Penaksiran (estimation) adalah proses untuk memperkirakan nilai dari suatu parameter populasi dari sampel yang diambil. Dalam penaksiran, kita melakukan inferensi untuk menduga nilai parameter populasi yang terlibat sehingga sangat memungkinkan terjadinya galat (error). Meskipun begitu, peran statistika menjadi begitu krusial karena kita berusaha untuk meminimalisasi terjadinya galat tersebut agar bernilai sekecil-kecilnya. Lebih lanjut, parameter populasi yang dimaksud umumnya berupa rata-rata (mean), proporsi (proportion), dan varians (variance).
Pada artikel ini, kita akan memfokuskan bahasan pada penaksiran rasio varians dua populasi.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Misalkan terdapat dua sampel acak bebas berukuran $n_1$ dan $n_2$ yang diambil dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan varians populasi $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2.$ Taksiran titik dari rasio varians dua populasi $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ diberikan oleh rasio varians sampel $s_1^2/s_2^2.$ Oleh karena itu, statistik $S_1^2/S_2^2$ dikatakan sebagai penaksir dari $\sigma_1^2/\sigma_2^2.$
Jika $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ merupakan varians dari populasi normal, kita dapat membuat taksiran selang dari $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ dengan menggunakan statistik
$$F = \dfrac{\sigma_2^2 S_1^2}{\sigma_1^2 S_2^2}.$$Variabel acak $F$ akan berdistribusi-$F$ dengan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1.$ Dalam hal ini, $n_1$ dan $n_2$ berturut-turut menyatakan ukuran sampel dari populasi pertama dan kedua. Berikutnya, kita peroleh
$$p\left(f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} < F < f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}\right) = 1-\alpha$$dengan $f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}$ dan $f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}$ berturut-turut adalah nilai distribusi-$F$ dengan derajat kebebasan $\text{dk}_1$ dan $\text{dk}_2$ yang berasosiasi dengan luas di bawah kurva-$F$ di sebelah kanan $1-\alpha/2$ dan $\alpha/2$ seperti yang terlihat pada gambar di bawah.
Substitusi $F = \dfrac{\sigma_2^2 S_1^2}{\sigma_1^2 S_2^2}$ akan menghasilkan
$$p\left(f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} < \dfrac{\sigma_2^2 S_1^2}{\sigma_1^2 S_2^2} < f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}\right) = 1-\alpha.$$Manipulasi aljabar akan menghasilkan
$$p\left(\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}}\right) = 1-\alpha.$$Identitas Fisher menyatakan bahwa nilai $f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}$ sama dengan $\dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1}}.$ Oleh karena itu, diperoleh
$$p\left(\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1}\right) = 1-\alpha.$$Dengan rumus di atas, dua sampel acak bebas berukuran $n$ dari suatu populasi berdistribusi normal yang varians sampelnya $s_1^2$ dan $s_2^2,$ rasio varians dua populasi tersebtu dapat ditaksir pada selang kepercayaan $100(1-\alpha)\%.$
Selang Kepercayaan untuk $\sigma_1^2/\sigma_2^2$
$$\dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1}$$dengan $f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}$ berturut-turut adalah nilai distribusi-$F$ dengan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1$ yang berasosiasi dengan luas di bawah kurva-$F$ di sebelah kanan $1-\alpha/2$ dan $\alpha/2,$ sedangkan $f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1}$ merupakan hal yang serupa, tetapi derajat kebebasannya ditukar.
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Penaksiran} & \text{Estimation} \\ 2. & \text{Sampel Acak} & \text{Random Sample} \\ 3. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 4. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 5. & \text{Galat} & \text{Error} \\ 6. & \text{Nilai-}f & f\text{-Value} \\ 7. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 8. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 9. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 10. & \text{Distribusi-}F & F\text{-Distribution} \\ 11. & \text{Taksiran Titik} & \text{Point Estimate} \\ 12. & \text{Taksiran Selang} & \text{Interval Estimate} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Eleanor Roosevelt
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu. Lebih lanjut, silakan unduh tabel-$F$ untuk menjawab soal-soal penaksiran di bawah.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang guru fisika melakukan penelitian dengan menggunakan dua metode pembelajaran berbeda pada materi relativitas. Sebanyak $20$ siswa dibagi menjadi dua kelompok sama rata, yaitu kelompok $A$ dan $B.$ Kedua kelompok tersebut menerima metode pembelajaran berbeda. Setelah tes akhir dilakukan, diperoleh varians nilai yang didapat dari kelompok $A$ dan $B$ berturut-turut adalah $s_A^2 = 24,\!7$ dan $s_B^2 = 39,\!2.$
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai yang diperoleh siswa dari kelompok $A$ dan $B$ setelah melalui metode pembelajaran tersebut. Diketahui $n_1 = n_2 = 10,$ $s_A^2 = 24,\!7,$ dan $s_B^2 = 39,\!2.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=10-1=9$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=10-1=9$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,01;~9;~9} = 5,\!35 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,01;~9;~9} = 5,\!35. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{24,\!7}{39,\!2} \cdot \dfrac{1}{5,\!35} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{24,\!7}{39,\!2} \cdot 5,\!35 \\ 0,\!1178 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 3,\!3710. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1178 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 3,\!3710.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=10-1=9$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=10-1=9$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,01;~9;~9} = 5,\!35 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,01;~9;~9} = 5,\!35. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{24,\!7}{39,\!2} \cdot \dfrac{1}{3,\!18} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{24,\!7}{39,\!2} \cdot 3,\!18 \\ 0,\!1981 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 2,\!0037. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1981 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 2,\!0037.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi
Soal Nomor 2
Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui baterai jenis apa yang memiliki daya tahan lebih lama. Ada dua jenis baterai yang diuji, yaitu baterai $A$ dan baterai $B,$ berturut-turut sebanyak $13$ batang dan $11$ batang. Dalam percobaan tersebut, diperoleh simpangan baku dari daya tahan baterai $A$ adalah $4$ hari, sedangkan simpangan baku dari daya tahan baterai $B$ adalah $6$ hari.
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan daya tahan baterai $A$ dan $B.$ Diketahui $n_A = 13,$ $n_B = 11,$ $s_A^2 = 4^2 = 16,$ dan $s_B^2 = 6^2 = 36.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=13-1=12$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=11-1=10$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,01;~12;~10} = 4,\!71 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,01;~10;~12} = 4,\!30. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{16}{36} \cdot \dfrac{1}{4,\!71} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{16}{36} \cdot 4,\!30 \\ 0,\!0944 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 1,\!9111. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!0944 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 1,\!9111.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=13-1=12$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=11-1=10$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,05;~12;~10} = 2,\!91 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,05;~10;~12} = 2,\!75. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{16}{36} \cdot \dfrac{1}{2,\!91} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{16}{36} \cdot 2,\!75 \\ 0,\!1527 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 1,\!2222. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1527 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 1,\!2222.$
Soal Nomor 3
Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan lamanya waktu yang dibutuhkan pegawai laki-laki dan pegawai perempuan di suatu pabrik dalam menata suatu produk. Sampel acak dari lamanya waktu (dalam menit) untuk $11$ pegawai laki-laki dan $14$ pegawai perempuan diambil sehingga diperoleh data berikut.
$$\begin{array}{cc} \textbf{Laki-Laki} & \textbf{Perempuan} \\ \hline n_1 = 11 & n_2 = 16 \\ s_1 = 6,\!1 & s_2 = 5,\!3 \\ \end{array}$$Misalkan $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari lamanya waktu untuk pegawai laki-laki dan pegawai perempuan.
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan lamanya waktu yang diperlukan pegawai laki-laki dan pegawai perempuan untuk menata produk pabrik (dalam menit). Diketahui $n_1 = 11,$ $n_2 = 16,$ $s_1^2 = (6,\!1)^2 = 37,\!21,$ dan $s_2^2 = (5,\!3)^2 = 28,\!09.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1=11-1=10$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1=16-1=15$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} & = f_{0,01;~10;~15} = 3,\!80 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} & = f_{0,01;~15;~10} = 4,\!56. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} \\ \dfrac{37,\!21}{28,\!09} \cdot \dfrac{1}{3,\!80} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{37,\!21}{28,\!09} \cdot 4,\!56 \\ 0,\!3460 & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & 6,\!0405. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!3460 < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 6,\!0405.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1=11-1=10$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1=16-1=15$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} & = f_{0,05;~10;~15} = 2,\!54 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} & = f_{0,05;~15;~10} = 2,\!85. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} \\ \dfrac{37,\!21}{28,\!09} \cdot \dfrac{1}{2,\!54} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{37,\!21}{28,\!09} \cdot 2,\!85 \\ 0,\!5215 & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & 3,\!7753. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!5215 < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 3,\!7753.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 4
Efektivitas dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida (SO) di atmosfer sedang dibandingkan pada suatu eksperimen terhadap polusi udara. Hasil pengukuran dengan menggunakan alat tersebut diberikan sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccccc} \textbf{Jenis A} & 0,\!86 & 0,\!82 & 0,\!75 & 0,\!61 & 0,\!89 & 0,\!64 & 0,\!81 & 0,\!68 & 0,\!65 \\ \hline \textbf{Jenis B} & 0,\!87 & 0,\!74 & 0,\!63 & 0,\!55 & 0,\!76 & 0,\!70 & 0,\!69 & 0,\!57 & 0,\!53 \\ \end{array}$$Misalkan $\sigma_A$ dan $\sigma_B$ berturut-turut adalah simpangan baku populasi dari ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari bahwa $n_A = n_B = 9,$ $s_A^2 = 0,\!01083,$ dan $s_B^2 = 0,\!01249.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=9-1=8$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=9-1=8$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,01;~8;~8} = 6,\!03 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,01;~8;~8} = 6,\!03. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{0,\!01083}{0,\!01249} \cdot \dfrac{1}{6,\!03} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{0,\!01083}{0,\!01249} \cdot 6,\!03 \\ 0,\!1438 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 5,\!2286. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1438 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 5,\!2286.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=9-1=8$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=9-1=8$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,05;~8;~8} = 3,\!44 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,05;~8;~8} = 3,\!44. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{0,\!01083}{0,\!01249} \cdot \dfrac{1}{3,\!44} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{0,\!01083}{0,\!01249} \cdot 3,\!44 \\ 0,\!2521 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 2,\!9828. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!2521 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 2,\!9828.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Soal Nomor 5
Suatu perusahaan alat berat melakukan penelitian terhadap lamanya waktu hidup komponen $A$ dan komponen $B$ (dalam bulan). Seorang ahli mencatat waktu hidup $10$ komponen $A$ dan $9$ komponen $B$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccccc} \textbf{Komponen A} & 10,\!6 & 5,\!3 & 10,\!7 & 8,\!5 & 11,\!8 & 15,\!5 & 13 & 7 & 5,\!9 & 7 \\ \hline \textbf{Komponen B} & 15,\!5 & 10,\!4 & 18,\!4 & 19,\!6 & 20,\!9 & 10,\!3 & 18,\!2 & 18,\!1 & 11,\!2 \\ \end{array}$$Misalkan $\sigma_A$ dan $\sigma_B$ berturut-turut adalah simpangan baku populasi dari ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$ Dari data yang diberikan, dapat dicari bahwa $n_A = 10,$ $n_B = 9,$ $s_A^2 \approx 11,\!1423,$ dan $s_B^2 \approx 17,\!3628.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=10-1=9$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=9-1=8$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,01;~9;~8} = 5,\!91 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,01;~8;~9} = 5,\!47. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{11,\!1423}{17,\!3628} \cdot \dfrac{1}{5,\!91} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{11,\!1423}{17,\!3628} \cdot 5,\!47 \\ 0,\!1086 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 3,\!5103. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1086 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 3,\!5103.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = n_A-1=10-1=9$ dan $\text{dk}_B = n_B-1=9-1=8$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B} & = f_{0,05;~9;~8} = 3,\!39 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} & = f_{0,05;~8;~9} = 3,\!23. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_A;~\text{dk}_B}} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{s_A^2}{s_B^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_B;~\text{dk}_A} \\ \dfrac{11,\!1423}{17,\!3628} \cdot \dfrac{1}{3,\!39} & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & \dfrac{11,\!1423}{17,\!3628} \cdot 3,\!23 \\ 0,\!1893 & < & \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} & < & 2,\!0728. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1893 < \dfrac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} < 2,\!0728.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 6
Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui banyaknya ketidakhadiran (absensi) selama setahun pada pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja. Sampel acak sebanyak $16$ pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan $10$ pegawai yang bukan anggota serikat pekerja dipilih. Banyak ketidakhadirannya berturut-turut memiliki simpangan baku $3$ hari dan $2,\!5$ hari. Misalkan $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari banyaknya ketidakhadiran selama setahun pada pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja.
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan banyaknya ketidakhadiran selama setahun pada pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja. Diketahui $n_1 = 16,$ $n_2 = 10,$ $s_1^2 = 3^2 = 9,$ dan $s_2^2 = (2,\!5)^2 = 6,\!25.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1=16-1=15$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1=10-1=9$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} & = f_{0,01;~15;~9} = 4,\!96 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} & = f_{0,01;~9;~15} = 3,\!89. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} \\ \dfrac{9}{6,\!25} \cdot \dfrac{1}{4,\!96} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{9}{6,\!25} \cdot 3,\!89 \\ 0,\!2903 & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & 5,\!6016. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!2903 < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 5,\!6016.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1=16-1=15$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1=10-1=9$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} & = f_{0,05;~15;~9} = 3,\!01 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} & = f_{0,05;~9;~15} = 2,\!59. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} \\ \dfrac{9}{6,\!25} \cdot \dfrac{1}{3,\!01} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{9}{6,\!25} \cdot 2,\!59 \\ 0,\!2903 & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & 5,\!6016. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!4784 < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 3,\!7296.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 7
Pekerja rig minyak lepas pantai biasanya bekerja rata-rata $12$ jam secara rotasi bergiliran. Misalnya, separuh kru dapat bekerja dari tengah hari hingga tengah malam (gilir kerja [shift] $1$), sementara separuh lainnya bekerja dari tengah malam hingga tengah hari (gilir kerja $2$). Perusahaan menyediakan semua makanan secara gratis dan kualitas makanan terjamin serta variasi makanannya tinggi. Ketika gilir kerja selesai, para pekerja dapat beristirahat atau meluangkan waktu untuk pergi menonton film, bermain gim video, atau berolahraga di gym on-board. Banyak pekerja rig minyak yang bekerja selama dua minggu di laut dan kemudian kembali ke rumah selama dua minggu juga, dengan semua biaya perjalanannya dibayar oleh perusahaan. Dua gilir kerja tersebut sedang dibandingkan untuk penilaian keefektifan kerja kru. Durasi pekerja gilir kerja $1$ diamati dalam $10$ hari, sedangkan durasi pekerja gilir kerja $2$ diamati dalam $8$ hari masing-masing secara acak. Berikut ini merupakan hasil pengamatan dari dua gilir kerja tersebut (dalam jam).
$$\begin{array}{c|cccccccccc} \textbf{Gilir Kerja 1} & 11,\!88 & 11,\!62 & 11,\!68 & 13,\!00 & 12,\!76 & 11,\!87 & 12,\!13 & 12,\!64 & 12,\!27 & 11,\!89 \\ \hline \textbf{Gilir Kerja 2} & 12,\!28 & 10,\!76 & 12,\!13 & 12,\!93 & 11,\!87 & 11,\!70 & 11,\!63 & 11,\!69 \\ \end{array}$$Misalkan $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari banyaknya ketidakhadiran selama setahun pada pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja.
- Tentukan selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas.
- Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians kedua populasi dari kasus di atas.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan durasi gilir kerja $1$ dan gilir kerja $2$ (dalam jam). Diketahui $n_1 = 10,$ $n_2 = 8,$ $s_1^2 \approx 0,\!2294,$ dan $s_2^2 \approx 0,\!3872.$ Ini merupakan kasus penaksiran rasio varians dua populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$f.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1=10-1=9$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1=8-1=7$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} & = f_{0,01;~9;~7} = 6,\!72 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} & = f_{0,01;~7;~9} = 5,\!61. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} \\ \dfrac{0,\!2294}{0,\!3872} \cdot \dfrac{1}{6,\!72} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{0,\!2294}{0,\!3872} \cdot 5,\!61 \\ 0,\!0882 & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & 3,\!3237. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!0882 < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 3,\!3237.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$f$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1 = n_1-1=10-1=9$ dan $\text{dk}_2 = n_2-1=8-1=7$ adalah
$$\begin{aligned} f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2} & = f_{0,05;~9;~7} = 3,\!68 \\ f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} & = f_{0,05;~7;~9} = 3,\!29. \end{aligned}$$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \dfrac{1}{f_{\alpha/2;~\text{dk}_1;~\text{dk}_2}} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{s_1^2}{s_2^2} \cdot f_{\alpha/2;~\text{dk}_2;~\text{dk}_1} \\ \dfrac{0,\!2294}{0,\!3872} \cdot \dfrac{1}{3,\!68} & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & \dfrac{0,\!2294}{0,\!3872} \cdot 3,\!29 \\ 0,\!1610 & < & \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} & < & 1,\!9492. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk rasio varians dua populasi dari kasus di atas adalah $0,\!1610 < \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 1,\!9492.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi