Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 2

Diketahui
$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}~~~~C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} (A+B)^{-1} \cdot C & = B^{-1} \\ C & = (A+B)B^{-1} \\ CB & = A + B \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

Diketahui matriks $P, Q,$ dan $R$ memenuhi persamaan $PQ-I=R$ dengan $I$ merupakan matriks identitas. Diketahui juga $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $R = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.$
Cek Pernyataan 1:
Karena $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},$ determinannya dinyatakan oleh
$$\det(P) = 2(1)-1(3) = -1.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Dari persamaan $PQ-I = R,$ diperoleh
$$\begin{aligned} PQ & = R + I \\ Q & = P^{-1}(R+I) \\ P & = \dfrac{1}{2(1)-1(3)} \begin{pmatrix} 1& -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \left(\begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \\ Q & = \begin{pmatrix} -1& 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & 19 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ Q & = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Karena $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$P-Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Karena $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$P+Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Diketahui $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Determinan matriks $P$ adalah $\det(P) = 2(1)-1(3) = -1.$ Ini berarti, inversnya adalah
$$P^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1& -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Matriks $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.$
• Invers matriks $P$ adalah $P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}.$
  
  [collapse]

Diketahui $f(x) = -2x^5 + 4x^4-x^2+8x-9.$
Cek Pernyataan 1:
Pada polinomial, suku utama adalah suku dengan variabel berpangkat paling tinggi. Dalam kasus ini, suku utama $f(x)$ adalah $-2x^5$ karena pangkat tertinggi polinomial tersebut adalah $5.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 salah karena seharusnya suku utamanya adalah $-2x^5,$ bukan $2x^5.$
Cek Pernyataan 2:
Substitusi $x = 2$ pada $f(2)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} f(2) & = -2(2)^5 + 4(2)^4-(2)^2 + 8(2)-9 \\ & = -64 + 64- 4 + 16-9 \\ & = 3. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel. Dalam kasus ini, polinomial tersebut memiliki konstanta $-9$ (operasi pengurangan dianggap sebagai tanda negatif). Dengan demikian, Pernyataan 3 salah karena seharusnya konstantanya $-9,$ bukan $9.$
Cek Pernyataan 4:
Pada polinomial, derajat adalah pangkat tertinggi variabelnya. Dalam kasus ini, polinomial tersebut memiliki pangkat tertinggi $5$ sehingga Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Substitusi $x = 1$ pada $f(1)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} f(1) & = -2(1)^5 + 4(1)^4-(1)^2 + 8(1)-9 \\ & = -2 + 4- 1 + 8-9 \\ & = 0. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

 Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Nilai fungsi $f(2) = 3.$
  
• Derajat polinomial tersebut adalah $5.$
• Salah satu nilai yang membuat $f(x) = 0$ adalah $1.$
  
  [collapse]

Misalkan $x$ menyatakan waktu kontrol (dalam detik). Diketahui $f(x) = 2x^3-5x^2+4x$ dan $g(x) = -x^3-2x^2+6x.$
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} h(x) & = f(x) + g(x) \\ & = (2x^3-5x^2+4x)+(-x^3-2x^2+6x) \\ & = x^3-7x^2+10x. \end{aligned}$$Ini berarti, $h(x) \neq x^3-3x^2+10x$ sehingga Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Untuk $h(x) = 0,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 0 & = x^3-7x^2+10x \\ 0 & = x(x^2-7x+10) \\ 0 & = x(x-2)(x-5). \end{aligned}$$Ini berarti, grafik fungsi tersebut memotong sumbu-$X$ di tiga titik berbeda, yaitu $(0, 0),$ $(2, 0),$ dan $(5, 0).$ Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Berdasarkan perhitungan sebelumnya, $h(2) = 0,$ begitu juga dengan $h(5).$ Dengan demikian, Pernyataan 3 juga benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Fungsi gabungan gerak robot adalah}~ h(x)=x^3-3x^2+10x. & & \checkmark \\ \hline \text{Grafik fungsi}~h(x)~\text{memotong sumbu-}X~\text{di tiga titik berbeda}. & \checkmark & \\ \hline \text{Robot akan berhenti saat detik ke-2 atau detik ke-5}. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$ Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0}-5(3+\sqrt{9+x}) \\ & =-5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & =-5(3 + 3) =-30. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}.$
(Jawaban A)

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan (dua kali berturut-turut), diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3} \times \dfrac{\sqrt{2x-2}+2}{\sqrt{2x-2}+2}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{(2x-2)-4}{3x-9} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{(x-3)}}{3\cancel{(x-3)}} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3(3)}+3}{\sqrt{2(3)-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{6}{4} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = 1}.$
(Jawaban D)

Diketahui segitiga $KLM$ yang memiliki koordinat titik $K(-1, -2),$ $L(5, -1),$ dan $M(2, 3)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ sehingga menghasilkan bayangan segitiga $K’L’M’.$
Cek Pernyataan 1:
Bayangan titik $K$ setelah ditranslasi oleh $T$ dinyatakan oleh
$$K’ = K + T = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Bayangan titik $L$ setelah ditranslasi oleh $T$ dinyatakan oleh
$$L’ = L + T = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 2 salah karena seharusnya hasil translasi titik $L$ adalah $L'(3, 1).$
Cek Pernyataan 3:
Bayangan titik $M$ setelah ditranslasi oleh $T$ dinyatakan oleh
$$M’ = M + T = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~K~\text{adalah}~K'(-3, 0). & \checkmark & \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~L~\text{adalah}~L'(7, 1). & & \checkmark \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~M~\text{adalah}~M'(0, 5). & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Diketahui prisma dengan alas berbentuk segitiga siku-siku. Tinggi prisma $t = 3x$ cm. Panjang sisi siku-siku alas adalah $(x+1)$ cm dan $(2x-2)$ cm. Sementara itu, volume prismanya adalah $V = 360~\text{cm}^3.$
Luas alas (luas segitiga siku-siku) dapat dihitung terlebih dahulu, yaitu $$L_A = \dfrac12(x+1)(2x-2) = (x+1)(x-1).$$Karena volumenya $V = 360~\text{cm}^3,$ diperoleh
$$\begin{aligned} V & = L_A \cdot t \\ 360 & = (x+1)(x-1) \cdot 3x \\ 120 & = (x-1)x(x+1). \end{aligned}$$Tiga bilangan berurutan yang hasil kalinya $120$ adalah $4, 5, 6.$ Ini berarti, nilai $x = 5.$
Cek Pernyataan 1:
Karena tinggi prisma $3x$ cm dan telah didapat $x = 5,$ diperoleh tingginya sama dengan $3(5) = 15$ cm. Dengan demikian, Pernyataan 1 salah karena seharusnya tinggi prisma tersebut adalah $15$ cm.
Cek Pernyataan 2:
Pada alas prisma, panjang sisi siku-sikunya adalah $x+1 = 5+1=6$ cm dan $2x-2 = 2(5)-2 = 8$ cm. Berdasarkan teorema Pythagoras, panjang hipotenusanya adalah $\sqrt{6^2+8^2} = 10$ cm. Keliling segitiganya menjadi $6+8+10 = 24$ cm. Ini berlaku untuk sisi alas maupun sisi atas prisma. Sementara itu, tinggi masing-masing rusuk penopang prisma adalah $t = 15$ cm. Ini berarti, panjang kerangka prisma dapat dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{panjang kerangka} & = 2 \cdot \text{keliling segitiga} + 3t \\ & = 2(24) + 3(15) \\ & = 48 + 45 \\ & = 93~\text{cm}. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Luas alas dan luas atas prisma adalah luas segitiga siku-siku, yaitu $L_A = \dfrac12(6)(8) = 24~\text{cm}^2.$ Sementara itu, total luas sisi tegak prisma adalah hasil kali keliling segitiga dengan tinggi prisma, yaitu $L_{S} = 24 \cdot 15 = 360~\text{cm}^2.$ Ini berarti, luas permukaan prisma dapat dihitung dengan cara
$$L_{\text{Prisma}} = 2 \cdot L_A + L_S = 2(24) + 360 = 408~\text{cm}^2.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang setuju dan tidak setujunya ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Setuju} & \textbf{Tidak Setuju} \\ \hline \text{Tinggi prisma adalah}~18~\text{cm}. & & \checkmark \\ \hline \text{Panjang kerangka prisma adalah}~93~\text{cm}. & \checkmark & \\ \hline \text{Luas permukaan prisma adalah}~408~\text{cm}^2. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Diketahui:
$\begin{aligned} ^{30} \log 3 &=a \\ ^{30} \log 5 & = b \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $30 = 2 \times 3 \times 5$. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^{30} \log 30 & = ^{30} \log (2 \times 3 \times 5) \\ ^{30} \log 30 & = ^{30} \log 2 + ^{30} \log 3 + ^{30} \log 5 \\ 1 & = ^{30} \log 2 + a + b \\ ^{30} \log 2 & =1-a-b \\ 2 \times ^{30} \log 2 & = 2(1-a-b) \\ ^{30} \log 4 & = 2(1-a-b) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{^{30} \log 4=2(1-a-b)}.$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 3^x$ sehingga
$\begin{aligned} f(a+2b-c) & = 3^{a+2b-c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot 3^{2b}}{3^c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot (3^{b})^2}{3^c} \\ & = \dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+2b-c) =\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}}$
(Jawaban C)

Diketahui suatu segi empat memiliki koordinat $K(2, 1),$ $L(5, 1),$ $M(5, 3),$ dan $N(2, 3)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap pusat $(0, 0).$ Hasil dilatasi titik $K$ adalah $K'(6, 3).$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} K’ & = k \cdot K \\ \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} & = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh persamaan $2k = 6$ sehingga $k = 3.$
Cek Pernyataan 1:
Dari perhitungan sebelumnya, segi empat tersebut didilatasikan dengan faktor skala $k = 3.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Dari perhitungan sebelumnya, segi empat tersebut didilatasikan dengan faktor skala $k = 3,$ bukan $k = 2.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Karena $L(5, 1)$ dan faktor skala dilatasinya $k = 3,$ diperoleh
$$L’ = k \cdot L = 3 \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \end{pmatrix}.$$Ini berarti, koordinat titik $L'(15, 3).$ Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Karena $M(5, 3)$ dan faktor skala dilatasinya $k = 3,$ diperoleh
$$M’ = k \cdot M = 3 \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 9 \end{pmatrix}.$$Ini berarti, koordinat titik $M'(15, 9).$ Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Karena $N(2, 3)$ dan faktor skala dilatasinya $k = 3,$ diperoleh
$$N’ = k \cdot N = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}.$$Ini berarti, absis titik $N’$ adalah $6,$ bukan $9.$ Dengan demikian, Pernyataan 5 salah.

 Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Segi empat didilatasikan dengan faktor skala $k = 3.$
• Koordinat titik $L'(15, 3).$
  
  [collapse]

Diketahui $|3x+2|+4x = 6$.
Jika $3x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac23$, maka $|3x+2| = 3x+2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (3x+2)+4x & = 6 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac23$).
Jika $3x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac23$, maka $|3x+2| = -3x-2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (-3x-2)+4x & = 6 \\ x & = 8 && (\text{X}) \end{aligned}$
(Tidak memenuhi syarat $x < -\frac23$).
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $x = \dfrac47$.
(Jawaban D)

Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan asimtot horizontal dari fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Perhatikan bahwa $$f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3} = \dfrac{(x-2)(x-5)}{(x-1)(x-3)}.$$Pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut tidak memiliki faktor bersama. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebutnya tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-4x+3 & = 0 \\ (x-1)(x-3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = 1$ dan $x = 3.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $f(x) = \dfrac{\color{blue}{1x^2}-7x+10}{\color{red}{1x^2}-4x+3}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-4 & = 0 \\ (x-2)(x+2) & = 0 \\ x = 2~\text{dan}~x & = -2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = \pm 2.$
Asimtot Horizontal:
Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut (pembilang: 0 dan penyebut: 2) sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu $X$ atau persamaan $y = 0.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, grafik $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki sumbu $X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal.
(Jawaban C)

Bentuk umum fungsi kosinus adalah $f(x) = a \cos kx$. karena $f(x) = -2 \cos 3x$, maka $a = -2$ dan $k = 3$.
Amplitudo grafiknya adalah $-(-a) = a = 2$ dan saat $x = 0^{\circ}$, nilai fungsinya adalah $f(0) = -2 \cos 3(0) = -2(1) = -2$
sehingga pilihan B, D, E tereliminasi.
Karena $k = 3$, maka periode fungsinya adalah 
$\begin{aligned} k &= \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \\ 3 & = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \Leftrightarrow \text{Periode} = \dfrac{2}{3}\pi \end{aligned}$
Pada pilihan A, periode grafiknya adalah $\pi -(-\pi) = 2\pi$, sedangkan pada pilihan C, periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut: dari titik $x = 0$ ke titik $x = \pi$ terdapat 1,5 gelombang (1,5 lembah; 1,5 bukit) sehingga periodenya adalah $\dfrac{\pi -0}{1,5} = \dfrac{2}{3}\pi.$
Jadi, grafik fungsi $f(x) = -2 \cos 3x$ ditunjukkan pada pilihan C.

Diberikan fungsi yang didefinisikan oleh $f(x) = -3 \cos (4x) + 1.$
Cek Pernyataan 1:
Daerah asal adalah himpunan semua bilangan $x$ yang membuat $f(x)$ terdefinisi atau memiliki nilai. Karena $x$ terikat pada fungsi kosinus, semua nilai $x$ akan membuat $f(x)$ terdefinisi. Ini berarti, domainnya adalah $D_f = \mathbb{R}.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Daerah hasil adalah himpunan semua nilai-nilai fungsi $f$ yang mungkin tercapai. Perhatikan bahwa $\cos (4x)$ memiliki nilai minimum $-1$ dan nilai maksimum $1.$ Saat $\cos (4x) = -1,$ diperoleh $f(-1) = -3(-1) + 1 = 4.$ Sementara itu, saat $\cos (4x) = 1,$ diperoleh $f(1) = -3(1)+1=-2.$ Ini berarti, $-2 \le f(x) \le 4$ sehingga daerah hasilnya adalah $R_f = \{y \mid -2 \le y \le 4, y \in \mathbb{R}\}.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Jika grafik fungsi $f$ tidak pernah memotong sumbu-$X,$ nilai $f$ tidak akan mungkin bernilai $0.$ Perhatikan bahwa jika $f(x) = 0,$ diperoleh
$$\begin{aligned} f(x) & = -3 \cos (4x) + 1 = 0 \\ \dfrac13 & = \cos (4x) \\ 4x & = \arccos \dfrac13 \\ x & = \dfrac{\arccos \frac13}{4}. \end{aligned}$$Ini berarti, ada nilai $x$ yang membuat $f(x) = 0.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.

 Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Daerah asal $f$ adalah $D_f = \mathbb{R}.$
  
• Daerah hasil $f$ adalah $R_f = \{y \mid -2 \le y \le 4, y \in \mathbb{R}\}.$
  
  [collapse]

Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T(3,-4)$ sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3,-4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y- 4 \end{pmatrix}.$
Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 2 sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x + 3 \\ y-4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y- 8 \end{pmatrix}.$
Dengan demikian,
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2} \\ y^{\prime \prime} = 2y-8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $3x+2y=6$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x^{\prime \prime}-6) + 2(y^{\prime \prime} + 8) & = 12 \\ 3x^{\prime \prime}-18 + 2y^{\prime \prime} + 16 & = 12 \\ 3x^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime} & = 14. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah $\boxed{3x+2y=14}.$
(Jawaban A)

Konsep translasi:
Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ sehingga koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$ 
Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix},$ diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’- 3\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4. \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}.$
(Jawaban A)

Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$
Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$
Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum (kanonik).
$$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ (x^2- 8x) + (y^2 + 6y)-20 & = 0 \\ (x- 4)^2-16 + (y+3)^2-9-20 & = 0 \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $(4,-3).$
Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,-3)$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y-(-3) & =-\dfrac{1}{2}(x- 4) \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$
Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya.
(Jawaban A)