Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Sisa Cina

Chinese remainder theorem

Pada zaman dahulu, orang-orang “beruntung” menemui masalah dalam hidupnya terkait sisa hasil bagi. Hal ini terjadi ketika mereka tidak mengetahui banyaknya barang yang dimiliki, tetapi mereka memiliki sejumlah informasi bahwa jika banyaknya barang itu dibagi dengan sejumlah bilangan, maka akan menghasilkan sisa-sisa tertentu. Kebanyakan orang mungkin akan melakukan perhitungan coba-coba, kadang terselesaikan dengan cepat, kadang juga lambat, bahkan sampai tidak ditemukan solusi.

Sebuah kisah tentang seorang nenek pembawa telur berikut mungkin akan menjadi pengantar kita bersama.

Cerita Nenek dan Telurnya

Seorang nenek pergi ke pasar dengan membawa keranjang berisikan beberapa telur. Saat nenek meletakkannya di permukaan tanah, tiba-tiba seorang pemuda datang dan menginjak telur-telur itu secara tidak sengaja hingga pecah semua.
Pemuda itu meminta maaf kepada nenek dan ingin mengganti kerugian nenek. Ia pun bertanya, “Nek, berapa telur yang ada di dalam keranjang Nenek tadi? Saya ingin menggantinya.” Nenek tidak tahu berapa banyak telur di dalam keranjang karena ia tidak pernah menghitungnya. Beruntung, saat di rumah, nenek sempat menyusun telur-telur itu dalam rak telur. Saat nenek menyusun telur pada 3 rak dengan jumlah yang sama, akan ada 2 butir telur yang tersisa. Saat nenek menyusun telur pada 5 rak dengan jumlah yang sama, akan ada 3 butir telur yang tersisa. Saat nenek menyusun telur pada 7 rak dengan jumlah yang sama, ternyata masih ada 2 butir telur tersisa. Pemuda itu pun kebingungan dengan “teka-teki” nenek tersebut.

Sebelum mempelajari teorema sisa Cina, Anda diwajibkan (WAJIB! Tidak ada kompromi) mempelajari materi kongruensi modulo dan invers modulo terlebih dahulu. Salah satu referensi dapat dilihat pada tautan berikut ini.

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kongruensi Modulo

Pada tahun 1809, ketika menganalisis batu yang disebut Pallas, Carl Friedrich Gauss menemukan kembali metode yang digunakan orang Tiongkok sejak dahulu yang sekarang dikenal sebagai teorema sisa Cina. Jauh sebelum itu, sekitar abad ke-6 M, teorema sisa Cina telah digunakan dalam astronomi Cina Kuno untuk mengukur pergerakan planet.

Menurut catatan sejarah, masalah pertama terkait TSC tertulis pada buku karya Jenderal Sun Tzu (544 SM–496 SM) atau juga dikenal sebagai Master Sun. Dalam bukunya yang berjudul “Sun-tzu Suan-ching”, ia menuliskan persoalan berikut.
“Ada barang yang jumlahnya tidak diketahui. Jika kita membaginya dengan 3, maka tersisa 2. Jika kita membaginya dengan 5, maka tersisa 3. Jika kita membaginya dengan 7, maka tersisa 2. Berapa jumlah barang itu?”
Di buku tersebut hanya tertulis soal seperti itu tanpa solusi sehingga menimbulkan ketertarikan untuk menyelesaikannya.

Sekitar abad ke-6 M, suatu algoritma untuk menyelesaikan permasalahan Sun Tzu ditemukan. Algoritma tersebut melibatkan konsep kongruensi modulo dan sekarang kita kenal sebagai teorema sisa Cina (Chinese remainder theorem). Disebut “Cina” karena permasalahan pertama terkait teorema tersebut ditemukan di Negeri Tirai Bambu tersebut.

Teorema Sisa Cina

Misalkan m1,m2,,mr adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga FPB(mi,mj)=1 untuk ij. Sistem kongruensi linear satu variabel
{xa1 (mod m1)xa2 (mod m2)xar (mod mr)mempunyai solusi simultan yang tunggal modulo bilangan bulat.

Bukti

Adapun langkah-langkah menyelesaikan persoalan yang melibatkan teorema sisa Cina adalah sebagai berikut.

  1. Nyatakan permasalahan dalam sistem kongruensi linear berikut. {xa1 (mod m1)xa2 (mod m2)xar (mod mr)
  2. Pastikan bahwa m1,m2,, dan mr semuanya saling relatif prima (memiliki FPB 1). Jika tidak, cobalah sederhanakan kongruensinya dengan menggunakan sifat-sifat kongruensi modulo. Namun, jika sudah dalam bentuk paling sederhana, sistem tersebut tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema sisa Cina. 
  3. Tuliskan xkMk1 (mod mk) dan selesaikan invers modulo tersebut.
  4. Nyatakan solusi sistem sebagai
    xi=1r(aiMixi) (mod M)(a1M1x1+a2M2x2++arMrxr) (mod M).

Permasalahan mengenai telur nenek di atas dapat dimodelkan dalam sistem kongruensi linear berikut.
{x2 (mod 3)x3 (mod 5)x2 (mod 7)Untuk M=3×5×7=105, diperoleh
M1=1053=35M2=1055=21M3=1057=15.Dengan demikian, diperoleh
y1351 (mod 3)2 (mod 3)y2211 (mod 5)1 (mod 5)y3151 (mod 7)1 (mod 7).Catatan: Ekspresi tanda pangkat 1 di atas menyatakan invers modulo. Sebaiknya, Anda pelajari terlebih dulu pada tautan di atas jika Anda masih belum memahami bagaimana cara mendapatkan bilangan 2,1, dan 1 di atas.
Berdasarkan teorema sisa Cina, kita dapatkan solusi
x(2352+3211+2151) (mod 105)(140+63+30) (mod 105)233 (mod 105)23 (mod 105).Jadi, kemungkinan banyaknya telur nenek adalah 23 butir, bisa juga 23+105=128 butir, dan seterusnya. Tentu saja, nenek dapat memperkirakan seberapa banyak telurnya, meskipun tidak persis. Ini artinya, permasalahan telur nenek telah terselesaikan.

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclides

     Perhatikan dan pahami bagaimana contoh di atas bekerja mengikuti TSC. Sekarang, kita akan membahas soal-soal terkait TSC. Anda bisa mencoba mengerjakan dengan mengikuti alur pengerjaan di atas. Apabila Anda mengalami kebuntuan, silakan cermati pembahasannya.

Today Quote

Mempelajari sejarah adalah salah satu cara kita untuk menghindari kesalahan masa lalu terulang dan mencoba mengulang kesuksesan di masa lalu.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Seorang peternak memiliki sejumlah sapi. Jika ia memasukkan 5 ekor sapi masing-masing ke dalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada 2 ekor sapi yang tidak masuk kandang. Jika ia memasukkan 6 ekor sapi masing-masing ke dalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada 4 ekor sapi yang tidak masuk kandang. Banyaknya sapi yang dimiliki peternak tersebut paling sedikit adalah
A. 18                 C. 22               E. 82
B. 20                 D. 52

Pembahasan

Soal Nomor 2

Misalkan A adalah himpunan solusi dari sistem kongruensi
{x1 (mod 2)2x2 (mod 5)10x5 (mod 15)Jika a adalah bilangan bulat positif terkecil dari A dan b adalah bilangan bulat positif terbesar dari A dengan b<1000, maka nilai a+b=
A. 960                       D. 984
B. 972                       E. 988
C. 982

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Diophantine

Soal Nomor 3

Bilangan berikut yang jika dibagi 3,5, dan 7 berturut-turut memberi sisa 1,2, dan 3 adalah
A. 42                 C. 62               E. 82
B. 52                 D. 72

Pembahasan

Soal Nomor 4

Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat yang jika dibagi 2, bersisa 1; jika dibagi 3, bersisa 2; dan jika dibagi 4, bersisa 3. Berapa banyak bilangan bulat pada interval [0,104] yang menjadi anggota S?
A. 433                   D. 833
B. 633                   E. 834
C. 832

Pembahasan

Soal Nomor 5

Misalkan N=12345678910114344 adalah bilangan 79 digit yang didapat dengan cara menuliskan bilangan 1 sampai 44 secara berurutan. Berapakah sisa hasil bagi N oleh 45?
A. 1                      C. 9                      E. 44
B. 4                      D. 18

Pembahasan

Baca Juga: Perhitungan Modulo pada ISBN 

Soal Nomor 6

Dalam bentuk desimal, bilangan N=99999999 terdiri dari 2.020 buah angka 9. Jika N dibagi 2.020, maka sisanya
A. 1.818                      D. 2.018
B. 1.918                      E. 2.019
C. 1.919

Pembahasan

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Carilah solusi dari sistem kongruensi linear berikut.
{x3 (mod 4)x2 (mod 3)x4 (mod 5)

Pembahasan

Soal Nomor 2

Para tentara sedang berbaris di lapangan. Komandan menyusun barisan tentara dalam beberapa formasi.

  1. Jika 4 tentara disusun per baris, maka tersisa 1 tentara.
  2. Jika 5 tentara disusun per baris, maka tersisa 2 tentara.
  3. Jika 7 tentara disusun per baris, maka tersisa 4 tentara.

Paling sedikit berapa banyak tentara di lapangan tersebut (tidak termasuk komandan)?

Pembahasan

Soal Nomor 3

Seorang petani memiliki tiga sistem irigasi berbeda yang dibutuhkan untuk menyiram masing-masing area persawahan. Sistem pertama secara otomatis menyiram area persawahan setiap 3 hari, sistem kedua 4 hari, dan sistem ketiga 5 hari. Petani tersebut juga mengetahui bahwa sistem pertama menyiram area persawahan pada hari ini (hari ke-0), sistem kedua 1 hari yang lalu (hari ke-1), dan sistem ketiga 4 hari yang lalu (hari ke-4). Petani tersebut hendak mengetahui hari berikutnya ketika ketiga sistem irigasi tersebut bekerja secara bersamaan. 

Pembahasan

Soal Nomor 4

Tiga bus, Bus A, Bus B, dan Bus C, berangkat dari terminal keberangkatan pada selang waktu yang berbeda-beda. Bus A berangkat setiap 6 jam, Bus B 7 jam, dan Bus C 11 jam. Diketahui Bus A meninggalkan terminal pada pukul 12.00 hari ini, Bus B pukul 16.00 hari ini, dan Bus C pukul 21.00 hari ini. Manajer terminal hendak mengetahui waktu paling awal saat ketiga bus tersebut berangkat secara bersamaan dari terminal keberangkatan. Selesaikan permasalahan tersebut dengan menggunakan teorema sisa Cina.

Pembahasan

Soal Nomor 5

Seorang jenderal menghitung banyaknya prajurit yang selamat dari suatu pertempuran dengan mengatur mereka dalam barisan yang terdiri dari sejumlah orang. Sebelumnya, jenderal itu memimpin 1.200 prajurit dalam perang tersebut.

  1. Jika disusun dalam baris berbanjar 5, maka 3 prajurit tidak memiliki baris.
  2. Jika disusun dalam baris berbanjar 6, maka 3 prajurit tidak memiliki baris.
  3. Jika disusun dalam baris berbanjar 7, maka 1 prajurit tidak memiliki baris.
  4. Jika disusun dalam baris berbanjar 11, maka tidak ada prajurit yang tersisa.

Berapa banyak tentara yang selamat?

Pembahasan

Soal Nomor 6

Aku adalah bilangan terkecil yang jika dibagi 5, bersisa 4; jika dibagi 6, bersisa 3; jika dibagi 11, bersisa 9; dan jika dibagi 17, bersisa 2.
Bilangan berapakah aku?

Pembahasan

Soal Nomor 7

Di dalam akuarium besar, terdapat sejumlah ikan cupang. Jika ikan cupang tersebut dikeluarkan dengan pengambilan sebanyak 2,3,5, atau 7 ekor setiap waktu, akan ada 1 ekor ikan cupang yang tersisa. Namun, jika pengambilan ikan dilakukan sebanyak 11 ekor setiap waktu, tidak ada ikan cupang yang tersisa di dalam akuarium tersebut. Berapa ekor ikan cupang di dalam akuarium tersebut jika diketahui banyaknya ikan tidak melebihi 2.500 ekor?

Pembahasan