Tag: Nilai Kebenaran

$P(x)$ menyatakan kalimat “$x\le 4.$”
Pernyataan $P(-3)$ bernilai benar karena $-3\le 4$ benar. Sebaliknya, pernyataan $P(5),P(8),$ $P(40),$ dan $P(100)$ keempatnya bernilai salah karena $5,8,40,100$ lebih dari $4.$
(Jawaban A)

Cek opsi A:
$\mathrm{\exists }x(x^2=2)$ bernilai salah karena kita tidak menemukan kuadrat dari bilangan bulat apa pun yang menghasilkan $2.$
Cek opsi B:
$\mathrm{\forall }x(x^2+2\ge 1),$ dapat ditulis ulang menjadi $\mathrm{\forall }x(x^2\ge -1),$ bernilai benar karena bilangan bulat kuadrat memiliki nilai minimum $0.$
Cek opsi C:
$\mathrm{\exists }x(x^2=-1)$ bernilai salah karena kita tidak menemukan kuadrat dari bilangan bulat apa pun yang menghasilkan $-1.$
Cek opsi D:
$\mathrm{\forall }x(x^2\ne x)$ bernilai salah karena ada bilangan bulat yang memenuhi $x^2=x,$ yaitu $x=0$ atau $x=1.$
Cek opsi E:
$\mathrm{\forall }x(2x<x)$ bernilai salah karena bilangan bulat positif tidak memenuhi pertidaksamaan $2x<x.$ 
(Jawaban B)

$P(x)$ menyatakan kalimat “kata $x$ mengandung huruf $\text{a}.$”
Jawaban a)
$P(\text{kelapa})$ bernilai benar karena kata $\text{kel}\text{a}\text{p}\text{a}$ mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban b)
$P(\text{betul})$ bernilai salah karena kata $\text{betul}$ tidak mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban c)
$P(\text{kura-kura})$ bernilai benar karena kata $\text{kur}\text{a}\text{-kur}\text{a}$ mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban d)
$P(\text{aktuaria})$ bernilai benar karena kata $\text{a}\text{ktu}\text{a}\text{ri}\text{a}$ mengandung huruf $\text{a}.$

$Q(x,y)$ menyatakan kalimat “$x$ adalah ibu kota dari $y.$”
Jawaban a)
$Q(\text{Pontianak},\text{Kalimantan Barat})$ bernilai benar karena Pontianak memang ibu kota dari Kalimantan Barat.
Jawaban b)
$Q(\text{Banjarmasin},\text{Kalimantan Selatan})$ bernilai benar karena Banjarmasin memang ibu kota dari Kalimantan Selatan.
Jawaban c)
$Q(\text{Kupang},\text{Nusa Tenggara Barat})$ bernilai salah karena Kupang seharusnya merupakan ibu kota dari Nusa Tenggara Timur.
Jawaban d)
$Q(\text{Wamena},\text{Papua Pegunungan})$ bernilai benar karena Wamena memang ibu kota dari Papua Pegunungan.

$P(x)$ menyatakan kalimat “$x$ menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari” dengan domain dari $x$ meliputi semua orang.
Jawaban a)
$\mathrm{\exists }xP(x)$ menyatakan “Ada orang yang menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari.”
Jawaban b)
$\mathrm{\forall }xP(x)$ menyatakan “Semua orang menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari.”
Jawaban c)
$\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x)$ menyatakan “Ada orang yang tidak menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam selama beberapa hari dalam seminggu.”
Jawaban d)
$\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }P(x)$ menyatakan “Semua orang tidak menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam selama beberapa hari dalam seminggu.”

$N(x)$ menyatakan kalimat “$x$ pernah mengunjungi Kota Pontianak” dengan domain dari $x$ adalah semua siswa yang ada di sekolah saya.
Jawaban a)
$\mathrm{\exists }xN(x)$ menyatakan “Ada siswa di sekolah saya yang pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban b)
$\mathrm{\forall }xN(x)$ menyatakan “Semua siswa di sekolah saya pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban c)
$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xN(x)$ menyatakan “Tidak benar bahwa ada siswa di sekolah saya yang pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban d)
$\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }N(x)$ menyatakan “Ada siswa di sekolah saya yang tidak pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban e)
$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xN(x)$ menyatakan “Tidak benar bahwa semua siswa di sekolah saya pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban f)
$\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }N(x)$ menyatakan “Semua siswa di sekolah saya tidak pernah mengunjungi Kota Pontianak.”

Diketahui $C(x)$ menyatakan “$x$ adalah seorang pelawak” dan $F(x)$ adalah “$x$ lucu” dengan domain dari $x$ adalah semua orang.
Jawaban a)
$\mathrm{\forall }x(C(x)\Rightarrow F(x))$ menyatakan “Semua pelawak lucu.”
Jawaban b)
$\mathrm{\exists }x(C(x)\Rightarrow F(x))$ menyatakan “Sebagian orang yang merupakan (berprofesi sebagai) pelawak pasti lucu.”
Jawaban c)
$\mathrm{\forall }x(C(x)\wedge F(x))$ menyatakan “Semua orang adalah pelawak yang lucu.”
Jawaban d)
$\mathrm{\exists }x(C(x)\wedge F(x))$ menyatakan “Ada pelawak yang lucu” atau “Beberapa pelawak lucu”, atau “Orang yang lucu adalah pelawak.”

Diketahui $A(x)$ menyatakan “$x$ adalah kodok” dan $B(x)$ adalah “$x$ melompat” dengan domain dari $x$ adalah semua binatang.
Jawaban a)
$\mathrm{\forall }x(A(x)\Rightarrow B(x))$ menyatakan “Semua binatang yang merupakan kodok pasti melompat.”
Jawaban b)
$\mathrm{\exists }x(A(x)\Rightarrow B(x))$ menyatakan “Sebagian binatang yang merupakan kodok pasti melompat.”
Jawaban c)
$\mathrm{\forall }x(A(x)\wedge B(x))$ menyatakan “Semua binatang adalah kodok dan mereka melompat.”
Jawaban d)
$\mathrm{\exists }x(A(x)\wedge B(x))$ menyatakan “Sebagian binatang adalah kodok dan mereka melompat.”

Jawaban a)
“Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia dan Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge Q(x)).$
Jawaban b)
“Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia, tetapi tidak untuk bahasa Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\neg }Q(x)).$
Jawaban c)
“Semua siswa di sekolah Anda bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\mathrm{\forall }x(P(x)\vee Q(x)).$
Jawaban d)
“Tidak ada satu pun siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x(P(x)\vee Q(x))$ atau ekuivalen secara logika dengan $\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }(P(x)\wedge Q(x)).$

Diketahui $Q(x)$ menyatakan kalimat “$x+1>2x$”.
Jawaban a)
$Q(0)$ menyatakan “$0+1>2(0)$” atau dapat ditulis menjadi “$1>0$.” Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban b)
$Q(1)$ menyatakan “$1+1>2(1)$” atau dapat ditulis menjadi “$2>2$.” Pernyataan ini jelas bernilai salah.
Jawaban c)
$Q(-1)$ menyatakan kalimat “$-1+1>2(-1)$” atau dapat ditulis menjadi “$0>-2$.” Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban d)
$\mathrm{\exists }xQ(x)$ menyatakan kalimat” Ada bilangan bulat $x$ sedemikian sehingga $x+1>2x$”. Pernyataan ini bernilai benar karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu,misalnya $x=-1.$
Jawaban e)
$\mathrm{\forall }xQ(x)$ menyatakan kalimat” Semua bilangan bulat $x$ memenuhi $x+1>2x$”. Pernyataan ini bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x=0.$
Jawaban f)
$\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }Q(x)$ menyatakan kalimat” Ada bilangan bulat $x$ sedemikian sehingga $x+1\le 2x$”. Pernyataan ini bernilai benar karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x=1.$
Jawaban g)
$\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }Q(x)$ menyatakan kalimat” Semua bilangan bulat $x$ memenuhi $x+1\le 2x$”. Pernyataan ini bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x=0.$

Jawaban a)
$\mathrm{\exists }x(x^3=-1)$ menyatakan bahwa ada bilangan real $x$ yang memenuhi $x^3=-1.$ Pernyataan ini bernilai benar karena $x=-1$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Jawaban b)
$\mathrm{\exists }x(x^4<x^2)$ menyatakan bahwa ada bilangan real $x$ yang memenuhi $x^4<x^2.$ Pernyataan ini bernilai benar karena $x=0,5$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Jawaban c)
$\mathrm{\forall }x((-x{)}^2=x^2)$ menyatakan bahwa semua bilangan real $x$ memenuhi $(-x{)}^2=x^2.$ Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban d)
$\mathrm{\forall }x(2x>x)$ menyatakan bahwa semua bilangan real $x$ memenuhi $2x>x.$ Pernyataan ini jelas bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan real yang tidak memenuhi pertidaksamaan tersebut, misalnya $x=0.$

Perlu diingat kembali bahwa aturan praktis (rule of thumb) dari penggunaan kuantor universal $\mathrm{\forall }$ berkaitan dengan notasi konjungsi $\wedge ,$ sedangkan kuantor eksistensial $\mathrm{\exists }$ berkaitan dengan notasi disjungsi $\vee .$
Jawaban a)
$\mathrm{\exists }xP(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$P(-5)\vee P(-3)\vee P(-1)\vee P(1)\vee P(3)\vee P(5).$$Jawaban b)
$\mathrm{\forall }xP(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$P(-5)\wedge P(-3)\wedge P(-1)\wedge P(1)\wedge P(3)\wedge P(5).$$Jawaban c)
$\mathrm{\forall }x((x\ne 1)\Rightarrow P(x))$ menandakan bahwa semua anggota domain selain $1$ adalah input bagi $P(x).$ Jadi, kalimat tersebut dapat kita nyatakan sebagai
$$P(-5)\wedge P(-3)\wedge P(-1)\wedge P(3)\wedge P(5).$$Jawaban d)
$\mathrm{\exists }x((x\ge 0)\wedge P(x))$ menandakan bahwa semua anggota domain yang memenuhi $\ge 0$ adalah input bagi $P(x).$ Jadi, kalimat tersebut dapat kita nyatakan sebagai
$$P(1)\vee P(3)\vee P(5).$$Jawaban e)
$\mathrm{\exists }x((\mathrm{\neg }P(x))\wedge \mathrm{\forall }x((x<0)\Rightarrow P(x))$ melibatkan penggunaan dua kuantor pada bagian yang berbeda. Dengan menggunakan cara yang sama, kita dapat nyatakan sebagai
$$(\mathrm{\neg }P(-5)\vee \mathrm{\neg }P(-3)\vee \mathrm{\neg }P(-1)\vee \mathrm{\neg }P(1)\vee \mathrm{\neg }P(3)\vee \mathrm{\neg }P(5))\wedge (P(-5)$$ $$\wedge P(-3)\wedge P(-1)).$$

Domain #1 menandakan domain yang membuat kalimat bernilai benar, sedangkan domain #2 salah.
Jawaban a)
Kalimat:
Semua orang mempelajari matematika diskret.
Domain #1:
Mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika diskret.
Domain #2:
Mahasiswa di Institut Teknologi Bandung (ITB).
Jawaban b)
Kalimat:
Semua orang berusia lebih dari $5$ tahun.
Domain #1:
Anggota dewan legislatif di negara Indonesia.
Domain #2:
Siswa tingkat Taman Kanak-kanak (TK)
Jawaban c)
Kalimat:
Ada orang yang berteman dengan lebih dari $2$ orang.
Domain #1:
Presiden di setiap negara.
Domain #2:
Bapak Joko Widodo dan Ibu Sri Mulyani.
Jika domainnya hanya meliputi $2$ orang, maka masing-masing orang paling banyak mengenal $1$ orang saja.
Jawaban d)
Kalimat:
Ada orang yang telah memiliki KTP Indonesia.
Domain #1:
Penduduk yang berdomisili di Pulau Kalimantan.
Domain #2:
Anak Indonesia yang berumur kurang dari $17$ tahun.

Misalkan $P(x)$ menyatakan “$x$ sempurna” dengan domain pembicaraannya meliputi semua orang di dunia.
Jawaban a)
Kalimat:
Tidak ada orang yang sempurna.
Ekspresi Logika: $\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }P(x)$
Jawaban b)
Kalimat:
Tidak semua orang itu sempurna.
Ekspresi Logika: $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xP(x)$
Jawaban c)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Semua temanmu sempurna.
Ekspresi Logika: $\mathrm{\forall }x(T(x)\Rightarrow P(x))$
Jawaban d)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Paling sedikit satu temanmu sempurna.
Ekspresi Logika: $\mathrm{\exists }x(T(x)\wedge P(x))$
Jawaban e)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Semua orang adalah temanmu dan mereka sempurna.
Ekspresi Logika: $\mathrm{\forall }x(T(x)\wedge P(x))$
Jawaban f)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Tidak semua orang adalah temanmu atau seseorang tidak sempurna.
Ekspresi Logika: $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xT(x)\vee \mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x)$