Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 3

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} AB^2 & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} = B. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{AB^2 = B}.$
(Jawaban E)

Misalkan $1$ galon besar berisi $x$ liter air dan $1$ galon kecil berisi $y$ liter air. Dalam satu periode selalu tersedia $60$ liter air minum.
Pada periode ini, diketahui air kemasan tersedia sebanyak $3$ galon besar dan $3$ galon kecil. Ini berarti, diperoleh persamaan $3x + 3y = 60.$
Pada periode sebelumnya, diketahui air kemasan tersedia sebanyak $2$ galon besar dan $6$ galon kecil. Ini berarti, diperoleh persamaan $2x + 6y = 60.$
Kedua persamaan ini membentuk sistem $\begin{cases} 3x + 3y = 60, \\ 2x + 6y = 60. \end{cases}$
Cek Pernyataan 1:
Dari sistem persamaan tersebut, matriks koefisiennya adalah $\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix},$ sedangkan matriks konstantanya adalah $\begin{pmatrix} 60 \\ 60 \end{pmatrix}.$ Persamaan matriks yang bersesuaian dengan sistem tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 60 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 salah karena matriks variabelnya seharusnya berupa matriks kolom, bukan matriks baris.
Cek Pernyataan 2:
Pernyataan 2 benar berdasarkan penjelasan sebelumnya.
Cek Pernyataan 3:
Dari persamaan $3x + 3y = 60,$ kita peroleh $x + y = 20$ setelah membagi kedua ruas dengan $3.$ Artinya, jumlah air dalam $1$ galon besar dan $1$ galon kecil adalah $20$ liter. Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Bentuk sederhana dari persamaan $2x + 6y = 60$ adalah $x + 3y = 30.$ Eliminasi $x$ pada persamaan $x + y = 20$ dan $x + 3y = 30$ akan menghasilkan $2y = 10$ sehingga $y = 5.$ Akibatnya, $x = 15.$ Ini berarti, volume air dalam $1$ galon besar adalah $15$ liter, sedangkan galon kecil $5$ liter. Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Pernyataan 5 salah karena seharusnya volume air dalam $1$ galon kecil sama dengan $5$ liter, bukan $15$ liter.

Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Hubungan antara persediaan air dan volume air dalam galon adalah $\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 60 \end{pmatrix}.$
  
• Jumlah air dalam 1 galon besar dan 1 galon kecil adalah 20 liter.
  
  [collapse]

Bila SPLDV tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, kita peroleh
$\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix}.$
Dengan menggunakan sifat invers matriks: $\boxed{AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{5(2)+3(-4)} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{22} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh nilai $a = \dfrac{2}{22}$, $b = \dfrac{4}{22}$, $c=\dfrac{-3}{22}$, dan $d= \dfrac{5}{22}$ sehingga $$\boxed{ab+cd=\dfrac{2}{22} \cdot \dfrac{4}{22} + \dfrac{-3}{22} \cdot \dfrac{5}{22} = -\dfrac{7}{484}}.$$(Jawaban E)

Diketahui suatu akuarium berbentuk balok tanpa tutup. Panjang, lebar, dan tinggi akuarium berturut-turut $p = (5x-9)$ dm, $l = (x+1)$ dm, dan $t = (3x-7)$ dm.
Cek Pernyataan 1:
Kerangka akuarium $(k)$ terdiri atas $4$ rusuk panjang, $4$ rusuk lebar, dan $4$ rusuk tinggi sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} k & = 4(p + l + t) \\ & = 4((5x-9) + (x+1) + (3x-7) \\ & = 4(9x-15) \\ & = 36x-60~\text{dm}. \end{aligned}$$Ini berarti, panjang kerangka akuarium tersebut adalah $(36x-60)$ dm. Dengan demikian, Pernyataan 1 seharusnya disetujui.
Cek Pernyataan 2:
Akuarium tanpa tutup adalah balok yang kehilangan satu sisi di bagian atasnya. Luas sisi atas dipengaruhi oleh panjang dan lebar balok.
$$\begin{aligned} L & = pl + 2pt + 2lt \\ & = (5x-9)(x-1) + 2(5x-9)(3x-7) + 3(x+1)(3x-7) \\ & = (5x^2-4x-9) + 2(15x^2-62x+63) + 2(3x^2-4x-7) \\ & = 5x^2-4x-9+30x^2-124x+126+6x^2-8x-14 \\ & = 41x^2-136x+103~\text{dm}^2. \end{aligned}$$Ini berarti, luas permukaan akuarium tanpa tutup tersebut adalah $(41x^2-136x+103)~\text{dm}^2.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 seharusnya tidak disetujui.
Cek Pernyataan 3:
Volume akuarium dinyatakan oleh $V = plt$ (kondisi tanpa tutup tidak memengaruhi volume).
$$\begin{aligned} V & = plt \\ & = (5x-9)(x+1)(3x-7) \\ & = (5x^2-4x-9)(3x-7) \\ & = 15x^3-47x^2+x+63~\text{dm}^3. \end{aligned}$$Fungsi yang menyatakan volume akuarium tersebut adalah $$V(x) =15x^3-47x^2+x+63.$$Secara grafis, ada hubungan arah grafik fungsi polinomial dilihat dari koefisien utama $a_n$ dan paritas derajat $n.$

• Jika $n$ genap dan $a_n > 0,$ grafik mengarah ke kiri atas dan kanan atas.
• Jika $n$ genap dan $a_n < 0,$ grafik mengarah ke kiri bawah dan kanan bawah.
• Jika $n$ ganjil dan $a_n > 0,$ grafik mengarah ke kiri bawah dan kanan atas.
• Jika $n$ ganjil dan $a_n < 0,$ grafik mengarah ke kiri atas dan kanan bawah.

Koefisien utama $V(x)$ adalah $15$ (positif), sedangkan derajat polinomialnya adalah $3$ (ganjil). Oleh karena itu, grafik fungsi $V(x)$ mengarah ke kiri bawah dan ke kanan atas. Dengan demikian, Pernyataan 3 seharusnya disetujui.
Jadi, centang setuju dan tidak setuju ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Setuju} & \textbf{Tidak Setuju} \\ \hline \text{Panjang kerangka akuarium adalah}~(36x-60)~\text{dm}. & \checkmark & \\ \hline \text{Luas permukaan akuarium tanpa tutup adalah}~(46x^2-140x+94)~\text{dm}^2. & & \checkmark \\ \hline \text{Ujung grafik fungsi yang menyatakan volume akuarium mengarah ke kiri bawah dan kanan atas.} & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Diketahui: $f(x) = 2x^4+0x^3+$ $(p+2)x^2+qx-8.$ 
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-2$ sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ -1 & \downarrow & -2 & 2 & -p-4 & -q+p+4 \\ \hline & 2 & -2 & p + 4 & q-p-4 & \color{red} {-q+p-4} \end{array}$$Karena bersisa $-2$, berarti
$-q + p -4 = -2 \Leftrightarrow p -q = 2.$
Selanjutnya, $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $22$ sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ 2 & \downarrow & 4 & 8 & 2p+20 & 2q+4p+40 \\ \hline & 2 & 4 & p+10 & q+2p+20 & \color{red}{2q + 4p + 32} \end{array}$$Karena bersisa $22$, berarti
$2q + 4p + 32 = 22 \Leftrightarrow 2p + q = -5.$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} p -q = 2 \\ 2p + q = -5 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $p = -1$ dan $q = -3.$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^4 + (p+2)x^2+qx-8 \\ & = 2x^4 + x^2 -3x -8 \end{aligned}$
Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-p) (x-q) = (x+1)(x+3)$ bersisa $(ax + b)$ sehingga dapat ditulis $f(x) = (x+1)(x+3)H(x)$ $+ (ax + b).$
Substitusi $x = -1$, didapat
$$\begin{aligned} f(-1) & = -a + b \\ 2(-1)^4 + (-1)^2 -3(-1) -8 & = -a + b \\ 2 + 1 + 3 -8 & = -a+b \\ -2 & = -a + b \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$, didapat
$$\begin{aligned} f(-3) & = -3a + b \\ 2(-3)^4 + (-3)^2 – 3(-3) – 8 & = -3a + b \\ 162 + 9 + 9 -8 & = -3a+b \\ 172 & = -3a + b \end{aligned}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a + b & = -2 \\ -3a + b & = 172 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = -87$ dan $b = -89.$
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{ax + b = -87x -89}.$
(Jawaban D)

Diketahui fungsi keuntungan $f(x) = x^3-9x^2+24x-16.$
Cek Pernyataan 1:
Substitusi $x = 1$ menghasilkan
$$\begin{aligned} f(1) & = (1)^3-9(1)^2 +24(1)-16 \\ & = 1-9+24-16 \\ & = 0. \end{aligned}$$Ini berarti, $x=1$ merupakan salah satu akar fungsi polinomial tersebut. Dengan membagi $f(x)$ oleh $(x-1),$ diperoleh $x^2-8x+16$ sehingga
$$\begin{aligned} f(x) & = (x-1)(x^2-8x+16) \\ & = (x-1)(x-4)(x-4). \end{aligned}$$Fungsi keuntungan $f(x)$ memiliki dua akar kembar, yaitu $x = 4.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Dari perhitungan sebelumnya, pembuat nol (akar) fungsi keuntungan $f(x)$ hanya ada dua, yaitu $1$ dan $4.$ Dengan dengan, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Karena akar $f(x)$ hanya ada dua, grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu-$X$ hanya di dua titik berbeda, yaitu $(1, 0)$ dan $(4, 0).$ Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Substitusi $x = 4$ pada $f(x) = (x-1)(x-4)(x-4)$ jelas menghasilkan $f(4) = 0.$ Ini disebut sebagai titik impas karena tidak ada keuntungan atau kerugian yang didapat. Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Secara grafis, ada hubungan arah grafik fungsi polinomial dilihat dari koefisien utama $a_n$ dan paritas derajat $n.$

• Jika $n$ genap dan $a_n > 0,$ grafik mengarah ke kiri atas dan kanan atas.
• Jika $n$ genap dan $a_n < 0,$ grafik mengarah ke kiri bawah dan kanan bawah.
• Jika $n$ ganjil dan $a_n > 0,$ grafik mengarah ke kiri bawah dan kanan atas.
• Jika $n$ ganjil dan $a_n < 0,$ grafik mengarah ke kiri atas dan kanan bawah.

Fungsi keuntungan $f(x) = x^3-9x^2+24x-16$ memiliki derajat $n = 3$ (ganjil) dan $a_n = 1 > 0$ sehingga grafik mengarah ke kiri bawah dan kanan atas. Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Fungsi keuntungan mempunyai dua akar kembar.
• Jika dalam sehari terjual $4$ ribu paket promo, toko mengalami impas.
• Ujung grafik fungsi keuntungan mengarah ke kiri bawah dan ke kanan atas.
  
  [collapse]

Misalkan $|x+7| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-3a-4 & = 0 \\ (a-4)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 4$ atau $a = -1$.
Kemungkinan1:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=4$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$\begin{aligned} x+7 & = 4 \\ x & = -3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} x+7 & = -4 \\ x & = -11 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=-1$.
Persamaan itu jelas tidak memiliki penyelesaian karena nilai mutlak dari suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian persamaan $|x+7|^2-3|x+7|-4 = 0$ adalah $\boxed{x = -11}$ atau $\boxed{x = -3}.$
(Jawaban B)

Diketahui persamaan perubahan panjang terhadap suhu
$$\Delta \ell = 0,\!01 \times |T-25|.$$Perhatikan bahwa $\Delta \ell$ tidak boleh melebihi $0,\!15$ meter agar jembatan dapat dikatakan aman.
Cek Pernyataan 1:
Jika $T = 10,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \Delta \ell & = 0,\!01 \times |10-25| \\ & = 0,\!01 \times 15 \\ & = 0,\!15~\text{m}. \end{aligned}$$Jika $T = 40,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \Delta \ell & = 0,\!01 \times |40-25| \\ & = 0,\!01 \times 15 \\ & = 0,\!15~\text{m}. \end{aligned}$$Ini berarti, perubahan panjang jembatan akan menjadi $0,\!15$ meter jika suhu mencapai $10^\circ\text{C}$ atau $40^\circ\text{C}.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Dari persamaan $$\Delta \ell = 0,\!01 \times |T-25|,$$ jembatan akan sama jika $|T-25| \le 15.$ Dari pertidaksamaan ini, diperoleh $-15 \le T-25 \le 15,$ atau disederhanakan menjadi $10 \le T \le 40.$ Ini berarti, jembatan akan aman jika suhu berada di kisaran $10^\circ\text{C}$ sampai $40^\circ\text{C}.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Jika $T = 15,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \Delta \ell & = 0,\!01 \times |15-25| \\ & = 0,\!01 \times 10 \\ & = 0,\!10~\text{m}. \end{aligned}$$Artinya, perubahan panjang jembatan akan menjadi $0,\!1$ meter jika suhunya $15^\circ\text{C}.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Jika $T = 20,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \Delta \ell & = 0,\!01 \times |20-25| \\ & = 0,\!01 \times 5 \\ & = 0,\!05~\text{m}. \end{aligned}$$Sementara itu, jika $T = 35,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \Delta \ell & = 0,\!01 \times |35-25| \\ & = 0,\!01 \times 10 \\ & = 0,\!10~\text{m}. \end{aligned}$$Artinya, perubahan panjang jembatan akan berbeda untuk suhu $20^\circ\text{C}$ dan $35^\circ\text{C}.$ Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Jika $T = 45,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \Delta \ell & = 0,\!01 \times |45-25| \\ & = 0,\!01 \times 20 \\ & = 0,\!20~\text{m}. \end{aligned}$$Karena melebihi $0,\!15~\text{m},$ jembatan sudah tidak dapat dikatakan aman. Dengan demikian, Pernyataan 5 salah.

Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Perubahan panjang jembatan akan menjadi $0,\!15$ meter jika suhu mencapai $10^\circ\text{C}$ atau $40^\circ\text{C}.$
• Jembatan akan aman jika suhu berada di antara $10^\circ\text{C}$ dan $40^\circ\text{C}.$
• Jika suhu $15^\circ\text{C}$, perubahan panjang jembatan akan menjadi $0,\!1$ meter.
  
  [collapse]

Grafik fungsi melalui titik $(0, 2)$, $(1, 6),$ dan $(2, 18)$.
Tampak bahwa grafik fungsi eksponen tidak mengalami pergeseran ke atas/bawah karena asimtot datarnya $x = 0$ sehingga bentuk umumnya adalah $f(x) = k \cdot a^x$.
Karena grafik melalui $(0, 2)$, artinya $x = 0$ dan $y = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = k \cdot a^x \\ \Rightarrow 2 & = k \cdot a^0 \\ 2 & = k \cdot 1 \\ k & = 2 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $f(x) = 2 \cdot a^x$.
Karena grafik melalui $(1, 6)$, artinya $x = 1$ dan $y = 6$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = 2 \cdot a^x \\ \Rightarrow 6 & = 2 \cdot a^1 \\ 6 & = 2 \cdot a \\ a & = 3 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $\boxed{f(x) = 2 \cdot 3^x}.$
(Jawaban C)

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a = 2$) lebih besar dari $1$ sehingga $f(x)$ minimum tercapai ketika nilai numerus $g(x) = x^2-2x+9$ juga minimum.
Karena $g(x)$ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $g(x)$ diperoleh ketika $x = -\dfrac{b}{2a}$ dengan $a, b$ masing-masing koefisien $x^2$ dan koefisien $x$. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} x & = -\dfrac{b}{2a} \\ & = -\dfrac{(-2)}{2(1)} \\ & = 1 \end{aligned}$$Ini berarti $x = 1$ membuat $g(x)$ minimum, begitu juga dengan nilai fungsi logaritma $f(x)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(1) & = \! ^2 \log (x^2-2x+9) \\ & = \! ^2 \log ((1)^2-2(1) + 9) \\ & = \! ^2 \log 8 \\ & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum $f(x) = \! ^2 \log (x^2-2x+9)$ adalah $\boxed{3}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.

(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $$f(x) = \dfrac{2x-8}{x^2-7x+12} = \dfrac{2(x-4)}{(x-3)(x-4)}.$$ $(x-4)$ merupakan faktor bersama bagi pembilang dan penyebut fungsi rasional itu.
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-7x+12 & = 0 \\ (x-3)(x-4) & = 0 \\ x = 3~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Namun, karena $(x-4)$ merupakan faktor bersama, $x = 4$ bukanlah asimtot vertikal.  Jadi, fungsi $f$ hanya memiliki satu asimtot vertikal, yakni $x = 3.$
(Jawaban C)

Secara matematis, kecepatan mobil saat $t$ mendekati detik ke-$5$ adalah $\displaystyle \lim_{x \to 5} v(t).$ Diketahui $v(t)=t^2-t.$
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} (t^2-t) & = (5)^2-(5) \\ & = 25-5=20. \end{aligned}$
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati $\boxed{20}$ m/detik.
(Jawaban D)

Diketahui energi yang dibutuhkan setelah $x$ menit dinyatakan oleh fungsi yang didefinisikan oleh $E(x)=\dfrac{20x^2-500}{x-5}.$
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa derajat pembilang pada $E(x)$ sama dengan $2,$ sedangkan penyebutnya sama dengan $1.$ Karena derajat pembilang lebih besar daripada derajat penyebut, $E(x)$ akan membesar menuju takhingga. Secara matematis, ditulis $\displaystyle \lim_{x \to \infty} E(x) = \infty.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Pernyataan 2 juga salah berdasarkan perhitungan sebelumnya.
Cek Pernyataan 3:
Pernyataan 3 benar berdasarkan perhitungan sebelumnya.
Cek Pernyataan 4:
Jika sistem irigasi otomatis terus berjalan, $x$ dianggap membesar tak terbatas. Ini berarti, kasus ini sama saja seperti mencari nilai limit dari $E(x)$ ketika $x \to \infty.$ Berdasarkan perhitungan sebelumnya, diperoleh $E(x) \to \infty$ (konsumsi energi akan menjadi tak terbatas). Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Perhatikan bahwa substitusi langsung $x = 5$ pada $E(x) = \dfrac{20x^2-500}{x-5}.$ akan menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$ Oleh karena itu, akan digunakan metode substitusi untuk menentukan nilai limitnya ketika $x \to 5.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} E(x) & = \lim_{x \to 5} \dfrac{20x^2-500}{x-5} \\ & = \lim_{x \to 5} \dfrac{20\cancel{(x-5)}(x+5)}{\cancel{x-5}} \\ & = \lim_{x \to 5} 20(x+5) \\ & = 20(5+5) = 200. \end{aligned}$$Ini berarti, konsumsi energi akan mendekati $200$ watt ketika periodenya mendekati $5$ menit. Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} E(x) = \infty.$
• Jika sistem irigasi otomatis terus berjalan, konsumsi energi akan menjadi tak terbatas.
• Saat mendekati menit ke-5, konsumsi energi akan mendekati $200$ watt.
  
  [collapse]

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}.$
Gunakan beberapa identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x+y) \cos \dfrac12(x-y) \end{aligned}}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos 9x}-\dfrac{1}{\cos 7x}}{\dfrac{1}{\cos 5x}-\dfrac{1}{\cos 3x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 9x \cos 7x}}{\dfrac{\cos 3x-\cos 5x}{\cos 3x \cos 5x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 7x- \cos 9x}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 3x- \cos 5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \dfrac12(7x+9x) \sin \dfrac12(7x-9x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin \dfrac12(3x+5x) \sin \dfrac12(3x-5x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin 8x \sin (-x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin 4x \sin (-x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 8x}{\sin 4x} \times \dfrac{\sin x}{\sin x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 9x \cos 7x} \\ & = \dfrac{8}{4} \times 1 \times \dfrac{\cos 0 \cos 0}{\cos 0 \cos 0} \\ & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} = 2}.$
(Jawaban C)

Diketahui garis $y=x+2$ direfleksikan terhadap sumbu-$X,$ kemudian ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}.$
Cek Pernyataan 1:
Jika titik $(x, y)$ direfleksikan terhadap sumbu-$X,$ bayangan titiknya adalah $(x, -y).$ Dengan mengganti $y$ menjadi $-y,$ persamaan $y = x + 2$ akan menjadi
$$-y = x + 2 \Rightarrow y = -x-2.$$Oleh karena itu, persamaan garis setelah refleksi terhadap sumbu-$X$ adalah $y = -x-2.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Berdasarkan perhitungan sebelumnya, persamaan garis setelah refleksi adalah $y = -x-2.$ Translasi $T = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ membuat $x$ digantikan oleh $x-(-1) = x+1$ dan $y$ digantikan oleh $y-3.$ Ini berarti, persamaan garis setelah translasi adalah
$$\begin{aligned} (y-3) & = -(x+1)-2 \\ y-3 & = -x-3 \\ y & = -x. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Persamaan garis hasil refleksi terhadap sumbu-$X$ telah dicari sebelumnya, yaitu $y = -x-2.$ Substitusi $x = 3$ menghasilkan $y = -3-2 = -5.$ Ini berarti, titik $(3, -5)$ dilalui oleh garis ini. Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Diketahui persamaan garis hasil refleksi dan translasi adalah $y = -x.$ Untuk $x = 0,$ diperoleh $y = -0 = 0.$ Artinya, titik $(0, 0)$ dilalui oleh garis, bukan $(0, 1).$ Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Diketahui persamaan garis hasil refleksi dan translasi adalah $y = -x.$ Untuk $y = 0,$ diperoleh $0 = -x$ sehingga $x = 0.$ Artinya, titik $(0, 0)$ dilalui oleh garis, bukan $(2, 0).$ Dengan demikian, Pernyataan 5 salah.

Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Persamaan garis setelah refleksi terhadap sumbu-$X$ adalah $y=-x-2.$
• Persamaan garis setelah refleksi dan translasi adalah $y=-x.$
• Salah satu titik yang dilalui oleh garis hasil refleksi terhadap sumbu-$X$ adalah $(3, -5).$
  
  [collapse]

Tampak pada gambar bahwa proses dilatasi mengambil pusat di titik paling kiri bawah. Asumsikan sebagai titik $(0, 0)$ sehingga $A(0, 1),$ $B(3, 1),$ $C(3, 3),$ dan $D(1, 3)$. Koordinat titik hasil dilatasinya adalah $A'(3, 0),$ $B'(9, 3),$ $C'(9, 9),$ dan $D'(3, 9).$
Dari sini, kita tahu bahwa ada suatu bilangan yang menjadi pengali untuk setiap nilai koordinat. Sebagai contoh, ambil titik $B(3,1)$ yang bayangannya adalah $B'(9, 3).$ Pengalinya adalah $3,$ yang berarti faktor skala untuk dilatasi tersebut adalah $\boxed{3}.$
(Jawaban B)

Diketahui mobil A bergerak ke arah barat laut dengan vektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}.$ Sementara itu, mobil B bergerak ke arah barat daya dengan vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}.$
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa
$$\vec{u} \bullet \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = 6(-2) + 4(3) = 0.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 salah karena hasil perkalian skalar kedua vektor tersebut tidak lebih dari $0,$ melainkan tepat $0.$
Cek Pernyataan 2:
Gerak kedua mobil membentuk vektor yang tegak lurus jika hasil perkalian skalar kedua vektor yang terlibat sama dengan $0.$ Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh $\vec{u} \bullet \vec{v} = 0$ sehingga Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Gerak kedua mobil membentuk vektor yang sejajar jika terdapat bilangan real taknol $k$ sehingga $\vec{u} = k\vec{v},$ yaitu $\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}.$ Ini menghasilkan dua persamaan berbeda, yaitu $-2k = 6$ dan $3k = 4.$ Masing-masing persamaan ini ternyata menghasilkan nilai $k$ yang berbeda. Artinya, tidak ada $k$ yang memenuhi persamaan $\vec{u} = k\vec{v}$ sehingga vektor yang terbentuk tidak sejajar. Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Karena $\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$|\vec{u}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}.$$Ini berarti, panjang lintasan mobil A adalah $\sqrt{52}.$ Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Mari hitung panjang lintasan mobil B terlebih dahulu. Karena $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.$$Jelas bahwa $$|\vec{u}| = \sqrt{52} > \sqrt{13} = |\vec{v}|.$$Artinya, lintasan mobil B lebih pendek daripada mobil A. Dengan demikian, Pernyataan 5 salah.

Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Gerak mobil A dan mobil B membentuk vektor yang tegak lurus.
• Panjang lintasan mobil A adalah $\sqrt{52}.$
  
  [collapse]

Diketahui segitiga $KLM$ dengan koordinat titik $K(3,-2,1),$ $L(2,4,-3),$ dan $M(-6,0,5).$
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \overrightarrow{KL} & = L-K \\ & = (2, 4, -3)-(3, -2, 1) \\ & = (-1, 6, -4). \end{aligned}$$Ini berarti,
$$|\overrightarrow{KL}| = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}.$$Karena $\sqrt{53} > \sqrt{49} = 7,$ dapat dikatakan bahwa panjang sisi $KL$ pada segitiga tersebut lebih dari $7.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \overrightarrow{LM} & = M-L \\ & = (-6, 0, 5)-(2, 4, -3) \\ & = (-8, -4, 8). \end{aligned}$$Ini berarti,
$$|\overrightarrow{LM}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12.$$Sementara itu,
$$\begin{aligned} \overrightarrow{KM} & = M-K \\ & = (-6, 0, 5)-(3, -2, 1) \\ & = (-9, 2, 4). \end{aligned}$$Ini berarti,
$$|\overrightarrow{LM}| = \sqrt{(-9)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 4 + 16} = \sqrt{101}.$$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa sisi $LM$ merupakan sisi paling panjang dengan panjang $12.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Perhatikan bahwa segitiga $KLM$ memiliki panjang sisi $KL = \sqrt{53},$ $KM = 12,$ dan $LM = \sqrt{101}.$ Karena panjang sisinya berbeda-beda, dapat dikatakan bahwa segitiga $KLM$ merupakan segitiga sembarang. Kemudian, berdasarkan konsep teorema Pythagoras, jika suatu segitiga memiliki panjang sisi $a, b,$ dan $c$ dengan $c$ sebagai sisi terpanjangnya, maka $a^2 +b^2 > c^2$ akan mengimplikasikan segiitganya lancip.
$$\begin{aligned} |\overrightarrow{KL}|^2 + |\overrightarrow{LM}|^2 & = (\sqrt{53})^2 + (\sqrt{101})^2 \\ & = 53 + 101 \\ & = 154 > 144 = 12^2 = KM^2. \end{aligned}$$Ini berarti, segitiga $KLM$ merupakan segitiga lancip. Dengan demikian, Pernyataan 3 juga benar.

Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Panjang sisi}~KL~\text{pada segitiga}~KLM~\text{kurang dari 7}. & & \checkmark \\ \hline \text{Sisi terpanjang pada segitiga}~KLM~\text{adalah sisi}~LM~\text{dengan panjang 12}. & \checkmark & \\ \hline \text{Segitiga}~KLM~\text{merupakan segitiga sembarang dan lancip}. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Diketahui persamaan lingkaran roda $(x+3)^2+(y-1)^2=16.$ Titik $(a, b)$ memiliki tiga posisi relatif terhadap lingkaran roda tersebut.

• Jika $(a+3)^2+(b-1)^2 < 16,$ itu artinya titik $(a, b)$ terletak di dalam lingkaran roda.
• Jika $(a+3)^2+(b-1)^2 = 16,$ itu artinya titik $(a, b)$ terletak pada lingkaran roda.
• Jika $(a+3)^2+(b-1)^2 > 16,$ itu artinya titik $(a, b)$ terletak di luar lingkaran roda.

Cek Pernyataan 1:
Substitusi $x = 1$ dan $y = 3$ pada ekspresi $(x+3)^2+(y-1)^2$ akan menghasilkan
$$(1+3)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20 > 16.$$Ini berarti, titik $(1, 3)$ terletak di luar lingkaran roda. Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Substitusi $x = -5$ dan $y = -1$ pada ekspresi $(x+3)^2+(y-1)^2$ akan menghasilkan
$$(-5+3)^2 + (-1-1)^2 = 4 + 4 = 8 < 16.$$Ini berarti, titik $(-5, -1)$ terletak di dalam lingkaran roda. Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Substitusi $x = 0$ dan $y = -3$ pada ekspresi $(x+3)^2+(y-1)^2$ akan menghasilkan
$$(0+3)^2 + (-3-1)^2 = 9 + 16 = 25 > 16.$$Ini berarti, titik $(0, -3)$ terletak di luar lingkaran roda. Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Substitusi $x = 0$ dan $y = 3$ pada ekspresi $(x+3)^2+(y-1)^2$ akan menghasilkan
$$(0+3)^2 + (3-1)^2 = 9 + 4 = 13 < 16.$$Ini berarti, titik $(0, 3)$ terletak di dalam lingkaran roda. Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ekspresi $(x+3)^2+(y-1)^2$ akan menghasilkan
$$(0+3)^2 + (4-1)^2 = 9 + 9 = 18 > 16.$$Ini berarti, titik $(0, 4)$ terletak di luar lingkaran roda. Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Titik $(-5, -1)$ terletak di dalam lingkaran roda.
• Titik $(0, 4)$ terletak di luar lingkaran roda.
  
  [collapse]

Nilai maksimum $f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1$ tercapai ketika $\cos 3x$ bernilai sebesar-besarnya, yaitu $\cos 3x = 1$. Untuk itu,
$f_{\text{maks}}(x) = p = \sqrt2 (1) + 1 = \sqrt2 + 1.$
Nilai minimum $f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1$ tercapai ketika $\cos 3x$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\cos 3x = -1$. Untuk itu,
$\begin{aligned} f_{\text{min}}(x) = q & = \sqrt2 (-1) + 1 \\ & = -\sqrt2 + 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p^2+q^2 & = (\sqrt2 + 1)^2 + (-\sqrt2 + 1)^2 \\ & = (2 + \cancel{2\sqrt2} + 1) + (2 – \cancel{2\sqrt2} + 1) \\ & = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p^2+q^2=6}.$
(Jawaban E)