Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang himpunan tingkat lanjut berupa soal cerita (aplikasi).
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Noncerita)
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Dari sekelompok anak terdapat $20$ anak gemar voli, $28$ anak gemar basket, dan $27$ anak gemar pingpong, $13$ anak gemar voli dan basket, $11$ anak gemar basket dan pingpong, $9$ anak gemar voli dan pingpong, serta $5$ anak gemar ketiga-tiganya. Jika dalam kelompok tersebut ada $55$ anak, banyak anak yang tidak gemar satu pun dari ketiga jenis permainan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ anak C. $15$ anak
B. $13$ anak D. $18$ anak
Misalkan $x$ menyatakan jumlah siswa yang tidak gemar ketiga jenis permainan tersebut.
Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi, berlaku
$$\begin{aligned} x &= 55 -(20+28+27) + (13+11+9) -5 \\ & = 55 -75 + 33 -5 = 8. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{8~\text{anak}}$ yang tidak gemar ketiga jenis permainan tersebut.
(Jawaban A)
Soal Nomor 2
Dari satu kelas terdata $\dfrac{5}{2}$ dari jumlah siswa yang menyukai matematika sekaligus fisika akan mengikuti olimpiade fisika. Empat kali dari jumlah siswa yang menyukai keduanya akan mengikuti olimpiade matematika. Jika jumlah seluruh siswa ada $44$ orang dan siswa yang mengikuti olimpiade secara otomatis menyukai pelajaran yang dilombakan, maka banyak siswa yang hanya mengikuti olimpiade matematika (hanya menyukai matematika) adalah $\cdots$ orang.
A. $8$ C. $24$
B. $20$ D. $32$
Misalkan $M$ dan $F$ berturut-turut menyatakan himpunan siswa yang menyukai matematika dan fisika. Diketahui:
$\begin{aligned} \text{n}(F) & = \dfrac{5}{2}\text{n}(F \cap M) \\ \text{n}(M) & = 4\text{n}(F \cap M) \\ \text{n}(F \cup M) & = 44. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{n}(F \cup M) & = \text{n}(F) + \text{n}(M) -\text{n}(F \cap M) \\ 44 & = \dfrac{5}{2}\text{n}(F \cap M) + 4\text{n}(F \cap M)-\text{n}(F \cap M) \\ 44 & = \left(\dfrac52 + 4- 1\right) \text{n}(F \cap M) \\ 44 & = \dfrac{11}{2} \text{n}(F \cap M) \\ \text{n}(F \cap M) & = 44 \times \dfrac{2}{11} = 8. \end{aligned}$$Banyak siswa yang hanya mengikuti olimpiade matematika adalah
$n(M) -n(F \cap M) = 4(8) -8 = 24.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 3
Data kegiatan sarapan pagi $38$ orang peserta didik adalah sebagai berikut.
Ada $6$ orang sarapan dengan roti dan nasi goreng. Ada $5$ orang tidak sarapan pagi. Jika banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng dua kali banyak peserta didik yang sarapan roti, maka banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng saja adalah $\cdots \cdot$
A. $35$ orang C. $25$ orang
B. $30$ orang D. $20$ orang
Misalkan banyak peserta didik yang sarapan roti adalah $x$ sehingga banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng adalah $2x$. Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} 2x + x -6 & = 38 -5 \\ 3x -6 & = 33 \\ 3x & = 39 \\ x & =13. \end{aligned}$
Banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng adalah $2x = 2(13) = 26$ orang.
Banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng saja adalah $26-6 = 20$ orang.
(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Dalam suatu kelompok siswa terdapat $\color{red}{8}$ siswa yang suka bermain musik dan $\color{blue}{12}$ siswa yang suka menyanyi. Jika banyak keseluruhan siswa ada $\color{purple}{14}$ orang, maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah $\cdots \cdot$
Dengan menggunakan formula $\text{n}(A \cap B) = \text{n}(A) +$ $\text{n}(B) -\text{n}(A \cup B),$ dengan $A$ menyatakan himpunan siswa yang suka bermain musik dan $B$ menyatakan himpunan siswa yang suka menyanyi, maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah
$\text{n}(A \cap B) = \color{red}{8} + \color{blue}{12}-\color{purple}{14}= 6.$
Jadi, ada $\boxed{6}$ siswa yang menyukai bernyanyi sekaligus bermain musik.
Soal Nomor 2
Suatu kelas terdiri dari $40$ siswa, $25$ siswa di antaranya gemar bermain pingpong, $18$ siswa gemar bermain sepak bola, dan $7$ siswa tidak menyukai keduanya. Banyak siswa yang menyukai keduanya adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain pingpong, sedangkan $B$ menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain sepak bola, serta $S$ himpunan semesta.
Diketahui
$\begin{aligned} & \text{n}(S) = 40 \\ & \text{n}(A) = 25 \\ & \text{n}(B) = 18 \\ & \text{n}(A \cup B)^c = 7 \end{aligned}$
Dengan menggunakan formula $\text{n}(A \cap B) =$ $\text{n}(A) +$ $\text{n}(B) + \text{n}(A \cup B)^c$ $- \text{n}(S)$ diperoleh
$\text{n}(A \cap B) = 25 + 18 + 7 -40 = 10.$
Jadi, banyak siswa yang gemar bermain pingpong maupun sepak bola adalah $\boxed{10}$ orang.
Soal Nomor 3
Kelas VII-A terdiri dari $31$ siswa. Sebanyak $15$ siswa mengikuti kompetisi matematika, $13$ siswa mengikuti kompetisi IPA, dan $7$ siswa tidak mengikuti kompetisi tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang mengikuti kompetisi matematika, sedangkan $B$ kompetisi IPA, serta $S$ himpunan semesta, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 31 \\ \text{n}(A) & = 15 \\ \text{n}(B) & = 13 \\ \text{n}(A \cup B)^c & = 7 \end{aligned}$
Berarti,
$\begin{aligned} \text{n}(A \cup B) & = \text{n}(S) -\text{n}(A \cup B)^c \\ & = 31-7 = 24. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cap B) & = \text{n}(A) + \text{n}(B) -\text{n}(A \cup B) \\ & = 15 + 13 -24 = 4. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{4}$ siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut.
Soal Nomor 4
Terdapat $60$ orang pelamar yang harus mengikuti tes tertulis dan tes wawancara agar dapat diterima sebagai karyawan sebuah perusahaan. Ternyata $32$ orang karyawan lulus tes wawancara, $48$ orang lulus tes tertulis, dan $6$ orang tidak mengikuti tes tersebut. Banyak pelamar yang diterima sebagai karyawan perusahaan adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $A$ menyatakan himpunan pelamar yang lulus tes tertulis, sedangkan $B$ lulus tes wawancara, serta $S$ himpunan semesta, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 60 \\ \text{n}(A) & =48 \\ \text{n}(B) & = 32\\ \text{n}(A \cup B)^c & = 6 \end{aligned}$
Berarti,
$\begin{aligned} \text{n}(A \cup B) & = \text{n}(S) -\text{n}(A \cup B)^c \\ & = 60-6=54. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cap B) & = \text{n}(A) + \text{n}(B) -\text{n}(A \cup B) \\ & = 48+32 -54 = 26. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{26}$ pelamar yang diterima sebagai karyawan perusahaan itu.
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)
Soal Nomor 5
Dari $120$ orang mahasiswa semester $7$ di suatu sekolah tinggi, diketahui $100$ mahasiswa mengambil paling sedikit satu mata kuliah aplikasi pilihan, yaitu mata kuliah Asuransi, Perbankan, dan Transportasi. Diketahui juga $65$ orang mengambil Asuransi, $45$ orang mengambil Perbankan, $42$ orang mengambil Transportasi, $20$ orang mengambil Asuransi dan Perbankan, $25$ orang mengambil Asuransi dan Transportasi, dan $15$ orang mengambil Perbankan dan Transportasi.
- Tentukan banyaknya mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah tersebut.
- Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi.
- Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan.
- Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Transportasi.
- Gambarkan diagram Venn.
Misalkan $A$ menyatakan himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Asuransi, $P$ perbankan, dan $T$ transportasi, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} n(S) & = 120 \\ n(A \cup P \cup T) & = 100 \\ n(A) & = 65 \\ n(P) & = 45 \\ n(T) & = 42 \\ n(A \cap P) & = 20 \\ n(A \cap T) & = 25 \\ n(P \cap T) & = 15 \end{aligned}$
Jawaban a)
Ditanya: $n(A \cap P \cap T)$
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cup P \cup T) & = \text{n}(A) + \text{n}(P) + \text{n}(T)-\text{n}(A \cap P)- \text{n}(A \cap T)- \text{n}(P \cap T) + \text{n}(A \cap P \cap T) \\ 100 & = 65 + 45 + 42 -20 -25 -15 + \text{n}(A \cap P \cap T) \\ 100 & = 92 + \text{n}(A \cap P \cap T) \\ \text{n}(A \cap P \cap T) & = 100-92 = 8 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{8}$ mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah itu sekaligus.
Jawaban b)
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Perbankan, tetapi tidak mengambil mata kuliah Transportasi = $20 -8 = 12$ orang.
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Perbankan = $25 -8 = 17$ orang.
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi adalah
$\boxed{65 -12 -17-8 = 28}$ orang.
Jawaban c)
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Perbankan, tetapi tidak mengambil mata kuliah Transportasi = $20 -8 = 12$ orang.
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Asuransi = $15 -8 = 7$ orang.
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan adalah
$\boxed{45-12 -7 -8 = 18}$ orang.
Jawaban d)
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Asuransi = $15 -8 = 7$ orang.
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Perbankan $= 25 -8 = 17$ orang.
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Transportasi adalah
$\boxed{42-17 -7 -8 = 10}$ orang.
Jawaban e)
Soal Nomor 6
Dari $50$ siswa, $30$ siswa menyukai aritmetika, $30$ siswa menyukai geometri, dan $30$ siswa menyukai aljabar. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan geometri adalah $15$ orang. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan aljabar juga $15$ orang, sama halnya dengan yang menyukai aljabar dan geometri. Berapa banyak siswa yang menyukai ketiga-ketiganya?
Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang menyukai aritmetika, $G$ geometri, dan $J$ aljabar, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 50 \\ \text{n}(A) & = 30 \\ \text{n}(G) & = 30 \\ \text{n}(J) & = 30 \\ \text{n}(A \cap G) & = 15 \\ \text{n}(A \cap J) & = 15 \\ \text{n}(G \cap J) & = 15 \end{aligned}$
Ditanya: $\text{n}(A \cap G \cap J)$
$$\begin{aligned} \text{n}(S) & = \text{n}(A) + \text{n}(G) + \text{n}(J)- \text{n}(A \cap G)- \text{n}(A \cap J)- \text{n}(G \cap J) + \text{n}(A \cap G \cap J) \\ 50 & = 30 + 30 + 30 -15 -15 -15 + \text{n}(A \cap G \cap J) \\ 50 & = 45 + \text{n}(A \cap G \cap J) \\ \text{n}(A \cap G \cap J) & = 50-45 = 5 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{5}$ siswa yang menyukai aritmetika, geometri, dan aljabar sekaligus.
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Himpunan Ganda
Soal Nomor 7
Di antara $100$ siswa, $32$ siswa menyukai PKn, $20$ menyukai IPS, dan $45$ menyukai IPA, $7$ menyukai PKn dan IPS, $10$ menyukai IPS dan IPA, dan $15$ menyukai PKn dan IPA. Diketahui juga sebanyak $30$ siswa tidak menyukai ketiganya.
- Berapa siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran tersebut?
- Berapa siswa yang hanya menyukai PKn?
- Berapa siswa yang hanya menyukai IPS?
- Berapa siswa yang hanya menyukai IPA?
- Berapa siswa yang hanya menyukai satu dari tiga mata pelajaran tersebut?
Misalkan $P$ menyatakan himpunan siswa yang menyukai PKn, $I$ IPS, dan $A$ IPA, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 100 \\ \text{n}(P \cup I \cup A)^c & = 30 \\ \text{n}(P) & = 32 \\ \text{n}(I) & = 20 \\ \text{n}(A) & = 45 \\ \text{n}(P \cap I) & = 7 \\ \text{n}(P \cap A) & = 15 \\ \text{n}(I \cap A) & = 10 \end{aligned}$
Jawaban a)
Ditanya: $\text{n}(P \cap I \cap A)$
$$\begin{aligned} \text{n}(S) -\text{n}(P \cup I \cup A)^c & = \text{n}(P) + \text{n}(I) + \text{n}(A)- \text{n}(P \cap I)- \text{n}(P \cap A)- \text{n}(I \cap A) + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ 100 -30 & = 32 + 20 + 45 -7 -15 -10 + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ 70 & = 65 + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ \text{n}(P \cap I \cap A) & = 70-65 = 5 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{5}$ siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran itu sekaligus.
Jawaban b)
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPS, tetapi tidak menyukai IPA
$= \text{n}(P \cap I) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 7 -5 = 2$ orang.
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPA, tetapi tidak menyukai IPS
$=\text{n}(P \cap A) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 15-5 = 10$ orang.
Banyaknya siswa yang hanya menyukai PKn adalah
$\begin{aligned} = & \text{n}(P) -2 -10 -\text{n}(P \cap I \cap A) \\ = & 32 -2- 10 -5 = 15~\text{orang}.\end{aligned}$
Jawaban c)
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPS, tetapi tidak menyukai IPA
$= \text{n}(P \cap I) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 7 -5 = 2$ orang.
Banyaknya siswa yang menyukai IPS dan IPA, tetapi tidak menyukai PKn
$=\text{n}(I \cap A) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 10-5 = 5$ orang.
Banyaknya siswa yang hanya menyukai IPS adalah
$\begin{aligned} = & \text{n}(I)-2 -5 -\text{n}(P \cap I \cap A) \\ = & 20 -2 -5 -5 = 8~\text{orang}. \end{aligned}$
Jawaban d)
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPA, tetapi tidak menyukai IPS
$=\text{n}(P \cap A) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 15-5 = 10$ orang.
Banyaknya siswa yang menyukai IPS dan IPA, tetapi tidak menyukai PKn
$=\text{n}(I \cap A) – \text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 10-5 = 5$ orang.
Banyaknya siswa yang hanya menyukai IPA adalah
$\begin{aligned} = & \text{n}(A) -2 -10 + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ = & 45 -10 -5 -5 = 25~\text{orang}.\end{aligned}$
Jawaban e)
Banyaknya siswa yang hanya menyukai satu dari tiga mata pelajaran tersebut adalah $\boxed{15+8+25 = 48}$ orang.
Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Universitas Tanjungpura Tahun 2018)
Sebanyak $115$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, $71$ mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus, dan $56$ mahasiswa mengambil mata kuliah Geometri. Di antaranya $25$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Kalkulus, $14$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Geometri, dan $9$ mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus dan Geometri. Jika terdapat $196$ mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari tiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil tiga mata kuliah itu sekaligus?
Misalkan $M, K, G$ berturut-turut menyatakan himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, Kalkulus, dan Geometri.
Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
$$|M \cap K \cap G| = 196- (115 + 71 + 56) + (25 + 14 + 9) = 2$$Jadi, ada $2$ mahasiswa yang mengambil tiga mata kuliah itu sekaligus.