Tag: Monoid

Misalkan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan $a, b \in \mathbb{Z}^+.$ Agar $*$ merupakan operasi biner pada $\mathbb{Z}^+,$ sifat ketertutupan harus dijamin, yaitu $a*b \in \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi A:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = a-b$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 2$ dan $b = 3,$ diperoleh $2*3 = 2-3 = -1 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi B:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = 5a-b$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 1$ dan $b = 5,$ diperoleh $1*5 = 5(1)-5 = 0 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi C:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = -ab$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 1$ dan $b = 1,$ diperoleh $1*1 = -(1(1)) = -1 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi D:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = -(a-b)$ tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk $a = 2$ dan $b = 1,$ diperoleh $2*1 = -(2-1) = -1 \notin \mathbb{Z}^+.$
Cek opsi E:
Himpunan $\mathbb{Z}^+$ dengan operasi $*$ yang diberikan oleh $a*b = a^b$ tertutup karena $a^b \in \mathbb{Z}^+$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}^+.$
(Jawaban E)

Misalkan $G$ merupakan himpunan takkosong dan $*$ merupakan operasi biner pada $G.$ Himpunan $G$ yang dilengkapi dengan operasi $*,$ dinotasikan $(G, *),$ disebut sebagai grupoid. Dengan kata lain, $G$ harus tertutup terhadap operasi $*.$
Cek opsi A:
$(\mathbb{N}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = ab-2a+b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{N}$ bukan grupoid karena $\mathbb{N}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 1$ sehingga $1*1 = 1(1)-2(1)+1 = 0 \notin \mathbb{N}.$
Cek opsi B:
$(\mathbb{Z}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a \div b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Z}$ bukan grupoid karena $*$ tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 0$ sehingga $1*0 = 1 \div 0$ tidak terdefinisi.
Cek opsi C:
$(\mathbb{Q}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a+b+\sqrt2$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Q}$ bukan grupoid karena $\mathbb{Q}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 1$ sehingga $1*1 = 1+1+\sqrt2 = 2+\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$ karena $\sqrt2$ irasional.
Cek opsi D:
$(\mathbb{R}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a \div b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ bukan grupoid karena $*$ tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, pilih $a = 1$ dan $b = 0$ sehingga $1*0 = 1 \div 0$ tidak terdefinisi.
Cek opsi E:
$(\mathbb{R}, *)$ yang operasinya didefinisikan oleh $a*b = a+2b$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ grupoid karena $\mathbb{R}$ tertutup terhadap operasi $*.$ Fakta tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Ambil sembarang $a, b \in \mathbb{R}.$ Berdasarkan definisi operasi biner $*,$ diperoleh $a*b = a+2b.$ Karena $\mathbb{R}$ tertutup terhadap operasi perkalian dan penjumlahan biasa, diperoleh $2b \in \mathbb{R}$ sehingga $a+2b \in \mathbb{R}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan definisi operasi $*$ yang disematkan pada $\mathbb{R},$ diperoleh
$$\begin{aligned} (3*2)*5 & = \left(2(3) + 3(2)-\dfrac45\right)*5 \\ & = \dfrac{56}{5}*5 \\ & = 2\left(\dfrac{56}{5}\right) + 3(5)-\dfrac45 \\ & = \dfrac{112}{5} + 15-\dfrac45 \\ & = \dfrac{183}{5} \end{aligned}$$Karena $183$ dan $5$ relatif prima, nilai dari $x = 183$ dan $y = 5$ sehingga $x + y = 188.$
(Jawaban D)

Berdasarkan definisi, $e \in \mathbb{Z}$ dikatakan sebagai elemen identitas dari $(\mathbb{Z}, *)$ jika $a*e = e*a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}.$
Karena didefinisikan $a*b = a+b-ab$ untuk setiap $a, b\in \mathbb{Z},$ diperoleh
$$\begin{aligned} a*e & = a \\ a+e-ae & = a \\ e-ae & = 0 \\ e(1-a) & = 0 \\ e & = 0 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} e*a & = a \\ e+a-ea & = a \\ e-ea & = 0 \\ e(1-a) & = 0 \\ e & = 0. \end{aligned}$$Oleh karena itu, $e = 0 \in \mathbb{Z}$ merupakan elemen identitas yang dimaksud karena $a*0 = 0*a = a$ untuk setiap $a \in G.$
(Jawaban B)

Operasi perkalian biasa merupakan operasi biner karena melibatkan dua operan. Pada himpunan bilangan real, operasi perkalian biasa juga bersifat asosiatif, yaitu $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ untuk setiap $a, b, c \in \mathbb{R}.$ Lebih lanjut, elemen identitas dari $(\mathbb{R}, \times)$ adalah $e = 1$ karena $a \times 1 = 1 \times a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}.$ Namun, tidak semua elemen $\mathbb{R}$ memiliki invers terhadap $\times.$ Elemen yang dimaksud adalah $0 \in \mathbb{R}.$ Jelas bahwa tidak ada elemen $a^{-1}$ di $\mathbb{R}$ sehingga $0 \times a^{-1} = 1.$
(Jawaban D)

Misalkan $(G, \star)$ merupakan grup dan $a, b \in G.$ Misalkan juga $a \star b = b \star a^{-1}.$
Karena $a^{-1} \in G,$ haruslah berlaku $a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}$ dengan spesialisasi $b = a^{-1}.$ Selanjutnya, dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh $a = a^{-1}.$ Jadi, invers dari elemen $G$ terhadap operasi $\star$ adalah dirinya sendiri. Misalkan $e$ merupakan elemen identitas dari $(G, \star).$ Berdasarkan definisi invers, didapat
$$\begin{aligned} a \star a^{-1} & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} a^{-1} \star a & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e. \end{aligned}$$Karena $\star$ merupakan operasi biner yang tertutup di $G$ (berdasarkan definisi grup), haruslah $a^2 \in G.$ Jadi, disimpulkan bahwa elemen identitas dari $(G, \star)$ adalah $\boxed{a^2}$
(Jawaban D)

Misalkan $*$ merupakan operasi yang disematkan pada himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}.$ Untuk menentukan invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q},$ perlu ditentukan elemen identitas dari $(\mathbb{Q}, *)$ terlebih dahulu.
Misalkan $\dfrac{a}{b}, e \in G.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{b}*e & = \dfrac{a}{b} \\ \dfrac{a}{b}+e-\dfrac14 & = \dfrac{a}{b} \\ e-\dfrac{1}{4} & = 0 \\ e & = \dfrac14 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} e*\dfrac{a}{b} & = \dfrac{a}{b} \\ e+\dfrac{a}{b}-\dfrac14 & = \dfrac{a}{b} \\ e-\dfrac{1}{4} & = 0 \\ e & = \dfrac14. \end{aligned}$$Disimpulkan bahwa $e = \dfrac14 \in \mathbb{Q}$ merupakan elemen identitas dari $(\mathbb{Q}, *).$
Selanjutnya, misalkan invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q}$ adalah $x.$ Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac15*x & = e \\ \dfrac15+x-\dfrac14 & = \dfrac14 \\ \dfrac15+x & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac{3}{10} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} x*\dfrac15 & = e \\ x+\dfrac15-\dfrac14 & = \dfrac14 \\ x+\dfrac15 & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac{3}{10}. \end{aligned}$$Jadi, $x = \dfrac{3}{10} \in \mathbb{Q}$ merupakan invers dari $\dfrac15$ terhadap operasi $*$ pada $\mathbb{Q}.$
(Jawaban D)

Grupoid adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Semigrup adalah grupoid yang operasinya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Terakhir, grup adalah monoid yang setiap elemennya memiliki invers terhadap operasi biner yang disematkan.
Cek opsi A:
$(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $\times,$ operasi $\times$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $3 \times (2 \times 4) = (3 \times 2) \times 4),$ dan $(\mathbb{Z}, \times)$ memiliki elemen identitas, yaitu $e = 1.$ Oleh karena itu, $(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid. Namun, tidak semua elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $\times$ di $\mathbb{Z},$ misalnya invers dari $2$ adalah $\dfrac12 \notin \mathbb{Z}.$ Jadi, $(\mathbb{Z}, \times)$ bukan grup.
Cek opsi B:
Meskipun $\mathbb{Z}^+$ tertutup terhadap operasi $\times$ dan operasi $\times$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $3 \times (2 \times 4) = (3 \times 2) \times 4),$ tidak ditemukan elemen identitas pada $(\mathbb{Z}^+, \times).$ Dengan kata lain, tidak ada elemen $e \in \mathbb{Z}^+$ sehingga $a \times e = e \times a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}^+.$ Ini berarti $(\mathbb{Z}^+, \times)$ bukan monoid.
Cek opsi C:
$(\mathbb{Z}, +)$ merupakan grup karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $5 + (-2 + 1) = (5 + (-2)) + 1),$ $(\mathbb{Z}, +)$ memiliki elemen identitas, yaitu $e = 0,$ dan untuk setiap $a \in \mathbb{Z},$ terdapat elemen invers $a^{-1} = -a \in \mathbb{Z}$ sehingga $a + (-a) = 0.$
Cek opsi D:
$(\mathbb{Z}^+, +)$ merupakan semigrup karena $\mathbb{Z}^+$ tertutup terhadap operasi $+$ dan operasi $+$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $5 + (-2 + 1) = (5 + (-2)) + 1).$
Cek opsi E:
Meskipun $\mathbb{Z}^-$ tertutup terhadap operasi $+$ dan operasi $+$ bersifat asosiatif $($sebagai contoh, $-3 + (-2 + (-1)) = (-3+ (-2)) + (-1)),$ tidak ditemukan elemen identitas pada $(\mathbb{Z}^-, +).$ Dengan kata lain, tidak ada elemen $e \in \mathbb{Z}^-$ sehingga $a + e = e + a = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}^-.$ Ini berarti $(\mathbb{Z}^-, +)$ bukan monoid.
(Jawaban A)

Misalkan $\mathbb{Q}-\{0\}$ merupakan himpunan bilangan rasional taknol dan $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} -\{0\}.$ Untuk menunjukkan bahwa $*$ bukan operasi biner pada $\mathbb{Q}-\{0\},$ harus dibuktikan bahwa terdapat dua elemen $x, y \in \mathbb{Q} -\{0\}$ sehingga $x*y \notin \mathbb{Q}-\{0\}.$ Dengan kata lain, himpunan $\mathbb{Q}-\{0\}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$
Pilih $a = -c$ dan $a, b, c, d$ semuanya tidak bernilai $0$ dengan $a, b, c, d \in \mathbb{Z}.$ Jelas bahwa $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} -\{0\}$ sesuai definisi bilangan rasional taknol. Namun,
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{-c + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{0}{b^2 + d} \\ & = 0 && (b^2 + d \neq 0). \end{aligned}$$Karena $0 \notin \mathbb{Q}-\{0\},$ disimpulkan bahwa himpunan $\mathbb{Q}-\{0\}$ tidak tertutup terhadap operasi $*.$ Jadi, terbukti bahwa $*$ bukan operasi biner pada $\mathbb{Q}-\{0\}.$

Misalkan himpunan $G = \{0, 1\}$ yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa $\times$ membentuk struktur $(G, \times).$ Akan ditunjukkan bahwa $(G, \times)$ bukan grup. Dengan kata lain, kita hanya perlu menunjukkan ada setidaknya satu kriteria dari definisi grup yang tidak terpenuhi oleh $(G, \times).$
Perhatikan bahwa $e = 1 \in G$ merupakan elemen identitas dari $G$ karena $0 \times e = 0$ dan $1 \times e = 1.$ Namun, ternyata $0 \in G$ tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian biasa. Hal ini dapat diketahui karena tidak ada elemen $0^{-1} \in G$ sehingga $0 \times 0^{-1} = e = 1.$ Karena itu, terbukti bahwa $(G, \times)$ bukan grup. $\blacksquare$

Misalkan $G$ merupakan himpunan dengan satu elemen $a,$ yaitu $G = \{a\}.$ Ambil sembarang operasi biner $*$ yang didefinisikan pada $G.$
Karena $*$ merupakan operasi biner, $G$ tertutup terhadap operasi $*$ sehingga $a*a = a \in G.$
Perhatikan bahwa $a*(a*a) = a*a = (a*a)*a.$ Artinya, operasi $*$ bersifat asosiatif.
Berikutnya, ambil sembarang $x, y \in G = \{a\}.$ Jelas bahwa $x*y = y*x$ karena $x = y = a.$ Artinya, operasi $*$ bersifat komutatif.
Jadi, terbukti bahwa setiap operasi biner yang didefinisikan pada himpunan dengan satu elemen selalu bersifat asosiatif dan komutatif. $\blacksquare$

Misalkan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan operasi $*$ oleh $x*y = |x-y|$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Z}^+.$ Akan diselidiki apakah apakah operasi $*$ pada himpunan tersebut bersifat tertutup, asosiatif, dan komutatif.

Operasi $*$ pada $\mathbb{Z}^+$ tidak bersifat tertutup. Pilih $x = y = 3 \in \mathbb{Z}^+,$ tetapi $3*3 = |3-3| = 0 \notin \mathbb{Z}^+.$

Operasi $*$ pada $\mathbb{Z}^+$ tidak bersifat asosiatif. Pilih $x = 1 \in \mathbb{Z}^+,$ $y = 2 \in \mathbb{Z}^+,$ dan $z = 3 \in \mathbb{Z}^+,$ tetapi
$$\begin{aligned} 1*(2*3) & = 1*|2-3| = 1*1 = |1-1| = 0 \\ (1*2)*3 & = |1-2|*3 = 1*3 = |1-3| = 2. \end{aligned}$$Artinya, terdapat $x, y, z \in \mathbb{Z}^+$ sehingga $x*(y*z) \ne (x*y)*z.$

Operasi $*$ pada $\mathbb{Z}^+$ bersifat komutatif. Untuk membuktikannya, pertama, ambil sembarang $x, y \in \mathbb{Z}^+.$ Kemudian, diperoleh
$$\begin{aligned} x*y & = |x-y| \\ & = |-(y-x)| \\ & = |-1| \cdot |y-x| \\ & = 1 \cdot |y-x| \\ & = |y-x| \\ & = y*x. \end{aligned}$$

Misalkan $\mathbb{R}^+$ merupakan himpunan bilangan real positif dan $*$ merupakan operasi biner yang didefinisikan oleh $a*b = \sqrt{ab}$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}^+.$ Klaim bahwa $(\mathbb{R}^+, *)$ bukan grup. Klaim tersebut dapat dibuktikan, salah satu caranya adalah dengan menunjukkan bahwa operasi $*$ tidak bersifat asosiatif.

Ambil sembarang $a, b, c \in \mathbb{R}^+.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a*(b*c) = a*\sqrt{bc} =\sqrt{a\sqrt{bc}} \\ (a*b)*c = \sqrt{ab}*c = \sqrt{\sqrt{ab}c}. \end{aligned}$$Padahal, $\sqrt{a\sqrt{bc}}$ tidak selalu sama dengan $\sqrt{\sqrt{ab}c}.$ Sebagai contoh, pilih $a = 1,$ $b = 2,$ dan $c = 4$ sehingga $$\sqrt{a\sqrt{bc}} = \sqrt{1\sqrt{2(4)}} = \sqrt{2\sqrt2}$$ dan $$\sqrt{\sqrt{ab}c} = \sqrt{\sqrt{1(2)}(4)} = \sqrt{4\sqrt2}.$$Ini menunjukkan bahwa terdapat $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ sehingga $a*(b*c) \ne (a*b)*c.$ Dengan kata lain, operasi $*$ tidak bersifat asosiatif. Oleh karena itu, $(\mathbb{R}^+, *)$ bukan grup. $\blacksquare$

Misalkan $\mathbb{Q}^+$ merupakan himpunan rasional positif dan operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = \dfrac{ab}{2}$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{Q}^+.$ Akan dibuktikan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ merupakan grup, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Q}^+, *),$ dan setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*.$

Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a, b \in \mathbb{Q}^+.$ Berdasarkan definisi operasi $*,$ diperoleh $a*b = \dfrac{ab}{2}.$ Karena $a$ dan $b$ keduanya merupakan bilangan rasional positif, $ab$ juga demikian. Akibatnya, $\dfrac{ab}{2} \in \mathbb{Q}^+.$ Jadi, terbukti bahwa $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $a, b, c \in \mathbb{Q}^+.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a*(b*c) & = a*\dfrac{bc}{2} \\ & = \dfrac{a(bc)}{2(2)} \\ & = \dfrac{(ab)c}{2(2)} \\ & = \dfrac{ab}{2}*c \\ & = (a*b)*c. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.

Untuk menunjukkan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 2 \in \mathbb{Q}^+.$ Ambil sembarang $a \in \mathbb{Q}^+.$ Dengan demikian, diperoleh $a*2 = \dfrac{a(2)}{2} = a$ dan $2*a = \dfrac{2a}{2} = 2.$ Jadi, $(\mathbb{Q}^+, *)$ memuat elemen identitas.

Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a \in \mathbb{Q}^+.$ Pilih $a^{-1} = \dfrac{4}{a} \in \mathbb{Q}^+$ sehingga diperoleh
$$a*a^{-1} = a*\dfrac{4}{a} = \dfrac{a \cdot \dfrac{4}{a}}{2} = 2 = e$$dan $$a^{-1}*a = \dfrac{4}{a}*a = \dfrac{\dfrac{4}{a} \cdot a}{2} = 2 = e.$$Jadi, setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*.$

Karena $\mathbb{Q}^+$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Q}^+, *),$ dan setiap elemen $\mathbb{Q}^+$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ disimpulkan bahwa $(\mathbb{Q}^+, *)$ merupakan grup. $\blacksquare$

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat. Misalkan juga $2\mathbb{Z}$ didefinisikan oleh $\{2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ dan operasi $*$ didefinisikan oleh $a*b = a + b$ untuk setiap $a, b \in 2\mathbb{Z}.$ Akan dibuktikan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(2\mathbb{Z}, *),$ dan setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*.$

Untuk menunjukkan bahwa $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a, b \in 2\mathbb{Z}.$ Misalkan $a = 2x$ dan $b = 2y$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y.$ Menurut definisi $*,$ berlaku $$a*b = a+b = 2x + 2y = 2(x + y).$$Karena $x$ dan $y$ keduanya merupakan bilangan bulat dan himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, disimpulkan bahwa $x + y \in \mathbb{Z}.$ Dengan demikian, $2(x + y) \in 2\mathbb{Z}.$ Jadi, terbukti bahwa $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $a, b, c \in 2\mathbb{Z}.$ Misalkan $a = 2x, b = 2y,$ dan $c = 2z$ untuk suatu bilangan bulat $x, y,$ dan $z.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a*(b*c) & = a+(b+c) \\ & = 2x + (2y + 2z) \\ & = (2x + 2y) + 2z && (\text{Sifat asosiatif}+\text{pada}~\mathbb{Z}) \\ & = (a + b) + c \\ & = (a*b)*c. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.

Untuk menunjukkan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 0.$ Perhatikan bahwa $e = 0 \in 2\mathbb{Z}$ karena $0 = 2(0).$ Ambil sembarang $a \in 2\mathbb{Z}$ sehingga diperoleh
$$a*0 = a+0 = a$$dan $$0*a = 0+a = a.$$Jadi, $(2\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas.

Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $a \in 2\mathbb{Z}.$ Misalkan $a = 2x$ untuk suatu bilangan bulat $x.$ Pilih $a^{-1} = -a = -2x.$ Perhatikan bahwa $a^{-1} = -2x \in 2\mathbb{Z}$ karena $-2x = 2(-x)$ dan $-x$ merupakan bilangan bulat. Dengan demikian,
$$a*a^{-1} = 2x*(-2x) = 2x+(-2x) = 0 = e$$dan
$$a^{-1}*a = (-2x)*2x = (-2x) +2x = 0 = e.$$Jadi, setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*.$

Karena $2\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(2\mathbb{Z}, *),$ dan setiap elemen $2\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ disimpulkan bahwa $(2\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup. $\blacksquare$

Misalkan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat dan didefinisikan operasi $*$ oleh $x*y = x + y -1$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Z}.$ Akan dibuktikan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Z}, *),$ setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ dan operasi $*$ bersifat komutatif.

Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $x, y \in \mathbb{Z}.$ Menurut definisi $*,$ $x*y = x+y-1.$ Karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi penjumlahan, diperoleh $x*y = x+y-1 \in \mathbb{Z}.$ Jadi, terbukti bahwa $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $x, y, z \in \mathbb{Z}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x*(y*z) & = x*(y+z-1) \\ & = x+(y+z-1)-1 \\ & = (x+y-1)+z-1 \\ & = (x*y)+z-1 \\ & = (x*y)*z. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif.

Untuk menunjukkan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 1 \in \mathbb{Z}.$ Ambil sembarang $x \in \mathbb{Z}$ sehingga diperoleh
$$x*1 = x+1-1 = x$$dan $$1*x = 1+x-1 = x.$$Jadi, $(\mathbb{Z}, *)$ memuat elemen identitas.

Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ pertama, ambil sembarang $x \in \mathbb{Z}.$ Pilih $x^{-1} = 2-x \in \mathbb{Z}$ sehingga diperoleh
$$x*x^{-1} = x*(2-x) = x+(2-x)-1 = 1 = e$$dan
$$x^{-1}*x = (2-x)*x = (2-x)+x-1 = 1 = e.$$Jadi, setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang $x, y\in \mathbb{Z}.$ Perhatikan bahwa
$$x*y = x+y-1 = y+x-1 = y*x.$$Jadi, terbukti bahwa operasi $*$ bersifat komutatif.

Karena $\mathbb{Z}$ tertutup terhadap operasi $*,$ operasi $*$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{Z}, *),$ setiap elemen $\mathbb{Z}$ memiliki invers terhadap operasi $*,$ dan operasi $*$ bersifat komutatif, disimpulkan bahwa $(\mathbb{Z}, *)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

Misalkan $P$ merupakan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $3,$ ditulis $P = \{3x \mid x \in \mathbb{Z}\}.$ Akan dibuktikan bahwa $(P, +)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $P$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(P, +),$ setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif.

Untuk menunjukkan bahwa $P$ tertutup terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $a, b \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ dan $b = 3y$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y.$ Dengan demikian, diperoleh $a + b = 3x + 3y = 3(x + y).$ Karena himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, haruslah $x + y \in \mathbb{Z}.$ Artinya, $a + b \in P.$ Jadi, terbukti bahwa $P$ tertutup terhadap operasi $+.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $+$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $a, b, c \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x,$ $b = 3y,$ dan $c = 3z$ untuk suatu bilangan bulat $x, y,$ dan $z.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a+(b+c) & = 3x + (3y + 3z) \\ & = 3x + 3(y + z) \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3((x + y) + z) \\ & = 3(x+y) + 3z \\ & = (3x + 3y) + 3z \\ & = (a+b)+c. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat asosiatif.

Untuk menunjukkan bahwa $(P, +)$ memuat elemen identitas, pilih $e = 0 = 3(0) \in P.$ Ambil sembarang $a \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ untuk suatu bilangan bulat $x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$a+0 = 3x + 0 = 3x = a$$dan $$0 + a = 0 + 3x = 3x = a.$$Jadi, $(P, +)$ memuat elemen identitas.

Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $a \in P$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ untuk suatu bilangan bulat $x.$ Pilih $a^{-1} = 3(-x) \in P$ sehingga diperoleh
$$a+a^{-1} = 3x+3(-x) = 3(x + (-x)) = 3(0) = 0 = e$$dan
$$a^{-1} + a = 3(-x) + x = 3(-x + x) = 3(0) = 0 = e.$$Jadi, setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $+$ bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang $a, b\in \mathbb{Z}$ sehingga dapat ditulis $a = 3x$ dan $b = 3y$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a+b & = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y+3x \\ & = b+a. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat komutatif.

Karena $P$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(P, +),$ setiap elemen $P$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif, disimpulkan bahwa $(P, +)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

Misalkan $\mathbb{D}$ merupakan himpunan matriks diagonal berukuran $n \times n$ dengan entri bilangan real dan operasi $+$ merupakan operasi penjumlahan matriks. Akan dibuktikan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{D}, +),$ setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif.

Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $A, B \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$dan $$B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$A + B = \begin{bmatrix} a_1+b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2+b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3+b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n + b_n\end{bmatrix}.$$Karena himpunan bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, diperoleh $a_i + b_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Oleh karena itu, $A + B \in \mathbb{D}.$ Jadi, terbukti bahwa $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang $A, B, C \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix},$$ $$B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix},$$dan $$C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + (B + C) & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \left(\begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix}\right) \\ & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1+c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2+c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3+c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n+c_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 + (b_1+c_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + (b_2+c_2) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 + (b_3+c_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n+(b_n+c_n) \end{bmatrix}. \end{aligned}$$Karena operasi penjumlahan biasa bersifat asosiatif pada himpunan bilangan real, diperoleh
$$\begin{aligned} & \begin{bmatrix} (a_1 + b_1)+c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (a_2 + b_2)+c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & (a_3 + b_3)+c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & (a_n+b_n)+c_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 + b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n+b_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} \\ & = \left(\begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix}\right) + \begin{bmatrix} c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} \\ & = (A + B) + C. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat asosiatif.

Untuk menunjukkan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ memuat elemen identitas, pilih $e = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{D}.$ Ambil sembarang $A \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + e & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1+0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2+0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3+0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n+0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = A \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} e + A & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0+a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0+a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0+a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0+a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = A. \end{aligned}$$Jadi, $(\mathbb{D}, +)$ memuat elemen identitas.

Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ pertama, ambil sembarang $A \in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Pilih $A^{-1} = \begin{bmatrix} -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{bmatrix}.$ Perhatikan bahwa $A^{-1} \in \mathbb{D}$ karena merupakan matriks diagonal dengan entri-entri bilangan real. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + A^{-1} & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1+(-a_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2+(-a_2) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 +(-a_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n + (-a_n) \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \\ & = e \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^{-1} + A & = \begin{bmatrix} -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -a_1 + a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_2 + a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -a_3 + a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n + a_n\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \\ & = e. \end{aligned}$$Jadi, setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+.$

Untuk menunjukkan bahwa operasi $*$ bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang $A, B\in \mathbb{D}$ dengan $$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$dan $$B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$$untuk suatu $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ dengan $i \in \{1, 2, \cdots, n\}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A + B & = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 + b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 + b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n + b_n \end{bmatrix}. \end{aligned}$$Karena operasi penjumlahan biasa bersifat komutatif pada himpunan bilangan real, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} b_1 + a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 + a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 + a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n + a_n \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\ & = B + A. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa operasi $+$ bersifat komutatif.

Karena $\mathbb{D}$ tertutup terhadap operasi $+,$ operasi $+$ bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada $(\mathbb{D}, +),$ setiap elemen $\mathbb{D}$ memiliki invers terhadap operasi $+,$ dan operasi $+$ bersifat komutatif, disimpulkan bahwa $(\mathbb{D}, +)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

Misalkan $(G, *)$ merupakan grup dengan $a = a^{-1}$ untuk setiap $a \in G.$ Akan dibuktikan bahwa $G$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner $*$ bersifat komutatif.
Ambil sembarang $a, b\in G$ sehingga berlaku $a = a^{-1}$ dan $b = b^{-1}.$ Karena $*$ merupakan operasi biner, haruslah $a*b \in G$ (sifat ketertutupan). Dengan demikian, $a*b = (a*b)^{-1}.$
Berdasarkan teorema, $(a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}.$ Karena $a = a^{-1}$ dan $b = b^{-1},$ didapat
$$a*b = (a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1} = b*a.$$Jadi, terbukti bahwa $*$ bersifat komutatif sehingga $(G,*)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

Misalkan $(G, *)$ merupakan grup dengan $(a*b)^2 = a^2*b^2$ untuk setiap $a, b \in G.$ Akan dibuktikan bahwa $(G,*)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner $*$ bersifat komutatif.
Ambil sembarang $a, b\in G$ sehingga $(a*b)^2 = a^2*b^2 = (a*a)*(b*b).$ Lebih lanjut, menurut definisi, $(a*b)^2 = (a*b)*(a*b).$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} (a*a)*(b*b) & = (a*b)*(a*b) \\ a*(a*b)*b & = a*(b*a)*b && (\text{Sifat asosiatif dari}~*) \\ a^{-1} * (a*(a*b)*b)*b^{-1} & = a^{-1}*(a*(b*a)*b)*b^{-1} && (\text{Operasikan}~a^{-1}~\text{dari kiri dan}~b^{-1}~\text{dari kanan})\\ (a^{-1}*a)*(a*b)*(b*b^{-1}) & = (a^{-1}*a)*(b*a)*(b*b^{-1}) && (\text{Sifat asosiatif dari}~*) \\ e*(a*b)*e & = e*(b*a)*e && (\text{Definisi elemen invers}) \\ a*b & = b*a. && (\text{Definisi elemen identitas}) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(G,*)$ bersifat komutatif sehingga $(G, *)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$

Misalkan $(G, *)$ merupakan grup dengan $a^2 = a*a = e$ untuk setiap $a \in G.$ Akan dibuktikan bahwa $(G,*)$ merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner $*$ bersifat komutatif.
Ambil sembarang $a, b \in G$ sehingga $a^2 = a * a = e$ dan $b^2 = b*b = e.$ Karena $*$ merupakan operasi biner pada $G,$ haruslah $a*b \in G$ (sifat ketertutupan) sehingga $(a*b)^2 = e.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} (a*b)*(a*b) & = e \\ a*((a*b)*(a*b)) & = a*e && (\text{Operasikan}~a~\text{dari kiri}) \\ (a*a)*(b*a*b) & = a && (\text{Sifat asosiatif dari}*\text{dan definisi elemen identitas}) \\ e*(b*a*b) & = a && (a^2 = a*a = e) \\ b*a*b & = a && (\text{Definisi elemen identitas}) \\ b*(b*a*b) & = b*a && (\text{Operasikan}~b~\text{dari kiri}) \\ (b*b)*(a*b) & = b*a && (\text{Sifat asosiatif dari}~*) \\ e*(a*b) & = b*a && (b^2 = b*b = e) \\ a*b & = b*a. && (\text{Definisi elemen identitas}) \end{aligned}$$Jadi,Jadi, terbukti bahwa $(G,*)$ bersifat komutatif sehingga $(G, *)$ merupakan grup Abel. $\blacksquare$