Tag: Penaksiran

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan masa hidup lampu pijar yang diproduksi oleh pengusaha tersebut (dalam jam). Diketahui $n=30$ dan $s=55.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-99\mathrm{\%}=1\mathrm{\%}=0,01$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,005$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=30-1=29$ adalah ${\chi }_{0,005;29}^2=52,335.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat dengan taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,995$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,995;29}^2=13,121.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(30-1)\cdot {55}^2}{52,335}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(30-1)\cdot {55}^2}{13,121}}\\ 1.676,2205& <& {\sigma }_X^2& <& 6.685,8471.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari masa hidup lampu (dalam jam²) adalah $1.676,2205<{\sigma }_X^2<6.685,8471.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-95\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}=0,05$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=30-1=29$ adalah ${\chi }_{0,025;29}^2=45,722.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;29}^2=16,047.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(30-1)\cdot {55}^2}{45,722}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(30-1)\cdot {55}^2}{16,047}}\\ 1.918,6606& <& {\sigma }_X^2& <& 5.466,7539.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari masa hidup lampu (dalam jam²) adalah $1.918,6606<{\sigma }_X^2<5.466,7539.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jarak tembak meriam tersebut (dalam meter). Diketahui $n=16$ dan $s^2=24.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-95\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}=0,05$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=16-1=15$ adalah ${\chi }_{0,025;15}^2=27,488.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;15}^2=6,262.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(16-1)\cdot 24}{27,488}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(16-1)\cdot 24}{6,262}}\\ 13,0966& <& {\sigma }_X^2& <& 57,4896.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari jarak tembak meriam tersebut (dalam m²) adalah $13,0966<{\sigma }_X^2<57,4896.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-90\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}=0,1$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=16-1=15$ adalah ${\chi }_{0,05;15}^2=24,996.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,95;15}^2=7,261.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(16-1)\cdot 24}{24,996}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(16-1)\cdot 24}{7,261}}\\ 14,4023& <& {\sigma }_X^2& <& 49,5799.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari jarak tembak meriam tersebut (dalam m²) adalah $14,4023<{\sigma }_X^2<49,5799.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kerapatan massa abu terbang (dalam g/cm³). Diketahui $n=25$ dan $s^2=2,03.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-90\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}=0,1$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=25-1=24$ adalah ${\chi }_{0,05;24}^2=36,415.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,95;24}^2=13,848.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{36,415}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{13,848}}\\ 1,3379& <& {\sigma }_X^2& <& 3,5182.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari kerapatan massa abu terbang (dalam g²/cm⁶) adalah $1,3379<{\sigma }_X^2<3,5182.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-80\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}=0,2$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,1$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=25-1=24$ adalah ${\chi }_{0,1;24}^2=33,196.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,9$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,9;24}^2=15,659.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{33,196}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{15,659}}\\ 1,4676& <& {\sigma }_X^2& <& 3,1113.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $80\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari kerapatan massa abu terbang (dalam g²/cm⁶) adalah $1,4676<{\sigma }_X^2<3,1113.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume oli yang termuat di dalam kontainer (dalam liter). Diketahui $n=10$ dan dapat dicari bahwa $s^2\approx 0,06.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-95\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}=0,05$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=10-1=9$ adalah ${\chi }_{0,025;9}^2=19,023.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;9}^2=2,700.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,06}{19,023}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,06}{2,700}}\\ 0,0284& <& {\sigma }_X^2& <& 0,2000.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari volume oli yang termuat di dalam kontainer (dalam liter²) adalah $0,0284<{\sigma }_X^2<0,2000.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-90\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}=0,1$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=10-1=9$ adalah ${\chi }_{0,05;9}^2=16,919.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,95;9}^2=3,325.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,06}{16,919}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,06}{3,325}}\\ 0,0319& <& {\sigma }_X^2& <& 0,1624.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari volume oli yang termuat di dalam kontainer (dalam liter²) adalah $0,0319<{\sigma }_X^2<0,1624.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandisasi tersebut (dalam menit). Diketahui $n=20$ dan $s=4,51.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-99\mathrm{\%}=1\mathrm{\%}=0,01$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,005$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=20-1=19$ adalah ${\chi }_{0,005;19}^2=38,582.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,995$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,995;19}^2=6,844.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(20-1)\cdot 4,{51}^2}{38,582}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(20-1)\cdot 4,{51}^2}{6,844}}\\ 10,0166& <& {\sigma }_X^2& <& 56,4673.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandisasi tersebut (dalam menit²) adalah $10,0166<{\sigma }_X^2<56,4673.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-90\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}=0,1$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=20-1=19$ adalah ${\chi }_{0,05;19}^2=30,144.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,95;19}^2=10,117.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(20-1)\cdot 4,{51}^2}{30,144}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(20-1)\cdot 4,{51}^2}{10,117}}\\ 12,8205& <& {\sigma }_X^2& <& 38,1993.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandisasi tersebut (dalam menit²) adalah $12,8205<{\sigma }_X^2<38,1993.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah (dalam bpj). Diketahui $n=61$ dan $s^2=4,25.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-95\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}=0,05$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=61-1=60$ adalah ${\chi }_{0,025;60}^2=83,298.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;60}^2=40,482.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(61-1)\cdot 4,25}{83,298}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(61-1)\cdot 4,25}{40,482}}\\ 3,0613& <& {\sigma }_X^2& <& 6,2991.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah (dalam bpj²) adalah $3,0613<{\sigma }_X^2<6,2991.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-80\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}=0,2$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,1$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=61-1=60$ adalah ${\chi }_{0,1;60}^2=74,397.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,9$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,9;60}^2=46,459.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(61-1)\cdot 4,25}{74,397}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(61-1)\cdot 4,25}{46,459}}\\ 3,4276& <& {\sigma }_X^2& <& 5,4887.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah (dalam bpj²) adalah $3,4276<{\sigma }_X^2<5,4887.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut (dalam desiliter). Diketahui $n=25$ dan $s^2=2,03.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-98\mathrm{\%}=2\mathrm{\%}=0,02$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=25-1=24$ adalah ${\chi }_{0,01;24}^2=42,980.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,99;24}^2=10,856.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{42,980}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{10,856}}\\ 1,1336& <& {\sigma }_X^2& <& 4,4878.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut (dalam desiliter²) adalah $1,1336<{\sigma }_X^2<4,4878.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-95\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}=0,05$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=25-1=24$ adalah ${\chi }_{0,025;24}^2=39,364.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;24}^2=12,401.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{39,364}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(25-1)\cdot 2,03}{12,401}}\\ 1,2377& <& {\sigma }_X^2& <& 3,9287.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut (dalam desiliter²) adalah $1,2377<{\sigma }_X^2<3,9287.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tekanan darah sistolik pasien (dalam mmHg). Diketahui $n=14$ dan dapat dicari bahwa $s^2\approx 598,4176.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-95\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}=0,05$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=14-1=13$ adalah ${\chi }_{0,025;13}^2=24,736.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;13}^2=5,009.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(14-1)\cdot 598,4176}{24,736}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(14-1)\cdot 598,4176}{5,009}}\\ 314,4983& <& {\sigma }_X^2& <& 1.553,09.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari dari tekanan darah sistolik pasien (dalam mmHg) adalah $314,4983<{\sigma }_X^2<1.553,09.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-90\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}=0,1$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=14-1=13$ adalah ${\chi }_{0,05;13}^2=22,362.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,975;13}^2=5,892.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(14-1)\cdot 598,4176}{22,362}}& <& {\sigma }^2& <& {\displaystyle \frac{(14-1)\cdot 598,4176}{5,892}}\\ 347,8861& <& {\sigma }^2& <& 1.320,3375.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari dari tekanan darah sistolik pasien (dalam mmHg) adalah $347,8861<{\sigma }_X^2<1.320,3375.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan berat paket bibit rumput tersebut (dalam dag). Diketahui $n=10$ dan dapat dicari bahwa $s^2\approx 0,2862.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-98\mathrm{\%}=2\mathrm{\%}=0,02$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=10-1=9$ adalah ${\chi }_{0,01;9}^2=21,666.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,99;9}^2=2,088.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,2862}{21,666}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,2862}{2,088}}\\ 0,1189& <& {\sigma }_X^2& <& 1,2336.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari berat paket bibit rumput tersebut (dalam dag²) adalah $0,1189<{\sigma }_X^2<1,2336.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-90\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}=0,1$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=10-1=9$ adalah ${\chi }_{0,05;9}^2=16,919.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,95;9}^2=3,325.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}\\ {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,2862}{16,919}}& <& {\sigma }_X^2& <& {\displaystyle \frac{(10-1)\cdot 0,2862}{3,325}}\\ 0,1522& <& {\sigma }_X^2& <& 0,7747.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\mathrm{\%}$ untuk varians populasi dari berat paket bibit rumput tersebut (dalam dag²) adalah $0,1522<{\sigma }_X^2<0,7747.$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai tes psikologi yang didapat siswa. Diketahui $n=13$ dan dapat dicari bahwa $s^2\approx 297,7564.$ Ini merupakan kasus penaksiran simpangan baku satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-${\chi }^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha =1-99\mathrm{\%}=1\mathrm{\%}=0,01$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,005$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=13-1=12$ adalah ${\chi }_{0,005;12}^2=28,300.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,995$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,995;12}^2=3,074.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}\sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}}& <& {\sigma }_X& <& \sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}}\\ \sqrt{{\displaystyle \frac{(13-1)\cdot 297,7564}{28,300}}}& <& {\sigma }_X& <& \sqrt{{\displaystyle \frac{(13-1)\cdot 297,7564}{3,074}}}\\ 11,2364& <& {\sigma }_X& <& 34,0933.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\mathrm{\%}$ untuk simpangan baku populasi dari nilai tes psikologi yang didapat siswa adalah $11,2364<{\sigma }_X<34,0933.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha =1-98\mathrm{\%}=2\mathrm{\%}=0,02$ sehingga nilai-${\chi }^2$ dengan ${\alpha }^{\prime }=\alpha /2=0,01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}=n-1=13-1=12$ adalah ${\chi }_{0,01;12}^2=26,217.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha /2=0,99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah ${\chi }_{0,99;12}^2=3,571.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl}\sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2;n-1}^2}}}& <& {\sigma }_X& <& \sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2;n-1}^2}}}\\ \sqrt{{\displaystyle \frac{(13-1)\cdot 297,7564}{26,217}}}& <& {\sigma }_X& <& \sqrt{{\displaystyle \frac{(13-1)\cdot 297,7564}{3,571}}}\\ 11,6743& <& {\sigma }_X& <& 31,6320.\end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\mathrm{\%}$ untuk simpangan baku populasi dari nilai tes psikologi yang didapat siswa adalah $11,6743<{\sigma }_X<31,6320.$