Materi, Soal, dan Pembahasan – Operasi Biner dan Dasar-Dasar Grup

Operasi biner dan grup

Dalam matematika, struktur (structure) adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan setidaknya satu operasi. Sejumlah struktur diberi nama khusus karena sering kali digunakan. Istilah yang dimaksud antara lain grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Grupoid adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Semigrup adalah grupoid yang operasinya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas.

Secara matematis, kita mendefinisikannya seperti berikut.

Definisi: Grupoid

Misalkan G merupakan himpunan takkosong dan merupakan operasi biner pada G. Himpunan G yang dilengkapi dengan operasi , dinotasikan (G,), disebut sebagai grupoid (groupoid). Dengan kata lain, G harus tertutup terhadap operasi .

Definisi: Semigrup

Misalkan (G,) merupakan grupoid. Jika (ab)c=a(bc) untuk setiap a,b,cG, maka (G,) disebut sebagai semigrup (semigroup).

Definisi: Monoid

Misalkan (G,) merupakan semigrup. Jika terdapat elemen identitas e sehingga ae=ea=a untuk setiap aG, maka (G,) disebut monoid (monoid).

Dari definisi tersebut, diketahui bahwa semua grupoid adalah semigrup dan semua semigrup adalah monoid.

Sebagai contoh, misalkan N merupakan himpunan bilangan asli. Didefinisikan operasi biner oleh ab=(a+b)+ab untuk setiap a,bN. Struktur (N,) merupakan grupoid karena N tertutup terhadap operasi biner . Fakta tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Ambil sembarang a,bN. Berdasarkan definisi operasi biner , diperoleh ab=(a+b)+ab. Karena N tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, diperoleh a+bN dan abN. Akibatnya, (a+b)+abN.

Bagaimana kalau operasi biner didefinisikan oleh ab=(a+b)ab untuk setiap a,bN? Jika definisinya demikian, (N,) bukan grupoid karena N tidak tertutup terhadap operasi . Sebagai contoh, pilih a=2 dan b=3 sehingga didapat 23=(2+3)2(3)=1N. Kita sebut (N,) sebagai suatu struktur aljabar biasa.

Struktur aljabar pada dasarnya berfondasi pada apa yang kita kenal sebagai teori grup. Secara informal, grup adalah monoid yang setiap elemen himpunannya memiliki invers terhadap operasi yang disematkan. Kita akan memberikan definisi formal dari grup sebagai berikut.

Definisi: Grup

Misalkan G merupakan himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner . Struktur (G,) disebut grup (group) jika memenuhi tiga kriteria berikut.

  1. Operasi biner bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,cG, berlaku a(bc)=(ab)c.
  2. Terdapat elemen identitas eG sehingga ae=ea=a untuk setiap aG.
  3. Untuk setiap aG, terdapat elemen invers a1G sehingga aa1=e.

Lebih lanjut, jika (G,) merupakan grup yang operasi binernya memenuhi sifat komutatif, artinya untuk setiap a,bG, berlaku ab=ba, maka (G,) disebut sebagai grup komutatif atau grup Abel (Abelian group), diambil dari nama matematikawan Norwegia, Niels Henrik Abel (1802–1829). Beliau banyak memberikan kontribusi dalam aljabar abstrak, tetapi sayangnya, beliau meninggal dalam usia yang masih muda karena menderita tuberkulosis. Berikutnya, jika (G,) merupakan grup, tetapi operasi binernya tidak memenuhi sifat komutatif, maka (G,) disebut sebagai grup nonkomutatif atau grup non-Abel (non-Abelian group).


Tabel Cayley mendeskripsikan struktur dari suatu himpunan hingga dengan menyusun semua hasil operasi biner dari setiap elemen grup pada tabel dengan ukuran n×n. Kata “Cayley” diambil dari nama Matematikawan Britania Raya, Arthur Cayley (1821–1895), sebagai tanda jasa atas kontribusi beliau pada bidang aljabar abstrak.

Sebagai contoh, misalkan G={0,1,2} merupakan himpunan yang dilengkapi dengan operasi perkalian modulo 2, dinotasikan dengan ×2. Karena G merupakan himpunan berhingga, tabel Cayley dapat digunakan untuk menyusun semua hasil operasi perkalian modulo 2 pada tiga elemen yang termuat di G.
Jika himpunan hingga G bersama-sama dengan operasi biner memenuhi kriteria sesuai definisi grup, maka struktur (G,) disebut sebagai grup hingga (finite group).


Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber. Untuk sumber berbahasa Inggris, salah satu yang digunakan adalah buku “A First Course in Abstract Algebra, Fourth Edition” yang ditulis oleh John B. Fralegh. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

No.Bahasa IndonesiaBahasa Inggris1.Aljabar AbstrakAbstract Algebra2.Operasi BinerBinary Operation3.Himpunan TakkosongNonempty Set4.Struktur AljabarAlgebraic Structure5.GrupoidGroupoid6.SemigrupSemigroup7.MonoidMonoid8.Sifat KetertutupanClosure Property9.Sifat AsosiatifAssociative Property10.Elemen identitasIdentity Element11.InversInverse12.Sifat KomutatifCommutative Property13.Grup KomutatifCommutative Group14.Grup AbelAbelian Group15.Grup Non-AbelNon-Abelian Group16.Tabel CayleyCayley Table17.Himpunan HinggaFinite Set18.Grup HinggaFinite Group


Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang operasi biner dan dasar-dasar grup. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.

Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_SoalFolder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.

Quote by Buya Hamka

Iman tanpa ilmu bagaikan lentera di tangan bayi. Namun, ilmu tanpa iman bagaikan lentera di tangan pencuri.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Misalkan Z+ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan a,bZ+. Definisi yang tepat agar merupakan operasi biner pada Z+ adalah
A. ab=ab
B. ab=5ab
C. ab=ab
D. ab=(ab)
E. ab=ab

Pembahasan

Soal Nomor 2

Misalkan N,Z,Q, dan R berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, bulat, rasional, dan real. Struktur berikut yang termasuk grupoid adalah

  1. (N,) yang operasinya didefinisikan oleh ab=ab2a+b untuk setiap a,bN
  2. (Z,) yang operasinya didefinisikan oleh ab=a÷b untuk setiap a,bZ
  3. (Q,) yang operasinya didefinisikan oleh ab=a+b+2 untuk setiap a,bQ
  4. (R,) yang operasinya didefinisikan oleh ab=a÷b untuk setiap a,bR
  5. (R,) yang operasinya didefinisikan oleh ab=a+2b untuk setiap a,bR

Pembahasan

Soal Nomor 3

Misalkan (R,) merupakan grup. Operasi didefinisikan oleh ab=2a+3b45 untuk setiap a,bR. Nilai dari (32)5=xy untuk suatu bilangan bulat positif x dan y dengan x dan y relatif prima. Nilai dari x+y=
A. 5                               D. 188
B. 163                          E. 193
C. 183

Pembahasan

Soal Nomor 4

Misalkan Z merupakan himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi dengan ab=a+bab untuk setiap a,bZ. Elemen identitas dari (Z,) adalah
A. 1                       D. 2
B. 0                            E. tidak ada
C. 1

Pembahasan

Soal Nomor 5

Misalkan (R,×) merupakan struktur berupa himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa. Struktur (R,×) tidak termasuk grup karena

  1. × bukan operasi biner
  2. × tidak asosiatif pada R
  3. (R,×) tidak memiliki elemen identitas
  4. tidak semua elemen R memiliki invers terhadap ×
  5. semua elemen R memiliki invers terhadap ×

Pembahasan

Soal Nomor 6

Misalkan (G,) merupakan grup dan a,bG. Jika ab=ba1, maka elemen identitas dari (G,) adalah
A. a5                    C. a3                    E. a
B. a4                    D. a2

Pembahasan

Soal Nomor 7

Misalkan merupakan operasi yang disematkan pada himpunan bilangan rasional Q. Didefinisikan oleh abcd=ab+cd14 untuk setiap ab,cdQ. Invers dari 15 terhadap operasi pada Q adalah
A. 14                       D. 310
B. 15                       E. 910
C. 18

Pembahasan

Soal Nomor 8

Misalkan Z,Z, dan Z+ berturut-turut menyatakan himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat negatif, dan himpunan bilangan bulat positif. Misalkan juga operasi + dan × berturut-turut merupakan operasi penjumlahan biasa dan operasi perkalian biasa. Pernyataan berikut ini yang benar terkait grupoid, semigrup, monoid, dan grup adalah

  1. (Z,×) merupakan monoid, tetapi bukan grup
  2. (Z+,×) merupakan monoid, tetapi bukan grup
  3. (Z,+) merupakan monoid, tetapi bukan grup
  4. (Z+,+) merupakan grupoid, tetapi bukan semigrup
  5. (Z,+) merupakan monoid, tetapi bukan grup

Pembahasan

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Misalkan Q{0} merupakan himpunan bilangan rasional taknol dan ab,cdQ{0}. Didefinisikan operasi dengan abcd=a+cb2+d.Tunjukkan bahwa bukan operasi biner pada Q{0}.

Pembahasan

Soal Nomor 2

Buktikan bahwa himpunan G={0,1} yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa × bukan grup.

Pembahasan

Soal Nomor 3

Buktikan bahwa setiap operasi biner yang didefinisikan pada himpunan dengan satu elemen selalu bersifat asosiatif dan komutatif.

Pembahasan

Soal Nomor 4

Misalkan Z+ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan operasi oleh xy=|xy| untuk setiap x,yZ+. Selidiki apakah operasi pada himpunan tersebut bersifat tertutup, asosiatif, dan komutatif.

Pembahasan

Soal Nomor 5

Misalkan R+ merupakan himpunan bilangan real positif dan merupakan operasi biner yang didefinisikan oleh ab=ab untuk setiap a,bR+. Selidiki apakah (R+,) merupakan grup.

Pembahasan

Soal Nomor 6

Misalkan Q+ merupakan himpunan rasional positif dan operasi didefinisikan oleh ab=ab2 untuk setiap a,bQ+. Buktikan bahwa (Q+,) merupakan grup.

Pembahasan

Soal Nomor 7

Misalkan Z merupakan himpunan bilangan bulat. Misalkan juga 2Z didefinisikan oleh {2nnZ} dan operasi didefinisikan oleh ab=a+b untuk setiap a,b2Z. Buktikan bahwa (2Z,) merupakan grup.

Pembahasan

Soal Nomor 8

Misalkan Z merupakan himpunan bilangan bulat dan didefinisikan operasi oleh xy=x+y1 untuk setiap x,yZ. Buktikan bahwa (Z,) merupakan grup Abel.

Pembahasan

Soal Nomor 9

Misalkan P merupakan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3. Buktikan bahwa P yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup Abel.

Pembahasan

Soal Nomor 10

Misalkan D merupakan himpunan matriks diagonal berukuran n×n dengan entri bilangan real dan operasi + merupakan operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa (D,+) merupakan grup Abel.
Catatan: Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri-entri di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai 0.

Pembahasan

Soal Nomor 11

Buktikan bahwa jika setiap elemen dari grup (G,) merupakan invers dari dirinya sendiri, maka (G,) merupakan grup Abel.

Pembahasan

Soal Nomor 12

Jika (G,) merupakan grup dengan (ab)2=a2b2 untuk setiap a,bG, maka (G,) merupakan grup Abel.

Pembahasan

Soal Nomor 13

Jika (G,) merupakan grup dengan a2=e untuk setiap aG, maka (G,) merupakan grup Abel.

Pembahasan