Berikut ini merupakan soal & pembahasan (menyusul) ON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2018 yang dilaksanakan pada bulan Februari 2018 di Gedung Auditorium Untan.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- ON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2019
Baca Juga: Kumpulan Soal ON MIPA-PT Matematika (Tahun 2006- Sekarang)
Quote by Justin Timberlake
Bagian Isian Singkat
Soal Nomor 1
Misalkan $A = [a_{ij}]$ merupakan matriks berukuran $2018 \times 2018$. Jika $a_{i+j} = i + j$ untuk setiap $i, j$, maka $\text{rank}(A) = \cdots \cdot$
Soal Nomor 2
Diberikan matriks
$A = \dfrac12 \begin{pmatrix} 2 \cos^2 \theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & 2 \sin^2 \theta \end{pmatrix}, \theta \in \mathbb{R}$.
Nilai dari $2018A^{2018}- 2018A^{2016} = \cdots \cdot$
Soal Nomor 3
Misalkan $C(\mathbb{R})$ menyatakan ruang fungsi kontinu dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$. Subruang $\{f \in C(\mathbb{R})~|~f’ = 0\}$ memiliki dimensi $\cdots \cdot$
Soal Nomor 4
Misalkan $u = \begin{pmatrix} 2018 \\ 1 \end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix} u & u \end{pmatrix}$, dan $L = \{x \in \mathbb{R}^2~|~Ax = u\}$.
Nilai dari $\text{min} \{ || x_2 ||~|~x \in L\} = \cdots \cdot$
Soal Nomor 5
Misalkan matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ mempunyai $k$ kolom yang sama. Multiplisitas geometri untuk nilai eigen $\lambda = 0$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 6
Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 & 0 \\ 0 & 2 & b & 0 \\ 0 & 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
Jika diketahui $a, b, c \in \{0,1\}$, maka nilai $a, b, c$ sehingga matriks $A$ dapat didiagonalisasi adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 7
Misalkan $f: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai
$f(u, v) = u_1v_1- u_2v_2 + 3u_3v_3$
untuk setiap $u = (u_1, u_2, u_3)$ dan $v = (v_1, v_2, v_3)$ di $\mathbb{R}^3$. $f$ bukan hasil kali dalam di $\mathbb{R}^3$ karena tidak memenuhi sifat $\cdots \cdot$
Soal Nomor 8
Jika $R$ suatu lapangan dengan elemen identitas $1 \neq 0$, maka ideal $R$ yang tidak nol adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 9
Jika $G$ sebuah grup dengan subgrup $H$ sedemikian sehingga $|G| < 56, |H| > 12$, dan $|G \div H| > 4$, maka $|G| = \cdots$
Soal Nomor 10
Misalkan $G$ grup, $a$ di $G$, dikatakan $a$ berorde $k$ jika $k$ bilangan bulat positif terkecil sehingga $a^k = e$ dengan $e$ unsur identitas di $G$. Misalkan $S_5$ grup simetri berorde $5$. Orde dari $(1~~2)(3~~4~~5)$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 11
Banyaknya koset dari $4\mathbb{Z}$ adalah $\cdots \cdot$
$\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti himpunan semua koset kanan $4\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \mathbb{Z} & = \{\cdots,-2,-1, 0, 1, 2, \cdots\} \\ 2\mathbb{Z} & = \{\cdots,-4,-2, 0, 2, 4, \cdots\} \\ 3\mathbb{Z} & = \{\cdots,-6,-3, 0, 3, 6, \cdots\} \\ 4\mathbb{Z} & = \{\cdots,-8,-4, 0, 4, 8, \cdots\} \end{aligned}$
sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
$\cdots \cdot$
$4\mathbb{Z} + 0 = 4\mathbb{Z}$
$4\mathbb{Z} + 1 = \{\cdots,-7,-3, 1, 5, 9, \cdots\}$
$4\mathbb{Z} + 2 = \{\cdots,-6,-2, 2, 6, 10, \cdots\}$
$4\mathbb{Z} + 3 = \{\cdots,-5,-1, 3, 7, 11, \cdots\}$
$4\mathbb{Z} + 4 = \{\cdots,-4, 0, 4, 8, 12, \cdots\} = 4\mathbb{Z}$
$\cdots \cdot$
Kita temukan bahwa hanya ada 4 koset kanan berbeda. Jadi, banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ adalah $\boxed{4}$.
Soal Nomor 12
Jika $D$ suatu daerah integral dengan sifat setiap $x$ di $D$ memenuhi $x^2=x$, maka unsur-unsur di $D$ adalah $\cdots \cdot$
Untuk setiap $x \in D$, berlaku
$\begin{aligned} x^2 & =x \\ x^2-x & = 0 \\ x(x-1) & = 0 \end{aligned}$
Karena $D$ daerah integral, maka menurut definisinya, tidak akan ada $x$ sedemikian sehingga berlaku $xy = 0$, untuk $y \neq 0$.
Jadi, unsur di $D$ hanya ada $2$, yaitu $\boxed{0}$ dan $\boxed{1}$.
Soal Nomor 13
Misalkan $R = \{a + bi~|~a, b \in \mathbb{Z}\}$ dan $A = \{a + bi~|~5|a~\text{dan}~5|b\}$.
Banyaknya unsur $R/A$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 14
Tinjau gelanggang polinomial $\mathbb{Z}_3[x]$. Bilangan $c \in \mathbb{Z}_3$ sehingga $x^3+cx+1$ tidak tereduksi di $\mathbb{Z}_3[x]$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 15
Nyatakan limit berikut dalam bentuk integral tentu.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{\pi} {2n} \sum_{k=1}^n \cos \left(\dfrac{k\pi} {2n}\right)$
Soal Nomor 16
Jika fungsi $f$ kontinu di selang $[0, \infty)$ dan
$\displaystyle \int_0^{x^2} f(t)~\text{d}t = x(\cos (\pi x)- 1)$
Nilai dari $f(9) = \cdots \cdot$
Teorema Dasar Kalkulus Pertama mengatakan bahwa untuk setiap fungsi $f$ yang kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ dan $x$ sembarang titik dalam interval tersebut, maka berlaku
$\displaystyle \dfrac{d}{dx} \int_0^x f(t)~dt = f(x)$
Jadi,
$\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t)~dt & = \dfrac{d}{dx}\left[F(t)\right]_0^{x^2} \\ & = \dfrac{d} {dx} (F(x^2)- F(0)) \\ & = f(x^2). 2x = 2xf(x^2) \end{aligned} $
Selanjutnya, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t)~dt & = \dfrac{d}{dx} x(\cos (\pi x)- 1) \\ 2xf(x^2) & = (\cos \pi x- 1)- \pi x \sin \pi x \\ 2.3f(3^2) & = \cos 3\pi- 1- 3\pi \sin 3\pi \\ f(9) &=- \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(9)$ adalah $-\dfrac{1}{3}$
Catatan:
Turunan $x$ terhadap fungsi konstan $f(0) = 0$ adalah $f'(0)=0$
Soal Nomor 17
Tentukan selang di mana fungsi $f(x) = \dfrac{1}{x}$ kontinu seragam.
Soal Nomor 18
Diketahui fungsi
$f(x) = \begin{cases} \sin 2x, & x \leq 0 \\ ax, & 0 < x < 1 \\ x^2+b, & x \geq 1 \end{cases}$
mempunyai turunan di $x=0$ dan $x=1$. Nilai dari $a-b$ adalah $\cdots \cdot$
$f(x)$ memiliki turunan di $x = 0$ dan $x = 1$ berarti fungsi itu kontinu di titik-titik tersebut.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) \\ & \lim_{x \to 1^{-}} ax = f(1) \\ & a = (1)^2 + b \\ & \boxed{a- b = 1} \end{aligned} $
Catatan:
Untuk memeriksa masing-masing nilai $a$ dan $b$, diferensialkan fungsinya,
$f'(x) = \begin{cases} 2 \cos 2x, & x \leq 0 \\ a, & 0 < x < 1 \\ 2x, & x \geq 1 \end{cases}$
Agar fungsinya kontinu, haruslah $2 \cos 2(0) = a$, dan mengimplikasikan $a = 2$ dan $b = 1$.
Soal Nomor 19
Misalkan $x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{2n+2k-1}$
Hitunglah nilai $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x_n & = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{2n+2k-1} \\ & = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{2n}{2n+2k-1} \\ & = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \dfrac{2k-1}{2n}} \cdot \dfrac{1}{n} \end{aligned}$
Untuk itu,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \dfrac{2k-1}{2n}} \cdot \dfrac{1}{n}$
Dengan menggunakan konsep Jumlah Riemann, $\Delta x = \dfrac{b-a} {n}$.
Ambil $b = 1$ dan $a = 0$, sehingga $\Delta x = \dfrac{1}{n}$.
Jadi, diperoleh
$\begin{aligned} & \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \dfrac{2k-1}{2n}} \cdot \dfrac{1}{n} \\ & = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x} ~\text{d}x \\ & = \left[\ln (1+x)\right]_0^1 \\ & = \ln (1+1)- \ln (1+0) \\ & = \ln 2- \ln 1 = \ln 2 \end{aligned}$
Soal Nomor 20
Tentukan nilai dari
$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \dfrac{1}{k^k} \sum_{n=1}^k n^k$
Perhatikan bahwa bentuk di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{k} \left(\dfrac{n} {k}\right)^k & = \lim_{k \to \infty} \left(\left(\dfrac{1}{k}\right)^k +\left(\dfrac{2}{k}\right)^k + \cdots + \left(\dfrac{k}{k}\right)^k\right) \\ & = \lim_{k \to \infty} \left(1 + \left(1 + \dfrac{-1}{k}\right)^k + \left(1 + \dfrac{-2}{k}\right)^k + \cdots + \left(1 + \dfrac{-k}{k}\right)^k\right) \\ & = 1 + e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} + \cdots \\ & = \dfrac{1}{1-e^{-1}} = \boxed{\dfrac{e} {e- 1}} \end{aligned}$$Catatan:
Ingat bahwa
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {n} \right)^n = e^x$
untuk setiap $x \in \mathbb{R}$
Soal Nomor 21
Misalkan $f(x) = x^2e^{x^2}, x \in \mathbb{R}$. Jika $f^{-1}$ ada dan terdiferensialkan pada selang $(0, \infty)$, hitunglah nilai $(f^{-1})'(e)$.
Soal Nomor 22
Akar pangkat 3 dari $\left(\dfrac{i-\sqrt{3}} {1+i\sqrt{3}}\right)^2$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 23
Nilai dari $5~\text{Re}(z) + 7~\text{Im}(z)$ jika $z = (3- 3i)^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa $(3,-3)$ berada di kuadran IV. Untuk itu,
$\begin{aligned} z & = (3-3i)^{2018} \\ & = (\sqrt{3^2+(-3)^2} \cdot \text{cis}~(-315^{\circ}))^{2018} \\ & = \left(3\sqrt{2} \cdot \text{cis}~\left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right)^{2018} \end{aligned}$
Dengan menggunakan Teorema de Moivre, diperoleh
$\begin{aligned} z & = (3\sqrt{2})^{2018} \cdot \text{cis}~\left(2018\cdot \left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right) \\ & = (3\sqrt{2})^{2018} \cdot \text{cis}~\left(-504\dfrac{1}{2}\pi\right) \\ & = (3\sqrt{2})^{2018} \left(\cos-\dfrac{1}{2}\pi + i \sin-\dfrac{1}{2}\pi \right) \\ & =(3\sqrt{2})^{2018}(0-i) \\ & =-(3\sqrt{2})^{2018}i \end{aligned}$
Bentuk terakhir menunjukkan bahwa $\text{Re}~z = 0$ dan $\text{Im}~z =-(3\sqrt{2})^{2018}$.
Jadi,
$\begin{aligned} & 5~\text{Re}(z) + 7~\text{Im}(z) \\ & = 5(0) + 7(-1) (3\sqrt{2})^{2018} \\ & =-7\cdot 3^{2018} \cdot 2^{1009} \end{aligned}$
Soal Nomor 24
Diketahui bilangan kompleks $a$ dengan $|a| < 1$. Didefinisikan pemetaan $\psi_a(z) = \dfrac{z-a} {1-\overline{a}z}$. Jika $|z|=1$, maka nilai dari $|\psi_a(z)|$ adalah $\cdots \cdot$
(Catatan: Notasi $\psi$ dibaca: psi)
Soal Nomor 25
Diketahui $\gamma$ adalah lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari 2. Nilai dari $\displaystyle \int_{\gamma} \dfrac{\text{d}z} {z^2(z^2+1)}$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 26
Nilai dari $\displaystyle \int_C \dfrac{\text{d}z} {z^3(z+4)}$ dengan $C$ merupakan lingkaran $|z+5|=3$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 27
Misalkan $z$ terletak pada lingkaran $|z|=2$. Estimasi nilai dari $\left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right|$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| & = \left|\dfrac{z} {(z^2-2)(z-1)}\right| \\ & = \dfrac{|z|} {|z^2-2||z-1|} \\ & \leq \dfrac{|z|} {||z|^2-2| \cdot ||z|-1|} \\ & \text{Substitusi}~|z|=2 \\ & = \dfrac{2}{|2^2-2| \cdot |2-1|} \\ & = \dfrac{2}{2 \cdot 1} = 1 \end{aligned}$
Jadi, estimasi nilai dari $\left|\dfrac{z} {z^3-z^2-2z+2}\right| = 1$
Soal Nomor 28
Luas daerah peta dari hasil pemetaan daerah $A = \{z = x + iy \in \mathbb{C}~|~-1 \leq x \leq 2,-1 \leq y \leq 3\}$ oleh transformasi $T(z) = (1+i\sqrt{3})z + 2- i$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 29
Solusi dari relasi recurrence $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ dengan $a_0=7$ dan $a_1=7$ adalah $\cdots \cdot$
Ubah persamaan yang diberikan menjadi
$a_n- a_{n- 1}- 2a_{n- 2} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- r- 2 = 0$
$(r- 2)(r + 1) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r =-1$
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah
$\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(-1)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(-1)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 2$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(-1)^1 \Rightarrow 2C_1- C_2 = 7$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 =-1$
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n- (-1)^n}$
Soal Nomor 30
Ada berapa solusi yang dimiliki oleh $x_1+x_2+x_3=11$ dengan $x_1,x_2,x_3$ bilangan bulat tak negatif dan $x_1 \leq 3, x_2 \leq 4$, dan $x_3 \leq 6$?
Soal Nomor 31
Misalkan terdapat laci yang berisi selusin kaos kaki coklat dan selusin kaos kaki hitam yang didistribusikan secara acak. Pada saat listrik padam (Anda dianggap tidak dapat melihat sekitar), berapa kaos kaki yang harus Anda ambil untuk memastikan bahwa di antaranya terdapat sepasang kaos kaki yang sewarna?
Catatan: kaos kaki kanan dan kiri dianggap sama.
Untuk mendapatkan sepasang kaos kaki sewarna, berarti kita harus mengambil setidaknya 2 kaos kaki, tetapi belum dapat dipastikan kita mendapatkannya.
Berdasarkan Prinsip Sarang Burung Merpati (Pigeonhole Principle), untuk memastikan diperolehnya sepasang kaos kaki sewarna, maka kita hanya perlu mengambil paling sedikit $2 + 1 = 3$ kaos kaki.
Soal Nomor 32
Sebanyak $115$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, $71$ mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus, dan $56$ mahasiswa mengambil mata kuliah Geometri. Di antaranya $25$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Kalkulus, $14$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Geometri, dan $9$ mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus dan Geometri. Jika terdapat $196$ mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari tiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil tiga mata kuliah itu sekaligus?
Misalkan $M, K, G$ berturut-turut menyatakan himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, Kalkulus, dan Geometri.
Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
$\begin{aligned} & |M \cap K \cap G| \\ & = 196- (115 + 71 + 56) + (25 + 14 + 9) \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, ada $2$ mahasiswa yang mengambil tiga mata kuliah itu sekaligus.
Soal Nomor 33
Berapa banyaknya anggota dari $|A \cup B \cup C \cup D|$ jika setiap himpunan berukuran $50$, setiap irisan dari dua himpunan berukuran $30$, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran $10$, dan irisan dari keempat himpunan berukuran $2$?
Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
$\begin{aligned} & |A \cup B \cup C \cup D| \\ & = (4 \times 50)- (6 \times 30) + (4 \times 10)- 2 = 58 \end{aligned}$
Catatan: Angka $4, 6, 4$ masing-masing mewakili banyaknya kombinasi susunan himpunan berdasarkan jumlahnya. Sebagai contoh, banyaknya kombinasi memilih $2$ himpunan dari $4$ himpunan adalah $C_2^4 = \dfrac{4!} {2!2!} = 6$.
Jadi, banyak anggota dari $|A \cup B \cup C \cup D|$ adalah 58.
Soal Nomor 34
Berapa banyak string yang dapat dibuat dengan mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS?
Dengan menggunakan permutasi berulang (sebab ada huruf yang sama), banyak cara penyusunan kata SUCCESS adalah
$\boxed{\dfrac{7!}{3!2!} = \dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 420}$
di mana angka $7, 3$, dan $2$ berturut-turut menyatakan banyaknya huruf pada kata SUCCESS, banyak huruf S, dan banyak huruf C.
Soal Nomor 35
Suatu barisan terdiri dari $10$ bit yang dibangun secara acak. Berapa peluang bahwa paling sedikit satu dari bit-bit tersebut adalah bit nol?
Ingat bahwa barisan bit hanya berupa barisan dengan digit $0$ dan $1$. Karena ada $10$ bit, maka akan ada $2^{10} = 1024$ kemungkinan bit yang berbeda, salah satunya adalah bit-bit yang semua digitnya adalah satu ($111 111 111 1$), sehingga bit lainnya pasti setidaknya mengandung satu digit nol. Jadi, peluang paling sedikit satu dari bit-bit tersebut adalah bit nol sebesar
$\boxed{\dfrac{1024-1}{1024}= \dfrac{1023}{1024}} $
Bagian Esai
Soal Nomor 1
Pandang $\mathbb{R}^2$ dengan hasil kali dalam standar. Misalkan $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ memenuhi $\langle Au, Av \rangle = \langle u, v \rangle$ untuk setiap $u, v \in \mathbb{R}^2$. Tunjukkan bahwa $A$ matriks ortogonal $(AA^T = I)$.
Soal Nomor 2
Misalkan $G$ grup dan $A = \{(a, b): a, b \in G\}$. Misalkan $T = \{(g, g): g \in G\}$. Buktikan
a. $T \cong G$
b. $T$ subgrup normal $A$ jhj $G$ abelian.
Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa barisan $\{x_n\}$,
$x_n = \displaystyle \int_1^n \dfrac{\sin (t)} {t^2}~\text{d}t$ adalah barisan Cauchy.
Soal Nomor 4
Misalkan $h(z)$ fungsi harmonik bernilai kompleks dan $zh(z)$ juga harmonik. Tunjukkan bahwa $h(z)$ analitik.
Soal Nomor 5
Misalkan $n$ adalah sebuah bilangan positif. Buktikan bahwa
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\dfrac{1}{k}\binom{n} {k} =1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$
(Alternatif: Pendekatan Integral)
Misalkan
$H_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$
Ingat bahwa
$\dfrac{1-x^n} {1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}$
Dari persamaan itu, dapat dilihat bahwa
$H_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-x^n} {1-x}~\text{d}x$
Selanjutnya, substitusikan $x = 1- u$, diperoleh
$\begin{aligned} H_n & =-\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1- (1- u)^n} {u}~\text{d}u \\ & =-\int_0^1 \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-u)^k\binom{n} {k}}{u} \right)~\text{d}u~~\bigstar\\ & = \int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}u^{k-1}\binom{n}{k}~\text{d}u~~\bigstar \bigstar\\ & = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom{n} {k} \int_0^1 u^{k-1}~\text{d}u \\ & = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\dfrac{1}{k} \binom{n} {k} \end{aligned}$
(Terbukti)
Catatan:
$\bigstar$ Ingat Teorema Binomial
$\boxed{(x+y)^n = \sum_{k=0}^n x^ky^{n-k}\binom{n} {k}}$
Jika $x$ diganti menjadi $-x$ dan $y = 1$, diperoleh
$(1- x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n (-x)^k\binom{n} {k}$
$\bigstar \bigstar$ Perhatikan bahwa indeks batas bawah sumasi berubah dari 0 menjadi 1. Hal ini dikarenakan adanya penjabaran nilai untuk $k = 0$, yang menghasilkan $\dfrac{1}{x}$ sehingga mengeliminasi suku di depannya.