Distribusi geometrik dan binomial negatif termasuk distribusi peluang untuk variabel acak diskret. Pada kasus tertentu, kita meninjau suatu eksperimen binomial yang percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai kejadian yang diinginkan (kesuksesan) terjadi sebanyak sejumlah kali. Pada distribusi binomial, hal yang ditinjau adalah peluang dari $x$ kesuksesan dalam $n$ kali percobaan dan nilai $n$ tetap. Sekarang kita meninjau peluang terjadinya kesuksesan ke-$k$ yang terjadi pada percobaan ke-$x.$ Percobaan ini selanjutnya disebut sebagai eksperimen binomial negatif.
Sebagai ilustrasi, seorang anak akan mengetoskan sekeping koin dengan sisi angka dan gambar. Ia akan mengetos koin tersebut secara berulang-ulang dan hanya akan berhenti jika muncul sisi angka. Kita kemudian tertarik untuk menentukan peluang diperolehnya sisi angka untuk pertama kalinya pada pengetosan ketujuh, misalnya. Ini berarti pengetosan pertama sampai keenam menghasilkan sisi gambar, sedangkan pengetosan ketujuh menghasilkan sisi angka. Tentu saja peluangnya mudah dihitung dalam kasus ini, yaitu $\left(\dfrac12\right)^6\left(\dfrac12\right)^1.$ Ini merupakan ilustrasi yang berkaitan dengan distribusi geometrik.
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Dengan meninjau kasus lain, misalkan anak tersebut mengetoskan sekeping koin yang sama. Ia akan mengetos koin tersebut secara berulang-ulang dan hanya akan berhenti jika muncul sisi angka sebanyak $4$ kali. Jelas bahwa anak tersebut setidaknya harus mengetos koin tersebut sebanyak $4$ kali. Kita kemudian tertarik untuk menghitung peluang bahwa sisi angka muncul sebanyak $4$ kali pada pengetosan ketujuh, misalnya. Perhitungan peluang pada kasus ini menjadi lebih sulit karena ada kombinasi kejadian yang dapat menghasilkan ‘kesuksesan’ yang diinginkan. Ini merupakan ilustrasi yang berkaitan dengan distribusi binomial negatif.
Peluang pada kasus distribusi binomial negatif bergantung pada banyaknya kesuksesan yang diinginkan dan peluang dari tiap kesuksesan itu sendiri pada percobaan yang dilakukan. Peluang terjadinya kesuksesan ke-$k$ yang terjadi pada percobaan ke-$x$ dengan peluang kesuksesan itu terjadi sebesar $p$ selanjutnya dinotasikan oleh $b^*(x; k, p).$ Untuk memperoleh rumus umum dari $b^*(x; k, p),$ tinjau peluang suatu kesuksesan pada percobaan ke-$x$ yang didahului oleh terjadinya $k-1$ kesuksesan $x-k$ kegagalan dalam urutan tertentu. Karena percobaan yang dilakukan bebas (independent), kita dapat mengalikan peluang yang bersesuaian dengan masing-masing keluaran yang diinginkan. Masing-masing kesuksesan dapat terjadi dengan peluang $p,$ sedangkan peluang kegagalan adalah $q = 1-p.$ Dengan demikian, peluang terjadinya kesuksesan ke-$k$ yang terjadi pada percobaan ke-$x$ pada satu urutan tertentu dinyatakan oleh
$$p^{k-1} \cdot q^{x-k} \cdot p = p^k \cdot q^{x-k}.$$Banyaknya titik sampel pada percobaan yang diakhiri dengan suatu kesuksesan, setelah terjadi $k-1$ kesuksesan dan $x-k$ kegagalan dalam urutan sembarang, sama dengan banyaknya cara memilih $k-1$ dari $x-1$ percobaan untuk dijadikan sebagai percobaan yang menghasilkan kesuksesan.
Dengan menggunakan aturan kombinasi, banyak cara kita memilih $x-1$ percobaan tersebut adalah $\displaystyle \binom{x-1}{k-1},$ masing-masing saling lepas dan terjadi dengan peluang yang sama sebesar $p^kq^{x-k}.$ Jadi, rumus umum yang dicari adalah $\displaystyle \binom{x-1}{k-1} p^k \cdot q^{x-k}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Berikutnya, kita akan mendefinisikan secara formal tentang distribusi binomial negatif (dan juga distribusi geometrik).
Definisi: Distribusi Binomial Negatif
Jika percobaan bebas dan berulang dapat menghasilkan suatu kesuksesan dengan peluang $p$ dan kegagalan dengan peluang $q = 1-p,$ maka distribusi peluang dari variabel acak $X$ yang menyatakan banyaknya percobaan sampai kesuksesan ke-$k$ terjadi dinyatakan oleh
$$P(X = x) = b^*(x; k, p) = \displaystyle \binom{x-1}{k-1} p^k \cdot q^{x-k}$$dengan $x = k, k+1, k+2, \cdots.$
Dari definisi di atas, nilai $x$ dimulai dari $k$ karena untuk mencapai kesuksesan ke-$k,$ jelas bahwa percobaan yang dilakukan setidaknya sebanyak $k$ kali.
Istilah binomial negatif dipakai karena fakta bahwa masing-masing suku dari ekspansi $p^k(1-p)^{-k}$ berkorespondensi dengan nilai $b^*(x; k, p)$ untuk $x = k, k+1, k+2, \cdots.$ Jika kita meninjau kasus khusus dengan memilih nilai $k = 1,$ kita berarti ingin menentukan peluang terjadinya kesuksesan untuk yang pertama kalinya. Distribusi peluang binomial negatif kemudian menjadi
$$b^*(x; 1, p) = pq^{x-1},~~~x = 1, 2, 3, \cdots.$$Karena suku-suku berurutan membentuk barisan geometri, yaitu $p, pq, pq^2, pq^3, \cdots,$ kita kemudian menyebut kasus khusus ini sebagai distribusi geometrik dan menotasikannya sebagai $g(x; p).$
Definisi: Distribusi Geometrik
Jika percobaan bebas dan berulang dapat menghasilkan suatu kesuksesan dengan peluang $p$ dan kegagalan dengan peluang $q = 1-p,$ maka distribusi peluang dari variabel acak $X$ yang menyatakan banyaknya percobaan sampai kesuksesan pertama terjadi dinyatakan oleh
$$P(X = x) = g(x; p) = pq^{x-1}$$dengan $x = 1, 2, 3, \cdots.$
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Hipergeometrik
Selanjutnya, rata-rata dan varians dari distribusi binomial negatif dan geometrik diberikan dalam teorema berikut.
Teorema: Rata-Rata dan Varians dari Variabel Acak yang Berdistribusi Binomial Negatif dan Geometrik
Jika $X \sim b^*(k, p),$ maka rata-rata dan varians dari $X$ berturut-turut adalah $\mu_X = \dfrac{k}{p}$ dan $\sigma_X^2 = \dfrac{k(1-p)}{p^2}.$
Jika $Y \sim g(p),$ maka rata-rata dan varians dari $Y$ berturut-turut adalah $\mu_Y = \dfrac{1}{p}$ dan $\sigma_Y^2 = \dfrac{1-p}{p^2}.$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Distribusi Geometrik} & \text{Geometric Distribution} \\ 2. & \text{Distribusi Binomial Negatif} & \text{Negative Binomial Distribution} \\ 3. & \text{Eksperimen Binomial Negatif} & \text{Negative Binomial Experiment} \\ 4. & \text{Kejadian} & \text{Event} \\ 5. & \text{Titik Sampel} & \text{Sample Point} \\ 6. & \text{Keluaran} & \text{Outcome} \\ 7. & \text{Variabel Acak Diskret} & \text{Discrete Random Variable} \\ 8. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 9. & \text{Fungsi Massa Peluang} & \text{Probability Mass Function} \\ 10. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 11. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ \hline \end{array}$$
Nah, supaya lebih paham, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan tentang distribusi geometrik dan binomial negatif. Semoga bermanfaat.
Catatan tambahan: Anda diperbolehkan menggunakan kalkulator atau aplikasi komputer untuk mempermudah perhitungan peluang. Untuk setiap hasil perhitungan, bulatkan sampai 4 angka di belakang koma.
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Quote by Jiddu Krishnamurti
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Peluang seseorang yang tinggal di kota memelihara anjing adalah $0,\!3.$ Tentukan peluang bahwa orang kesepuluh yang secara acak diwawancarai di kota tersebut merupakan orang kelima yang memelihara anjing.
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial negatif karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ kelima, yaitu mewawancarai orang kelima yang memelihara anjing.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang diwawancarai. Diketahui $x = 10,$ $k = 5,$ dan $p = 0,\!3.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} b^*(10; 5, 0,\!3) & = \displaystyle \binom{10-1}{5-1} (0,\!3)^5(0,\!7)^{10-5} \\ & \approx 0,\!0515. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang kesepuluh yang secara acak diwawancarai di kota tersebut merupakan orang kelima yang memelihara anjing sekitar $\boxed{0,\!0515}$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Soal Nomor 2
Pada proses manufaktur tertentu, diketahui rata-rata terdapat $1$ dari $100$ barang yang rusak. Berapa peluang bahwa barang kelima yang diinspeksi merupakan barang pertama yang cacat?
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi geometrik karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ pertama, yaitu kejadian menemukan barang yang cacat.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya barang yang diinspeksi. Diketahui $x = 5$ dan $p = 1/100 = 0,\!01.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 5) & = g(5; 1/100) \\ & = (0,\!01)(0,\!99)^{5-1} \\ & \approx 0,\!0096. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa barang kelima yang diinspeksi merupakan barang pertama yang cacat sekitar $\boxed{0,\!0096}$
Soal Nomor 3
Seorang ilmuwan menyuntik tikus-tikus satu persatu dengan vaksin tertentu sampai ia mendapatkan $2$ ekor tikus yang mengalami komplikasi. Jika peluang seekor tikus mengalami komplikasi setelah disuntik vaksin tersebut adalah $1/6,$ berapa peluang bahwa $8$ tikus diperlukan dalam penelitiannya?
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial negatif karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ kedua, yaitu kejadian mendapatkan $2$ ekor tikus yang mengalami komplikasi.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya tikus yang disuntik vaksin. Diketahui $x = 8,$ $k = 2,$ dan $p = 1/6.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 8) & = b^*(8; 2, 1/6) \\ & = \displaystyle \binom{8-1}{2-1} \left(\dfrac16\right)^2 \left(\dfrac56\right)^{8-2} \\ & \approx 0,\!0651. \end{aligned}$$ Jadi, peluang bahwa $8$ tikus diperlukan dalam penelitiannya sekitar $\boxed{0,\!0651}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Soal Nomor 4
Saat jam sibuk, jaringan telepon di suatu kawasan banyak diakses sehingga pengguna sering kali kesulitan menyambungkan sinyal. Peluang pengguna dapat menyambungkan sinyal diperkirakan sebesar $0,\!05.$ Berapa peluang bahwa $7$ kali percobaan menelepon perlu dilakukan sampai sinyal tersambung?
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi geometrik karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ pertama, yaitu kejadian sinyal telepon tersambung.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya percobaan menelepon. Diketahui $x = 7$ dan $p = 0,\!05.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 7) & = g(7; 0,\!05) \\ & = (0,\!05)(0,\!95)^{7-1} \\ & \approx 0,\!0368. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa $7$ kali percobaan menelepon perlu dilakukan sampai sinyal tersambung sekitar $\boxed{0,\!0368}$
Soal Nomor 5
Tiga orang masing-masing mengetos sekeping koin. Jika ada satu koin yang memunculkan sisi yang berbeda dengan dua koin lainnya, maka si pemilik koin dianggap kalah. Namun, jika semua koin memunculkan sisi yang sama, pengetosan diulangi. Tentukan peluang bahwa kurang dari $4$ pengetosan dapat dilakukan sampai ada orang yang kalah.
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi geometrik karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ pertama, yaitu kejadian ada satu koin yang memunculkan sisi yang berbeda dengan dua koin lainnya.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pengetosan koin. Karena hanya ada dua kemungkinan untuk tiga koin memunculkan sisi yang sama, yaitu $\{(AAA), (GGG)\}$ dengan $A$ = angka dan $G$ = gambar, peluang ada satu koin yang memunculkan sisi yang berbeda dengan dua koin lainnya adalah $p = 1-\dfrac{2}{8} = \dfrac34.$ Akan dicari nilai $p(X \le 4)$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p(X \le 4) & = \displaystyle \sum_{x = 1}^3 g(x; 3/4) \\ & = \dfrac34 \left(\dfrac14\right)^0 + \dfrac34 \left(\dfrac14\right)^1 + \dfrac34 \left(\dfrac14\right)^2 \\ & = \dfrac34\left(1 + \dfrac14 + \dfrac{1}{16}\right) \\ & = \dfrac{63}{64} \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa kurang dari $4$ pengetosan dapat dilakukan sampai ada orang yang kalah adalah $\boxed{\dfrac{63}{64}}$
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Soal Nomor 6
Peluang bahwa seorang calon pilot lolos tes tertulis dalam rangka untuk mendapatkan surat izin mengemudi adalah $0,\!7.$ Tentukang peluang bahwa seorang calon pilot lolos tes tertulis tersebut:
- saat percobaan keempat;
- sebelum percobaan ketiga.
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi geometrik karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ pertama, yaitu kejadian calon pilot lolos tes tertulis tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya percobaan tes yang dilakukan.
Jawaban a)
Diketahui $x = 4$ dan $p = 0,\!7.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 4) & = g(4; 0,\!7) \\ & = (0,\!7)(0,\!3)^{4-1} \\ & = 0,\!0189. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa bahwa seorang calon pilot lolos tes tertulis tersebut saat percobaan keempat adalah $\boxed{0,\!0189}$
Jawaban b)
Diketahui $p = 0,\!7.$ Akan ditentukan nilai dari $p(X < 3).$
$$\begin{aligned} p(X < 3) & = \displaystyle \sum_{x = 1}^2 g(x; 0,\!7) \\ & = (0,\!7)(0,\!3)^{1-1} + (0,\!7)(0,\!3)^{2-1} \\ & = 0,\!91. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa bahwa seorang calon pilot lolos tes tertulis tersebut sebelum percobaan ketiga adalah $\boxed{0,\!91}$
Soal Nomor 7
Misalkan peluang bahwa orang yang tinggal di suatu kawasan akan percaya dengan suatu informasi bohong adalah $0,\!8.$ Berapa peluang bahwa:
- orang keenam yang diberi tahu informasi bohong merupakan orang keempat yang percaya?
- orang ketiga yang diberi tahu informasi bohong merupakan orang pertama yang percaya?
Jawaban a)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial negatif karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ keempat, yaitu kejadian menemukan orang keempat yang percaya dengan informasi bohong tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya banyaknya orang yang diberi tahu informasi bohong. Diketahui $x = 6,$ $k = 4,$ dan $p = 0,\!8.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 6) & = b^*(6; 4, 0,\!8) \\ & = \displaystyle \binom{6-1}{4-1} \left(0,\!8\right)^4 \left(0,\!2\right)^{6-4} \\ & \approx 0,\!0651. \end{aligned}$$ Jadi, peluang bahwa orang ketiga yang diberi tahu informasi bohong merupakan orang pertama yang percaya sekitar $\boxed{0,\!1638}$
Jawaban b)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi geometrik karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ pertama, yaitu kejadian menemukan orang yang percaya dengan informasi bohong tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang diberi tahu informasi bohong. Diketahui $x = 3$ dan $p = 0,\!8.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = g(3; 0,\!8) \\ & = (0,\!8)(0,\!2)^{3-1} \\ & = 0,\!032. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa bahwa orang keenam yang diberi tahu informasi bohong merupakan orang keempat yang percaya adalah $\boxed{0,\!032}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Eksponensial dan Gama
Soal Nomor 8
Tentukan peluang bahwa seseorang yang mengetos sekeping koin memperoleh:
- sisi gambar untuk yang ketiga kalinya pada pengetosan kedelapan;
- sisi angka untuk yang pertama kalinya pada pengetosan kelima.
Jawaban a)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi binomial negatif karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ ketiga, yaitu kejadian memunculkan sisi gambar untuk yang ketiga kalinya pada pengetosan koin.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pengetosan koin. Diketahui $x = 8,$ $k = 3,$ dan $p = 0,\!5.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 8) & = b^*(8; 3, 0,\!5) \\ & = \displaystyle \binom{8-1}{3-1} (0,\!5)^3 (0,\!5)^{8-3} \\ & \approx 0,\!0820. \end{aligned}$$ Jadi, peluang bahwa seseorang yang mengetos sekeping koin memperoleh sisi gambar untuk yang ketiga kalinya pada pengetosan kedelapan sekitar $\boxed{0,\!0820}$
Jawaban b)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi geometrik karena kita ingin menghasilkan ‘kesuksesan’ pertama, yaitu kejadian memunculkan sisi angka pada pengetosan koin.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pengetosan koin. Diketahui $x = 5$ dan $p = 0,\!5.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 5) & = g(5; 0,\!5) \\ & = (0,\!5)(0,\!5)^{5-1} \\ & \approx 0,\!0313. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa seseorang yang mengetos sekeping koin memperoleh sisi angka untuk yang pertama kalinya pada pengetosan kelima sekitar $\boxed{0,\!0313}$