Pada zaman dahulu, orang-orang “beruntung” menemui masalah dalam hidupnya terkait sisa hasil bagi. Hal ini terjadi ketika mereka tidak mengetahui banyaknya barang yang dimiliki, tetapi mereka memiliki sejumlah informasi bahwa jika banyaknya barang itu dibagi dengan sejumlah bilangan, maka akan menghasilkan sisa-sisa tertentu. Kebanyakan orang mungkin akan melakukan perhitungan coba-coba, kadang terselesaikan dengan cepat, kadang juga lambat, bahkan sampai tidak ditemukan solusi.
Sebuah kisah tentang seorang nenek pembawa telur berikut mungkin akan menjadi pengantar kita bersama.
Cerita Nenek dan Telurnya
Seorang nenek pergi ke pasar dengan membawa keranjang berisikan beberapa telur. Saat nenek meletakkannya di permukaan tanah, tiba-tiba seorang pemuda datang dan menginjak telur-telur itu secara tidak sengaja hingga pecah semua.
Pemuda itu meminta maaf kepada nenek dan ingin mengganti kerugian nenek. Ia pun bertanya, “Nek, berapa telur yang ada di dalam keranjang Nenek tadi? Saya ingin menggantinya.” Nenek tidak tahu berapa banyak telur di dalam keranjang karena ia tidak pernah menghitungnya. Beruntung, saat di rumah, nenek sempat menyusun telur-telur itu dalam rak telur. Saat nenek menyusun telur pada rak dengan jumlah yang sama, akan ada butir telur yang tersisa. Saat nenek menyusun telur pada rak dengan jumlah yang sama, akan ada butir telur yang tersisa. Saat nenek menyusun telur pada rak dengan jumlah yang sama, ternyata masih ada butir telur tersisa. Pemuda itu pun kebingungan dengan “teka-teki” nenek tersebut.
Sebelum mempelajari teorema sisa Cina, Anda diwajibkan (WAJIB! Tidak ada kompromi) mempelajari materi kongruensi modulo dan invers modulo terlebih dahulu. Salah satu referensi dapat dilihat pada tautan berikut ini.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kongruensi Modulo
Pada tahun 1809, ketika menganalisis batu yang disebut Pallas, Carl Friedrich Gauss menemukan kembali metode yang digunakan orang Tiongkok sejak dahulu yang sekarang dikenal sebagai teorema sisa Cina. Jauh sebelum itu, sekitar abad ke-6 M, teorema sisa Cina telah digunakan dalam astronomi Cina Kuno untuk mengukur pergerakan planet.
Menurut catatan sejarah, masalah pertama terkait TSC tertulis pada buku karya Jenderal Sun Tzu (544 SM–496 SM) atau juga dikenal sebagai Master Sun. Dalam bukunya yang berjudul “Sun-tzu Suan-ching”, ia menuliskan persoalan berikut.
“Ada barang yang jumlahnya tidak diketahui. Jika kita membaginya dengan , maka tersisa . Jika kita membaginya dengan , maka tersisa . Jika kita membaginya dengan , maka tersisa . Berapa jumlah barang itu?”
Di buku tersebut hanya tertulis soal seperti itu tanpa solusi sehingga menimbulkan ketertarikan untuk menyelesaikannya.
Sekitar abad ke-6 M, suatu algoritma untuk menyelesaikan permasalahan Sun Tzu ditemukan. Algoritma tersebut melibatkan konsep kongruensi modulo dan sekarang kita kenal sebagai teorema sisa Cina (Chinese remainder theorem). Disebut “Cina” karena permasalahan pertama terkait teorema tersebut ditemukan di Negeri Tirai Bambu tersebut.
Teorema Sisa Cina
Misalkan adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga untuk . Sistem kongruensi linear satu variabel
mempunyai solusi simultan yang tunggal modulo bilangan bulat.
Bukti
Bentuklah hasil kali Untuk setiap misalkan yang sama dengan tetapi faktor -nya dihilangkan.
Diketahui bahwa dengan Artinya, dan relatif prima. Dengan demikian,
Berdasarkan teorema kongruensi linear, kita dapat menyelesaikan kongruensi Sebut saja sebagai solusi tunggalnya. Tujuan kita adalah untuk membuktikan bahwa
adalah solusi simultan dari sistem yang diberikan.
Pertama, amati bahwa untuk Karena kita peroleh
Pilih bilangan bulat sedemikian sehingga
Oleh karena itu, kita dapatkan
Ini menunjukkan bahwa sistem kongruensi tersebut memiliki solusi.
Untuk menunjukkan ketunggalannya, ambil sembarang bilangan bulat yang memenuhi sistem kongruensi tersebut sehingga
dan untuk setiap nilai . Karena , diperoleh , yang berakibat .
[collapse]
Adapun langkah-langkah menyelesaikan persoalan yang melibatkan teorema sisa Cina adalah sebagai berikut.
- Nyatakan permasalahan dalam sistem kongruensi linear berikut.
- Pastikan bahwa dan semuanya saling relatif prima (memiliki FPB ). Jika tidak, cobalah sederhanakan kongruensinya dengan menggunakan sifat-sifat kongruensi modulo. Namun, jika sudah dalam bentuk paling sederhana, sistem tersebut tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema sisa Cina.
- Tuliskan dan selesaikan invers modulo tersebut.
- Nyatakan solusi sistem sebagai
Permasalahan mengenai telur nenek di atas dapat dimodelkan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Untuk , diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Catatan: Ekspresi tanda pangkat di atas menyatakan invers modulo. Sebaiknya, Anda pelajari terlebih dulu pada tautan di atas jika Anda masih belum memahami bagaimana cara mendapatkan bilangan , dan di atas.
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, kemungkinan banyaknya telur nenek adalah butir, bisa juga butir, dan seterusnya. Tentu saja, nenek dapat memperkirakan seberapa banyak telurnya, meskipun tidak persis. Ini artinya, permasalahan telur nenek telah terselesaikan.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclides
Perhatikan dan pahami bagaimana contoh di atas bekerja mengikuti TSC. Sekarang, kita akan membahas soal-soal terkait TSC. Anda bisa mencoba mengerjakan dengan mengikuti alur pengerjaan di atas. Apabila Anda mengalami kebuntuan, silakan cermati pembahasannya.
Today Quote
Mempelajari sejarah adalah salah satu cara kita untuk menghindari kesalahan masa lalu terulang dan mencoba mengulang kesuksesan di masa lalu.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Seorang peternak memiliki sejumlah sapi. Jika ia memasukkan ekor sapi masing-masing ke dalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada ekor sapi yang tidak masuk kandang. Jika ia memasukkan ekor sapi masing-masing ke dalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada ekor sapi yang tidak masuk kandang. Banyaknya sapi yang dimiliki peternak tersebut paling sedikit adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
Ini berarti, banyaknya sapi paling sedikit adalah ekor.
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 2
Misalkan adalah himpunan solusi dari sistem kongruensi
Jika adalah bilangan bulat positif terkecil dari dan adalah bilangan bulat positif terbesar dari dengan , maka nilai
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui
Kongruensi dapat disederhanakan menjadi
sedangkan Kongruensi dapat disederhanakan menjadi
Jadi, sistem kongruensi tersebut kita tulis ulang sebagai
Karena Kongruensi dan dapat disatukan sehingga diperoleh
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Selanjutnya, kita gunakan teorema sisa Cina.
Untuk , diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah , atau dapat ditulis untuk setiap
Nilai tercapai saat sehingga
Nilai tercapai saat sehingga
Dengan demikian, nilai
(Jawaban C)
[collapse]
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Diophantine
Soal Nomor 3
Bilangan berikut yang jika dibagi , dan berturut-turut memberi sisa , dan adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Nyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah Ini berarti, semua bilangan bulat yang memenuhi kongruensi adalah jawabannya. Pada pilihan B, jelas bahwa memenuhi.
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 4
Misalkan adalah himpunan bilangan bulat yang jika dibagi , bersisa 1; jika dibagi , bersisa ; dan jika dibagi , bersisa Berapa banyak bilangan bulat pada interval yang menjadi anggota ?
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Nyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa sehingga harus dilakukan penyederhanaan lebih dulu.
Dari Kongruensi dan diperoleh untuk suatu bilangan bulat Sederhanakan dan kita akan peroleh Ini menunjukkan bahwa nilai bergantung pada nilai . Apa pun nilai bulat , juga akan bulat. Oleh karena itu, kedua kongruensi tersebut disederhanakan menurut Kongruensi , yakni Kita peroleh
Sekarang, relatif prima satu sama lain.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah Karena , haruslah dengan kardinalitas
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 5
Misalkan adalah bilangan digit yang didapat dengan cara menuliskan bilangan sampai secara berurutan. Berapakah sisa hasil bagi oleh ?
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Perhatikan bahwa . Berdasarkan sifat keterbagian, bilangan habis dibagi apabila jumlah digit-digit penyusun bilangan tersebut juga habis dibagi sedangkan bilangan habis dibagi jika satuannya atau . Dari sini, kita juga sekaligus dapat menentukan sisa hasil baginya jika tidak habis dibagi.
Cek jumlah digit-digit penyusun , yaitu
Jelas bahwa hasilnya habis dibagi karena salah satu faktornya, , habis dibagi
Kita peroleh,
Selanjutnya, memiliki satuan sehingga .
Kita peroleh dua kongruensi linear yang membentuk sebuah sistem.
Gunakan teorema sisa Cina untuk menyelesaikan sistem kongruensi linear di atas.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Catatan: dan tidak perlu dicari lagi karena hasil kalinya dengan tetap
Berikutnya, diperoleh .
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah Ini menunjukkan bahwa memiliki sisa jika dibagi
(Jawaban C)
[collapse]
Baca Juga: Perhitungan Modulo pada ISBN
Soal Nomor 6
Dalam bentuk desimal, bilangan terdiri dari buah angka Jika dibagi maka sisanya
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikan bahwa
Berdasarkan pola yang ada, haruslah
Misalkan Perhatikan bahwa Gunakan teorema sisa Cina dengan menganggap sebagai salah satu solusi dari sistem kongruensi modulo, yaitu
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, dibagi oleh bersisa Artinya, dibagi oleh bersisa
(Jawaban C)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Carilah solusi dari sistem kongruensi linear berikut.
Pembahasan
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi. Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
[collapse]
Soal Nomor 2
Para tentara sedang berbaris di lapangan. Komandan menyusun barisan tentara dalam beberapa formasi.
- Jika tentara disusun per baris, maka tersisa tentara.
- Jika tentara disusun per baris, maka tersisa tentara.
- Jika tentara disusun per baris, maka tersisa tentara.
Paling sedikit berapa banyak tentara di lapangan tersebut (tidak termasuk komandan)?
Pembahasan
Misalkan menyatakan banyaknya tentara di lapangan. Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
Ini berarti, paling sedikit ada tentara di lapangan tersebut.
[collapse]
Soal Nomor 3
Seorang petani memiliki tiga sistem irigasi berbeda yang dibutuhkan untuk menyiram masing-masing area persawahan. Sistem pertama secara otomatis menyiram area persawahan setiap hari, sistem kedua hari, dan sistem ketiga hari. Petani tersebut juga mengetahui bahwa sistem pertama menyiram area persawahan pada hari ini (hari ke-0), sistem kedua hari yang lalu (hari ke-1), dan sistem ketiga hari yang lalu (hari ke-4). Petani tersebut hendak mengetahui hari berikutnya ketika ketiga sistem irigasi tersebut bekerja secara bersamaan.
Pembahasan
Dengan menggunakan teorema sisa Cina, kita dapat menentukan hari ke- terkecil sehingga ketiga sistem irigasi yang dimaksud bekerja bersamaan. Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
Ini berarti, hari berikutnya ketika ketiga sistem irigasi tersebut bekerja secara bersamaan adalah hari ke-9.
[collapse]
Soal Nomor 4
Tiga bus, Bus A, Bus B, dan Bus C, berangkat dari terminal keberangkatan pada selang waktu yang berbeda-beda. Bus A berangkat setiap 6 jam, Bus B 7 jam, dan Bus C 11 jam. Diketahui Bus A meninggalkan terminal pada pukul 12.00 hari ini, Bus B pukul 16.00 hari ini, dan Bus C pukul 21.00 hari ini. Manajer terminal hendak mengetahui waktu paling awal saat ketiga bus tersebut berangkat secara bersamaan dari terminal keberangkatan. Selesaikan permasalahan tersebut dengan menggunakan teorema sisa Cina.
Pembahasan
Dengan menggunakan teorema sisa Cina, kita dapat menentukan waktu paling awal (dalam jam) sehingga ketiga bus tersebut berangkat secara bersamaan dari terminal keberangkatan. Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut dengan berpegang pada asumsi bahwa titik awal (0) disepakati pada pukul 12.00.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
Ini berarti, ketiga bus akan berangkat secara bersamaan dari terminal keberangkatan jam mendatang terhitung sejak pukul 12.00 hari ini. Dengan kata lain, ketiga bus akan berangkat secara bersamaan dari terminal keberangkatan saat 18 hari + 6 jam mendatang terhitung sejak hari ini.
[collapse]
Soal Nomor 5
Seorang jenderal menghitung banyaknya prajurit yang selamat dari suatu pertempuran dengan mengatur mereka dalam barisan yang terdiri dari sejumlah orang. Sebelumnya, jenderal itu memimpin prajurit dalam perang tersebut.
- Jika disusun dalam baris berbanjar , maka prajurit tidak memiliki baris.
- Jika disusun dalam baris berbanjar , maka prajurit tidak memiliki baris.
- Jika disusun dalam baris berbanjar , maka prajurit tidak memiliki baris.
- Jika disusun dalam baris berbanjar , maka tidak ada prajurit yang tersisa.
Berapa banyak tentara yang selamat?
Pembahasan
Misalkan menyatakan banyaknya tentara yang selamat (dan ikut berbaris). Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Catatan: Perhatikan bahwa kita tidak perlu menghitung dan karena bernilai sehingga hasil perkaliannya nanti pasti
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
Karena (jumlah tentara semula), jumlah tentara yang selamat sebanyak orang.
[collapse]
Soal Nomor 6
Aku adalah bilangan terkecil yang jika dibagi bersisa ; jika dibagi bersisa ; jika dibagi , bersisa ; dan jika dibagi , bersisa
Bilangan berapakah aku?
Pembahasan
Misalkan menyatakan bilangan “aku”. Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah . Karena aku adalah bilangan terkecil yang memenuhi kriteria di atas, aku adalah bilangan
[collapse]
Soal Nomor 7
Di dalam akuarium besar, terdapat sejumlah ikan cupang. Jika ikan cupang tersebut dikeluarkan dengan pengambilan sebanyak atau ekor setiap waktu, akan ada ekor ikan cupang yang tersisa. Namun, jika pengambilan ikan dilakukan sebanyak ekor setiap waktu, tidak ada ikan cupang yang tersisa di dalam akuarium tersebut. Berapa ekor ikan cupang di dalam akuarium tersebut jika diketahui banyaknya ikan tidak melebihi ekor?
Pembahasan
Misalkan menyatakan banyaknya ikan cupang di dalam akuarium. Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
Perhatikan bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Catatan: Perhatikan bahwa kita tidak perlu menghitung dan karena bernilai sehingga hasil perkaliannya nanti pasti
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
Karena diketahui bahwa banyaknya ikan tidak melebihi ekor, satu-satunya nilai yang memenuhi adalah Artinya, banyaknya ikan cupang di dalam akuarium tersebut adalah ekor.
[collapse]