Tag: Modulus

Dalam kalkulus, diketahui bahwa
$\boxed{\int \cos x~\text{d}x = \sin x + C}$
Jadi,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \cos z~\text{d}z & = \int_{-\pi i}^{\pi i} \cos z~\text{d}z \\ & = [\sin z]_{-\pi i}^{\pi i} \\ & = \sin \pi i + \sin \pi i  \\ & = 2 \sin \pi i. \end{aligned}$
Karena $\sin iz = i~\sinh z$, berarti dapat ditulis,
$\boxed{\int \limits_{C} \cos z~\text{d}z = 2 \sin \pi i = 2i \sinh \pi}$

Integral garis dalam kasus ini memberikan
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int \limits_{C} (y -x + 6ix^2)~(\text{d}x + i~\text{d}y) \\ & = \int \limits_{C} (y -x +6ix^2)~\text{d}x + \int \limits_{C} (iy- ix -6x^2)~\text{d}y. \end{aligned}$$Garis dari $z = 0$ sampai $z = i$ sama dengan garis dari titik $(0,0)$ ke $(0,1)$ berarti $x = 0$ sehingga $\text{d}x = 0$.
Jadi, integralnya ditulis
$$\displaystyle \int_0^{1} 0 + \int_0^{1} (iy -0)~\text{d}y = \left[\dfrac{i} {2}y^2\right]_0^{1} = \dfrac{i} {2}.$$Selanjutnya, garis dari $z = i$ sampai $z = 1+i$ sama dengan garis dari titik $(0,1)$ ke $(1, 1)$ berarti $y = 1$ sehingga $\text{d}y = 0$.
Jadi, integralnya ditulis
$$\begin{aligned} \int_0^{1} (1-x+6ix^2)~\text{d}x + \int_0^{1} 0 & = \left[x- \dfrac{1}{2}x^2 + 2ix^3\right]_0^{1} \\ & = 1 -\dfrac{1}{2} + 2i \\ & = \dfrac{1}{2} +2i. \end{aligned}$$Ini berarti, nilai dari $\int_C f(z) ~dz$ yang dimaksud adalah
$\dfrac{i} {2}+ \dfrac{1}{2} +2i = \boxed{\dfrac{1+5i} {2}}$

Jawaban a)
Diketahui $z = t^2+it$ berarti konjugatnya adalah $\overline{z} = t^2-it.$
Titik $z = 0$ dan $z = 4+2i$ berkaitan dengan $t = 0$ dan $t = 2$ (akan menjadi batas bawah dan atas integral). Selain itu, dari $z = t^2+it$, diperoleh $\text{d}z = (2t + i)~\text{d}t.$
Jadi, integral garisnya diberikan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{0}^{2} (t^2-it)(2t+i)~\text{d}t \\ & = \int_{0}^{2} (2t^3-it^2+t)~\text{d}t  = \boxed{10 -\dfrac{8}{3}i}. \end{aligned} $
Jawaban b)
Integral garis yang diberikan adalah
$$\begin{aligned} \int \limits_{C} (x-iy)(\text{d}x + i~\text{d}y) = \int_C (x~\text{d}x + y~\text{d}y)  + i \int_C (x~\text{d}y -y~\text{d}x). \end{aligned}$$Garis dari $z = 0$ ke $z = 2i$ sama dengan garis dari titik $(0,0)$ ke $(0,2)$ sehingga $x = 0$, $\text{d}x = 0$, dan integral garisnya adalah
$\begin{aligned} \displaystyle & \int_{y=0}^{2} (0 +y~\text{d}y) + i \int_{y = 0}^{2}(0 – 0) \\ & = \int_{y = 0}^{2} y~\text{d}y = 2. \end{aligned}$
Garis dari $z = 2i$ ke $z = 4+2i$ sama dengan garis dari titik $(0,2)$ ke $(4,2)$ sehingga $y = 2, \text{d}y = 0$, dan integral garisnya adalah
$\begin{aligned}& \int_{x=0}^{4} (x~\text{d}x + 0) + i \int_{x = 0}^{4}(0- 2~\text{d}x) \\ & = \int_{x = 0}^{4} x~\text{d}x + \int_{x =0}^{4} (-2)~\text{d}x \\ & = 8 -8i. \end{aligned}$
Jadi, nilai yang diinginkan adalah $\boxed{(2) + (8 -8i) = 10 -8i}$

Titik singular adalah titik saat suatu fungsi tidak memiliki turunan, sedangkan kesingularan adalah keadaan ketika suatu titik pada bidang kompleks menjadi titik singular.
Fungsi $f$ untuk kasus ini memiliki kesingularan kutub berderajat $3$ di $z = 2$ (perhatikan penyebutnya).
Untuk memeriksa kesingularan di $z = \infty$, andaikan bahwa $w = 0$ dan $z = \dfrac{1}{w}$ sehingga
$\begin{aligned} f(z) & = f\left(\dfrac{1}{w} \right)\\ &  = \dfrac{\dfrac{1}{w^3} + 2}{\left(\dfrac{1}{w} -2\right)^3} \\ & = \dfrac{1 + 2w^3}{(1-2w)^3}. \end{aligned}$
Dari bentuk ini, kita dapatkan bahwa tidak terjadi kesingularan saat $w = 0$, yang artinya $f$ tidak memiliki kesingularan di $z = \infty$.

$C$ adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu $z = 0$ berada dalam $C$, sedangkan $z^2 -8 = 0 \Rightarrow z = \pm\sqrt{8}$ tidak berada dalam $C.$ Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~\text{d}z & = \oint \dfrac{\cos z}{z^2-8} \times \dfrac{\text{d}z}{z} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos z}{z^2 -8}\right]_{z = 0} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos 0}{0 -8}\right] \\ & = \boxed{-\dfrac{1}{4} \pi i} \end{aligned}$

Integral ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi.
Misal $u = z^2$ berarti $du =2z~\text{d}z$ atau $z~\text{d}z = \dfrac{\text{d}u} {2}$ sehingga
$\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~\text{d}z = \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~\text{d}u$
dengan $C_1$ adalah kurva hasil transformasi $C$ karena adanya perubahan variabel integrasi.
Perhatikan pada kurva $C$:
$z_0 = 1$ (batas bawah)
$z_1 = i$ (batas atas)
berarti pada kurva $C_1$ (permisalan $u = z^2$) berlaku
$u_0 = 1^2 = 1$ (batas bawah)
$u_1 = i^2 = -1$ (batas atas)
Selanjutnya, kita siap menghitung integralnya.
$\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~\text{d}u & = \dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_{1}^{-1} \\ & = \dfrac{1}{2}(e^{-1}  e^1) \\ & = -\dfrac{1}{2}(e^1 -e^{-1}) \\ & = \boxed{-\sinh 1} \end{aligned}$
Catatan: Perhatikan bahwa
$\boxed{\sinh z = \dfrac{1}{2}(e^z -e^{-z})}$

$\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z -2}~\text{d}z = 2\pi i e^z_{z = 2} = \boxed{2\pi i e^2}$
untuk setiap kontur (lintasan tertutup sederhana) yang melingkungi $z_0 = 2$ dan bernilai $0$ untuk setiap kontur yang tidak melingkungi $z_0 = 2$.

$\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~\text{d}z & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{z^3-6}{2}} {z -\dfrac{i} {2}}~\text{d}z \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^3-6}{2}\right]_{z = \dfrac{i} {2}} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\dfrac{-i} {8} -6}{2} \right] \\ & = \boxed{\dfrac{\pi} {8} -6\pi i} \end{aligned} $
untuk setiap kontur yang melingkungi $z_0 = \dfrac{i} {2}$ dengan $z_0$ terletak di dalam $C$.

Perhatikan bahwa $C$ adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di $(0,-1)$ beradius $1$.
$\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^2+1}& ; C: |z + i| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z-i} \cdot \dfrac{\text{d}z} {z+i} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{z-i} \right] _{z = -i} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{-1}{-i-i} \\ & = \pi \end{aligned} $
untuk setiap kontur yang melingkungi $z = -i$ termasuk dalam kasus ini $C: |z + i| = 1$.

Perhatikan bahwa $C$ adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di $(1, 0)$ beradius $1$.
$\begin{aligned} &  \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^4-1}; C: |z -1| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)} \cdot \dfrac{\text{d}z} {z-1} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)} \right] _{z = 1} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{1}{(1+1)(1+1)} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}$
untuk setiap kontur yang melingkungi $z = 1$ termasuk dalam kasus ini $C: |z -1| = 1$.

Perhatikan bahwa $C$ adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di $(0, 0)$ beradius $1$ (lingkaran satuan).
$\displaystyle \begin{aligned} & \oint \limits_{C} \dfrac{1}{4z + i}~\text{d}z ; C: |z| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{1}{4}}{z + \dfrac{i} {4}}~\text{d}z \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{1}{4}\right] _{z = -\frac{i}{4}} = \dfrac{\pi i} {2} \end{aligned} $
untuk setiap kontur yang melingkungi $z = -\dfrac{i}{4}$ termasuk dalam kasus ini $C: |z|= 1$.

Fungsi $f(z) = z^2e^{2z}$ merupakan fungsi analitik karena merupakan hasil perkalian polinom $z^2$ dan bentuk eksponensial $e^{2z}$ yang keduanya merupakan fungsi analitik. (Ingat: suatu fungsi dikatakan analitik pada domain $D$ jika fungsinya terdefinisi dan dapat diturunkan pada setiap titik dari $D$). Lintasannya (pada integral) adalah $|z| = 2$ yang merupakan lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari $2$ sehingga merupakan lintasan tertutup. Menurut akibat Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh $\boxed{\displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~\text{d}z = 0}$ 

Perhatikan integran $f(z) = e^{-x}e^{-iy} = e^{-x -iy} = e^{-z}$ yang merupakan fungsi analitik. Karena lintasannya berupa persegi (lintasan tertutup), maka dengan menggunakan Teorema Cauchy-Goursat, dapat disimpulkan bahwa
$\boxed{\displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~\text{d}z = 0}$

Ingat bahwa
$\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z – z_0)^{n+1}} = f^n(z_0)\dfrac{2\pi i} {n!}} $
Dengan demikian,
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}~\text{d}z & = \dfrac{1}{4} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{\left(z -\dfrac{1}{2}\right)^2}~\text{d}z \\ & = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{d}{dz}(z^2)\right] _{z= \dfrac{1}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {1!} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{(2z+i)^3}~\text{d}z & = \dfrac{1}{8} \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{\left(z + \dfrac{i}{2}\right)^3}~\text{d}z \\ & = \dfrac{1}{8}\left[\dfrac{d}{dz^2}(z^3)\right] _{z = -\dfrac{i}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {2!} \\ & = \dfrac{3}{8}\pi \end{aligned}$$