Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang deret geometri tak hingga. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Quote by Stefan Banach

Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit.

Soal Nomor 1
Suku kedua dan suku keempat suatu deret geometri tak hingga berturut-turut adalah 1 dan $\dfrac19$. Jika rasionya positif, maka jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$        B. $2$        C. $3$         D. $4$        E. $4\dfrac12$

Pembahasan

Diketahui: $\text{U}_2 = 1$ dan $\text{U}_4 = \dfrac19$
Rasio deret ini dapat dihitung dengan melakukan perbandingan seperti berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_2} & = \dfrac{\frac19}{1} \\ \dfrac{ar^3}{ar} & = \dfrac{1}{9} \\ r^2 & = \dfrac19 \Leftrightarrow r & = \pm \dfrac13 \end{aligned}$
Karena rasionya diketahui positif, maka diambil $r = \dfrac13$
Dengan demikian, suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_2 & = ar \\ 1 & = a\left(\dfrac13\right) \\ a & = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, jumlah deret tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{3}{1 -\frac13} = \dfrac{3}{\frac23} \\ & = 3 \times \dfrac32 = \dfrac92 = 4\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua suku dari deret geometri itu adalah $\boxed{4\dfrac12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku pertama $27$. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah $81$. Jumlah semua suku bernomor genap dari deret itu adalah $\cdots \cdot$
A. $32\dfrac25$                      D. $46\dfrac35$
B. $34\dfrac25$                      E. $48\dfrac35$
C. $36\dfrac35$ 

Pembahasan

Diketahui: $a = 27$ dan $\text{S}_{\infty} = 81$
Akan ditentukan rasio deret tersebut sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ 81 & = \dfrac{27}{1-r} \\ 1 -r & = \dfrac{27}{81} = \dfrac13 \\ r & = 1 -\dfrac13 = \dfrac23 \end{aligned}$
Jumlah semua suku bernomor genap dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \text{U}_2 + \text{U}_4 + \text{U}_6 + \cdots \\ & = ar + ar^3 + ar^5 + \cdots \\ & = \dfrac{ar} {1 -r^2} \\ & = \dfrac{27 \cdot \frac23}{1 -\left(\frac23\right)^2} \\ & = \dfrac{18}{\frac59} = 18 \cdot \dfrac95 = \dfrac{162}{5} = 32\dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua suku bernomor genap deret geometri tak hingga tersebut adalah $\boxed{32\dfrac25}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0<r<1$ adalah $\text{S}$. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi $1-r$, maka jumlahnya menjadi $\cdots \cdot$
A. $\text{S}\left(1-\dfrac{1}{r} \right)$
B. $\dfrac{\text{S}} {r}$
C. $\text{S}\left(\dfrac{1}{r} -r\right)$
D. $\dfrac{\text{S}} {1-r}$
E. $\text{S}\left(\dfrac{1}{r} -1\right)$

Pembahasan

Diketahui: $\text{S} = \dfrac{a} {1 -r}$
Persamaan di atas ekuivalen dengan $\color{blue} {a = \text{S}(1-r)}$. 
Misalkan deret geometri yang baru memiliki jumlah $\text{S}_{\text{baru}}$, suku pertama $a$, dan rasionya adalah $1 -r$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\text{baru}} & = \dfrac{a} {1 -(1 -r)} \\ & = \dfrac{\color{blue} {\text{S}(1 -r)}} {r} \\ & = \text{S}\left(\dfrac{1}{r}- \dfrac{r} {r} \right) \\ & = \text{S}\left(\frac{1}{r} -1\right) \end{aligned}$
Jadi, jumlah deret geometri yang baru itu adalah $\boxed{\text{S}\left(\frac{1}{r}- 1\right)}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal SBMPTN Saintek Bidang Matematika) 
Seekor cephalopoda bergerak pada koordinat Kartesius dimulai dari titik $(0,0)$. Cephalopoda itu bergerak ke sumbu $Y$ positif sejauh $8$ unit, lalu bergerak ke sumbu-$X$ positif sejauh $4$ unit, kemudian ke sumbu-$Y$ negatif sejauh $2$ unit, $1$ unit ke sumbu-$X$ negatif, $\dfrac12$ unit ke sumbu-$Y$ positif, $\dfrac14$ unit ke sumbu-$X$ positif, $\dfrac18$ unit ke sumbu-$Y$ negatif, dan seterusnya sampai berhenti pada koordinat tertentu. Koordinat itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{32}{5}\right)$
B. $\left(\dfrac{32}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ 
C. $(32,16)$
D. $(16,32)$
E. $\text{tidak terdefinisi}$

Pembahasan

Posisi pergerakan cephalopoda terhadap sumbu-$X$ dinyatakan oleh
$4 + (-1) + \dfrac14 + \left(-\dfrac{1}{16}\right) + \cdots$
(tanda negatif diberlakukan ketika bergerak ke sumbu-$X$ negatif)
Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = 4$ dan $r = – \dfrac14$. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{4}{1 -\left(-\frac14\right)} = \dfrac{4}{\frac54} = \dfrac{16}{5}$
Ini berarti, cephalopoda tersebut berhenti pada absis $x = \dfrac{16}{5}$. 
Posisi pergerakan cephalopoda terhadap sumbu-$Y$ dinyatakan oleh
$8 + (-2) + \dfrac12 + \left(-\dfrac{1}{8}\right) + \cdots$
(tanda negatif diberlakukan ketika bergerak ke sumbu-$Y$ negatif)
Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = 8$ dan $r = – \dfrac14$. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah
$\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{8}{1 -\left(-\frac14\right)} = \dfrac{8}{\frac54} = \dfrac{32}{5}$
Ini berarti, cephalopoda tersebut berhenti pada ordinat $y = \dfrac{32}{5}$. 
Jadi, cephalopoda itu akan berhenti pada koordinat $\boxed{\left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{32}{5}\right)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diberikan sebuah deret tak hingga $1+2p+p^2+2p^3+p^4+\cdots$, maka jumlah deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1-p} {1+p}$, untuk $|p|<1$
B. $\dfrac{1+p} {1-p}$, untuk $|p|<1$ 
C. $\dfrac{1+2p} {1-p}$, untuk $|p|<1$
D. $\dfrac{1+2p} {1-p^2}$, untuk $|p|<1$
E. $\dfrac{1+p} {1-p^2}$, untuk $|p|<1$

Pembahasan

Deret di atas terdiri dari penjumlahan dua deret geometri tak hingga, yaitu
$\underbrace{(1 + p^2 + p^4 + \cdots)}_{\text{S}_1} + \underbrace{(2p + 2p^3 + \cdots)}_{\text{S}_2}$
Pada deret yang pertama, diketahui $a = 1$ dan $r = p^2$, sehingga
$\text{S}_1 = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{1}{1 -p^2}$
Pada deret yang kedua, diketahui $a = 2p$ dan $r = p^2$, sehingga
$\text{S}_2 = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{2p}{1 -p^2}$ 
Dengan demikian, jumlah deret tak hingga di atas adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \text{S}_1 + \text{S}_2 \\ & = \dfrac{1}{1-p^2} + \dfrac{2p} {1-p^2} \\ & = \dfrac{1 + 2p} {1-p^2} \end{aligned}$
Syarat rasionya adalah $|r| < 1$, yaitu $|p^2| < 1$ atau ekuivalen dengan $|p| < 1$. 
Jadi, jumlah deret tersebut adalah $\boxed{\frac{1+2p} {1-p^2}}$, untuk $|p|<1$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Agar deret 
$\dfrac{x-1}{x+1} + \left(\dfrac{x-1}{x+1} \right)^2 + \left(\dfrac{x-1}{x+1} \right)^3 + \cdots$
konvergen, maka $x$ haruslah bernilai $\cdots \cdot$
A. lebih dari $0$
B. sama dengan $0$
C. kurang dari $0$
D. lebih dari $1$
E. kurang dari $1$

Pembahasan

Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan rasio $r = \dfrac{x-1}{x+1}$. Agar deret tersebut konvergen (memiliki jumlah), syaratnya adalah $|r| < 1$. 
Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} \left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| & < 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} & < 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} – \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2} & < 0 \\ \dfrac{(x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)} {(x+1)^2} & < 0 \\ \dfrac{-4x} {(x+1)^2} & < 0 \end{aligned}$
Pada penyebut, bentuk $(x+1)^2$ tidak mungkin bernilai negatif, sehingga agar $\dfrac{-4x} {(x+1)^2}$ dapat bernilai negatif, haruslah $-4x < 0$, yang berarti $x > 0$. 
Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai $x$ haruslah lebih dari $0$ (positif).
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(x-1)+(x-1)^3+(x-1)^5+\cdots=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1+5\sqrt3}{2}$                D. $\dfrac{1-3\sqrt5}{2}$
B. $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$                  E. $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$
C. $\dfrac{1-5\sqrt3}{2}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa 
$(x-1)+(x-1)^3+(x-1)^5+\cdots$
merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = x – 1$ dan $r = (x -1)^2$.
Jumlah dari deret ini adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ 1 & = \dfrac{x -1}{1 -(x – 1)^2} \\ 1 & = \dfrac{x-1}{-x^2 + 2x} \\ -x^2 + 2x & = x -1 \\ x^2 -x -1 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$
Syarat deret geometri tak hingga memiliki nilai (konvergen) adalah nilai mutlak rasionya harus kurang dari 1, sehingga kita tulis
$\begin{aligned} |(x-1)^2| & < 1 \\ |x-1| & < 1 \\ -1 & < x – 1 < 1 \\ 0 & < x < 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi interval di atas adalah $x = \boxed{\dfrac{1 + \sqrt5}{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 8
Diberikan matriks orde dua yang disimbolkan dengan $A = \begin{pmatrix} \dfrac12 & -\dfrac12 \\ -\dfrac12 & x \end{pmatrix}$. Jika $|A|$ menyatakan determinan matriks $A$, maka deret geometri $|A| + |A|^2 + |A|^3 + \cdots$ akan konvergen ke-$\cdots \cdot$
A. $\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52$
B. $-\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52$
C. $\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac32$
D. $-\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $-\dfrac52 < x < \dfrac52$
E. $\dfrac{2x-1}{2x-5}$ dengan $\dfrac32 < x < \dfrac52$

Pembahasan

Deret geometri itu memiliki suku pertama $|A|$ dan rasionya juga $|A|$, di mana $|A| = \dfrac{1}{2}x -\dfrac14$
Agar konvergen, nilai mutlak rasio deret itu harus bernilai kurang dari 1. Untuk membedakan notasi nilai mutlak dan determinan, selanjutnya digunakan $\det(A)$ yang menyatakan determinan $A$.
Dengan demikian, syarat konvergen deret itu diberikan oleh
$\begin{aligned} & r = |\det(A)| < 1 \\ & \left|\dfrac{1}{2}x – \dfrac14\right| < 1 \\ & -1 < \dfrac{1}{2}x – \dfrac14 < 1 \\ & -1 + \dfrac14 < \dfrac{1}{2}x < 1 + \dfrac14 \\ & -\dfrac34 < \dfrac{1}{2}x < \dfrac54 \\ & -\dfrac32 < x < \dfrac52 \end{aligned}$
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{\det(A)}{1- \det(A)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}x -\frac14}{1 -\left(\frac{1}{2}x- \frac14\right)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}x -\frac14}{\frac54 -\frac{1}{2}x} \\ \text{Kalikan}&~4~\text{pada_pembilang dan_penyebut} \\ & = \dfrac{2x -1}{5- 2x} \\ & = -\dfrac{2x-1}{2x-5} \end{aligned}$
Jadi, deret geometri $|A| + |A|^2 + |A|^3 + \cdots$ akan konvergen ke $\boxed{-\dfrac{2x-1}{2x-5}}$ dengan $-\dfrac32 < x < \dfrac52$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $8$ meter. Bola memantul ke atas setelah mengenai lantai dengan ketinggian $\dfrac35$ dari ketinggian semula, begitu seterusnya. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah $\cdots$ m. 
A. $18$                    C. $26$                    E. $36$
B. $22$                    D. $32$      

Pembahasan

Kasus ini merupakan kasus deret geometri tak hingga
Alternatif I:
Diketahui: 
(Untuk lintasan bola ke bawah) 
$a = 8$ dan $r = \dfrac35$
(Untuk lintasan bola ke atas) 
$a = 8 \times \dfrac35 = \dfrac{24}{5}$ dan $r = \dfrac35$ 
Panjang lintasan bola ke arah bawah dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{1} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{8}{1 -\frac35} \\ & = \dfrac{8}{\frac25} = 8 \times \dfrac52 = 20 \end{aligned}$
Panjang lintasan bola ke arah atas dapat ditentukan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_{2} & = \dfrac{a} {1-r} = \dfrac{\frac{24}{5}}{1- \frac35} \\ & = \dfrac{\frac{24}{5}}{\frac25} = \dfrac{24}{5} \times \dfrac52 = 12 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $\boxed{20 + 12 = 32~\text{m}}$
Alternatif II:
Untuk kasus jatuhnya bola seperti soal ini, terdapat rumus khususnya, yaitu 
$\boxed{\text{S}_{\infty} = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right)}$
di mana $h$ adalah ketinggian dijatuhkannya bola, $a$ ketinggian bola setelah pemantulan pertama, dan $r$ rasionya. 
Diketahui: $h = 8, a = 8 \cdot \dfrac35 = \dfrac{24}{5}$, dan $r = \dfrac35$. 
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = h + 2\left(\dfrac{a} {1-r}\right) \\ & = 8 + 2\left(\dfrac{\frac{24}{5}} {1 -\frac35}\right) \\ & = 8 + 2\left(\dfrac{\cancelto{12}{24}}{\bcancel{5}} \times \dfrac{\bcancel{5}}{\cancel{2}}\right) \\ & = 8 + 2(12) = 32 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $\boxed{20 + 12 = 32~\text{m}}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
$ABCD$ adalah sebuah persegi dengan panjang sisi 4 cm. Di dalam persegi $ABCD$ dibuat lagi persegi $A’B’C’D’$, kemudian di dalamnya lagi dibuat persegi lain, yaitu persegi $A”B”C”D”$, demikian hingga seterusnya sampai terdapat tak hingga banyaknya persegi seperti ilustrasi gambar di bawah. Jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah $\cdots$ cm.

A. $(64 + 32\sqrt{2})$
B. $(32 + 32\sqrt{2})$
C. $(36+16\sqrt{2})$
D. $(32+16\sqrt{2})$
E. $(32 + 12\sqrt{2})$

Pembahasan

Keliling persegi $ABCD$ adalah $4 \times 4 = 16$ cm. 
Panjang sisi persegi $A’B’C’D’$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$A’B’ = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ cm. 
Dengan demikian, keliling persegi $A’B’C’D’$ adalah $4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm. 
Panjang sisi persegi $A”B”C”D”$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras kembali, yaitu
$A”B” = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$ cm. 
Dengan demikian, keliling persegi $A’B’C’D’$ adalah $4 \times 2 = 8$ cm. 
Ternyata, jumlah nilai keliling persegi tersebut membentuk deret geometri tak hingga, yaitu
$16, 8\sqrt{2}, 8, \cdots$
dengan $a = 16$ dan $r = \dfrac{8\sqrt{2}} {16} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ & = \dfrac{16}{1- \frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \text{Kalikan}~&2~\text{pada_pembilang dan_penyebut} \\ & = \dfrac{32}{2 -\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{32}{2 -\sqrt{2}} \times \dfrac{2+\sqrt{2}} {2+\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{32(2+\sqrt{2})} {4 -2} \\ & = 32 + 16\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah $\boxed{32 + 16\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal SBMPTN Saintek Bidang Matematika) 
Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai minimum fungsi $f(x) = -x^3 + 3x + 2c$ untuk $-1 \leq x \leq 2$. Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $f'(0)$. Jika rasio deret geometri tersebut adalah $1-\sqrt{3}$, maka nilai $c$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                        C. $-\dfrac12$                      E. $\dfrac32$
B. $-\dfrac32$                      D. $\dfrac12$       

Pembahasan

Nilai minimum fungsi $f(x) = -x^3+3x+2c$ dapat ditentukan saat turunan pertamanya bernilai 0, yaitu
$\begin{aligned} f'(x) & = -3x^2 + 3 \\ 0 & = -3x^2 + 3 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Untuk menguji titik maksimum/minimumnya, gunakan turunan kedua. 
$f”(x) = -6x$
Substitusi $x = 1$, diperoleh $f”(1) = -6(1) = -6$ (minimum) 
Substitusi $x = -1$, diperoleh $f”(-1) = -6(-1) = 6$ (maksimum) 
Sekarang, substitusi $x = 1$ pada $f(x)$, diperoleh
$f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2c = 2 + 2c$
yang berarti, $\text{S}_{\infty} = 2+2c$
Diketahui bahwa selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $f'(0)$ dan $r =1-\sqrt{3}$, ditulis
$\begin{aligned} \text{U}_2 -\text{U}_1 & = f'(0) \\ ar -a & = -3(0)^2 + 3 \\ a(r- 1) & = 3 \\ a (1 -\sqrt{3} -1) & = 3 \\ a & = \dfrac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \end{aligned}$
Dengan menggunakan jumlah deret geometri tak hingga, didapat
$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{a} {1-r} \\ 2+2c & = \dfrac{-\sqrt{3}} {1 -(1 -\sqrt{3})} \\ 2+2c & = -1 \\ 2c & = -3 \\ c & = -\dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac32}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika