Tag: Modulus

Dalam kalkulus, diketahui bahwa
$\boxed{{\displaystyle \int \cos x\text{d}x=\sin x+C}}$
Jadi,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{C}{\int }\cos z\text{d}z}& ={\int }_{-\pi i}^{\pi i}\cos z\text{d}z\\ & =[\sin z{]}_{-\pi i}^{\pi i}\\ & =\sin \pi i+\sin \pi i\\ & =2\sin \pi i.\end{array}$
Karena $\sin iz=i\sinh z$, berarti dapat ditulis,
$\boxed{{\displaystyle \underset{C}{\int }\cos z\text{d}z=2\sin \pi i=2i\sinh \pi }}$

Integral garis dalam kasus ini memberikan
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \underset{C}{\int }(y-x+6i{x}^2)(\text{d}x+i\text{d}y)}\\ & =\underset{C}{\int }(y-x+6i{x}^2)\text{d}x+\underset{C}{\int }(iy-ix-6x^2)\text{d}y.\end{array}$$Garis dari $z=0$ sampai $z=i$ sama dengan garis dari titik $(0,0)$ ke $(0,1)$ berarti $x=0$ sehingga $\text{d}x=0$.
Jadi, integralnya ditulis
$${\displaystyle {\int }_0^{1}0+{\int }_0^1(iy-0)\text{d}y={\left[{\displaystyle \frac{i}{2}}{y}^2\right]}_0^1={\displaystyle \frac{i}{2}}.}$$Selanjutnya, garis dari $z=i$ sampai $z=1+i$ sama dengan garis dari titik $(0,1)$ ke $(1,1)$ berarti $y=1$ sehingga $\text{d}y=0$.
Jadi, integralnya ditulis
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(1-x+6i{x}^2)\text{d}x+{\int }_0^{1}0& ={[x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2i{x}^3]}_0^1\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2i\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}+2i.\end{array}$$Ini berarti, nilai dari ${\int }_{C}f(z)dz$ yang dimaksud adalah
${\displaystyle \frac{i}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+2i=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1+5i}{2}}}}$

Jawaban a)
Diketahui $z=t^2+it$ berarti konjugatnya adalah $\bar{z}=t^2-it.$
Titik $z=0$ dan $z=4+2i$ berkaitan dengan $t=0$ dan $t=2$ (akan menjadi batas bawah dan atas integral). Selain itu, dari $z=t^2+it$, diperoleh $\text{d}z=(2t+i)\text{d}t.$
Jadi, integral garisnya diberikan oleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^2(t^2-it)(2t+i)\text{d}t}\\ & ={\int }_0^2(2t^3-i{t}^2+t)\text{d}t=\boxed{{\displaystyle 10-{\displaystyle \frac{8}{3}}i}}.\end{array}$
Jawaban b)
Integral garis yang diberikan adalah
$$\begin{array}{r}\underset{C}{\int }(x-iy)(\text{d}x+i\text{d}y)={\int }_C(x\text{d}x+y\text{d}y)+i{\int }_C(x\text{d}y-y\text{d}x).\end{array}$$Garis dari $z=0$ ke $z=2i$ sama dengan garis dari titik $(0,0)$ ke $(0,2)$ sehingga $x=0$, $\text{d}x=0$, dan integral garisnya adalah
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\int }_{y=0}^2(0+y\text{d}y)+i{\int }_{y=0}^2(0–0)\\ & ={\int }_{y=0}^{2}y\text{d}y=2.\end{array}$
Garis dari $z=2i$ ke $z=4+2i$ sama dengan garis dari titik $(0,2)$ ke $(4,2)$ sehingga $y=2,\text{d}y=0$, dan integral garisnya adalah
$\begin{array}{rl}& {\int }_{x=0}^4(x\text{d}x+0)+i{\int }_{x=0}^4(0-2\text{d}x)\\ & ={\int }_{x=0}^{4}x\text{d}x+{\int }_{x=0}^4(-2)\text{d}x\\ & =8-8i.\end{array}$
Jadi, nilai yang diinginkan adalah $\boxed{{\displaystyle (2)+(8-8i)=10-8i}}$

Titik singular adalah titik saat suatu fungsi tidak memiliki turunan, sedangkan kesingularan adalah keadaan ketika suatu titik pada bidang kompleks menjadi titik singular.
Fungsi $f$ untuk kasus ini memiliki kesingularan kutub berderajat $3$ di $z=2$ (perhatikan penyebutnya).
Untuk memeriksa kesingularan di $z=\mathrm{\infty }$, andaikan bahwa $w=0$ dan $z={\displaystyle \frac{1}{w}}$ sehingga
$\begin{array}{rl}f(z)& =f\left({\displaystyle \frac{1}{w}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{w^3}}+2}{{({\displaystyle \frac{1}{w}}-2)}^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+2w^3}{(1-2w{)}^3}}.\end{array}$
Dari bentuk ini, kita dapatkan bahwa tidak terjadi kesingularan saat $w=0$, yang artinya $f$ tidak memiliki kesingularan di $z=\mathrm{\infty }$.

$C$ adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu $z=0$ berada dalam $C$, sedangkan $z^2-8=0\Rightarrow z=\pm \sqrt{8}$ tidak berada dalam $C.$ Jadi, dapat ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \oint {\displaystyle \frac{\cos z}{z(z^2-8)}}\text{d}z}& =\oint {\displaystyle \frac{\cos z}{z^2-8}}\times {\displaystyle \frac{\text{d}z}{z}}\\ & =2\pi i{\left[{\displaystyle \frac{\cos z}{z^2-8}}\right]}_{z=0}\\ & =2\pi i\left[{\displaystyle \frac{\cos 0}{0-8}}\right]\\ & =\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{4}}\pi i}}\end{array}$

Integral ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi.
Misal $u=z^2$ berarti $du=2z\text{d}z$ atau $z\text{d}z={\displaystyle \frac{\text{d}u}{2}}$ sehingga
${\displaystyle \underset{C}{\int }z{e}^{z^2}\text{d}z={\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{C_1}{\int }{e}^u\text{d}u}$
dengan $C_1$ adalah kurva hasil transformasi $C$ karena adanya perubahan variabel integrasi.
Perhatikan pada kurva $C$:
$z_0=1$ (batas bawah)
$z_1=i$ (batas atas)
berarti pada kurva $C_1$ (permisalan $u=z^2$) berlaku
$u_0=1^2=1$ (batas bawah)
$u_1=i^2=-1$ (batas atas)
Selanjutnya, kita siap menghitung integralnya.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{C_1}{\int }{e}^u\text{d}u}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[e^u\right]}_1^{-1}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{-1}{e}^1)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}(e^1-e^{-1})\\ & =\boxed{{\displaystyle -\sinh 1}}\end{array}$
Catatan: Perhatikan bahwa
$\boxed{{\displaystyle \sinh z={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^z-e^{-z})}}$

${\displaystyle \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{e^z}{z-2}}\text{d}z=2\pi i{e}_{z=2}^z=\boxed{{\displaystyle 2\pi i{e}^2}}}$
untuk setiap kontur (lintasan tertutup sederhana) yang melingkungi $z_0=2$ dan bernilai $0$ untuk setiap kontur yang tidak melingkungi $z_0=2$.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^3-6}{2z-i}}\text{d}z}& =\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{z^3-6}{2}}}{z-{\displaystyle \frac{i}{2}}}}\text{d}z\\ & =2\pi i{\left[{\displaystyle \frac{z^3-6}{2}}\right]}_{z={\displaystyle \frac{i}{2}}}\\ & =2\pi i\left[{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{-i}{8}}-6}{2}}\right]\\ & =\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{8}}-6\pi i}}\end{array}$
untuk setiap kontur yang melingkungi $z_0={\displaystyle \frac{i}{2}}$ dengan $z_0$ terletak di dalam $C$.

Perhatikan bahwa $C$ adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di $(0,-1)$ beradius $1$.
${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^2}{z^2+1}}& ;C:|z+i|=1\\ & =\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^2}{z-i}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}z}{z+i}}\\ & =2\pi i{\left[{\displaystyle \frac{z^2}{z-i}}\right]}_{z=-i}\\ & =2\pi i\times {\displaystyle \frac{-1}{-i-i}}\\ & =\pi \end{array}}$
untuk setiap kontur yang melingkungi $z=-i$ termasuk dalam kasus ini $C:|z+i|=1$.

Perhatikan bahwa $C$ adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di $(1,0)$ beradius $1$.
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^2}{z^4-1}};C:|z-1|=1}\\ & =\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^2}{(z^2+1)(z+1)}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}z}{z-1}}\\ & =2\pi i{\left[{\displaystyle \frac{z^2}{(z^2+1)(z+1)}}\right]}_{z=1}\\ & =2\pi i\times {\displaystyle \frac{1}{(1+1)(1+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi i\end{array}$
untuk setiap kontur yang melingkungi $z=1$ termasuk dalam kasus ini $C:|z-1|=1$.

Perhatikan bahwa $C$ adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ beradius $1$ (lingkaran satuan).
${\displaystyle \begin{array}{rl}& \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{1}{4z+i}}\text{d}z;C:|z|=1\\ & =\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{z+{\displaystyle \frac{i}{4}}}}\text{d}z\\ & =2\pi i{\left[{\displaystyle \frac{1}{4}}\right]}_{z=-\frac{i}{4}}={\displaystyle \frac{\pi i}{2}}\end{array}}$
untuk setiap kontur yang melingkungi $z=-{\displaystyle \frac{i}{4}}$ termasuk dalam kasus ini $C:|z|=1$.

Fungsi $f(z)=z^2{e}^{2z}$ merupakan fungsi analitik karena merupakan hasil perkalian polinom $z^2$ dan bentuk eksponensial $e^{2z}$ yang keduanya merupakan fungsi analitik. (Ingat: suatu fungsi dikatakan analitik pada domain $D$ jika fungsinya terdefinisi dan dapat diturunkan pada setiap titik dari $D$). Lintasannya (pada integral) adalah $|z|=2$ yang merupakan lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari $2$ sehingga merupakan lintasan tertutup. Menurut akibat Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \underset{|z|=2}{\oint }{z}^2{e}^{2z}\text{d}z=0}}}$ 

Perhatikan integran $f(z)=e^{-x}{e}^{-iy}=e^{-x-iy}=e^{-z}$ yang merupakan fungsi analitik. Karena lintasannya berupa persegi (lintasan tertutup), maka dengan menggunakan Teorema Cauchy-Goursat, dapat disimpulkan bahwa
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\oint }_C{e}^{-x}{e}^{-iy}\text{d}z=0}}}$

Ingat bahwa
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{f(z)}{(z–z_0{)}^{n+1}}}=f^n(z_0){\displaystyle \frac{2\pi i}{n!}}}}}$
Dengan demikian,
Jawaban a)
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^2}{(2z-1{)}^2}}\text{d}z}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^2}{{(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2}}\text{d}z\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}{[{\displaystyle \frac{d}{dz}}(z^2)]}_{z={\displaystyle \frac{1}{2}}}\times {\displaystyle \frac{2\pi i}{1!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi i\end{array}$$Jawaban b)
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^3}{(2z+i{)}^3}}\text{d}z}& ={\displaystyle \frac{1}{8}}\underset{C}{\oint }{\displaystyle \frac{z^3}{{(z+{\displaystyle \frac{i}{2}})}^3}}\text{d}z\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}{[{\displaystyle \frac{d}{d{z}^2}}(z^3)]}_{z=-{\displaystyle \frac{i}{2}}}\times {\displaystyle \frac{2\pi i}{2!}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}\pi \end{array}$$