Soal dan Pembahasan – Pengantar Sistem Persamaan Linear (Bidang Aljabar Linear)

Persamaan linear dengan variabel (peubah) $x_1, x_2, \cdots, x_n$ didefinisikan sebagai persamaan dalam bentuk $$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$$dengan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ merupakan bilangan real yang tidak semuanya nol dan $b$ adalah konstanta real. Perlu diperhatikan bahwa ketika $a_1, a_2, \cdots, a_n$ semuanya bernilai nol, maka ruas kiri tidak mengandung variabel apa pun lagi sehingga tidak memenuhi makna “linear”. Selain itu, persamaan linear tidak melibatkan hasil kali/bagi variabel dan setiap variabelnya harus berpangkat satu.
Dari kelima opsi jawaban, semua persamaannya menggunakan variabel $x_1, x_2,$ dan $x_3.$ Persamaan pada opsi B, $x_1 + 3x_2 + \color{red}{x_1x_3} = 2,$ bukanlah persamaan linear karena adanya suku $\color{red}{x_1x_3}$ yang merupakan hasil kali dua variabel. Persamaan lainnya termasuk persamaan linear. Hal yang perlu diingat bahwa koefisien variabel adalah bilangan real dan satu-satunya syarat adalah semua koefisiennya tidak boleh serentak bernilai nol. Contohnya, $\pi x_1$ memenuhi sebagai salah satu suku dalam persamaan linear karena $\pi$ merupakan bilangan real.
(Jawaban B)

Cek opsi A:
Konstanta $\sin k$ akan selalu bernilai real berapa pun nilai $k$ yang dipilih. Persamaan ini akan selalu menjadi persamaan linear.
Cek opsi B:
Persamaan pada opsi B, yaitu $kx_1-\dfrac{1}{k}x_2 = 9,$ memberi batas nilai $k \neq 0$ karena adanya koefisien $\dfrac{1}{k}.$ Jadi, $k = 0$ membuat persamaannya menjadi tidak terdefinisi. Persamaan ini tidak selalu termasuk persamaan linear.
Cek opsi C:
Koefisien $2^k$ akan selalu bernilai real berapa pun nilai $k$ yang dipilih. Persamaan ini akan selalu menjadi persamaan linear.
Cek opsi D:
$k$ muncul di dua suku berbeda dan perlu diperiksa apakah ada nilai $k$ yang membuat kedua koefisien variabel menjadi nol. $k + 7$ bernilai nol jika $k = -7,$ tetapi substitusi $k = -7$ pada $2k-10$ tidak membuatnya bernilai nol. Jadi, setiap $k$ diterima dan membuat persamaannya selalu menjadi persamaan linear.
Cek opsi E:
$k$ juga muncul di dua suku berbeda. $k + 10$ bernilai nol jika $k = -10,$ tetapi substitusi $k = -10$ pada $\log (|k|+1)$ menghasilkan $\log (|10| + 1) = \log 11 \ne 0.$ Selain itu, bentuk $\log (|k| + 1)$ juga memenuhi syarat agar nilai logaritma terdefinisi, yaitu numerusnya harus positif, karena jelas bahwa $|k| + 1 > 0$ untuk setiap bilangan real $k.$ Jadi, persamaan ini akan selalu menjadi persamaan linear.
(Jawaban B)

Misalkan $x_1 = t$ dan $x_2 = s$ untuk $t, s \in \mathbb{R}.$ Substitusi pada persamaan $3x_1-5x_2 + 4x_3 = 7$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} 3t-5s+4x_3 & = 7 \\ 4x_3 & = 5s-3t+7 \\ x_3 & = \dfrac{5s-3t+7}{4}. \end{aligned}$$Jika permisalannya $x_1 = s$ dan $x_2 = t,$ maka dengan cara yang serupa, kita akan peroleh $$x_3 = \dfrac{5t-3s+7}{4}$$ yang sebenarnya ekuivalen dengan sebelumnya.
Jadi, (salah satu bentuk) penyelesaian parametrisnya adalah $x_1 = t,$ $x_2 = s,$ dan $x_3 = \dfrac{5t-3s+7}{4}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa SPL tersebut dapat ditulis ulang seperti berikut.
$$\begin{cases} 1x_1 + 2x_2+0x_3-1x_4+1x_5 & = 1 \\ 0x_1+3x_2 + 1x_3+0x_4-1x_5 & = 2 \\ 0x_1 + 0x_2 + 1x_3+7x_4+0x_5 & = 5 \end{cases}$$Dengan melihat koefisien variabel pada setiap persamaan beserta konstantanya, kita dapat membuat matriks yang diperbesar yang setiap barisnya merupakan koefisien variabel yang disusun berurutan, sedangkan kolom terakhirnya merupakan konstanta yang ada di ruas kanan persamaan.
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1  & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$(Jawaban B)

Diketahui $\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa matriks yang diperbesar tersebut memiliki $2$ baris dan $5$ kolom, artinya kita punya $2$ persamaan linear dengan $5-1=4$ variabel. Entri kolom ke-$5$ merupakan konstanta persamaan.
Dengan demikian, persamaan pertama yang berpadanan dengan baris pertama matriks adalah 
$$7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 = 5$$dan persamaan kedua yang berpadanan dengan baris kedua matriks adalah
$$x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 0x_4 = 1$$yang ekuivalen dengan
$$x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 1.$$Jadi, sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks yang diperbesar tersebut adalah $$\boxed{\begin{cases} 7x_1 + 2x_2 + x_3-3x_4 & = 5 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 & = 1 \end{cases}}$$(Jawaban E)

Diketahui penyelesaian umum suatu persamaan linear adalah
$$\begin{cases} x & = 5 + 2t && (\cdots 1) \\ y & = t && (\cdots 2) \end{cases}$$untuk $t \in \mathbb{R}.$ Substitusikan $(1)$ pada $(2)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} x & = 5 + 2y \\ 2y-x & = 5. \end{aligned}$$Jadi, persamaan linear yang memiliki penyelesaian umum tersebut adalah $\boxed{2y-x = 5}$
(Jawaban B)

Diketahui $$\begin{cases} x-y & = 3 && (\cdots 1) \\ 2x-2y & = k && (\cdots 2) \end{cases}$$Bagi $2$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh $x-y = \dfrac{k}{3}.$Dengan demikian, ruas kiri dan kanan persamaan $(1)$ dan $(2)$ sama sehingga agar SPL memiliki penyelesaian, maka ruas kanannya harus dibuat sama, yakni
$$\begin{aligned} \dfrac{k}{2} & = 3 \\ k & = 2(3) = 6. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{k = 6}$
(Jawaban E)

$$\begin{cases} x+y+2z & = a && (\cdots 1) \\ x + z & = b && (\cdots 2) \\ 2x+y+3z & = c && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan bahwa dengan persamaan $(3)$ adalah kombinasi linear dari persamaan $(1)$ dan $(2),$ yakni $(1) + (2) = (3)$ sehingga sistem dapat disederhanakan menjadi dua persamaan saja.
$$\begin{cases} 2x+y+3z & = a+b && (\cdots 4) \\ 2x+y+3z & = c && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan bahwa ruas kiri kedua persamaan adalah sama. Agar sistem konsisten, yang dalam kasus ini harus memiliki penyelesaian sebanyak takberhingga, maka nilai ekspresi di ruas kanan haruslah sama, yaitu $\boxed{a + b = c}$
(Jawaban A)

Diketahui kurva $y = ax^2 + bx + c.$
Karena titik $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ dan $(x_3, y_3)$ dilalui oleh kurva, maka substitusi nilai $x$ dan $y$ memenuhi persamaan kurva tersebut. Dengan demikian, SPLTV akan terbentuk dengan variabel $a, b,$ dan $c.$
$$\begin{cases} y_1 & = ax_1^2 + bx_1 + c \\ y_2 & = ax_2^2 + bx_2 + c \\ y_3 & = ax_3^2 + bx_3 + c \end{cases}$$Jadi, matriks diperbesarnya adalah sebagai berikut.
$$\begin{pmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 & y_1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 & y_2 \\ x_3^2 & x_3 & 1 & y_3 \end{pmatrix}$$Dengan demikian, penyelesaiannya adalah $a, b,$ dan $c$ dalam kasus ini.

Pilih sembarang dua dari tiga persamaan pada sistem. Karena sistem persamaan konsisten, artinya pasti memiliki penyelesaian (baik tunggal maupun takberhingga), maka dua persamaan yang kita pilih tadi juga konsisten dengan penyelesaian yang sama pula (karena merupakan bagian dari sistem).
Kita bagi menjadi dua kasus.
Kasus 1: Penyelesaiannya tunggal
Dua persamaan yang dipilih memiliki penyelesaian tunggal, artinya kita akan menemukan hanya satu pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Karena sistem konsisten, maka persamaan ketiga (yang tidak dipilih) juga pasti terpenuhi oleh nilai $(x, y)$ tersebut. Jadi, himpunan penyelesaiannya tetap $\{(x, y)\}.$
Kasus 2: Penyelesaiannya sebanyak takberhingga
Dua persamaan yang dipilih memiliki penyelesaian sebanyak takberhingga, artinya akan banyak sekali pasangan nilal $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Karena sistem konsisten, maka persamaan ketiga (yang tidak dipilih) juga pasti terpenuhi oleh semua pasangan nilai $(x, y)$ tersebut. Jadi, himpunan penyelesaiannya bakal tetap.

Misalkan himpunan penyelesaian dari $x_1 + kx_2 = c$ adalah $x_2 = t$ dan $x_1 = c-kt$ untuk setiap $t \in \mathbb{R}.$ Karena memiliki himpunan penyelesaian yang sama, substitusikan pada persamaan $x_1 + \ell x_2 = d$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} (c-kt) + \ell t & = d \\ (\ell-k)t & = d-c. \end{aligned}$$Karena $t = 0$ memenuhi persamaan, maka nilai $d-c$ harusnya nol sehingga $c = d.$ Berikutnya, ketika $t = 1,$ maka $(\ell-k)(1) = 0$ sehingga mengharuskan $k = \ell.$
Jadi, kita telah berhasil membuktikan bahwa $x_1 + kx_2 = c$ dan $x_1 + \ell x_2 = d$ identik (ekuivalen) karena $k = \ell$ dan $c = d.$