Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Transformasi Geometri

Transformasi Geometri adalah salah satu materi matematika bidang geometri yang mempelajari perubahan posisi dan ukuran benda dengan menggunakan konsep matematis. Ada 5 macam transformasi geometri yang dipelajari di tingkat SMA, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perubahan ukuran), dan transformasi oleh matriks. Untuk membantu pemahaman siswa/siswi, berikut penulis sajikan sejumlah soal terkait transformasi geometri beserta pembahasan yang disusun secara lengkap dan sistematis. 
Semoga dapat bermanfaat!

Baca: Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Quote by Paulo Coelho

Apabila kamu kehilangan seseorang namun menemukan dirimu yang sebenarnya, maka kamu menang.

Soal Nomor 1
Diketahui titik $P'(3,-13)$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T = \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(13,-20)$              D. $(-5,-4)$
B. $(13,-4)$                E. $(-5,-20)$
C. $(4,20)$

Pembahasan

Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
Diketahui: $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$, sehingga
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\-20 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bayangan titik $P(a,b)$ oleh rotasi terhadap titik pusat $(0,0)$ sebesar $-90^{\circ}$ adalah $P'(-10,-2)$. Nilai $a+2b = \cdots \cdot$
A. $-18$                    C. $8$                     E. $22$
B. $-8$                      D. $18$       

Pembahasan

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 
Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta =-90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\-x \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $y =-10$ dan $x = 2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10$). Untuk itu, $a=2$ dan $b=-10$, sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Bayangan titik $A$ dengan $A(-1,4)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $A'(4,1)$                      D. $A'(4,3)$
B. $A'(-4,1)$                   E. $A'(-4,-1)$
C. $A'(4,-1)$

Pembahasan

Apabila titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y =-x$, maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y,-x)$. 
Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Bayangan titik $P(5,4)$ jika didilatasikan terhadap pusat $(-2,-3)$ dengan faktor skala $-4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-30,-31)$                D. $(-14,-1)$
B. $(-30,7)$                     E. $(-14,-7)$
C. $(-26,-1)$

Pembahasan

Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k =-4$. 
Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’)$, maka
$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & =-4(5-(-2)) + (-2) \\ & =-4(7)-2 =-30 \end{aligned}$
$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & =-4(4-(-3))- 3 \\ & =-4(7)-3=-31 \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31)$.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Jarak)

Soal Nomor 5
Titik $B(3,-2)$ dirotasikan sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik pusat $P(-1,1)$. Bayangan titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B’(-4,3)$                 D. $B’(1,4)$
B. $B’(-2,1)$                 E. $B’(2,5)$
C. $B’(-1,2)$

Pembahasan

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(a, b) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\-2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Bayangan titik $P(2,-3)$ oleh rotasi $R[O,90^{\circ}]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $P’(3,2)$                D. $P’(-3,2)$
B. $P’(2,3)$                E. $P’(-3,-2)$
C. $P’(-2,3)$

Pembahasan

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ 
Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui koordinat titik $P(-8,12)$. Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\cdots \cdot$
A. $(-4,8)$                  D. $(4,-16)$
B. $(-4,16)$                E. $(4,-8)$
C. $(-4,-8)$

Pembahasan

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $(-4, 8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala $1$ adalah
$(1(-4-(-8))+(-8), 1(8-12)+12)$ $= (-4, 8)$ 
Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Bayangan titik $B(4,8)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$ kemudian dilanjutkan dengan dilatasi $\left[O, \dfrac{1}{2}\right]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2, 4)$                  D. $(-8, 4)$
B. $(2,-4)$                  E. $(-8,-4)$
C. $(8,-2)$

Pembahasan

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Konsep refleksi: Jika titik $(x, y)$ direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu $X$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(x,-y)$.
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu $X$ terhadap titik $B$ berikut.
$B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4,-8)$
Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik $B$ seperti berikut.
$\begin{aligned} B'(4,-8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} & P'(\dfrac{1}{2} \times 4, \dfrac{1}{2} \times-8) \\ & = P^{\prime \prime}(2,-4) \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $(2,-4)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Sudut)

Soal Nomor 9
Diketahui koordinat titik $T(-1,5)$. Bayangan titik $T$ oleh transformasi yang diwakili oleh matriks $\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}$, dilanjutkan refleksi terhadap garis $x = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $T'(30,-7)$               D. $T'(3,-7)$
B. $T'(19, 23)$                E. $T'(-3,-7)$
C. $T'(19,-22)$

Pembahasan

Bayangan titik $T(-1, 5)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
$$\begin{aligned} T\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}} & T’\left[\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\ & = T’ \begin{pmatrix}-4(-1) + 3(5) \\ 2(-1) + (-1)(5) \end{pmatrix} \\ & = T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis $\color{red} {x=8}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x =-8}} & T^{\prime \prime}\begin{pmatrix} 2(\color{red}{8})- 19 \\-7 \end{pmatrix} \\ & = T^{\prime \prime}\begin{pmatrix}-3 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$ 
Jadi, koordinat bayangan titik $T$ adalah $\boxed{(-3,-7)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Segitiga $KLM$ dengan $K(6,4), L(-3, 1), M(2,-2)$ didilatasi dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala 4. Koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\cdots \cdot$
A. $K'(30, 7), L'(-6,-5), M'(14,-17)$
B. $K'(30, 7), L'(-6,-5), M'(10,-12)$
C. $K'(30, 7), L'(-3,-7), M'(14,-17)$
D. $K'(7, 24), L'(-5,-6), M'(14, 8)$
E. $K'(7, 24), L'(-6,-5), M'(7, 30)$

Pembahasan

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $K(6, 4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah

$K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7)$
Bayangan titik $L(-3, 1)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3)$ $= L'(-6,-5)$
Bayangan titik $M(2,-2)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3)$ $= M'(14,-17)$
Jadi, koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\boxed{K(30, 7), L(-6,-5), M(14,-17)}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Segitiga ABC dengan titik $A(-2,3), B(2,3)$, dan $C(0,-4)$ didilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $4$. Luas segitiga setelah didilatasi adalah $\cdots \cdot$ 
A. $120$                      D. $280$
B. $224$                      E. $480$
C. $240$               

Pembahasan

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Bayangan titik $A(-2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0 )$ dan faktor skala $4$ adalah
$A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12)$
Bayangan titik $B(2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah
$B'(4(2), 4(3)) = (8, 12)$
Bayangan titik $C(0,-4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah
$C'(4(0), 4(-4)) = (0,-16)$ 
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.

Segitiga tersebut memiliki luas
$L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 28}{2} = 224$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 12
Suatu vektor $\overline{a} = (-3,4)$ berturut-turut merupakan pencerminan terhadap garis $y=x$ dan rotasi sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam. Vektor awalnya sebelum ditransformasi adalah $\cdots \cdot$
A. $(3,4)$                            D. $(4,-3)$
B. $(-3,-4)$                      E. $(-3,4)$
C. $(-4,3)$

Pembahasan

Misalkan vektor awalnya adalah $(a, b)$, maka pencerminan terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{y=x}} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$
Transformasi dilanjutkan oleh rotasi sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam, sama artinya dengan $270^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam, sehingga dapat dibuat skema berikut. 
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 270^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 270^{\circ} &-\sin 270^{\circ} \\ \sin 270^{\circ} & \cos 270^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a \\-b \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh hasil transformasi vektor berbentuk $(a,-b)$. Karena diketahui vektor $\overline{a} = (-3,4)$ merupakan hasil transformasinya, maka diperoleh $a=-3$ dan $b=-4$. 
Jadi, vektor awalnya adalah $\boxed{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\-4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika persamaan garis lurus $y = 2x+3$, maka persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi $T = (3, 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = 3x$                        D. $y = 2x-4$
B. $y = 2x + 6$                  E. $y = 2x-1$
C. $y = 2x-6$

Pembahasan

Ambil satu titik yang dilalui garis itu, misalkan titik $(x,y)$. Koordinat bayangan titik ini setelah ditranslasikan oleh $T(3, 2)$ ditunjukkan oleh skema panah berikut.
$(x, y) \xrightarrow{T(3, 2)} (x+3, y+2)$
Dengan demikian, dapat ditulis $x’ = x + 3$ dan $y’ = y + 2$, atau

$\begin{cases} x = x’-3 \\ y = y’-2 \end{cases}$
Substitusikan kedua bentuk ini pada persamaan garis $y=2x+3$.
$\begin{aligned} y & = 2x + 3 \\ y’-2 & = 2(x’-3) + 3 \\ y’ & = 2x’-6 + 3 + 2 \\  y’ & = 2x’-1 \end{aligned}$
Jadi, bayangan garis $y = 2x+3$ setelah ditranslasikan oleh $T(3,2)$ adalah $\boxed{y=2x-1}$
(Jawaban E) 
 

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 14
Persamaan bayangan garis $2x+y-1=0$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+y-1=0$
B. $5x-y+1=0$
C. $3x+y+1=0$
D. $5x+y-1=0$
E. $5x+y+1=0$

Pembahasan

Bayangan titik $(x, y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] \\ & = \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \end{aligned}$
Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-$X$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x}} \begin{pmatrix} x + y \\-x-2y \end{pmatrix} \end{aligned}$ 
Diperoleh $x^{\prime \prime} = x + y$ dan $y^{\prime \prime} =-x-2y$. 
Dengan menggunakan konsep penyelesaian SPLDV, diperoleh 
$\begin{cases}-y = x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \\ x = 2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan ke $2x+y-1=0$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2(2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-(x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-1 & = 0 \\ 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}- 1 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-1=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 15
Bayangan garis $3x-y+2=0$ apabila dicerminkan terhadap garis $y=x$ dan dilanjutkan dengan rotasi sebesar $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+y+2=0$
B. $3x+y-2=0$
C. $-3x+y+2=0$
D. $-x+3y+2=0$
E. $x-3y+2=0$

Pembahasan

Bayangan titik $(x, y)$ oleh refleksi terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan oleh skema:
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{y=x}} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $ 
Transformasi titik kemudian dilanjutkan oleh rotasi sebesar $90^{\circ}$ dengan pusat $O$:
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 90^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$
Diperoleh $x^{\prime \prime} =-x$ dan $y^{\prime \prime}= y$. 
Substitusikan ke $3x-y+2=0$, diperoleh
$3(-x^{\prime \prime})-y^{\prime \prime} + 2 = 0 \Leftrightarrow 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}-2 = 0$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-2=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Garis $3x+2y=6$ ditranslasikan oleh $T (3,-4)$, lalu dilanjutkan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $2$. Hasil bayangan transformasinya adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+2y=14$         D. $3x+y=7$
B. $3x+2y=7$           E. $x+3y=14$
C. $3x+y=14$

Pembahasan

Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T(3,-4)$, sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3,-4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y- 4 \end{pmatrix}$
Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 2, sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x + 3 \\ y-4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y- 8 \end{pmatrix}$
Diperoleh:
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2} \\ y^{\prime \prime} = 2y-8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2} \end{cases}$
Substitusikan ke $3x+2y=6$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x^{\prime \prime}-6) + 2(y^{\prime \prime} + 8) & = 12 \\ 3x^{\prime \prime}-18 + 2y^{\prime \prime} + 16 & = 12 \\ 3x^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime} & = 14 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah $\boxed{3x+2y=14}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Garis $y=2x-3$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Persamaan bayangan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $y=2x+4$           D. $y=-2x+4$
B. $y=2x-4$            E. $y=-2x-3$
C. $y=2x-3$

Pembahasan

Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ 
Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’- 3\end{pmatrix} \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri Bidang Datar (Versi Rawuh) 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Refleksi Geometri Bidang Datar (Versi Rawuh)

Soal Nomor 18
Bayangan kurva $y=x^2+3x+3$ jika dicerminkan terhadap sumbu-$X$ dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+9x-3y+27=0$
B. $x^2+9x+3y+27=0$ 
C. $3x^2+9x-y+27=0$
D. $3x^2+9x+y+27=0$
E. $3x^2+9x+27=0$

Pembahasan

Hasil pencerminan terhadap sumbu-$X$ dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{\text{Sumbu}~X}} \begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix}$ 
Hasil dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 3 dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 3]} \begin{pmatrix} 3x \\-3y \end{pmatrix}$
Diperoleh $x^{\prime \prime} = 3x$ dan $y^{\prime \prime} =-3y$, sehingga ditulis $\begin{cases} x = \dfrac13x^{\prime \prime} \\ y =-\dfrac13y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan ke $y=x^2+3x+3$, sehingga didapat
$\begin{aligned}&-\dfrac13y^{\prime \prime} = \left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right)^2 + 3\left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right) + 3 \\ & \text{Kali kedua ruas dengan 9} \\ &-3y^{\prime \prime} = (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 27 \\ & (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 3y^{\prime \prime} + 27 = 0 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni $\boxed{x^2 + 9x + 3y + 27 = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Kurva $y = x^2+3$ didilatasikan dengan pusat $P(-1,2)$ dan faktor skala $3$, lalu dirotasikan sejauh $-\dfrac12 \pi$ dengan pusat $O(0,0)$. Persamaan bayangan kurva tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $3y=x^2+4x+19$
B. $3x=y^2+4y+19$
C. $y=x^2+4x+19$
D. $x=y^2 + 4y + 19$
E. $x=y^2+19$

Pembahasan

Misalkan titik $(x, y)$ didilatasikan dengan pusat $P(-1, 2)$ dan faktor skala $3$, maka dapat dibuat skema transformasi seperti berikut. 
$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[P(-1,2), 3]} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$
dengan
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = k\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ & = 3 \begin{pmatrix} x-(-1)\\ y- 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3x + 2\\ 3y- 4\end{pmatrix} \end{aligned}$
Transformasi titik $(x’, y’)$ dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat $O$ sebesar $-\dfrac12\pi$ radian atau $-90^{\circ}$, sehingga dapat dibuat skema transformasi berikut. 
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O,-90^{\circ}]} \begin{pmatrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{pmatrix}$
dengan
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3x+2 \\ 3y-4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3y-4 \\-3x-2\end{pmatrix} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 3y-4 \Leftrightarrow y = \dfrac{x^{\prime \prime} + 4}{3} \\ y^{\prime \prime} =-3x-2 \Leftrightarrow x =\dfrac{y^{\prime \prime} + 2}{-3} \end{cases}$
Substitusikan nilai $x, y$ pada persamaan kurva $y = x^2+3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\prime \prime}+4}{3} & = \left(\dfrac{y^{\prime \prime}+2}{-3}\right)^2+3 \\ \text{Kali kedua ruas}~&\text{dengan 9} \\ 3(x^{\prime \prime}+4) = & (y^{\prime \prime}+2)^2 + 27 \\ 3x^{\prime \prime} + 12 & = (y^{\prime \prime})^2 + 4y^{\prime \prime} + 31 \\ 3x^{\prime \prime} & = (y^{\prime \prime})^2 + 4y^{\prime \prime} + 19 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yaitu $\boxed{3x = y^2+4y+19}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Transformasi $T$ merupakan pencerminan terhadap garis $y=\dfrac13x$ dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis $y =-3x$. Matriks penyajian $T$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$           D. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}$          E. $\begin{pmatrix} 0 &-1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Pencerminan terhadap garis $y = mx$ dapat diwakili oleh matriks penyajian berbentuk $\begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix}$. 
Untuk pencerminan terhadap garis $y = \dfrac13x$, matriks penyajiannya berupa
$T_1 = \begin{pmatrix} \dfrac13 & 0 \\ 0 & \dfrac13 \end{pmatrix}$
Untuk pencerminan terhadap garis $y =-3x$, matriks penyajiannya berupa
$T_1 = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\ 0 &-3 \end{pmatrix}$
Dengan demikian, matriks penyajian $T$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T & = T_2 \cdot T_1 \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac13 & 0 \\ 0 & \dfrac13 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3 & 0 \\ 0 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah mesin fotokopi dapat membuat salinan gambar/tulisan dengan ukuran berbeda. Suatu gambar persegi panjang difotokopi dengan setelan tertentu. Jika setelan tersebut dapat disamakan dengan proses transformasi terhadap matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$, kemudian didilatasi dengan titik pusat $(0,0)$ dan faktor skala $3$, maka luas gambar persegi panjang itu akan menjadi $\cdots$ kali dari luas semula. 
A. $12$                   C. $24$                 E. $36$
B. $18$                   D. $30$        

Pembahasan

Perhatikan bahwa penyajian matriks untuk dilatasi berpusat di $O$ dan faktor skala 3 adalah $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
Diketahui:
$T_1 =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}~~~~T_2 =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Luas gambar yang baru dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = \left|54-36\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = 18 \times~\text{Luas Awal} \end{aligned}$
Jadi, luas gambar persegi panjang itu akan menjadi $\boxed{18 \times~\text{Luas Awal}}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Sebuah kamera memproses gambar dengan mentransformasikan gambar tersebut terhadap matriks $\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \dfrac12 & 2 \end{pmatrix}$. Selanjutnya, gambar tersebut ditransformasi lagi terhadap matriks $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$. Jika kamera tersebut mengambil gambar suatu benda dengan luas $32~\text{cm}^2$, maka luas benda hasil potretan adalah $\cdots \cdot$
A. $24~\text{cm}^2$                    D. $36~\text{cm}^2$
B. $28~\text{cm}^2$                    E. $40~\text{cm}^2$
C. $34~\text{cm}^2$

Pembahasan

Diketahui:
$T_1 = \begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix}~~~~T_2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Luas benda hasil potretan dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{vmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{vmatrix}\right| \times~\text{Luas Gambar} \\ & = \left|\dfrac{21}{2}- \dfrac{45}{4}\right| \times 32~\text{cm}^2 \\ & = \left|-\dfrac34\right| \times 32~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas benda hasil potretan adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika segiempat $ABCD$ didilatasi menjadi $A’B’C’D’$ seperti gambar, maka faktor skala yg sesuai adalah $\cdots \cdot$

A. $2$              B. $3$              C. $4$               D. $9$

Pembahasan

Tampak pada gambar bahwa proses dilatasi mengambil pusat di titik paling kiri bawah.
Asumsikan sebagai titik $(0, 0)$, sehingga dapat dianggap bahwa $A(0, 1)$, $B(3, 1)$, $C(3, 3)$, dan $D(1, 3)$. Koordinat titik hasil dilatasinya adalah $A'(3, 0)$, $B'(9, 3)$, $C'(9, 9)$, dan $D'(3, 9)$.
Dari sini, kita mengetahui bahwa ada suatu bilangan yang menjadi pengali untuk setiap nilai koordinat. Sebagai contoh, ambil saja titik $B(3,1)$ menjadi $B'(9, 3)$. Pengalinya adalah $3$, yang berarti faktor skala untuk dilatasi tersebut adalah $\boxed{3}$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan grafik berikut.

Salah satu translasi yang dapat memindahkan garis $g$ ke garis $l$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}$                     D. $\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \end{bmatrix}$                   E. $\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \end{bmatrix}$

Pembahasan

Secara geometri, kita dapat melakukan translasi pada titik ke titik yang dilalui masing-masing garis tersebut.
Dari titik $(-2, 0)$ bergeser $5$ satuan ke kanan $(+5)$ menuju titik $(3, 0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \end{bmatrix}$.
Selain itu, bisa juga dari titik $(0, 4)$ lalu digeser ke bawah sejauh $4$ satuan $(-4)$ dan $3$ satuan ke kanan $(+3)$ menuju titik $(3, 0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$.
(Jawaban E)

[collapse]