Tes Kemampuan Akademik (TKA), atau academic ability test adalah salah satu bentuk asesmen yang dikembangkan oleh Pusat Asesmen dan Pembelajaran (Pusmendik), Kementerian Pendidikan Dasar dan Menengah, untuk memotret capaian akademik siswa secara objektif, terukur, dan adil. TKA pertama kali mulai diselenggarakan pada tahun 2025. TKA diselenggarakan sebagai asesmen sukarela yang dapat diikuti oleh siswa dari berbagai jenjang pendidikan. Kehadiran TKA didasarkan pada kebutuhan akan instrumen evaluasi yang terstandar secara nasional sehingga hasilnya tidak hanya menjadi gambaran pencapaian individu, tetapi juga dapat dipakai sebagai tolok ukur dalam mengidentifikasi posisi capaian belajar siswa dibandingkan dengan standar kompetensi yang berlaku. Dengan demikian, TKA tidak dimaksudkan sebagai ujian yang menimbulkan beban, melainkan sebagai sarana diagnosis akademik yang bermanfaat bagi siswa, guru, maupun sekolah.
Lebih jauh, TKA dirancang untuk mengukur kompetensi mendasar yang mencakup pengetahuan dan keterampilan akademik inti, seperti literasi membaca, literasi matematika (numerasi), serta kemampuan berpikir kritis dan pemecahan masalah yang berkaitan dengan berbagai mata pelajaran. Melalui soal-soal yang disusun secara sistematis dan terstandar, asesmen ini tidak hanya menilai kemampuan menghafal, tetapi juga menekankan pada keterampilan berpikir tingkat tinggi (higher order thinking skills). Hasil TKA kemudian dapat digunakan untuk memberikan umpan balik yang konstruktif, baik bagi siswa dalam mengidentifikasi kekuatan dan kelemahannya, maupun bagi guru dalam merancang strategi pembelajaran yang lebih tepat sasaran.
Selain itu, TKA juga memiliki peran strategis dalam mendukung kebijakan pendidikan nasional. Data hasil tes ini dapat menjadi sumber informasi yang kredibel bagi sekolah, pemerintah daerah, maupun pemangku kebijakan di tingkat pusat dalam merumuskan program peningkatan mutu pendidikan. Dengan adanya pelaporan capaian akademik yang bersifat individual, sekolah dapat mengetahui kebutuhan belajar siswanya secara lebih rinci, sementara orang tua dapat memahami perkembangan anaknya secara lebih objektif. Dengan kata lain, TKA hadir bukan hanya untuk menilai, tetapi juga untuk mendorong peningkatan kualitas pembelajaran, penguatan kompetensi dasar siswa, serta penciptaan ekosistem pendidikan yang lebih berkeadilan.
Secara teknis, TKA untuk level SMA dilaksanakan secara daring dengan menggunakan aplikasi CBT, sama seperti penyelenggaraan OSN dan ANBK. Untuk mengikuti TKA, murid SMA akan menghadapi 3 mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika, serta 2 dari 4 mata pelajaran pilihan yang mereka jalani sebelumnya. Sebagai contoh, jika seorang murid memilih mata pelajaran Sosiologi, Ekonomi, Matematika Tingkat Lanjut, dan Fisika saat pertama kali menginjak kelas XI, maka ia hanya boleh memilih 2 dari 4 mata pelajaran tersebut, misalnya Sosiologi dan Ekonomi, untuk diuji dalam TKA. Kebijakan ini mungkin bakal berubah sewaktu-waktu sehingga perlu ditelaah kembali.
Baca Juga: Materi, Soal, dan Kunci Jawaban – Penalaran Analisis
Untuk mempersiapkan TKA dengan lebih matang, berikut telah disediakan beberapa contoh soal dan pembahasan TKA mata pelajaran Matematika Tingkat Lanjut SMA yang selaras dengan kerangka kisi-kisi yang dikeluarkan pemerintah. Semoga dapat dijadikan sumber belajar untuk meningkatkan pemahaman.
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Today Quote.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix},$ $B = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix}$. Jika $A+B = C$, maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$ C. $-2$ E. $2$
B. $-3$ D. $1$
Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A + B & = C \\ \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3a + 2 &-2b-2 \\-2 &-4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix}\end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$$\begin{aligned} 3a + 2 = 5 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1. \\ -2b- 2 = 6 \Rightarrow -2b = 8 \Rightarrow b =-4. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $a+b$ adalah $\boxed{1+(-4) =-3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan matriks $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. Jika $(A+B)^{-1} \cdot C = B^{-1}$, matriks $A = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}-3 & 8 \\ 9 & 20 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 20 &-9 \\-8 & 3 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-3 &-9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
Diketahui
$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}~~~~C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} (A+B)^{-1} \cdot C & = B^{-1} \\ C & = (A+B)B^{-1} \\ CB & = A + B \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 3
Diketahui $f(x)$ jika dibagi $(x-2)$ bersisa $13,$ sedangkan jika dibagi oleh $(x+1)$ bersisa $-14.$ Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9x-7$ D. $9x+5$
B. $9x-5$ E. $-9x-5$
C. $-9x+5$
Diketahui:
$f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $13$;
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-14$.
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{cases} f(x) = (x-2)H_1(x) + 13 \\ f(x) = (x+1)H_2(x) -14 \end{cases}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan pertama dan kedua, diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 13\\ f(-1) & = -14 \end{cases}$
Misalkan sisa hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2-x-2)$ adalah $(ax+b)$, yang satu derajat kurang dari pembaginya sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = (x^2-x-2)H(x) + ax + b \\ & = (x-2)(x+1)H(x) + ax + b \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan di atas sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 2a + b = 13 \\ f(-1) & = -a + b = -14 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV di atas untuk memperoleh $a = 9$ dan $b=-5.$
Dengan demikian, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = 9x -5}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
$f(x) = \begin{cases} 2x+1, &\text{untuk}~x~\text{genap} \\ 2x-1, &\text{untuk}~x~\text{ganjil} \end{cases}$
Jika $a$ adalah bilangan asli, nilai yang tidak mungkin untuk $f(a)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21$ C. $61$ E. $93$
B. $39$ D. $77$
Untuk $x$ genap, dapat ditulis $x = 2n$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh $f(2n) = 2(2n)+1 = 4n+1.$
Untuk $x$ ganjil, dapat ditulis $x = 2n+1$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh
$f(2n+1) = 2(2n+1)-1 = 4n+1.$
Jadi, baik $x$ genap maupun ganjil, nilai fungsinya selalu berbentuk $4n+1$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 21 & = 4(5) + 1 \\ 61 & = 4(15)+1 \\ 77 & = 4(19)+1 \\ 93 & = 4(23) + 1 \end{aligned}$
sehingga nilai $f(a)$ yang tidak mungkin adalah $\boxed{39}.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 5
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-30$ C. $10$ E. $50$
B. $-10$ D. $30$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$ Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0}-5(3+\sqrt{9+x}) \\ & =-5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & =-5(3 + 3) =-30. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 6
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $\dfrac23\sqrt3$ E. $\dfrac32$
B. $\dfrac23$ D. $1$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan (dua kali berturut-turut), diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3} \times \dfrac{\sqrt{2x-2}+2}{\sqrt{2x-2}+2}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{(2x-2)-4}{3x-9} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{(x-3)}}{3\cancel{(x-3)}} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3(3)}+3}{\sqrt{2(3)-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{6}{4} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = 1}.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 7
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} = \cdots \cdot$
A. $2^3$ C. $2^5$ E. $2^7$
B. $2^4$ D. $2^6$
Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\tan nx} = \dfrac{m}{n}$, untuk $m = 2$ dan $n = \frac12$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x}{\tan \frac12x}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{2}{\frac12}\right)^3 \\ & = (4)^3 = (2^2)^3 = 2^6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} = 2^6}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Titik $B(3,-2)$ dirotasikan sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik pusat $P(-1,1)$. Bayangan titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B’(-4,3)$ D. $B’(1,4)$
B. $B’(-2,1)$ E. $B’(2,5)$
C. $B’(-1,2)$
Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(a, b)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\-2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 9
Sebuah kamera memproses gambar dengan mentransformasikan gambar tersebut terhadap matriks $\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \dfrac12 & 2 \end{pmatrix}$. Selanjutnya, gambar tersebut ditransformasi lagi terhadap matriks $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$. Jika kamera tersebut mengambil gambar suatu benda dengan luas $32~\text{cm}^2$, maka luas benda hasil potretan adalah $\cdots \cdot$
A. $24~\text{cm}^2$ D. $36~\text{cm}^2$
B. $28~\text{cm}^2$ E. $40~\text{cm}^2$
C. $34~\text{cm}^2$
Diketahui:
$T_1 = \begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix}~~~~T_2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Luas benda hasil potretan dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{vmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{vmatrix}\right| \times~\text{Luas Gambar} \\ & = \left|\dfrac{21}{2}- \dfrac{45}{4}\right| \times 32~\text{cm}^2 \\ & = \left|-\dfrac34\right| \times 32~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas benda hasil potretan adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 10
Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$
A. $x+2y+2=0$
B. $x+2y+6=0$
C. $x+2y-2=0$
D. $x+2y=0$
E. $x+2y-8=0$
Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$
Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$
Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum (kanonik).
$$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ (x^2- 8x) + (y^2 + 6y)-20 & = 0 \\ (x- 4)^2-16 + (y+3)^2-9-20 & = 0 \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $(4,-3).$
Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,-3)$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y-(-3) & =-\dfrac{1}{2}(x- 4) \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$
Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya.
(Jawaban A)
Soal Nomor 11
Perhatikan gambar berikut ini.
A. $41~\text{cm}^2$
B. $41,\!3~\text{cm}^2$
C. $41,\!5~\text{cm}^2$
D. $42,\!3~\text{cm}^2$
E. $43,\!0~\text{cm}^2$
Luas daerah yang diarsir sama dengan luas segitiga dikurangi luas lingkaran.
Luas segitiga dengan panjang alas $20~\text{cm}$ dan tinggi $12~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac{a \times t}{2} \\ & = \dfrac{20 \times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} = 120~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Luas lingkaran berjari-jari $5~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L_{\text{O}} & = \pi \times r \times r \\ & = 3,\!14 \times 5 \times 5 = 78,\!5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah
$\boxed{L = 120-78,\!5 = 41,\!5~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 12
Diketahui $\vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}.$ Jika panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ adalah $2$, maka $n=\cdots \cdot$
A. $1$ C. $4$ E. $8$
B. $3$ D. $6$
Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh $|\vec p_{\vec q}| = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {|\vec q|}.$
Diketahui
$\begin{aligned} \vec p & = (1,-1,2) \\ \vec q & = (2,-2,n) \\ |\vec p_{\vec q}| & = 2. \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 & = \dfrac{(1,-1,2) \bullet (2,-2,n)}{\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(n)^2}} \\ 2 & = \dfrac{(1)(2) + (-2)(-1) + (2)(n)} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = (2+n)^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 1}.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 13
Diketahui $|\vec a|=2\sqrt3$ dan $|\vec b|=4$. Jika vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, maka sudut antara vektor $\vec a$ dengan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $150^{\circ}$ D. $60^{\circ}$
B. $120^{\circ}$ E. $30^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
Diketahui $|\vec a| = 2\sqrt3; |\vec b| = 4.$
Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, haruslah $\vec a \bullet (\vec a + \vec b) = 0.$
Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ |\vec a| |\vec a| \cos 0^{\circ} + |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & =-\dfrac{3}{2\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & =-\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2(\cancel{3})} \\ & =-\dfrac12\sqrt3. \end{aligned}$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, haruslah nilai $\boxed{\theta = 150^{\circ}}.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 14
Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x) = 2 \sin \left(x -\frac{\pi}{2}\right)$
B. $f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)$
C. $f(x) = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
D. $f(x) = \sin \left(2x -\frac{\pi}{2}\right)$
E. $f(x) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)$
Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh $\frac{\pi}{2}$, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah $f(x) = y = a \sin k(x-c)$.
Untuk grafik ini, nilai $c$ yang menentukan pergeseran kurva adalah $-\frac{\pi}{2}$ (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik $x = -\dfrac{\pi}{2}$ yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai $0$ dan berulang kembali di titik $x = \dfrac{3\pi}{2}$ sehingga periode grafik fungsinya adalah $\dfrac{3\pi}{2} – \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\pi$.
Dengan demikian,
$k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1$
Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{2 -(-2)}{2} = 2 \end{aligned}$
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah $$\boxed{f(x) = 2 \sin 1\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}$$(Jawaban C)
Soal Nomor 15
Jumlah dari semua kemungkinan penyelesaian persamaan $x = |3x-|35-3x||$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$ C. $40$ E. $47$
B. $35$ D. $42$
Tinjau bentuk mutlak yang paling “dalam”, yaitu $|35-3x|$ yang memiliki arti
$$|35-3x| = \begin{cases} 35-3x, &~\text{jika}~x \leq \dfrac{35}{3} \\ -35+3x, &~\text{jika}~x > \dfrac{35}{3} \end{cases}$$Misal $x \leq \dfrac{35}{3}$, maka kita peroleh dari persamaan nilai mutlak:
$\begin{aligned} x & = |3x-(35-3x)| \\ x & = |6x-35| \\ x & =6x-35~\text{atau}~x= -6x+35 \\ x & = \color{red}{7}~\text{atau}~x = \color{red}{5} \end{aligned}$
Kedua nilai $x$ ini memenuhi syarat $x \leq \dfrac{35}{3}$.
Misal, $x > \dfrac{35}{3}$, maka kita peroleh dari persamaan nilai mutlak:
$\begin{aligned} x & =|3x-(-35+3x)| \\ x & = |35| = \color{red}{35} \end{aligned}$
Nilai $x$ ini juga memenuhi syarat $x > \dfrac{35}{3}$.
Dengan demikian, jumlah semua kemungkinan penyelesaian persamaan nilai mutlak itu adalah $\boxed{\color{red}{7+5+35}=47}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 16
Jika $^{30} \log 3 = a$ dan $^{30} \log 5 = b,$ maka $^{30} \log 4 = \cdots \cdot$
A. $2(2-a-b)$
B. $2(1-a-b)$
C. $2(1+a-b)$
D. $2+a+b$
E. $2-a-b$
Diketahui:
$\begin{aligned} ^{30} \log 3 &=a \\ ^{30} \log 5 & = b \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $30 = 2 \times 3 \times 5$. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^{30} \log 30 & = ^{30} \log (2 \times 3 \times 5) \\ ^{30} \log 30 & = ^{30} \log 2 + ^{30} \log 3 + ^{30} \log 5 \\ 1 & = ^{30} \log 2 + a + b \\ ^{30} \log 2 & =1-a-b \\ 2 \times ^{30} \log 2 & = 2(1-a-b) \\ ^{30} \log 4 & = 2(1-a-b) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{^{30} \log 4=2(1-a-b)}.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Jika $f(x)=3^x$, maka $f(a+2b-c) = \cdots \cdot$
A. $f(a)+f(2b)-f(c)$
B. $\dfrac{2f(a) \cdot f(b)}{f(c)}$
C. $\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}$
D. $\dfrac{f(a)+(f(b))^2}{f(c)}$
E. $f(a+2b)-f(c)$
Diketahui $f(x) = 3^x$ sehingga
$\begin{aligned} f(a+2b-c) & = 3^{a+2b-c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot 3^{2b}}{3^c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot (3^{b})^2}{3^c} \\ & = \dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+2b-c) =\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 18
Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah $\cdots \cdot$
A. $y = 6 \times 2^x$
B. $y = 6 \times 2^{x-1}$
C. $y = 6 \times 2^{1-x}$
D. $y = 3 \times 2^{x-1}$
E. $y = 3 \times 2^{1-x}$
Grafik fungsi eksponen itu melalui titik $(0, 6)$. Fungsi eksponen itu monoton turun dan berasimtot datar $x=0$ dengan bentuk umum $y = k \cdot a^{-x}.$
Substitusi $x = 0$ dan $y = 6$ menghasilkan
$\begin{aligned} 6 & = k \cdot a^{-0} \\ 6 & = k \cdot 1 \\ k & = 6 \end{aligned}$
Rumus fungsinya menjadi $y = 6 \cdot a^{-x}.$
Berdasarkan opsi yang diberikan, kita ambil $a = 2.$
$\begin{aligned} y & = 6 \cdot 2^{-x} \\ & = 3 \cdot 2 \cdot 2^{-x} \\ & = 3 \cdot 2^{1-x} \end{aligned}$
Jadi, fungsi yang sesuai dengan grafik itu adalah $\boxed{y=3 \cdot 2^{1-x}}$
(Jawaban E)