Teorema Ptolemy Archives — Mathcyber1997

Salah satu teorema dalam ranah geometri yang kerap kali dimunculkan dalam pembelajaran di kelas (terutama kelas 8 SMP) adalah teorema Ptolemy. Teorema ini kadang tidak disebutkan namanya seperti itu. Ptolemy (atau lengkapnya, Claudius Ptolemy) adalah nama seorang astronom dan matematikawan terkemuka berkebangsaan Yunani. Beliau merumuskan teorema ini untuk membuat tabel busur (table of chords), yaitu tabel trigonometri yang dipakai dalam pengukuran astronomis. Oleh karenanya, teorema ini sekarang dikenal sebagai teorema Ptolemy (Ptolemy’s theorem)

Teorema Ptolemy

Diberikan sebuah segi empat tali busur (cyclic quadrilateral)

A B C D

seperti gambar berikut.

Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jumlah dari hasil kali panjang sisi-sisi yang berseberangan sama dengan hasil kali panjang diagonalnya. Secara matematis, ditulis

A B \times C D + A D \times B C = A C \times B D

Ada istilah yang perlu digarisbawahi dari pernyataan di atas, yaitu segi empat tali busur. Segi empat tali busur ialah bangun datar bersisi empat yang keempat sisinya itu dibentuk dari tali busur suatu lingkaran. Bunyi teorema Ptolemy di atas menunjukkan bahwa teorema ini memberi hubungan panjang setiap sisi dari segi empat tali busur lingkaran dengan panjang kedua diagonalnya.

Pembuktian Teorema Ptolemy Menggunakan Prinsip Kesebangunan

Pada sembarang segi empat tali busur lingkaran, buatlah titik $K$ pada diagonal $B D$ sehingga besar $∠ D A C = ∠ B A K$ .
Perhatikan bahwa $△ A B K$ sebangun dengan $△ A C D$ karena $∠ D A C = ∠ B A K$ dan $∠ A C D = ∠ A B D$ (keduanya sudut keliling sehingga sama besar). Dengan demikian, berlaku
$\frac{A C}{C D} = \frac{A B}{B K} \Leftrightarrow A C \cdot B K = A B \cdot C D (\dots 1)$ Selanjutnya perhatikan bahwa $△ A D K$ sebangun dengan $△ A B C$ karena $∠ D A K = ∠ B A C$ dan $∠ A D K = ∠ A C B$ (keduanya sudut keliling sehingga sama besar). Dengan demikian, berlaku
$\frac{D K}{A D} = \frac{B C}{A C} \Leftrightarrow A C \cdot D K = A D \cdot B C (\dots 2)$ Jumlahkan kedua persamaan yang telah diperoleh di atas sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} A C \cdot B K + A C \cdot D K & = A B \cdot C D + A D \cdot B C \\ A C \cdot (B K + D K) & = A B \cdot C D + A D \cdot B C \\ A C \cdot B D & = A B \cdot C D + A D \cdot B C \end{aligned}$ Jadi, teorema Ptolemy pun terbukti.

Pembuktian Teorema Ptolemy Menggunakan Aturan Kosinus

Perhatikan segi empat tali busur $A B C D$ berikut dengan $A B = a$ , $B C = b$ , $C D = c$ , $D A = d$ , $A C = m$ , dan $B D = n$ , serta $O$ titik pusat lingkaran.
Akan dibuktikan bahwa $m n = a c + b d$ .
Tinjau segitiga sembarang $A D C$ . Berdasarkan aturan kosinus, panjang $m$ dapat dicari sebagai berikut.
$m^{2} = c^{2} + d^{2} - 2 c d \cos ∠ A D C (\dots 1)$
Sekarang, tinjau segitiga sembarang $A B C$ . Berdasarkan aturan kosinus, panjang $m$ juga dapat dicari sebagai berikut.
$m^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos ∠ A B C$
Karena $A B C D$ segi empat tali busur, besar sudut yang berhadapan memiliki jumlah $180^{\circ}$ , artinya $\cos ∠ A B C$ $= \cos (180^{\circ} - ∠ A D C)$ $= - \cos A D C$ .
Karena itu,
$m^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos ∠ A D C (\dots 2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ , kita akan mengeliminasi besaran sudut $A D C$ dengan cara mengalikan $a b$ pada kedua ruas persamaan $(1)$ dan mengalikan $c d$ pada kedua ruas persamaan $(2)$ sehingga didapat
$\begin{array}{r} \begin{aligned} (a b) m^{2} & = a b (c^{2} + d^{2}) - 2 a b c d \cos ∠ A D C & (\dots 1) \\ (c d) m^{2} & = c d (a^{2} + b^{2}) + 2 a b c d \cos ∠ A D C & (\dots 2) \end{aligned} \\ + \end{array}$ $\begin{aligned} (a b + c d) m^{2} & = a b (c^{2} + d^{2}) + c d (a^{2} + b^{2}) \\ (a b + c d) m^{2} & = a b c^{2} + a b d^{2} + a^{2} c d + b^{2} c d \\ (a b + c d) m^{2} & = a c (b c + a d) + b d (a d + b c) \\ (a b + c d) m^{2} \\ (a b + c d) m^{2} & = (a c + b d) (a d + b c) \\ m^{2} & = \frac{(a c + b d) (a d + b c)}{a b + c d} \\ m & = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a d + b c)}{a b + c d}} & (\dots 3) \end{aligned}$ Sekarang dengan cara serupa, kita akan mencari panjang $n$ . Tinjau segitiga sembarang $B C D$ . Berdasarkan aturan kosinus, panjang $n$ dapat dicari sebagai berikut.
$n^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ B C D (\dots 4)$
Sekarang, tinjau segitiga sembarang $B A D$ . Berdasarkan Aturan kosinus, panjang $n$ juga dapat dicari sebagai berikut.
$n^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d \cos ∠ B A D$
Karena $A B C D$ segi empat tali busur, besar sudut yang berhadapan memiliki jumlah $180^{\circ}$ , artinya $\cos ∠ B A D =$ $\cos (180^{\circ} - ∠ B C D) =$ $- \cos B C D$ .
Karena itu,
$n^{2} = a^{2} + d^{2} + 2 a d \cos ∠ B C D (\dots 5)$
Dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ , kita akan mengeliminasi besaran sudut $B C D$ dengan cara mengalikan $a d$ pada kedua ruas persamaan $(1)$ dan mengalikan $b c$ pada kedua ruas persamaan $(2)$ sehingga didapat
$\begin{array}{r} \begin{aligned} (a d) n^{2} & = a d (b^{2} + c^{2}) - 2 a b c d \cos ∠ B D C & (\dots 4) \\ (b c) n^{2} & = b c (a^{2} + d^{2}) + 2 a b c d \cos ∠ B D C & (\dots 5) \end{aligned} \\ + \end{array}$ $\begin{aligned} (a d + b c) n^{2} & = a d (b^{2} + c^{2}) + b c (a^{2} + d^{2}) \\ (a d + b c) n^{2} & = a b^{2} d + a c^{2} d + a^{2} b c + b c d^{2} \\ (a d + b c) n^{2} & = a b (b d + a c) + c d (a c + b d) (a d + b c) n^{2} \\ (a d + b c) n^{2} & = (a b + c d) (a c + b d) \\ n^{2} & = \frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c} \\ n & = \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}} & (\dots 6) \end{aligned}$ Dari persamaan $(3)$ dan $(6)$ , kalikan sesuai posisi ruasnya.
$\begin{aligned} m n & = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a d + b c)}{a b + c d}} \cdot \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}} \\ m n & = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a d + b c)}{a b + c d} \cdot \frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}} \\ m n & = \sqrt{(a c + b d) (a c + b d)} \\ m n & = a c + b d \end{aligned}$ teorema Ptolemy pun terbukti.

Quote by Richard Feyman

If you want to master something, teach it.

Berikut ini disajikan sejumlah soal mengenai penerapan Teorema Ptolemy yang telah disertai pembahasannya.

Soal Nomor 1

Diketahui segi empat tali busur lingkaran $A B C D$ dengan $A B = 2$ , $B C = 3$ , $C D = 4$ , dan $D A = 5$ . Tentukan panjang diagonal $A C$ dan $B D .$

Pembahasan

Misal $A B = a = 2$ , $B C = b = 3$ , $C D = c = 4$ , dan $D A = d = 5$ . Dengan menggunakan cara langsung yang diturunkan dari pembuktian teorema Ptolemy menggunakan aturan kosinus di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} A C & = \sqrt{\frac{(a d + b c) (a c + b d)}{a b + c d}} \\ = \sqrt{\frac{(2 \times 5 + 3 \times 4) (2 \times 4 + 3 \times 5)}{2 \times 3 + 4 \times 5}} \\ = \sqrt{\frac{(10 + 12) (8 + 15)}{6 + 20}} \\ = \sqrt{\frac{22 \cdot 23}{26}} \\ \approx 4, 41 \end{aligned}$ Selanjutnya, panjang diagonal $B D$ dapat dicari dengan cara langsung seperti di atas atau dengan menggunakan teorema Ptolemy.
Cara Langsung:
$\begin{aligned} B D & = \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d)}{a d + b c}} \\ = \sqrt{\frac{(2 \times 3 + 4 \times 5) (2 \times 4 + 3 \times 5)}{2 \times 5 + 3 \times 4}} \\ = \sqrt{\frac{(6 + 20) (8 + 15)}{10 + 12}} \\ = \sqrt{\frac{26 \cdot 23}{22}} \\ \approx 5, 21 \end{aligned}$ Cara Ptolemy:
$\begin{aligned} B D & = \frac{a c + b d}{A C} \\ = \frac{2 \times 4 + 3 \times 5}{4, 41} \\ = \frac{8 + 15}{4, 41} \approx 5, 21 \end{aligned}$
Catatan: Hasil perhitungan di atas menggunakan kalkulator dengan pengambilan dua angka di belakang koma.
Jadi, panjang diagonal $A C$ dan $B D$ berturut-turut diperkirakan $4, 41$ dan $5, 21$ .

[collapse]

Soal Nomor 2

Apakah mungkin dapat dibuat sebuah segi empat tali busur lingkaran $A B C D$ sedemikian sehingga $A B = 17$ , $B C = 18$ , $C D = 29$ , $D A = 25$ , $A C = 41,$ dan $B D = 23$ ?

Pembahasan

Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jika pada segi empat tali busur lingkaran $A B C D$ berlaku
$A B \times C D + B C \times D A = A C \times B D$ Kita peroleh
$\begin{aligned} 17 \times 29 + 18 \times 25 & = 41 \times 23 \\ 493 + 450 & = 943 \\ 943 & = 943 \end{aligned}$
Meskipun pernyataan di atas sesuai dengan teorema Ptolemy, tetapi kita tidak cukup bukti untuk memutuskan bahwa segi empat tali busur seperti itu dapat dibuat pada lingkaran.
Tinjau segitiga $A B C$ dan gunakan ketaksamaan segitiga yang menyatakan bahwa jumlah panjang dua sisi selalu lebih besar dari panjang satu sisi lainnya.
Karena $A B + B C < A C$ , dalam hal ini $17 + 18 < 41$ sehingga melanggar ketaksamaan segitiga, disimpulkan bahwa segi empat tali busur seperti itu tidak dapat dibuat.

[collapse]

Soal Nomor 3

Titik $A, B, C$ , dan $D$ terletak pada sisi lingkaran sehingga keempat titik ini membentuk bangun layang-layang dengan $A B = D A = 8$ cm dan $B C = C D = 13$ cm. Tentukan luas layang-layang $A B C D$ tersebut.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Luas layang-layang dinyatakan oleh $L = \frac{A C \times B D}{2}$ .
Berdasarkan teorema Ptolemy, kita peroleh
$\begin{aligned} A C \times B D & = A B \times C D + B C \times D A \\ \frac{A C \times B D}{2} & = \frac{A B \times C D + B C \times D A}{2} \\ L & = \frac{8 \times 13 + 8 \times 13}{2} \\ L & = 8 \times 13 = 104 {cm}^{2} \end{aligned}$
Jadi, luas layang-layang $A B C D$ adalah $104 {cm}^{2}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Diberikan segi empat tali busur lingkaran $A B C D$ dengan $A B = 17$ , $B C = \frac{51}{4}$ , $C D = \frac{75}{4}$ , $A D = 10$ , dan $B D = 21$ . Jika panjang $B C$ adalah $\frac{a}{b}$ dengan $a, b$ relatif prima, maka nilai $\sqrt{a - b} = \dots \cdot$

Pembahasan

Berdasarkan teorema Ptolemy, kita peroleh
$\begin{aligned} A B \times C D + B C \times A D & = A C \times B D \\ 17 \times \frac{75}{4} + \frac{51}{4} \times 10 & = \frac{a}{b} \times 21 \\ \frac{1275}{4} + \frac{510}{4} & = \frac{a}{b} \times 21 \\ \frac{1785}{4} & = \frac{a}{b} \times 21 \\ \frac{1785^{85}}{4} \times \frac{1}{21} & = \frac{a}{b} \\ \frac{85}{4} & = \frac{a}{b} \end{aligned}$ Karena $(85, 4)$ relatif prima (artinya memiliki FPB 1), diperoleh $a = 85$ dan $b = 4$ sehingga nilai $\sqrt{a - b} = \sqrt{85 - 4} = \sqrt{81} = 9$

[collapse]

Tag: Teorema Ptolemy

Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Ptolemy

Teorema Ptolemy

Quote by Richard Feyman

Soal Nomor 1

Soal Nomor 2

Soal Nomor 3

Soal Nomor 4