Dalam matematika, struktur (structure) adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan setidaknya satu operasi. Sejumlah struktur diberi nama khusus karena sering kali digunakan. Istilah yang dimaksud antara lain grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Grupoid adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Semigrup adalah grupoid yang operasinya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas.
Secara matematis, kita mendefinisikannya seperti berikut.
Definisi: Grupoid
Misalkan merupakan himpunan takkosong dan merupakan operasi biner pada Himpunan yang dilengkapi dengan operasi dinotasikan disebut sebagai grupoid (groupoid). Dengan kata lain, harus tertutup terhadap operasi
Definisi: Semigrup
Misalkan merupakan grupoid. Jika untuk setiap maka disebut sebagai semigrup (semigroup).
Definisi: Monoid
Misalkan merupakan semigrup. Jika terdapat elemen identitas sehingga untuk setiap maka disebut monoid (monoid).
Dari definisi tersebut, diketahui bahwa semua grupoid adalah semigrup dan semua semigrup adalah monoid.
Sebagai contoh, misalkan merupakan himpunan bilangan asli. Didefinisikan operasi biner oleh untuk setiap Struktur merupakan grupoid karena tertutup terhadap operasi biner Fakta tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Ambil sembarang Berdasarkan definisi operasi biner diperoleh Karena tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, diperoleh dan Akibatnya,
Bagaimana kalau operasi biner didefinisikan oleh untuk setiap Jika definisinya demikian, bukan grupoid karena tidak tertutup terhadap operasi Sebagai contoh, pilih dan sehingga didapat Kita sebut sebagai suatu struktur aljabar biasa.
Struktur aljabar pada dasarnya berfondasi pada apa yang kita kenal sebagai teori grup. Secara informal, grup adalah monoid yang setiap elemen himpunannya memiliki invers terhadap operasi yang disematkan. Kita akan memberikan definisi formal dari grup sebagai berikut.
Definisi: Grup
Misalkan merupakan himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner Struktur disebut grup (group) jika memenuhi tiga kriteria berikut.
- Operasi biner bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap berlaku
- Terdapat elemen identitas sehingga untuk setiap
- Untuk setiap terdapat elemen invers sehingga
Lebih lanjut, jika merupakan grup yang operasi binernya memenuhi sifat komutatif, artinya untuk setiap berlaku maka disebut sebagai grup komutatif atau grup Abel (Abelian group), diambil dari nama matematikawan Norwegia, Niels Henrik Abel (1802–1829). Beliau banyak memberikan kontribusi dalam aljabar abstrak, tetapi sayangnya, beliau meninggal dalam usia yang masih muda karena menderita tuberkulosis. Berikutnya, jika merupakan grup, tetapi operasi binernya tidak memenuhi sifat komutatif, maka disebut sebagai grup nonkomutatif atau grup non-Abel (non-Abelian group).
Tabel Cayley mendeskripsikan struktur dari suatu himpunan hingga dengan menyusun semua hasil operasi biner dari setiap elemen grup pada tabel dengan ukuran Kata “Cayley” diambil dari nama Matematikawan Britania Raya, Arthur Cayley (1821–1895), sebagai tanda jasa atas kontribusi beliau pada bidang aljabar abstrak.
Sebagai contoh, misalkan merupakan himpunan yang dilengkapi dengan operasi perkalian modulo dinotasikan dengan Karena merupakan himpunan berhingga, tabel Cayley dapat digunakan untuk menyusun semua hasil operasi perkalian modulo pada tiga elemen yang termuat di
Jika himpunan hingga bersama-sama dengan operasi biner memenuhi kriteria sesuai definisi grup, maka struktur disebut sebagai grup hingga (finite group).
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber. Untuk sumber berbahasa Inggris, salah satu yang digunakan adalah buku “A First Course in Abstract Algebra, Fourth Edition” yang ditulis oleh John B. Fralegh. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang operasi biner dan dasar-dasar grup. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Quote by Buya Hamka
Iman tanpa ilmu bagaikan lentera di tangan bayi. Namun, ilmu tanpa iman bagaikan lentera di tangan pencuri.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat positif dan Definisi yang tepat agar merupakan operasi biner pada adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat positif dan Agar merupakan operasi biner pada sifat ketertutupan harus dijamin, yaitu
Cek opsi A:
Himpunan dengan operasi yang diberikan oleh tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk dan diperoleh
Cek opsi B:
Himpunan dengan operasi yang diberikan oleh tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk dan diperoleh
Cek opsi C:
Himpunan dengan operasi yang diberikan oleh tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk dan diperoleh
Cek opsi D:
Himpunan dengan operasi yang diberikan oleh tidak tertutup karena, sebagai contoh, untuk dan diperoleh
Cek opsi E:
Himpunan dengan operasi yang diberikan oleh tertutup karena untuk setiap
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 2
Misalkan dan berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, bulat, rasional, dan real. Struktur berikut yang termasuk grupoid adalah
- yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap
- yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap
- yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap
- yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap
- yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan takkosong dan merupakan operasi biner pada Himpunan yang dilengkapi dengan operasi dinotasikan disebut sebagai grupoid. Dengan kata lain, harus tertutup terhadap operasi
Cek opsi A:
yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap bukan grupoid karena tidak tertutup terhadap operasi Sebagai contoh, pilih dan sehingga
Cek opsi B:
yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap bukan grupoid karena tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, pilih dan sehingga tidak terdefinisi.
Cek opsi C:
yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap bukan grupoid karena tidak tertutup terhadap operasi Sebagai contoh, pilih dan sehingga karena irasional.
Cek opsi D:
yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap bukan grupoid karena tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, pilih dan sehingga tidak terdefinisi.
Cek opsi E:
yang operasinya didefinisikan oleh untuk setiap grupoid karena tertutup terhadap operasi Fakta tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Ambil sembarang Berdasarkan definisi operasi biner diperoleh Karena tertutup terhadap operasi perkalian dan penjumlahan biasa, diperoleh sehingga
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 3
Misalkan merupakan grup. Operasi didefinisikan oleh untuk setiap Nilai dari untuk suatu bilangan bulat positif dan dengan dan relatif prima. Nilai dari
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Dengan menggunakan definisi operasi yang disematkan pada diperoleh
Karena dan relatif prima, nilai dari dan sehingga
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 4
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi dengan untuk setiap Elemen identitas dari adalah
A. D.
B. E. tidak ada
C.
Pembahasan
Berdasarkan definisi, dikatakan sebagai elemen identitas dari jika untuk setiap
Karena didefinisikan untuk setiap diperoleh
dan
Oleh karena itu, merupakan elemen identitas yang dimaksud karena untuk setiap
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 5
Misalkan merupakan struktur berupa himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa. Struktur tidak termasuk grup karena
- bukan operasi biner
- tidak asosiatif pada
- tidak memiliki elemen identitas
- tidak semua elemen memiliki invers terhadap
- semua elemen memiliki invers terhadap
Pembahasan
Operasi perkalian biasa merupakan operasi biner karena melibatkan dua operan. Pada himpunan bilangan real, operasi perkalian biasa juga bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap Lebih lanjut, elemen identitas dari adalah karena untuk setiap Namun, tidak semua elemen memiliki invers terhadap Elemen yang dimaksud adalah Jelas bahwa tidak ada elemen di sehingga
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 6
Misalkan merupakan grup dan Jika maka elemen identitas dari adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Misalkan merupakan grup dan Misalkan juga
Karena haruslah berlaku dengan spesialisasi Selanjutnya, dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh Jadi, invers dari elemen terhadap operasi adalah dirinya sendiri. Misalkan merupakan elemen identitas dari Berdasarkan definisi invers, didapat
dan
Karena merupakan operasi biner yang tertutup di (berdasarkan definisi grup), haruslah Jadi, disimpulkan bahwa elemen identitas dari adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 7
Misalkan merupakan operasi yang disematkan pada himpunan bilangan rasional Didefinisikan oleh untuk setiap Invers dari terhadap operasi pada adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Misalkan merupakan operasi yang disematkan pada himpunan bilangan rasional Untuk menentukan invers dari terhadap operasi pada perlu ditentukan elemen identitas dari terlebih dahulu.
Misalkan Perhatikan bahwa
dan
Disimpulkan bahwa merupakan elemen identitas dari
Selanjutnya, misalkan invers dari terhadap operasi pada adalah Dengan demikian, didapat
dan
Jadi, merupakan invers dari terhadap operasi pada
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 8
Misalkan dan berturut-turut menyatakan himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat negatif, dan himpunan bilangan bulat positif. Misalkan juga operasi dan berturut-turut merupakan operasi penjumlahan biasa dan operasi perkalian biasa. Pernyataan berikut ini yang benar terkait grupoid, semigrup, monoid, dan grup adalah
- merupakan monoid, tetapi bukan grup
- merupakan monoid, tetapi bukan grup
- merupakan monoid, tetapi bukan grup
- merupakan grupoid, tetapi bukan semigrup
- merupakan monoid, tetapi bukan grup
Pembahasan
Grupoid adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner. Semigrup adalah grupoid yang operasinya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Terakhir, grup adalah monoid yang setiap elemennya memiliki invers terhadap operasi biner yang disematkan.
Cek opsi A:
merupakan monoid karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif sebagai contoh, dan memiliki elemen identitas, yaitu Oleh karena itu, merupakan monoid. Namun, tidak semua elemen memiliki invers terhadap operasi di misalnya invers dari adalah Jadi, bukan grup.
Cek opsi B:
Meskipun tertutup terhadap operasi dan operasi bersifat asosiatif sebagai contoh, tidak ditemukan elemen identitas pada Dengan kata lain, tidak ada elemen sehingga untuk setiap Ini berarti bukan monoid.
Cek opsi C:
merupakan grup karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif sebagai contoh, memiliki elemen identitas, yaitu dan untuk setiap terdapat elemen invers sehingga
Cek opsi D:
merupakan semigrup karena tertutup terhadap operasi dan operasi bersifat asosiatif sebagai contoh,
Cek opsi E:
Meskipun tertutup terhadap operasi dan operasi bersifat asosiatif sebagai contoh, tidak ditemukan elemen identitas pada Dengan kata lain, tidak ada elemen sehingga untuk setiap Ini berarti bukan monoid.
(Jawaban A)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan merupakan himpunan bilangan rasional taknol dan Didefinisikan operasi dengan Tunjukkan bahwa bukan operasi biner pada
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan rasional taknol dan Untuk menunjukkan bahwa bukan operasi biner pada harus dibuktikan bahwa terdapat dua elemen sehingga Dengan kata lain, himpunan tidak tertutup terhadap operasi
Pilih dan semuanya tidak bernilai dengan Jelas bahwa sesuai definisi bilangan rasional taknol. Namun,
Karena disimpulkan bahwa himpunan tidak tertutup terhadap operasi Jadi, terbukti bahwa bukan operasi biner pada
[collapse]
Soal Nomor 2
Buktikan bahwa himpunan yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa bukan grup.
Pembahasan
Misalkan himpunan yang dilengkapi dengan operasi perkalian biasa membentuk struktur Akan ditunjukkan bahwa bukan grup. Dengan kata lain, kita hanya perlu menunjukkan ada setidaknya satu kriteria dari definisi grup yang tidak terpenuhi oleh
Perhatikan bahwa merupakan elemen identitas dari karena dan Namun, ternyata tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian biasa. Hal ini dapat diketahui karena tidak ada elemen sehingga Karena itu, terbukti bahwa bukan grup.
[collapse]
Soal Nomor 3
Buktikan bahwa setiap operasi biner yang didefinisikan pada himpunan dengan satu elemen selalu bersifat asosiatif dan komutatif.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan dengan satu elemen yaitu Ambil sembarang operasi biner yang didefinisikan pada
Karena merupakan operasi biner, tertutup terhadap operasi sehingga
Perhatikan bahwa Artinya, operasi bersifat asosiatif.
Berikutnya, ambil sembarang Jelas bahwa karena Artinya, operasi bersifat komutatif.
Jadi, terbukti bahwa setiap operasi biner yang didefinisikan pada himpunan dengan satu elemen selalu bersifat asosiatif dan komutatif.
[collapse]
Soal Nomor 4
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan operasi oleh untuk setiap Selidiki apakah operasi pada himpunan tersebut bersifat tertutup, asosiatif, dan komutatif.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan operasi oleh untuk setiap Akan diselidiki apakah apakah operasi pada himpunan tersebut bersifat tertutup, asosiatif, dan komutatif.
Operasi pada tidak bersifat tertutup. Pilih tetapi
Operasi pada tidak bersifat asosiatif. Pilih dan tetapi
Artinya, terdapat sehingga
Operasi pada bersifat komutatif. Untuk membuktikannya, pertama, ambil sembarang Kemudian, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 5
Misalkan merupakan himpunan bilangan real positif dan merupakan operasi biner yang didefinisikan oleh untuk setiap Selidiki apakah merupakan grup.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan real positif dan merupakan operasi biner yang didefinisikan oleh untuk setiap Klaim bahwa bukan grup. Klaim tersebut dapat dibuktikan, salah satu caranya adalah dengan menunjukkan bahwa operasi tidak bersifat asosiatif.
Ambil sembarang Perhatikan bahwa
Padahal, tidak selalu sama dengan Sebagai contoh, pilih dan sehingga dan Ini menunjukkan bahwa terdapat sehingga Dengan kata lain, operasi tidak bersifat asosiatif. Oleh karena itu, bukan grup.
[collapse]
Soal Nomor 6
Misalkan merupakan himpunan rasional positif dan operasi didefinisikan oleh untuk setiap Buktikan bahwa merupakan grup.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan rasional positif dan operasi didefinisikan oleh untuk setiap Akan dibuktikan bahwa merupakan grup, artinya kita perlu menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada dan setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi pertama, ambil sembarang Berdasarkan definisi operasi diperoleh Karena dan keduanya merupakan bilangan rasional positif, juga demikian. Akibatnya, Jadi, terbukti bahwa tertutup terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang Perhatikan bahwa
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat asosiatif.
Untuk menunjukkan bahwa memuat elemen identitas, pilih Ambil sembarang Dengan demikian, diperoleh dan Jadi, memuat elemen identitas.
Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen memiliki invers terhadap operasi pertama, ambil sembarang Pilih sehingga diperoleh
dan Jadi, setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada dan setiap elemen memiliki invers terhadap operasi disimpulkan bahwa merupakan grup.
[collapse]
Soal Nomor 7
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat. Misalkan juga didefinisikan oleh dan operasi didefinisikan oleh untuk setiap Buktikan bahwa merupakan grup.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat. Misalkan juga didefinisikan oleh dan operasi didefinisikan oleh untuk setiap Akan dibuktikan bahwa merupakan grup, artinya kita perlu menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada dan setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi pertama, ambil sembarang Misalkan dan untuk suatu bilangan bulat dan Menurut definisi berlaku Karena dan keduanya merupakan bilangan bulat dan himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, disimpulkan bahwa Dengan demikian, Jadi, terbukti bahwa tertutup terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang Misalkan dan untuk suatu bilangan bulat dan Perhatikan bahwa
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat asosiatif.
Untuk menunjukkan bahwa memuat elemen identitas, pilih Perhatikan bahwa karena Ambil sembarang sehingga diperoleh
dan Jadi, memuat elemen identitas.
Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen memiliki invers terhadap operasi pertama, ambil sembarang Misalkan untuk suatu bilangan bulat Pilih Perhatikan bahwa karena dan merupakan bilangan bulat. Dengan demikian,
dan
Jadi, setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada dan setiap elemen memiliki invers terhadap operasi disimpulkan bahwa merupakan grup.
[collapse]
Soal Nomor 8
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat dan didefinisikan operasi oleh untuk setiap Buktikan bahwa merupakan grup Abel.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat dan didefinisikan operasi oleh untuk setiap Akan dibuktikan bahwa merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada setiap elemen memiliki invers terhadap operasi dan operasi bersifat komutatif.
Untuk menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi pertama, ambil sembarang Menurut definisi Karena tertutup terhadap operasi penjumlahan, diperoleh Jadi, terbukti bahwa tertutup terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang Perhatikan bahwa
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat asosiatif.
Untuk menunjukkan bahwa memuat elemen identitas, pilih Ambil sembarang sehingga diperoleh
dan Jadi, memuat elemen identitas.
Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen memiliki invers terhadap operasi pertama, ambil sembarang Pilih sehingga diperoleh
dan
Jadi, setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang Perhatikan bahwa
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat komutatif.
Karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada setiap elemen memiliki invers terhadap operasi dan operasi bersifat komutatif, disimpulkan bahwa merupakan grup Abel.
[collapse]
Soal Nomor 9
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi Buktikan bahwa yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup Abel.
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi ditulis Akan dibuktikan bahwa merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada setiap elemen memiliki invers terhadap operasi dan operasi bersifat komutatif.
Untuk menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi pertama, ambil sembarang sehingga dapat ditulis dan untuk suatu bilangan bulat dan Dengan demikian, diperoleh Karena himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, haruslah Artinya, Jadi, terbukti bahwa tertutup terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang sehingga dapat ditulis dan untuk suatu bilangan bulat dan Perhatikan bahwa
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat asosiatif.
Untuk menunjukkan bahwa memuat elemen identitas, pilih Ambil sembarang sehingga dapat ditulis untuk suatu bilangan bulat Dengan demikian, diperoleh
dan Jadi, memuat elemen identitas.
Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen memiliki invers terhadap operasi pertama, ambil sembarang sehingga dapat ditulis untuk suatu bilangan bulat Pilih sehingga diperoleh
dan
Jadi, setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang sehingga dapat ditulis dan untuk suatu bilangan bulat dan Perhatikan bahwa
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat komutatif.
Karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada setiap elemen memiliki invers terhadap operasi dan operasi bersifat komutatif, disimpulkan bahwa merupakan grup Abel.
[collapse]
Soal Nomor 10
Misalkan merupakan himpunan matriks diagonal berukuran dengan entri bilangan real dan operasi merupakan operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa merupakan grup Abel.
Catatan: Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri-entri di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai
Pembahasan
Misalkan merupakan himpunan matriks diagonal berukuran dengan entri bilangan real dan operasi merupakan operasi penjumlahan matriks. Akan dibuktikan bahwa merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada setiap elemen memiliki invers terhadap operasi dan operasi bersifat komutatif.
Untuk menunjukkan bahwa tertutup terhadap operasi pertama, ambil sembarang dengan dan untuk suatu dengan Dengan demikian, diperoleh
Karena himpunan bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, diperoleh dengan Oleh karena itu, Jadi, terbukti bahwa tertutup terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat asosiatif, pertama, ambil sembarang dengan dan untuk suatu dengan Dengan demikian, diperoleh
Karena operasi penjumlahan biasa bersifat asosiatif pada himpunan bilangan real, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat asosiatif.
Untuk menunjukkan bahwa memuat elemen identitas, pilih Ambil sembarang dengan untuk suatu dengan Dengan demikian, diperoleh
dan
Jadi, memuat elemen identitas.
Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen memiliki invers terhadap operasi pertama, ambil sembarang dengan untuk suatu dengan Pilih Perhatikan bahwa karena merupakan matriks diagonal dengan entri-entri bilangan real. Dengan demikian, diperoleh
dan
Jadi, setiap elemen memiliki invers terhadap operasi
Untuk menunjukkan bahwa operasi bersifat komutatif, pertama, ambil sembarang dengan dan untuk suatu dengan Dengan demikian, diperoleh
Karena operasi penjumlahan biasa bersifat komutatif pada himpunan bilangan real, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa operasi bersifat komutatif.
Karena tertutup terhadap operasi operasi bersifat asosiatif, adanya elemen identitas pada setiap elemen memiliki invers terhadap operasi dan operasi bersifat komutatif, disimpulkan bahwa merupakan grup Abel.
[collapse]
Soal Nomor 11
Buktikan bahwa jika setiap elemen dari grup merupakan invers dari dirinya sendiri, maka merupakan grup Abel.
Pembahasan
Misalkan merupakan grup dengan untuk setiap Akan dibuktikan bahwa merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner bersifat komutatif.
Ambil sembarang sehingga berlaku dan Karena merupakan operasi biner, haruslah (sifat ketertutupan). Dengan demikian,
Berdasarkan teorema, Karena dan didapat
Jadi, terbukti bahwa bersifat komutatif sehingga merupakan grup Abel.
[collapse]
Soal Nomor 12
Jika merupakan grup dengan untuk setiap maka merupakan grup Abel.
Pembahasan
Misalkan merupakan grup dengan untuk setiap Akan dibuktikan bahwa merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner bersifat komutatif.
Ambil sembarang sehingga Lebih lanjut, menurut definisi, Dari sini, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa bersifat komutatif sehingga merupakan grup Abel.
[collapse]
Soal Nomor 13
Jika merupakan grup dengan untuk setiap maka merupakan grup Abel.
Pembahasan
Misalkan merupakan grup dengan untuk setiap Akan dibuktikan bahwa merupakan grup Abel, artinya kita perlu menunjukkan bahwa operasi biner bersifat komutatif.
Ambil sembarang sehingga dan Karena merupakan operasi biner pada haruslah (sifat ketertutupan) sehingga Dari sini, diperoleh
Jadi,Jadi, terbukti bahwa bersifat komutatif sehingga merupakan grup Abel.
[collapse]