Salah satu teorema dalam ranah geometri yang kerap kali dimunculkan dalam pembelajaran di kelas (terutama kelas 8 SMP) adalah teorema Ptolemy. Teorema ini kadang tidak disebutkan namanya seperti itu. Ptolemy (atau lengkapnya, Claudius Ptolemy) adalah nama seorang astronom dan matematikawan terkemuka berkebangsaan Yunani. Beliau merumuskan teorema ini untuk membuat tabel busur (table of chords), yaitu tabel trigonometri yang dipakai dalam pengukuran astronomis. Oleh karenanya, teorema ini sekarang dikenal sebagai teorema Ptolemy (Ptolemy’s theorem)
Teorema Ptolemy
Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jumlah dari hasil kali panjang sisi-sisi yang berseberangan sama dengan hasil kali panjang diagonalnya. Secara matematis, ditulis$$\boxed{AB \times CD + AD \times BC = AC \times BD}$$Ada istilah yang perlu digarisbawahi dari pernyataan di atas, yaitu segi empat tali busur. Segi empat tali busur ialah bangun datar bersisi empat yang keempat sisinya itu dibentuk dari tali busur suatu lingkaran. Bunyi teorema Ptolemy di atas menunjukkan bahwa teorema ini memberi hubungan panjang setiap sisi dari segi empat tali busur lingkaran dengan panjang kedua diagonalnya.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)
Pembuktian Teorema Ptolemy Menggunakan Prinsip Kesebangunan
Pada sembarang segi empat tali busur lingkaran, buatlah titik $K$ pada diagonal $BD$ sehingga besar $\angle DAC = \angle BAK$.
Perhatikan bahwa $\triangle ABK$ sebangun dengan $\triangle ACD$ karena $\angle DAC = \angle BAK$ dan $\angle ACD = \angle ABD$ (keduanya sudut keliling sehingga sama besar). Dengan demikian, berlaku
$$\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{AB}{BK} \Leftrightarrow AC \cdot BK = AB \cdot CD~~~~(\cdots 1)$$Selanjutnya perhatikan bahwa $\triangle ADK$ sebangun dengan $\triangle ABC$ karena $\angle DAK = \angle BAC$ dan $\angle ADK = \angle ACB$ (keduanya sudut keliling sehingga sama besar). Dengan demikian, berlaku
$$\dfrac{DK}{AD} = \dfrac{BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot DK = AD \cdot BC~~~~(\cdots 2)$$Jumlahkan kedua persamaan yang telah diperoleh di atas sehingga kita dapatkan
$$\begin{aligned} AC \cdot BK + AC \cdot DK & = AB \cdot CD + AD \cdot BC \\ AC \cdot (BK + DK) & = AB \cdot CD + AD \cdot BC \\ AC \cdot BD & = AB \cdot CD + AD \cdot BC \end{aligned}$$Jadi, teorema Ptolemy pun terbukti. $\blacksquare$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri
Pembuktian Teorema Ptolemy Menggunakan Aturan Kosinus
Perhatikan segi empat tali busur $ABCD$ berikut dengan $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$, $AC = m$, dan $BD = n$, serta $O$ titik pusat lingkaran.
Akan dibuktikan bahwa $mn = ac+bd$.
Tinjau segitiga sembarang $ADC$. Berdasarkan aturan kosinus, panjang $m$ dapat dicari sebagai berikut.
$m^2 = c^2+d^2-2cd \cos \angle ADC~~~(\cdots 1)$
Sekarang, tinjau segitiga sembarang $ABC$. Berdasarkan aturan kosinus, panjang $m$ juga dapat dicari sebagai berikut.
$m^2 = a^2+b^2-2ab \cos \angle ABC$
Karena $ABCD$ segi empat tali busur, besar sudut yang berhadapan memiliki jumlah $180^{\circ}$, artinya $\cos \angle ABC$ $= \cos (180^{\circ}-\angle ADC)$ $= -\cos ADC$.
Karena itu,
$m^2 = a^2+b^2+2ab \cos \angle ADC~~~(\cdots 2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita akan mengeliminasi besaran sudut $ADC$ dengan cara mengalikan $ab$ pada kedua ruas persamaan $(1)$ dan mengalikan $cd$ pada kedua ruas persamaan $(2)$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} (ab)m^2 & = ab(c^2+d^2)-2abcd \cos \angle ADC && (\cdots 1) \\ (cd)m^2 & = cd(a^2+b^2)+2abcd \cos \angle ADC && (\cdots 2) \end{aligned} \\ \rule{9.5 cm}{0.6pt} + \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (ab+cd)m^2 & = ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) \\ (ab+cd)m^2 & = abc^2+abd^2+a^2cd + b^2cd \\ (ab+cd)m^2 & = ac(bc+ad)+bd(ad+bc) \\ (ab+cd)m^2 \\ (ab+cd)m^2 & = (ac+bd)(ad+bc) \\ m^2 & = \dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd} \\ m & = \sqrt{\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} && (\cdots 3) \end{aligned}$$Sekarang dengan cara serupa, kita akan mencari panjang $n$. Tinjau segitiga sembarang $BCD$. Berdasarkan aturan kosinus, panjang $n$ dapat dicari sebagai berikut.
$n^2 = b^2+c^2-2bc \cos \angle BCD~~~(\cdots 4)$
Sekarang, tinjau segitiga sembarang $BAD$. Berdasarkan Aturan kosinus, panjang $n$ juga dapat dicari sebagai berikut.
$n^2 = a^2+d^2-2ad \cos \angle BAD$
Karena $ABCD$ segi empat tali busur, besar sudut yang berhadapan memiliki jumlah $180^{\circ}$, artinya $\cos \angle BAD =$ $\cos (180^{\circ}-\angle BCD) =$$ -\cos BCD$.
Karena itu,
$n^2 = a^2+d^2+2ad \cos \angle BCD~~~(\cdots 5)$
Dari persamaan $(4)$ dan $(5)$, kita akan mengeliminasi besaran sudut $BCD$ dengan cara mengalikan $ad$ pada kedua ruas persamaan $(1)$ dan mengalikan $bc$ pada kedua ruas persamaan $(2)$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} (ad)n^2 & = ad(b^2+c^2)-2abcd \cos \angle BDC && (\cdots 4) \\ (bc)n^2 & = bc(a^2+d^2)+2abcd \cos \angle BDC && (\cdots 5) \end{aligned} \\ \rule{9.5 cm}{0.6pt} + \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (ad+bc)n^2 & = ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2) \\ (ad+bc)n^2 & = ab^2d + ac^2d + a^2bc + bcd^2 \\ (ad+bc)n^2 & = ab(bd + ac) + cd(ac + bd) (ad+bc)n^2 \\ (ad+bc)n^2 & = (ab+cd)(ac+bd) \\ n^2 & = \dfrac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc} \\ n & = \sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} && (\cdots 6) \end{aligned}$$Dari persamaan $(3)$ dan $(6)$, kalikan sesuai posisi ruasnya.
$$\begin{aligned} mn & = \sqrt{\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} \cdot \sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} \\ mn & = \sqrt{\dfrac{(ac+bd)\cancel{(ad+bc)}}{\cancel{ab+cd}} \cdot \dfrac{\cancel{(ab+cd)}(ac+bd)}{\bcancel{ad+bc}}} \\ mn & = \sqrt{(ac+bd)(ac+bd)} \\ mn & = ac+bd \end{aligned}$$teorema Ptolemy pun terbukti. $\blacksquare$
Quote by Richard Feyman
Berikut ini disajikan sejumlah soal mengenai penerapan Teorema Ptolemy yang telah disertai pembahasannya.
Soal Nomor 1
Diketahui segi empat tali busur lingkaran $ABCD$ dengan $AB=2$, $BC=3$, $CD=4$, dan $DA=5$. Tentukan panjang diagonal $AC$ dan $BD.$
Misal $AB=a=2$, $BC=b=3$, $CD=c=4$, dan $DA=d=5$. Dengan menggunakan cara langsung yang diturunkan dari pembuktian teorema Ptolemy menggunakan aturan kosinus di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} AC & = \sqrt{\dfrac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(2 \times 5 + 3 \times 4)(2 \times 4 + 3 \times 5)}{2 \times 3 + 4 \times 5}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(10+12)(8+15)}{6+20}} \\ & = \sqrt{\dfrac{22 \cdot 23}{26}} \\ & \approx 4,41~\end{aligned}$$Selanjutnya, panjang diagonal $BD$ dapat dicari dengan cara langsung seperti di atas atau dengan menggunakan teorema Ptolemy.
Cara Langsung:
$$\begin{aligned} BD & = \sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(2 \times 3 + 4 \times 5)(2 \times 4 + 3 \times 5)}{2 \times 5 + 3 \times 4}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(6+20)(8+15)}{10+12}} \\ & = \sqrt{\dfrac{26 \cdot 23}{22}} \\ & \approx 5,21~\end{aligned}$$Cara Ptolemy:
$\begin{aligned} BD & = \dfrac{ac+bd}{AC} \\ & = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 5}{4,41} \\ &= \dfrac{8 + 15}{4,41} \approx 5,21 \end{aligned}$
Catatan: Hasil perhitungan di atas menggunakan kalkulator dengan pengambilan dua angka di belakang koma.
Jadi, panjang diagonal $AC$ dan $BD$ berturut-turut diperkirakan $4,41$ dan $5,21$.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)
Soal Nomor 2
Apakah mungkin dapat dibuat sebuah segi empat tali busur lingkaran $ABCD$ sedemikian sehingga $AB=17$, $BC=18$, $CD=29$, $DA=25$, $AC=41,$ dan $BD=23$?
Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jika pada segi empat tali busur lingkaran $ABCD$ berlaku
$$\boxed{AB \times CD + BC \times DA = AC \times BD}$$Kita peroleh
$\begin{aligned} 17 \times 29 + 18 \times 25 & = 41 \times 23 \\ 493 + 450 & = 943 \\ 943 & = 943 \end{aligned}$
Meskipun pernyataan di atas sesuai dengan teorema Ptolemy, tetapi kita tidak cukup bukti untuk memutuskan bahwa segi empat tali busur seperti itu dapat dibuat pada lingkaran.
Tinjau segitiga $ABC$ dan gunakan ketaksamaan segitiga yang menyatakan bahwa jumlah panjang dua sisi selalu lebih besar dari panjang satu sisi lainnya.
Karena $AB + BC < AC$, dalam hal ini $17 + 18 < 41$ sehingga melanggar ketaksamaan segitiga, disimpulkan bahwa segi empat tali busur seperti itu tidak dapat dibuat.
Soal Nomor 3
Titik $A, B, C$, dan $D$ terletak pada sisi lingkaran sehingga keempat titik ini membentuk bangun layang-layang dengan $AB=DA=8$ cm dan $BC=CD=13$ cm. Tentukan luas layang-layang $ABCD$ tersebut.
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Luas layang-layang dinyatakan oleh $L = \dfrac{AC \times BD}{2}$.
Berdasarkan teorema Ptolemy, kita peroleh
$\begin{aligned} AC \times BD & = AB \times CD + BC \times DA \\ \dfrac{AC \times BD}{2} & = \dfrac{AB \times CD + BC \times DA}{2} \\ L & = \dfrac{8 \times 13 + 8 \times 13}{2} \\ L & = 8 \times 13 = 104~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas layang-layang $ABCD$ adalah $\boxed{104~\text{cm}^2}$
Soal Nomor 4
Diberikan segi empat tali busur lingkaran $ABCD$ dengan $AB = 17$, $BC = \dfrac{51}{4}$, $CD = \dfrac{75}{4}$, $AD = 10$, dan $BD = 21$. Jika panjang $BC$ adalah $\dfrac{a}{b}$ dengan $a, b$ relatif prima, maka nilai $\sqrt{a-b} = \cdots \cdot$
Berdasarkan teorema Ptolemy, kita peroleh
$$\begin{aligned} AB \times CD + BC \times AD & = AC \times BD \\ 17 \times \dfrac{75}{4} + \dfrac{51}{4} \times 10 & = \dfrac{a}{b} \times 21 \\ \dfrac{1275}{4} + \dfrac{510}{4} & = \dfrac{a}{b} \times 21 \\ \dfrac{1785}{4} & = \dfrac{a}{b} \times 21 \\ \dfrac{\cancelto{85}{1785}}{4} \times \dfrac{1}{\cancel{21}} & = \dfrac{a}{b} \\ \dfrac{85}{4} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$$Karena $(85, 4)$ relatif prima (artinya memiliki FPB 1), diperoleh $a = 85$ dan $b = 4$ sehingga nilai $\boxed{\sqrt{a-b} = \sqrt{85-4} = \sqrt{81}= 9}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)