Jumlah Riemann adalah salah satu konsep yang ditemukan dalam kalkulus integral. Konsep ini merupakan penopang ditemukannya integral tentu. Newton dan Leibniz lebih dahulu memperkenalkan konsep ini, tetapi Riemann (matematikawan Jerman) yang memberikan definisi seperti yang sekarang kita pakai.
Definisi: Jumlah Riemann
$\overline{S}_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x~~~~(\text{Rumus}~ 1)$
atau bila diambil pada titik ujung kiri, yaitu
$\underline{S}_n = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x~~~~(\text{Rumus}~ 2)$
disebut jumlah Riemann (Riemann sum) untuk fungsi $f$ yang bersesuaian dengan partisi $P$.
Pada dasarnya, jumlah Riemann merupakan suatu aproksimasi (pendekatan) numerik untuk mencari luas di bawah kurva suatu fungsi dengan membagi selang menjadi $n$ subselang. Jika $n$ kita dekati sampai takhingga, maka kita sebut sebagai integral Riemann.
Dalam proses perhitungan jumlah Riemann saat daerah yang diarsir dipartisi dalam selang tertentu sebanyak $n$ subselang, kita akan membutuhkan rumus deret berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{i=1}^n i^2 & = 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}}$$Setiap bentuk yang serupa dengan deret di atas selanjutnya akan diberi warna biru.
Baca: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai jumlah Riemann yang merupakan cikal bakal ditemukannya konsep integral tentu. Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai referensi. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 360 KB).
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral
Quote by Confucius
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Dengan menggunakan jumlah Riemann yang tinggi persegi panjang tiap subselangnya ditentukan oleh titik ujung kanan, kita dapatkan bahwa luas pendekatan daerah yang diraster pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
A. $17,\!5$ C. $35$ E. $60$
B. $30$ D. $36$
Kurva $y=6x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah. Kita tinjau daerah di bawah kurva tersebut pada selang $[0,6].$
Jumlah Riemann – Titik Ujung Kanan
Pertama, partisi selang tertutup $[0, 6]$ menjadi $n$ subselang berupa persegi panjang dengan lebar yang sama, yaitu $\Delta x = \dfrac{6-0}{n} = \dfrac{6}{n}$ dan nilai batas untuk $x$ dimulai dari $x_0 = 0$ dan $x_n = 6.$
Pada gambar di atas, tinggi tiap persegi panjang sama dengan nilai $f(x)$ dengan $x$ adalah nilai tiap subselang diambil dari titik ujung kanan, yaitu dimulai dari $x_1 = \dfrac{6}{n}$, kemudian $x_2 = \dfrac{12}{n}$, $x_3 = \dfrac{18}{n}$, sampai dengan $x_n = 6$. Karena $y = f(x) = 6x-x^2$, maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \text{Untuk}~x_1 = \dfrac{6}{n} \Rightarrow f(x_1) = f\left(\dfrac{6}{n}\right) = 6\left(\dfrac{6}{n}\right)-\left(\dfrac{6}{n}\right)^2 \\ & \text{Untuk}~x_2 = \dfrac{12}{n} = 2 \cdot \dfrac{6}{n} \Rightarrow f(x_2) = f\left(2 \cdot \dfrac{6}{n}\right) = 6\left(2 \cdot \dfrac{6}{n}\right)-\left(2 \cdot \dfrac{6}{n}\right)^2 \\ & \text{Untuk}~x_3 = \dfrac{18}{n} = 3 \cdot \dfrac{6}{n} \Rightarrow f(x_3) = f\left(3 \cdot \dfrac{6}{n}\right) = 6\left(3 \cdot \dfrac{6}{n}\right)-\left(3 \cdot \dfrac{6}{n}\right)^2 \\ & \vdots \\ & \text{Untuk}~x_n = 6 \Rightarrow f(x_n) = f\left(6\right) = 6\left(n \cdot \dfrac{6}{n}\right)-\left(n \cdot \dfrac{6}{n}\right)^2 \end{aligned}$$Tinggi tiap persegi panjang dihitung dengan memilih titik ujung kanan tiap subselang sehingga jumlah Riemann dihitung menggunakan rumus $(1)$.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\cdots+f(x_n)\right] \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[6\left(\dfrac{6}{n}\right)-\left(\dfrac{6}{n}\right)^2+6\left(2 \cdot \dfrac{6}{n}\right)-\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 + 6\left(3 \cdot \dfrac{6}{n}\right)-\left(3 \cdot \dfrac{6}{n}\right)^2+\cdots+6\left(n \cdot \dfrac{6}{n}\right)-\left(n \cdot \dfrac{6}{n}\right)^2\right] \cdot \dfrac{6}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[\dfrac{6 \cdot 6}{n}(\color{blue}{1+2+3+\cdots+n})-\left(\dfrac{6}{n}\right)^2(\color{blue}{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2})\right] \cdot \dfrac{6}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[\dfrac{\cancelto{3}{6} \cdot 6}{\bcancel{n}} \cdot \dfrac{\bcancel{n}(n+1)}{\cancel{2}}-\dfrac{\cancelto{6}{36}}{n \cdot \cancel{n}} \cdot \dfrac{\cancel{n}(n+1)(2n+1)}{\cancel{6}}\right] \cdot \dfrac{6}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[\dfrac{3 \cdot 6^2(n+1)}{n}\right]-\lim_{n \to \infty} \left[\dfrac{6 \times 6(n+1)(2n+1)}{n^2}\right] \\ & = 108 \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n}-36 \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^2+3n+1}{n^2} \\ & = 108 \cdot 1-36 \cdot 2 = 108-72 = 36 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva $y=6x-x^2$ pada selang $[0,6]$ adalah $\boxed{36}$ satuan luas.
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri
Soal Nomor 2
Luas daerah yang diraster pada gambar berikut adalah $\ln 3$.
Jika kita dekati $\ln 3$ dengan menggunakan jumlah Riemann dengan $2$ subselang menggunakan titik ujung kiri dan titik ujung kanan, maka ketidaksamaan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12 < \displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x}~\text{d}x<1$
B. $\dfrac13 < \displaystyle \int_1^3 \dfrac{1}{x}~\text{d}x<2$
C. $\dfrac12 < \displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{x}~\text{d}x<2$
D. $\dfrac13 < \displaystyle \int_2^3 \dfrac{1}{x}~\text{d}x<\dfrac12$
E. $\dfrac56 < \displaystyle \int_1^3 \dfrac{1}{x}~\text{d}x<\dfrac32$
Jika kita menggunakan konsep Jumlah Riemann dengan $2$ subselang menggunakan titik ujung kiri, maka luas arsiran dapat didekati oleh luas persegi panjang seperti tampak pada gambar berikut.
Masing-masing persegi panjang memiliki lebar yang sama, yaitu $1$, tetapi tingginya berbeda.
Persegi panjang pertama memiliki tinggi $t = 1$, sedangkan persegi panjang kedua tingginya $t = \dfrac12$. Jumlahan luasnya adalah
$\begin{aligned} A_1 + A_2 & = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \dfrac12 \\ & = 1+\dfrac12 = \dfrac32. \end{aligned}$
Jika kita menggunakan konsep jumlah Riemann dengan $2$ subselang menggunakan titik ujung kanan, maka luas arsiran dapat didekati oleh luas persegi panjang seperti tampak pada gambar berikut.
Masing-masing persegi panjang memiliki lebar yang sama, yaitu $1$, tetapi tingginya berbeda.
Persegi panjang pertama memiliki tinggi $t = \dfrac12$, sedangkan persegi panjang kedua tingginya $t = \dfrac13$. Jumlahan luasnya adalah
$\begin{aligned} A_1 + A_2 & = 1 \cdot \dfrac12 + 1 \cdot \dfrac13 \\ & = \dfrac12+\dfrac13 = \dfrac56. \end{aligned}$
Daerah arsiran di bawah kurva $y=\dfrac{1}{x}$ pada selang $[1, 3]$ sehingga luasnya dinyatakan oleh $\displaystyle \int_1^3 \dfrac{1}{x}~\text{d}x.$
Nilai integral tentu ini berada di antara jumlahan luas persegi panjang baik menggunakan titik ujung kiri maupun kanan.
Jadi, ketidaksamaan yang benar adalah $\boxed{\dfrac56 < \displaystyle \int_1^3 \dfrac{1}{x}~\text{d}x < \dfrac32}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 3
Fungsi $f$ adalah fungsi yang kontinu pada selang $[2, 8]$ dan memiliki nilai-nilai seperti pada tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 5 & 7 & 8 \\ \hline f(x) & 10 & 30 & 40 & 20 \\ \hline \end{array}$$Dengan menggunakan subselang-subselang $[2, 5]$, $[5, 7]$, dan $[7, 8]$, berapakah pendekatan trapesium dari $\displaystyle \int_2^8 f(x)~\text{d}x$?
A. $110$ D. $190$
B. $130$ E. $210$
C. $160$
Berdasarkan tabel yang diberikan, kita dapat menggambar grafik fungsi $f(x)$ seperti berikut.
Tampak bahwa ada $3$ trapesium yang dapat dibentuk dari selang $[2, 8]$. Luasnya masing-masing dinotasikan $A_1$, $A_2$, dan $A_3.$
Pendekatan trapesium dari $\displaystyle \int_2^8 f(x)~\text{d}x$ adalah jumlah luasan trapesium di bawah kurva $f(x)$ pada selang $[2, 8].$
Ingat bahwa luas trapesium adalah $\dfrac{(a+b) \times t}{2}$ dengan $a, b$ adalah panjang sisi sejajar serta $t$ adalah tinggi trapesium.
Luas trapesium dari selang $[2, 5]$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} A_1 & = \dfrac{\cancelto{20}{(10+30)} \times (5-2)}{\cancel{2}} \\ & = 20 \times 3 = 60. \end{aligned}$
Luas trapesium dari selang $[5, 7]$ dinyatakan oleh
$A_2 = \dfrac{(30+40) \times \cancel{(7-5)}}{\cancel{2}} = 70.$
Luas trapesium dari selang $[7, 8]$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} A_3 & = \dfrac{\cancelto{30}{(40+20)} \times (8-7)}{\cancel{2}} \\ & = 30 \times 1 = 30. \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \int_2^8 f(x)~\text{d}x & = A_1+A_2+A_3 \\ & = 60+70+30=160. \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 4
Data untuk percepatan $a(t)$ sebuah mobil dari $0$ sampai dengan $6$ detik diberikan pada tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline t(\text{detik}) & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline a(t) (\text{kaki/detik}^2) & 5 & 2 & 8 & 3 \\ \hline \end{array}$$Jika kecepatan pada $t=0$ adalah $11$ kaki per detik, maka nilai pendekatan dari kecepatan pada $t=6$, dihitung dengan menggunakan jumlah Riemann ujung kiri dengan lebar subselang yang sama adalah $\cdots \cdot$
A. $26~\text{kaki/detik}$
B. $30~\text{kaki/detik}$
C. $37~\text{kaki/detik}$
D. $39~\text{kaki/detik}$
E. $41~\text{kaki/detik}$
Diketahui $v(0) = 11~\text{kaki/detik}$.
Dari tabel yang diberikan, dapat kita buat grafik (diagram garis) yang menyatakan pergerakan percepatan $a(t)$ terhadap waktu $t$ dalam satuan detik.
Jika kita menggunakan pendekatan jumlah Riemann ujung kiri, maka kita mematok tinggi persegi panjang berdasarkan nilai di sisi kirinya seperti gambar berikut.
Luas ketiga persegi panjang merupakan hasil pendekatan dari integral $a(t)$ terhadap $t$ pada selang $[0, 6].$
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^6 a(t)~\text{d}t & = L_{\text{I}} + L_{\text{II}} + L_{\text{III}} \\ & = (2 \times 5) + (2 \times 2) + (2 \times 8) \\ & = 10+4+16 = 30 \end{aligned}$$Integral dari fungsi percepatan adalah fungsi kecepatan. Lalu dengan menggunakan teorema fundamental kalkulus kedua, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^6 a(t)~\text{d}t & = [v(t)]_0^6 = v(6)-v(0) \\ 30 & = v(6)-11 \\ v(6) & = 30+11=41. \end{aligned}$
Jadi, nilai kecepatan pada saat $t=6$ dengan menggunakan pendekatan jumlah Riemann titik ujung kiri adalah $\boxed{41~\text{kaki/detik}}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 5
Perhatikan grafik berikut.
Gambar di atas menunjukkan pendekatan jumlah Riemann menggunakan bangun datar trapesium untuk mengaproksimasi luas daerah di bawah kurva yang diberi warna merah. Pernyataan berikut yang tidak benar terkait gambar itu adalah $\cdots \cdot$
- Aproksimasi luas daerah pada selang $[0, 2]$
- Aproksimasi menggunakan $4$ buah trapesium
- Luas trapesium terbesar adalah $2,\!25$
- Kurva monoton naik pada kuadran pertama
- Jumlah luas trapesium lebih besar dari luas daerah di bawah kurva
Kita akan memeriksa kebenaran setiap opsi yang diberikan.
Cek Opsi A:
Aproksimasi luas daerah pada selang $[0, 2]$ memilik arti bahwa kita memperkirakan luas daerah di bawah kurva merah dimulai dari $x = 0$ sampai $x = 2.$ Pernyataan ini jelas benar berdasarkan gambar itu.
Cek Opsi B:
Dari gambar, tampak ada $4$ buah trapesium yang tingginya sama, yaitu $0,\!5.$ Pernyataan benar.
Cek Opsi C:
Trapesium terbesar ada pada selang $[1,\!5; 2]$. Dengan menggunakan rumus luas trapesium $L = \dfrac{(a+b) \times t}{2}$, diperoleh $L = \dfrac{(3 + 8) \times 0,\!5}{2} = \dfrac{5,\!5}{2} = 2,\!75.$
Dengan demikian, pernyataan pada opsi C tidak benar.
Cek Opsi D:
Kurva merah terletak pada kuadran pertama (nilai $x$ dan $y$ bertanda positif). Selain itu, tampak bahwa semakin membesarnya nilai $x$, posisi kurva semakin tinggi (nilai $y$ makin membesar). Karena itu, kita sebut kurva ini monoton naik. Pernyataan pada opsi D benar.
Cek Opsi E:
Dari gambar, tampak bahwa tiap trapesium melampaui daerah di bawah kurva pada setiap subselang. Dapat ditarik kesimpulan bahwa luas trapesium tersebut pasti lebih besar dari luas di bawah kurva. Pada kenyataannya, ini tidak menjadi masalah karena kita hanya mengaproksimasi (memperkirakan) luasnya saja. Pernyataan pada opsi E benar.
(Jawaban C)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Sederhanakan $\text{S}_n$ dan hitung $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \text{S}_n$ dari deret berikut ini.
$$\begin{aligned} \text{a}.~& \text{S}_n = \dfrac{1}{n}\left[\left(\dfrac{1}{n}+1\right)+\left(\dfrac{2}{n}+1\right)+\cdots+\left(\dfrac{n}{n}+1\right)\right] \\ \text{b}.~& \text{S}_n = \dfrac{2}{n}\left[\left(\dfrac{2}{n}\right)^2+\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \left(n \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2\right] \end{aligned}$$
Jawaban a)
Gunakan rumus deret berikut.
$$\displaystyle \sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{1}{n}\left[\left(\dfrac{1}{n}+1\right)+\left(\dfrac{2}{n}+1\right)+\cdots+\left(\dfrac{n}{n}+1\right)\right] \\ & = \dfrac{1}{n}\left[\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n}+\cdots+\dfrac{n}{n}\right) + (\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{sebanyak}~n})\right] \\ & = \dfrac{1}{n}\left[\dfrac{1}{n}(1+2+\cdots+n) + (\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{sebanyak}~n})\right] \\ & = \dfrac{1}{n}\left[\dfrac{1}{\cancel{n}} \cdot \dfrac{\cancel{n}(n+1)}{2} + n\right] \\ & = \dfrac{1}{n} \left[\dfrac{n+1}{2} + n\right] \\ & = \dfrac{n+1}{2n} + 1. \end{aligned}$$Untuk $n$ menuju takhingga, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \text{S}_n & = \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n+1}{2n} + 1\right) \\ & = \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac12 + \dfrac{1}{2n} + 1 \right) \\ & = \dfrac12 + 0 + 1 = 1\dfrac12.\end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\text{S}_n$ untuk $n$ menuju takhingga adalah $\boxed{1\dfrac12}.$
Jawaban b)
Gunakan rumus deret berikut.
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{2}{n}\left[\left(\dfrac{2}{n}\right)^2+\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \left(n \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2\right] \\ & = \dfrac{2}{n}\left[1^2 \cdot \left(\dfrac{2}{n}\right)^2 + 2^2 \cdot \left(\dfrac{2}{n}\right)^2 + \cdots + n^2 \cdot \left(\dfrac{2}{n}\right)^2\right] \\ & = \dfrac{2}{n}\left[(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) \cdot \left(\dfrac{2}{n}\right)^2\right] \\ & = \dfrac{\cancel{2}}{\bcancel{n}}\left[\dfrac{\bcancel{n}(n+1)(2n+1)}{\cancelto{3}{6}} \cdot \left(\dfrac{2}{n}\right)^2\right] \\ & = \dfrac{2(n+1)(2n+1)}{3} \cdot \dfrac{4}{n^2} \\ & = \dfrac{8(2n^2+3n+1)}{3} \\ & = \dfrac{16n^2+24n+8}{3n^2}. \end{aligned}$$Untuk $n$ menuju takhingga, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \text{S}_n & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{16n^2+24n+8}{3n^2} \\ & = \left(\dfrac{16}{3}+0+0\right) \\ & = \dfrac{16}{3} = 5\dfrac13. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\text{S}_n$ untuk $n$ menuju takhingga adalah $\boxed{5\dfrac{1}{3}}.$
Soal Nomor 2
Bagilah selang $[-4, 4]$ menjadi $n$ subselang yang sama untuk menghitung luas di bawah kurva $y = f(x) = x^2$ dan di atas sumbu-$X$ dengan menggunakan jumlah Riemann. Gunakan titik ujung kiri tiap subselang untuk menentukan tinggi persegi panjangnya.
a. $n = 2$
b. $n = 4$
c. $n = 8$
Grafik $y = f(x) = x^2$ berupa parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncak di $(0, 0)$ seperti gambar berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah di bawah kurva fungsi $f(x) = x^2$ dan di atas sumbu-$X$ pada selang $[-4, 4].$
Jawaban a)
Partisi selang menjadi $2$ subselang menggunakan titik ujung kiri seperti gambar. Lebar setiap subselang adalah $\Delta x = \dfrac{4-(-4)}{2} = 4$.
Persegi panjang pertama dibuat dengan tinggi saat $x = -4$, yaitu $y = 16$. Persegi panjang kedua dibuat dengan tinggi saat $x = 0$, yaitu $y = 0$ sehingga tampak pada gambar di atas persegi panjangnya hanya berupa garis. Luas persegi panjang pertama dengan lebar $4$ dan tinggi $16$ adalah $A_1 = 4 \times 16 = 64$ satuan luas, sedangkan luas persegi panjang kedua dengan lebar $4$ dan tinggi $0$ jelas adalah $A_2 = 0$.
Dengan demikian, jumlahan luas kedua persegi panjang tersebut adalah
$\boxed{A_1+A_2 = 64+0 = 64}$ satuan luas.
Jawaban b)
Partisi selang menjadi $4$ subselang menggunakan titik ujung kiri seperti gambar. Lebar setiap subselang adalah $\Delta x = \dfrac{4-(-4)}{2} = 4$.
Persegi panjang pertama dibuat dengan tinggi saat $x = -4$, yaitu $y = 16$. Luasnya adalah $A_1 = 2 \times 16 = 32$.
Persegi panjang kedua dibuat dengan tinggi saat $x = -2$, yaitu $y = 4$. Luasnya adalah $A_2 = 2 \times 4 = 8$.
Persegi panjang ketiga dibuat dengan tinggi saat $x=0$, yaitu $y = 0$. Persegi panjang ini digambar hanya berupa garis sehingga luasnya adalah $0$.
Persegi panjang keempat dibuat dengan tinggi saat $x = 2$, yaitu $y = 4$. Luasnya adalah $A_2 = 2 \times 4 = 8$.
Dengan demikian, jumlahan luas kedua persegi panjang tersebut adalah
$$\boxed{\begin{aligned} A_1+A_2+A_3+A_4 & = 32+8+0+8 \\ & = 48 \end{aligned}}$$satuan luas.
Jawaban c)
Partisi selang menjadi $8$ subselang menggunakan titik ujung kiri seperti gambar. Lebar setiap subselang adalah $\Delta x = \dfrac{4-(-4)}{8} = 1$.
Lebar, tinggi, dan luas masing-masing persegi panjang kita nyatakan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Perse}\text{gi Panjang} & \text{Lebar} & \text{Tinggi} & \text{Luas} \\ \hline A_1 & 1 & 16 & 16 \\ A_2 & 1 & 9 & 9 \\ A_3 & 1 & 4 & 4 \\ A_4 & 1 & 1 & 1 \\ A_5 & 1 & 0 & 0 \\ A_6 & 1 & 1 & 1 \\ A_7 & 1 & 4 & 4 \\ A_8 & 1 & 9 & 9 \\ \hline \text{Jumlah} & – & – & 44 \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, jumlahan luas kedua persegi panjang tersebut adalah $\boxed{44}$ satuan luas.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral
Soal Nomor 3
Hitunglah luas daerah di bawah kurva $y = 4x$ dan di atas sumbu-$X$ pada selang $[0, 1]$ dengan menggunakan jumlah Riemann dengan:
- menggunakan titik ujung kanan tiap subselang;
- menggunakan titik ujung kiri tiap subselang.
Telah diketahui bahwa kurva $y = 4x$ akan berbentuk garis lurus seperti tampak pada gambar berikut.
Luas daerah di bawah kurva $y =4x$ ditunjukkan oleh luas segitiga siku-siku $OAB$, yaitu
$L_{\triangle OAB} = \dfrac{OA \times AB}{2} = \dfrac{1 \times 4}{2} = 2.$
Kita akan membuktikan bahwa luas daerah di bawah kurva tersebut pada selang $[0,1]$ adalah $2$ satuan luas menggunakan jumlah Riemann.
Jumlah Riemann – Titik Ujung Kanan
Pertama, partisi selang tertutup $[0, 1]$ menjadi $n$ subselang berupa persegi panjang dengan lebar yang sama, yaitu $\Delta x = \dfrac{1-0}{n} = \dfrac{1}{n}$ dan nilai batas untuk $x$ dimulai dari $x_0 = 0$ dan $x_n = 1$.
Pada gambar di atas, tinggi tiap persegi panjang sama dengan nilai $f(x)$ dengan $x$ adalah nilai tiap subselang diambil dari titik ujung kanan, yaitu dimulai dari $x_1 = \dfrac{1}{n}$, kemudian $x_2 = \dfrac{2}{n}$, $x_3 = \dfrac{3}{n}$, sampai dengan $x_n = 1$.
Karena $y = f(x) = 4x$, maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \text{Untuk}~x_1 = \dfrac{1}{n} \Rightarrow f(x_1) = f\left(\dfrac{1}{n}\right) = 4\left(\dfrac{1}{n}\right) \\ & \text{Untuk}~x_2 = \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_2) = f\left(\dfrac{2}{n}\right) = 4\left(\dfrac{2}{n}\right) \\ & \text{Untuk}~x_3 = \dfrac{3}{n} \Rightarrow f(x_3) = f\left(\dfrac{3}{n}\right) = 4\left(\dfrac{3}{n}\right) \\ & \vdots \\ & \text{Untuk}~x_n = 1 \Rightarrow f(x_n) = f\left(1\right) = 4(1) = 4\left(\dfrac{n}{n}\right) \end{aligned}$$Tinggi tiap persegi panjang dihitung dengan memilih titik ujung kanan tiap subselang sehingga jumlah Riemann dihitung menggunakan rumus $(1)$.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\cdots+f(x_n)\right] \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{4}{n} \cdot \left[\color{blue}{1+2+3+\cdots+n}\right] \cdot \dfrac{1}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\cancelto{2}{4}}{n} \cdot \dfrac{\cancel{n}(n+1)}{\cancel{2}} \cdot \dfrac{1}{\cancel{n}} \\ & = 2 \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} \\ & = 2 \cdot (1 + 0) = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva $y=4x$ pada selang $[0,1]$ adalah $2$ satuan luas.
Jumlah Riemann – Titik Ujung Kiri
Pertama, partisi selang tertutup $[0, 1]$ menjadi $n$ subselang berupa persegi panjang dengan lebar yang sama, yaitu $\Delta x = \dfrac{1-0}{n} = \dfrac{1}{n}$ dan nilai batas untuk $x$ dimulai dari $x_0 = 0$ dan $x_{n-1} = (n-1) \cdot \dfrac{1}{n}$.
Pada gambar di atas, tinggi tiap persegi panjang sama dengan nilai $f(x)$ dengan $x$ adalah nilai tiap subselang diambil dari titik ujung kanan, yaitu dimulai dari $x_0 = 0$, $x_1 = \dfrac{1}{n}$, kemudian $x_2 = \dfrac{2}{n}$, sampai dengan $x_{n-1} = (n-1) \cdot \dfrac{1}{n}$.
Karena $y = f(x) = 4x$, maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \text{Untuk}~x_0 = 0 \Rightarrow f(x_0) = f\left(0\right) = 4\left(0\right) \\ & \text{Untuk}~x_1 = \dfrac{1}{n} \Rightarrow f(x_1) = f\left(\dfrac{1}{n}\right) = 4\left(\dfrac{1}{n}\right) \\ & \text{Untuk}~x_2 = \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_2) = f\left(\dfrac{2}{n}\right) = 4\left(\dfrac{2}{n}\right) \\ & \vdots \\ & \text{Untuk}~x_{n-1} = (n-1) \cdot \dfrac{1}{n} \Rightarrow f(x_{n-1}) = 4\left((n-1) \cdot \dfrac{1}{n}\right) \end{aligned}$$Tinggi tiap persegi panjang dihitung dengan memilih titik ujung kiri tiap subselang sehingga jumlah Riemann dihitung menggunakan rumus $(2)$.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})\right] \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[4(0) + 4\left(\dfrac{1}{n}\right) + 4\left(\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + 4\left((n-1) \cdot \dfrac{1}{n}\right)\right] \cdot \dfrac{1}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{4}{n} \cdot \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n} + \cdots + (n-1) \cdot \dfrac{1}{n}\right) \\ & = 4 \lim_{n \to \infty} \cdot \dfrac{1}{n^2} \cdot \left(\color{blue}{1+2+\cdots+(n-1)}\right) \\ & = \cancelto{2}{4} \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n-1)(n-2)}{\cancel{2}n^2} \\ & =2 \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2-3n+2}{n^2} \\ & = 2(1-0+0) = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva $y=4x$ pada selang $[0,1]$ adalah $2$ satuan luas.
Soal Nomor 4
Hitunglah luas daerah di bawah kurva $y = 4-x^2$ dan di atas sumbu-$X$ dalam selang $[0, 2]$ dengan memakai jumlah Riemann:
- menggunakan titik ujung kanan tiap subselang;
- menggunakan titik ujung kiri tiap subselang.
Kurva $y=4-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah. Kita tinjau daerah di bawah kurva tersebut pada selang $[0,2]$.
Jumlah Riemann – Titik Ujung Kanan
Pertama, partisi selang tertutup $[0, 2]$ menjadi $n$ subselang berupa persegi panjang dengan lebar yang sama, yaitu $\Delta x = \dfrac{2-0}{n} = \dfrac{2}{n}$ dan nilai batas untuk $x$ dimulai dari $x_0 = 0$ dan $x_n = 2$.
Pada gambar di atas, tinggi tiap persegi panjang sama dengan nilai $f(x)$ dengan $x$ adalah nilai tiap subselang diambil dari titik ujung kanan, yaitu dimulai dari $x_1 = \dfrac{2}{n}$, kemudian $x_2 = \dfrac{4}{n}$, $x_3 = \dfrac{6}{n}$, sampai dengan $x_n = 2.$
Karena $y = f(x) = 4-x^2$, maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \text{Untuk}~x_1 = \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_1) = f\left(\dfrac{2}{n}\right) = 4-\left(\dfrac{2}{n}\right)^2 \\ & \text{Untuk}~x_2 = \dfrac{4}{n} = 2 \cdot \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_2) = f\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right) = 4-\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 \\ & \text{Untuk}~x_3 = \dfrac{6}{n} = 3 \cdot \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_3) = f\left(3 \cdot \dfrac{2}{n}\right) = 4-\left(3 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 \\ & \vdots \\ & \text{Untuk}~x_n = 2 \Rightarrow f(x_n) = f\left(2\right) = 4-\left(n \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 \end{aligned}$$Tinggi tiap persegi panjang dihitung dengan memilih titik ujung kanan tiap subselang sehingga jumlah Riemann dihitung menggunakan rumus $(1).$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\cdots+f(x_n)\right] \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[4-\left(\dfrac{2}{n}\right)^2+4-\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 + 4-\left(3 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2+\cdots+4-\left(n \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2\right] \cdot \dfrac{2}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[(\underbrace{4+4+4+\cdots+4}_{\text{sebanyak}~n})-(\color{blue}{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2})\left(\dfrac{2}{n}\right)^2\right] \cdot \dfrac{2}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[4n-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \dfrac{4}{n^2}\right] \cdot \dfrac{2}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[8-\dfrac{4(2n^2+3n+1)}{3n^2}\right] \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[8-\dfrac{8n^2}{3n^2}-\dfrac{12n}{n^2}-\dfrac{4}{n^2}\right] \\ & = 8-\dfrac{8}{3}-0-0 \\ & = 8-2\dfrac23 = 5\dfrac13 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva $y=4-x^2$ pada selang $[0,2]$ adalah $5\dfrac13$ satuan luas.
Jumlah Riemann – Titik Ujung Kiri
Pertama, partisi selang tertutup $[0, 2]$ menjadi $n$ subselang berupa persegi panjang dengan lebar yang sama, yaitu $\Delta x = \dfrac{2-0}{n} = \dfrac{2}{n}$ dan nilai batas untuk $x$ dimulai dari $x_0 = 0$ dan $x_{n-1} = (n-1) \cdot \dfrac{2}{n}$.
Pada gambar di atas, tinggi tiap persegi panjang sama dengan nilai $f(x)$ dengan $x$ adalah nilai tiap subselang diambil dari titik ujung kanan, yaitu dimulai dari $x_0 = 0$, $x_1 = \dfrac{2}{n}$, kemudian $x_2 = \dfrac{4}{n}$, sampai dengan $x_{n-1} = (n-1) \cdot \dfrac{2}{n}$.
Karena $y = f(x) = 4-x^2$, maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \text{Untuk}~x_0 = 0 \Rightarrow f(x_1) = f\left(0\right) = 4-\left(0\right)^2 \\ & \text{Untuk}~x_1 = \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_1) = f\left(\dfrac{2}{n}\right) = 4-\left(\dfrac{2}{n}\right)^2 \\ & \text{Untuk}~x_2 = \dfrac{4}{n} = 2 \cdot \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_2) = f\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right) = 4-\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 \\ & \vdots \\ & \text{Untuk}~x_{n-1} = (n-1) \cdot \dfrac{2}{n} \Rightarrow f(x_{n-1}) = 4-\left((n-1) \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 \end{aligned}$$Tinggi tiap persegi panjang dihitung dengan memilih titik ujung kiri tiap subselang sehingga jumlah Riemann dihitung menggunakan rumus $(2)$.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})\right] \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[4+4-\left(1 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2 + 4-\left(2 \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2+\cdots+4-\left((n-1) \cdot \dfrac{2}{n}\right)^2\right] \cdot \dfrac{2}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[(\underbrace{4+4+\cdots+4}_{\text{sebanyak}~n}-\left(\dfrac{2}{n}\right)^2(1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2)\right] \cdot \dfrac{2}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[4n-\left(\dfrac{2}{n}\right)^2(\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2)}_{}\right] \cdot \dfrac{2}{n} && (*) \end{aligned}$$Dengan menggunakan konsep deret (notasi sigma), bisa dibuktikan bahwa
$$\displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$sehingga
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} i^2 & = 1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2 \\ & = \dfrac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6} \\ & = \dfrac{(n-1)(n)(2n-1)}{6} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat kita lanjutkan $(*)$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} S_n & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[4n-\left(\dfrac{2}{n}\right)^2\left(\dfrac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}\right)\right] \cdot \dfrac{2}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[4n \times \dfrac{2}{n} -\left(\dfrac{2}{n}\right)^2 \cdot \dfrac{(n-1)(\bcancel{n})(2n-1)}{\cancelto{3}{6}} \cdot \dfrac{\cancel{2}}{\bcancel{n}} \right] \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[8-\dfrac{4}{n^2} \cdot \dfrac{(n-1)(2n-1)}{3}\right] \\ & = \lim_{n \to \infty} 8-\lim_{n \to \infty} \dfrac{8n^2-12n+4}{3n^2} \\ & = 8-\left(\dfrac83-0+0\right) \\ & = 8-2\dfrac23 = 5\dfrac13 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva $y=4-x^2$ pada selang $[0,2]$ adalah $5\dfrac13$ satuan luas.
Soal Nomor 5
Dengan menggunakan jumlah Riemann (titik ujung kanan tiap subselang), hitunglah $\displaystyle \int_0^5 (x-3)~\text{d}x$ dengan:
- membagi selang menjadi $5$ subselang dengan lebar yang sama;
- membagi selang menjadi $n$ subselang dengan lebar yang sama, kemudian hitung jumlah Riemann untuk $n \to \infty.$
Pertama, gambarkan grafik $y = x-3$ pada bidang Kartesius pada selang $[0, 5]$. Kita ketahui bahwa grafik fungsi tersebut berupa garis lurus seperti gambar berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang direpresentasikan oleh $\displaystyle \int_0^5 (x-3)~\text{d}x$ dan kita akan menggunakan teknik jumlah Riemann di titik ujung kanan untuk menghitungnya.
Jawaban a)
Perhatikan gambar berikut.
Kita membagi daerah pada selang $[0, 5]$ dalam $5$ subselang dengan lebar masing-masingnya $\Delta x = \dfrac{5-0}{5} = 1$. Dari gambar di atas, tampak hanya ada $4$ persegi panjang, karena persegi panjang yang seharusnya luasnya ditandai dengan $A_3$ tidak dituliskan pada selang $[2, 3]$ sebab tingginya $0$.
Selanjutnya, kita sajikan lebar, tinggi, dan luas setiap persegi panjang dalam tabel berikut. Perhatikan bahwa jumlah Riemann dapat bernilai negatif bila terdapat daerah di bawah sumbu-$X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Perse}\text{gi Panjang} & \text{Lebar} & \text{Tinggi} & \text{Luas} \\ \hline A_1 & 1 & -2 & -2 \\ A_2 & 1 & -1 & -1 \\ A_3 & 1 & 0 & 0 \\ A_4 & 1 & 1 & 1 \\ A_5 & 1 & 2 & 2 \\ \hline \text{Jumlah} & – & – & 0 \\ \hline \end{array}$$Jadi, jumlah Riemann dari integral tentu tersebut untuk $5$ subselang adalah $\boxed{0}.$
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar di atas, $D_1$ merupakan daerah di bawah sumbu-$X$, sedangkan $D_2$ merupakan daerah di atas sumbu-$X$. Dalam hal ini, kita menggunakan $n$ subselang pada selang $[0, 5]$ dengan lebar masing-masing $\Delta x = \dfrac{5-0}{n} = \dfrac{5}{n}$.
Tinggi tiap persegi panjang sama dengan nilai $f(x)$ dengan $x$ adalah nilai tiap subselang diambil dari titik ujung kanan, yaitu $x_1 = \dfrac{5}{n}$, kemudian diikuti oleh $x_2 = \dfrac{10}{n}$, sampai dengan $x_n = 5$.
Karena $y=f(x)=x-3$, maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} & \text{Untuk}~x_1 = \dfrac{5}{n} \Rightarrow f(x_1) = f\left(\dfrac{5}{n}\right) = \dfrac{5}{n}-3 \\ & \text{Untuk}~x_2 = \dfrac{10}{n} \Rightarrow f(x_2) = f\left(\dfrac{10}{n}\right) = \dfrac{10}{n}-3 = 2\left(\dfrac{5}{n}\right)-3 \\ & \vdots \\ & \text{Untuk}~x_n = 5 \Rightarrow f(x_1) = f\left(5\right) = 5-3=n\left(\dfrac{5}{n}\right)-3 \end{aligned}$$Tinggi tiap persegi panjang dihitung dengan memilih titik ujung kanan tiap subselang sehingga jumlah Riemann dihitung menggunakan rumus $(1)$.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_1)+f(x_2) + \cdots + f(x_n)\right] \Delta x \\ & = \lim_{n \to \infty} \left[\dfrac{5}{n}-3+2\left(\dfrac{5}{n}\right)-3+\cdots+n\left(\dfrac{5}{3}\right)-3\right] \dfrac{5}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{5}{n}\left((\color{blue}{1+2+\cdots + n})-(\underbrace{3+3+\cdots+3}_{\text{Sebanyak}~n})\right) \dfrac{5}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{25}{n^2} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2}-15\right) \\ & = \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{25n^2+25n}{2n^2}-15\right) \\ & = \dfrac{25}{2}-15 = -\dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, Jumlah Riemann yang menyatakan hasil integral tentu tersebut adalah $\boxed{S_n = -\dfrac52}.$
Soal Nomor 6
Nyatakan jumlah Riemann berikut dalam bentuk integral tentu.
$$\begin{aligned} \text{a}.&~\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{3i}{n}-3\right) \cdot \dfrac{3}{n} \\ \text{b}.&~\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \dfrac{\left(2+\dfrac{i}{n}\right)^2 + \left(2+\dfrac{i}{n}\right)}{n} \\ \text{c}.&~\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sin \left(\dfrac{6i}{n}-2\right) \cdot \dfrac{6}{n} \\ \text{d}.&~\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{3i}{2n}+\dfrac12\right) \tan \left(\dfrac{3i}{2n}-\dfrac32\right) \cdot \dfrac{3}{2n} \end{aligned}$$
Jawaban a)
Diketahui $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(i \cdot \color{red}{\dfrac{3}{n}}-3\right) \cdot \color{red}{\dfrac{3}{n}}$.
Dari bentuk di atas, diperoleh $\Delta x = \dfrac{3}{n}$ sehingga $x_1 = \dfrac{3}{n}$, $x_2 =2 \cdot \dfrac{3}{n}$, sampai $x_n = n \cdot \dfrac{3}{n}=3$.
Batas bawah integral tentunya adalah $a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{n} = 0$, sedangkan batas atas integral tentunya adalah $b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 3= 3.$
Dengan demikian, integral tentu yang dinyatakan oleh jumlah Riemann tersebut adalah $\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = \int_0^3 (x-3)~\text{d}x}.$
Jawaban b)
Diketahui $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \dfrac{\left(2+\dfrac{i}{n}\right)^2 + \left(2+\dfrac{i}{n}\right)}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left[\left(2+i \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}}\right)^2+\left(2+i \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}}\right)\right] \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}} \end{aligned}$$Dari bentuk di atas, diperoleh $\Delta x = \dfrac{1}{n}$ sehingga $x_1 = \dfrac{1}{n}$, $x_2 =2 \cdot \dfrac{1}{n}$, sampai $x_n = n \cdot \dfrac{1}{n}=1$.
Batas bawah integral tentunya adalah $a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, sedangkan batas atas integral tentunya adalah $b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 1= 1.$
Dengan demikian, integral tentu yang dinyatakan oleh jumlah Riemann tersebut adalah
$$\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = \int_0^1 \left((2 +x)^2 + (2+x)\right)~\text{d}x}.$$Jawaban c)
Diketahui $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sin \left(i \cdot \color{red}{\dfrac{6}{n}}-2\right) \cdot \color{red}{\dfrac{6}{n}}.$
Dari bentuk di atas, diperoleh $\Delta x = \dfrac{6}{n}$ sehingga $x_1 = \dfrac{6}{n}$, $x_2 =2 \cdot \dfrac{6}{n}$, sampai $x_n = n \cdot \dfrac{6}{n}=6.$
Batas bawah integral tentunya adalah $a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{n} = 0$, sedangkan batas atas integral tentunya adalah $b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 6= 6.$
Dengan demikian, integral tentu yang dinyatakan oleh Jumlah Riemann tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = \int_0^6 \sin (x-2)~\text{d}x}.$
Jawaban d)
Diketahui $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(i \cdot \color{red}{\dfrac{3}{2n}}+\dfrac12\right) \tan \left(i \cdot \color{red}{\dfrac{3}{2n}}-\dfrac32\right) \cdot \dfrac{3}{2n}.$$Dari bentuk di atas, diperoleh $\Delta x = \dfrac{3}{2n}$ sehingga $x_1 = \dfrac{3}{2n},$ $x_2 =2 \cdot \dfrac{3}{2n},$ sampai $x_n = n \cdot \dfrac{3}{2n}=\dfrac32.$
Batas bawah integral tentunya adalah $a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{2n} = 0$, sedangkan batas atas integral tentunya adalah $b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac32= \dfrac32.$
Dengan demikian, integral tentu yang dinyatakan oleh jumlah Riemann tersebut adalah
$$\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = \int_0^{3/2} \left(x+\dfrac12\right) \tan \left(x-\dfrac32\right)~\text{d}x}.$$
Soal Nomor 7
Nyatakan limit berikut dalam integral tentu.
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{\pi} {2n} \sum_{k=1}^n \cos \left(\dfrac{k\pi} {2n} \right)$$
Bentuk limit di atas dapat diubah menjadi $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \color{red}{\dfrac{\frac{\pi} {2}} {n}} \sum_{k=1}^n \cos \left(k \cdot \left(\color{red}{\dfrac{\frac{\pi}{2}} {n}} \right)\right).$
Dari bentuk tersebut, diperoleh $\Delta x = \dfrac{\frac{\pi}{2}}{n}$ sehingga $x_1 = \dfrac{\frac{\pi}{2}}{n}$, $x_2 =2 \cdot \dfrac{\frac{\pi}{2}}{n}$, sampai $x_n = n \cdot \dfrac{\frac{\pi}{2}}{n}=\dfrac{\pi}{2}.$
Batas bawah integral tentunya adalah $a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{\pi}{2}}{n} = 0$, sedangkan batas atas integral tentunya adalah $b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\pi}{2}= \dfrac{\pi}{2}.$
Dengan demikian, integral tentu yang dinyatakan oleh jumlah Riemann tersebut adalah $\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos x~\text{d}x.$
Soal Nomor 8
Gunakan konsep jumlah Riemann untuk menghitung
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n}\right)$.
Pertama, nyatakan fungsi yang dilimitkan dalam bentuk notasi sigma, yaitu
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} \dfrac{1}{n+i} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} \dfrac{1}{1+1 \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}}} \cdot \dfrac{1}{n}. \end{aligned}$$Dari bentuk di atas, diperoleh $\Delta x = \dfrac{1}{n}$ sehingga $x_1 = \dfrac{1}{n},$ $x_2 =2 \cdot \dfrac{1}{n},$ diteruskan sampai $x_n = n \cdot \dfrac{1}{n}=1,$ dan terakhir sampai $x_{2n} = 2n \cdot \dfrac{1}{n}=2.$
Batas bawah integral tentunya adalah $a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0,$ sedangkan batas atas integral tentunya adalah $b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} 2= 2.$
Dengan demikian, integral tentu yang dinyatakan oleh jumlah Riemann tersebut adalah $\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = \int_0^2 \dfrac{1}{1+x}~\text{d}x}.$
Selanjutnya, kita akan menghitung nilai dari integral tentu tersebut.
$\begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{1}{1+x}~\text{d}x & = \left[\ln (1+x)\right]_0^2 \\ & = \ln (1+2)-\ln(1+0) \\ & = \ln 3-\ln 1 \\ & = \ln 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n}\right) = \ln 3}.$$
Soal Nomor 9
Gunakan konsep jumlah Riemann untuk menghitung
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+2}} + \dfrac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+n}}\right).$$
Perhatikan setiap suku pada fungsi yang akan dilimitkan.
Jika kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{n}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n+1}} + \dfrac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n+2}} + \dfrac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n+3}} + \cdots + \dfrac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n+n}}\right) \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left(\sqrt{\dfrac{n}{n+1}} + \sqrt{\dfrac{n}{n+2}} + \sqrt{\dfrac{n}{n+3}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{n}{n+n}}\right) \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \sqrt{\dfrac{n}{n+i}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+i \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}}}} \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}}. \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan jumlah Riemann dengan $\Delta x = \dfrac{b-a}{n} = \dfrac{1}{n}.$
Diketahui bahwa $x_1 = \dfrac{1}{n}$ dan $x_n = n \cdot \dfrac{1}{n} = 1$. Untuk mencari nilai $a$ dan $b$, masing-masing dari $x_1$ dan $x_n$ kita limitkan untuk $n$ menuju takhingga.
$a = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_1 = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0.$
$b = \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1.$
Dengan menerapkan konsep jumlah Riemann bahwa $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x = \int_a^b f(x)~\text{d}x$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+i \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}}}} \cdot \color{red}{\dfrac{1}{n}} & = \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}~\text{d}x \\ & = \left[2\sqrt{x+1}\right]_0^1 \\ & = 2\sqrt{1+1}-2\sqrt{0+1} \\ & = 2\sqrt2-2. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2\sqrt2-2}.$