Materi, Soal, dan Pembahasan – Pecahan Berlanjut

Pecahan berlanjut

  Ada 4 jenis pecahan berdasarkan bentuknya yang perlu kita kenali dan identifikasi, yaitu:

  1. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, dihubungkan oleh garis datar, misalnya 38,23, dan lain-lain.
  2. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dituliskan menggunakan simbol koma, misalnya 0,56; 7,000, 0,123456789, dan lain-lain.
  3. Persen, yaitu pecahan yang ditulis menggunakan notasi % (pecahan biasa dengan penyebut 100). Misalnya, 5% berarti 5100=0,05.
  4. Permil, yaitu pecahan yang ditulis menggunakan notasi ‰ (pecahan biasa dengan penyebut 1000). Misalnya, 5‰ berarti 51000=0,005.

Berdasarkan nilai pembilang dan penyebutnya, pecahan dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:

  1. Pecahan takmurni/sejati (improper fraction), yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih besar atau sama dengan nilai penyebutnya, misalnya 134, 6348, 100100, dan sebagainya. Pecahan ini selanjutnya dapat diubah bentuknya menjadi pecahan campuran (mixed fraction), yaitu dalam bentuk a+bc=abc, untuk bilangan bulat a,b,c dengan 0<b<c.
  2. Pecahan murni/sejati (proper fraction), yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih kecil dari nilai penyebutnya, misalnya 35, 99100, dan sebagainya.

Pada pecahan biasa, jika pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat {,3,2,1,0,1,2,3,},maka pecahan biasa itu bisa dituliskan dalam bentuk pecahan desimal berhingga, misalnya
38=0,375atau pecahan desimal berpola takberhingga, misalnya
2999=0,292929sekaligus mendefinisikan arti dari bilangan rasional.

Terkadang kita menemukan pecahan biasa seperti
37+121315.Pecahan di atas memuat pembilang berupa pecahan lagi, begitu juga penyebutnya. Beberapa orang memberi istilah “pecahan dalam pecahan” pada bentuk seperti ini. Pecahan tersebut dapat disederhanakan, yaitu membuatnya dalam bentuk ab, dengan a dan b merupakan bilangan bulat dan b0 seperti berikut.
37+121315=6+7145315=1314215=1314152=19528      Kali ini, kita akan membahas mengenai pecahan berlanjut (continued fraction), yaitu pecahan takmurni yang dinyatakan dalam bentuk pecahan campuran, tetapi pada bagian pecahannya terdapat bentuk pecahan lagi di bagian penyebut, begitu seterusnya.

Dalam notasi pecahan, kita juga diperkenalkan dengan istilah resiprokal (kebalikan). Sebagai contoh, 57 dapat ditulis dalam bentuk resiprokal 175. Ini sejalan dengan kesepakatan kita bahwa pecahan dapat dimaknai sebagai operasi pembagian. Dalam hal ini,
57=1×57=1÷75.Bentuk resiprokal ini dipakai untuk menyatakan suatu bilangan rasional sebagai pecahan berlanjut.

Pecahan berlanjut ada 2 jenis, yaitu:

  1. Pecahan berlanjut berhingga (finite continued fraction) dengan bentuk umum
    a0+b1a1+b2a2+b3a3+b4+bnandengan a0,a1,,an dan b1,b2,,bn adalah bilangan bulat, serta n1. Untuk menyatakan suatu pecahan berlanjut berhingga sebagai pecahan biasa, hitung terlebih dahulu ekspresi yang terletak paling “bawah”, lalu gunakan sifat resiprokal pecahan, hitung lagi pecahannya, lalu gunakan sifat resiprokal lagi, dan seterusnya. Proses ini dilakukan secara berulang-ulang sampai ditemukan bentuk pecahan ab.

    Sebagai contoh, nyatakan pecahan berlanjut berikut dalam bentuk pecahan biasa.

    31+23+12Pertama, hitung ekspresi yang ditandai warna merah. Kita peroleh
    31+272.Gunakan sifat resiprokal pecahan untuk menghitung ekspresi yang diberi warna biru. Kita peroleh
    31+227=31+47.Hitung kembali ekspresi yang diberi warna, lalu gunakan sifat resiprokal, dan hitung lagi.
    3117=3711=2111.Jadi, bentuk pecahan biasanya adalah 2111
  2. Pecahan berlanjut takberhingga (infinite continued fraction) dengan bentuk umum
    a0+b1a1+b2a2+b3a3+b4a4+dengan a0,a1,,an dan b1,b2,,bn merupakan bilangan bulat serta n1. Pada pecahan berlanjut takberhingga, nilai yang kita peroleh sebenarnya merupakan suatu hampiran (aproksimasi), bukan nilai eksak.

Pecahan Berlanjut Sederhana

Ketika nilai bn=1 untuk setiap n, kita sebut sebagai pecahan berlanjut sederhana (simple continued fraction). Oleh karena itu, pecahan berlanjut takberhingga sederhana merepresentasikan suatu bilangan real x dalam bentuk
a0+1a1+1a2+1a3+dengan a0 merupakan bilangan bulat dan a1,a2, merupakan bilangan bulat positif. Untuk menyederhanakan penulisan pecahan berlanjut, biasanya kita gunakan notasi seperti berikut.
a0+1a1+1a2+1a3+=[a0;a1,a2,a3,]Pecahan berlanjut berhingga sederhana pasti berupa bilangan rasional. Kebalikannya juga benar, yaitu setiap bilangan rasional mn dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut berhingga sederhana. Caranya adalah menggunakan algoritma Euclides.
Jika m=nq+r, maka mn=q+rn=q+1nrdan proses ini berlanjut dengan membagi n oleh r, dan seterusnya. Simak contoh berikut untuk lebih jelasnya.

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclides

Contoh 
Nyatakan 551802 dalam bentuk pecahan berlanjut sederhana.

Jawab:
Pertama, tuliskan algoritma Euclides untuk pasangan bilangan (551,802).

551=1×802+251802=3×251+49251=5×49+649=8×6+16=1×6+0Dengan demikian, dapat kita tuliskan
551802=1+1802251=1+13+49251=1+13+125149=1+13+15+649=1+13+15+1496=1+13+15+18+16.Jadi, pecahan 551802 senilai dengan pecahan berlanjut sederhana 1+13+15+18+16

Quote by John Dewey

Give the pupils something to do, not something to learn; and the act of doing is of such a nature as to demand thinking; learning naturally results.

Berikut ini disajikan beberapa soal terkait pecahan berlanjut berhingga maupun takberhingga, disertai dengan pembahasannya. Semoga dapat dijadikan referensi untuk latihan. 

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Pecahan berlanjut berikut yang senilai dengan 2111 adalah
A. 2+11+13
B. 321+14
C. 1+3225
D. 4+2545
E. 1+22+15

Pembahasan

Soal Nomor 2

Diketahui 149=1+11+11+1x. Nilai bilangan bulat positif x yang memenuhi adalah
A. 2                  C. 5                E. 14
B. 4                  D. 9

Pembahasan

Soal Nomor 3

Misalkan 23+17+12=ab, dengan a,b keduanya merupakan bilangan bulat positif. Nilai a+b=
A. 54                    D. 109
B. 77                    E. 124
C. 82

Nyatakan pecahan berlanjut tersebut dalam bentuk pecahan campuran.
23+17+12=23+1152=23+215=24715=3047Jadi, diperoleh nilai a=30 dan b=47 sehingga a+b=30+47=77
(Jawaban B) [/spoiler]

Soal Nomor 4

Bila 775121=a+1b+1c+1d+1e+1e+1funtuk suatu bilangan bulat a,b,c,d,e, dan f, maka nilai a+b+c+d+e+f=
A. 10                  C. 14                   E. 20
B. 12                  D. 18

Pembahasan

Soal Nomor 5

Jika 157 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut
3121211+y,maka nilai y adalah
A. 14               C. 34               E. 54
B. 23               D. 45

Pembahasan

Soal Nomor 6

Diberikan suatu fungsi f dengan
f(x)=x1+x1+x1+.Jika f(x) menyatakan turunan pertama dari f(x), maka nilai f(0)=
A. 1                C. 1                 E. 4
B. 0                   D. 2

Pembahasan

Soal Nomor 7

Diketahui x=2+12+12+12+.Jika x dapat dinyatakan dalam bentuk a+b dengan a dan b merupakan bilangan cacah, maka nilai a+b=
A. 0                     C. 2                     E. 5
B. 1                     D. 3

Pembahasan