bawahnya. Jadi, kita simpulkan bahwa $P(x)$ berderajat tiga.
Misalkan $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ dengan $a \neq 0.$
Kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(x)-P(x-2) & = 6x^2-8x \\ \left[ax^3 + bx^2 + cx + d\right]-\left[a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d\right] & = 6x^2-8x \\ a(x^3-(x-2)^3) + b(x^2-(x-2)^2) + c(x-(x-2)) + (d-d) & = 6x^2-8x \\ a(6x^2-12x+8) + b(4x-4) + 2c & = 6x^2-8x \\ \color{red}{6a}x^2 + \color{blue}{(-12a + 4b)}x + (8a-4b+2c) & = \color{red}{6}x^2\color{blue}{-8}x \end{aligned}$$Berdasarkan kesamaan polinom pada baris terakhir, kita peroleh
$$\begin{aligned} 6a = 6 & \Rightarrow a = 1 \\ -12a + 4b = -8 & \Rightarrow -12(1) + 4b = -8 \Rightarrow b = 1 \\ 8a-4b+2c = 0 & \Rightarrow 8(1)-4(1)+2c = 0 \Rightarrow c = -2 \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh
$$p(x) = x^3 + x^2-2x + d.$$Karena diketahui $P(1)=1,$ maka dengan substitusi diperoleh
$$\begin{aligned} (1)^3 + (1)^2-2(1) + d & = 1 \\ 1+1-2+d & = 1 \\ d & = 1 \end{aligned}$$Jadi, bentuk polinom tersebut adalah $P(x) = x^3 + x^2-2x+1$ sehingga $$\boxed{P(2) = (2)^3+(2)^2-2(2)+1 = 9}$$