Kejadian majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih kejadian dalam suatu ruang sampel yang saling berkaitan atau terjadi secara bersamaan. Dalam peluang, kejadian majemuk sering dianalisis untuk menentukan kemungkinan terjadinya dua atau lebih peristiwa sekaligus. Secara umum, kejadian majemuk terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu kejadian saling lepas (mutually exclusive), kejadian tidak saling lepas (non-mutually exclusive), kejadian saling bebas (independent), dan kejadian tidak saling bebas (dependent).
Kejadian saling lepas (mutually exclusive) adalah dua atau lebih kejadian yang tidak mungkin terjadi bersamaan. Artinya, jika salah satu kejadian terjadi, maka kejadian lainnya pasti tidak terjadi. Contohnya, dalam satu kali pelemparan sebuah dadu, kejadian muncul angka genap (2, 4, 6) dan kejadian muncul angka ganjil (1, 3, 5) adalah dua kejadian yang saling lepas karena tidak mungkin dalam satu lemparan muncul angka yang sekaligus genap dan ganjil.
Sebaliknya, kejadian tidak saling lepas (non-mutually exclusive) adalah kejadian-kejadian yang bisa terjadi bersamaan. Misalnya, dalam pengambilan satu kartu dari satu set kartu remi, kejadian “mengambil kartu merah” dan kejadian “mengambil kartu King” tidak saling lepas, karena ada kartu King yang berwarna merah (King Hati dan King Wajik) sehingga keduanya bisa terjadi bersamaan.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Kejadian saling bebas (independent) adalah kejadian-kejadian yang tidak saling memengaruhi satu sama lain. Contohnya, melempar koin dan melempar dadu secara bersamaan. Hasil lemparan koin (muncul gambar atau angka) tidak memengaruhi hasil lemparan dadu (muncul angka 1 sampai 6), begitu pun sebaliknya.
Terakhir, kejadian tidak saling bebas (dependent) adalah kejadian-kejadian yang saling memengaruhi. Contohnya, pengambilan dua bola secara berurutan dari sebuah kotak tanpa pengembalian. Jika bola pertama sudah diambil dan tidak dikembalikan, jumlah bola dalam kotak berkurang sehingga peluang untuk kejadian kedua berubah.
Dengan memahami jenis-jenis kejadian majemuk ini, kita bisa menghitung peluang gabungan beberapa kejadian dengan lebih tepat, sesuai dengan hubungan antara kejadian-kejadian tersebut. Untuk mempertajam pemahaman tentang kejadian majemuk, berikut disajikan beberapa soal dan pembahasan terkait topik tersebut. Soal-soal di bawah memiliki tingkat kesukaran selevel SMA sehingga sangat cocok dipelajari oleh para pelajar yang memiliki fondasi pemahaman peluang dasar yang baik.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Frekuensi Harapan dalam Teori Peluang
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Hukum Wilson
Soal Nomor 1
Dari sebuah kantong berisi 3 bola merah, 2 bola kuning, dan 5 bola hijau, secara acak diambil dua bola satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang kedua bola yang diambil berwarna hijau.
Perhatikan bahwa bola pertama dan bola kedua yang diinginkan berwarna hijau. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya bola hijau pada pengambilnya pertama dan kedua. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah bola hijau}}{\text{jumlah semua bola}} = \dfrac{5}{3+2+5} = \dfrac{5}{10} = \dfrac12$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah bola hijau}}{\text{jumlah semua bola}} = \dfrac{5-1}{3+2+5-1} = \dfrac49$$ karena jumlah bola hijau berkurang $1,$ begitu juga dengan jumlah semua bola. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac12 \times \dfrac49 = \dfrac29. \end{aligned}$$Jadi, peluang kedua bola yang diambil berwarna hijau adalah $\boxed{\dfrac29.}$
Dalam sebuah kotak terdapat 10 lembar kartu yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil selembar kartu, berapa peluang terambilnya kartu bernomor ganjil atau prima?
Jelas bahwa ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “atau”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kartu bernomor ganjil dan kartu bernomor prima. $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ dan $B=\{2, 3, 5, 7\}$ merupakan dua kejadian yang tidak saling lepas karena dapat terjadi secara bersamaan (ada nomor ganjil sekaligus prima), yaitu $A \cap B = \{3, 5, 7\}.$Perhatikan bahwa $\text{n}(A) = 5,$ $\text{n}(B) = 4,$ $\text{n}(A \cap B) = 3,$ serta banyaknya anggota ruang sampel $\text{n}(S) = 10.$ Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{n}(A)}{\text{n}(S)} = \dfrac{5}{10}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{n}(B)}{\text{n}(S)} = \dfrac{4}{10}$$serta
$$P(A \cap B) = \dfrac{\text{n}(A \cap B)}{\text{n}(S)} = \dfrac{3}{10}$$sehingga
$$\begin{aligned} P(A \cup B) & = P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ & = \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{10}-\dfrac{3}{10} \\ & = \dfrac{6}{10} = \dfrac35. \end{aligned}$$Jadi, peluang terambilnya kartu bernomor ganjil atau prima adalah $\boxed{\dfrac35}.$ [/spoiler]
Soal Nomor 2
Di dalam kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng biru. Diambil dua kelereng satu per satu tanpa pengembalian. Hitung peluang terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua.
Jelas bahwa kasus ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kelereng merah}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{4}{4+6} = \dfrac{2}{5}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kelereng biru}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{6}{4+6-1} = \dfrac23$$ karena $1$ bola merah telah diambil. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac25 \times \dfrac23 = \dfrac{4}{15}. \end{aligned}$$Jadi, peluang terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua adalah $\boxed{\dfrac{4}{15}}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)
Soal Nomor 3
Dalam sebuah kotak terdapat 8 kelereng, terdiri dari 3 merah, 2 biru, dan 3 putih. Dua kelereng diambil satu per satu tanpa dikembalikan. Hitung peluang bahwa tidak ada kelereng biru yang terambil.
Perhatikan bahwa kelereng pertama dan kelereng kedua yang diinginkan adalah kelereng yang bukan berwarna biru. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kelereng bukan biru (artinya, merah atau putih) pada pengambilan pertama dan kedua. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kelereng merah+putih}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{3+3}{3+2+3} = \dfrac{3}{4}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kelereng merah+putih}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{3+3-1}{3+2+3-1} = \dfrac{5}{7}$$ karena $1$ kelereng bukan biru telah diambil. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac34 \times \dfrac57 = \dfrac{15}{28}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa tidak ada kelereng biru yang terambil adalah $\boxed{\dfrac{15}{28}}.$
Soal Nomor 4
Sebuah kotak berisi 10 kartu bernomor 1 sampai 10. Diambil dua kartu satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang bahwa kedua kartu yang diambil bernomor genap.
Perhatikan bahwa kartu pertama dan kartu kedua yang diinginkan bernomor genap. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kartu bernomor genap pada pengambilan pertama dan kedua. Dari $1$ sampai $10,$ total ada $5$ nomor genap, yaitu $2, 4, 6, 8,$ dan $10.$ Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kartu bernomor genap}}{\text{jumlah semua kartu}} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kartu bernomor genap}}{\text{jumlah semua kartu}} = \dfrac{5-1}{10-1} = \dfrac49$$ karena $1$ kartu bernomor genap telah diambil. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac12 \times \dfrac49 = \dfrac{2}{9}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa kedua kartu yang diambil bernomor genap adalah $\boxed{\dfrac29}.$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Peluang Bersyarat
Soal Nomor 5
Dalam kantong terdapat 2 dadu kecil berwarna merah dan biru. Sebuah dadu dilempar satu per satu. Hitung peluang mata dadu pertama genap dan mata dadu kedua ganjil.
Jelas bahwa kasus ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian munculnya mata dadu pertama genap dan mata dadu kedua ganjil. Ada $3$ mata dadu genap, yaitu $2, 4,$ dan $6$, begitu juga dengan mata dadu ganjil, yaitu $1, 3,$ dan $5.$ Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{banyaknya mata dadu genap}}{\text{banyaknya mata dadu berbeda}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac12$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{banyaknya mata dadu ganjil}}{\text{banyaknya mata dadu berbeda}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$sehingga diperoleh
\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{4}. \end{aligned}$$Jadi, peluang mata dadu pertama genap dan mata dadu kedua ganjil adalah$\boxed{\dfrac{1}{4}}.$
Soal Nomor 6
Dari sekotak berisi 5 permen stroberi, 4 permen melon, dan 3 permen anggur, diambil dua permen satu per satu tanpa pengembalian. Hitung peluang bahwa permen pertama stroberi dan permen kedua anggur.
Jelas bahwa kasus ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya permen pertama stroberi dan permen kedua anggur. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah permen stroberi}}{\text{jumlah semua permen}} = \dfrac{5}{5+4+3} = \dfrac{5}{12}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah permen anggur}{\text{jumlah semua permen}} = \dfrac{3}{5+4+3-1} = \dfrac{3}{11}$$karena $1$ permen stroberi telah diambil. Selanjutnya,
\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac{5}{\cancelto{4}{12}} \times \dfrac{\cancel{3}}{11} = \dfrac{15}{44}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa permen pertama stroberi dan permen kedua anggur adalah $\boxed{\dfrac{15}{44}}.$
Soal Nomor 7
Sebuah kotak berisi 4 kelereng biru dan 6 kelereng putih. Diambil dua kelereng satu per satu tanpa dikembalikan. Hitung peluang bahwa dua kelereng yang diambil warnanya berbeda.
Perhatikan bahwa kelereng pertama dan kelereng kedua yang diinginkan adalah kelereng yang warnanya berbeda. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Ada dua kasus yang perlu ditinjau dalam hal ini.
Kasus 1: Kelereng pertama biru dan kelereng kedua merah
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kelereng pertama biru dan kelereng kedua merah. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kelereng biru}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{4}{4+6} = \dfrac{2}{5}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kelereng merah}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{6}{4+6-1} = \dfrac{2}{3}$$karena $1$ kelereng biru telah diambil. Selanjutnya,
\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{15}. \end{aligned}$$Kasus 2: Kelereng pertama merah dan kelereng kedua biru
Misalkan $C$ dan $D$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kelereng pertama merah dan kelereng kedua biru. Dengan demikian,
$$P(C) = \dfrac{\text{jumlah kelereng merah}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{6}{4+6} = \dfrac{3}{5}$$dan
$$P(D) =\dfrac{\text{jumlah kelereng biru{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{4}{4+6-1} = \dfrac{4}{9}$$karena $1$ kelereng merah telah diambil. Selanjutnya,
\begin{aligned} P(C \cap D)& = P(C) \times P(D) \\ & = \dfrac{\cancel{3}}{5} \times \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} = \dfrac{4}{15}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dua kelereng yang diambil warnanya berbeda adalah $\boxed{\dfrac{4}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{8}{15}}.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Soal Nomor 8
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 3 bola biru. Diambil satu bola secara acak, kemudian tanpa dikembalikan, diambil lagi satu bola. Tentukan peluang terambilnya minimal satu bola biru.
Ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi jika yang diinginkan adalah terambilnya minimal satu bola biru. Pertama, bola pertama merah dan bola kedua biru. Kedua, kebalikannya, yaitu bola pertama biru dan bola kedua merah. Terakhir, kedua bola yang terambil berwarna biru. Satu-satunya kemungkinan yang membuat kondisi minimal satu bola biru tidak terpenuhi adalah ketika bola pertama merah dan bola kedua juga merah. Kita akan menentukan peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua juga merah agar perhitungannya nanti menjadi lebih mudah dengan menggunakan sifat komplemen dalam peluang.
Jelas bahwa ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya bola pertama merah dan bola kedua merah. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah bola merah}}{\text{jumlah semua bola}} = \dfrac{4}{7}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah bola merah}{\text{jumlah semua bola}} = \dfrac{4-1}{7-1} = \dfrac{3}{6} = \dfrac12$$karena $1$ bola merah telah diambil. Selanjutnya,
\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{4}}{7} \times \dfrac{1}{\cancel{2}} = \dfrac{2}{7}. \end{aligned}$$Kita peroleh peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua juga merah adalah $\dfrac27.$ Untuk mencari peluang terambilnya minimal satu bola biru, kita cukup mengurangkan $1$ (total peluang) dengan $\dfrac27.$ Secara matematis, ditulis
$$P(\overline{A \cap B}) = 1-P(A \cap B) = 1-\dfrac27= \dfrac57.$$ Jadi, peluang terambilnya minimal satu bola biru. adalah $\boxed{\dfrac57}.$ [/spoiler]
Soal Nomor 9
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}.$
Misalkan $S = \{1, 2, 4, 4, 5, 6, 7\}.$ Misalkan juga $A$ menyatakan himpunan bagian dari $S$ yang memuat $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ sedangkan $B$ menyatakan himpunan bagian dari $S$ yang memuat $\{4, 5, 6\}.$ Dalam hal ini, kita hendak menentukan
$$|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B|.$$Langkah 1: Menentukan nilai $|A|.$
Perhatikan bahwa $A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup X$ dengan $X \subseteq \{6, 7\}.$ Masing-masing anggota $X$ memiliki dua kondisi, muncul atau tidak muncul. Karena $X$ terdiri atas dua anggota, banyak kemungkinannya adalah $|A| = |X| = 2^2 = 4,$ yaitu $X = \{ \},$ $X = \{6\},$ $X = \{7\},$ dan $X = \{6, 7\}.$
Langkah 2: Menentukan nilai $|B|.$
Perhatikan bahwa $B = \{4, 5, 6\} \cup Y$ dengan $Y \subseteq \{1, 2, 3, 7\}.$ Masing-masing anggota $Y$ memiliki dua kondisi, muncul atau tidak muncul. Karena $Y$ terdiri atas empat anggota, banyak kemungkinannya adalah $|B| = |Y| = 2^4 = 16.$
Langkah 3: Menentukan nilai $|A \cup B|.$
Perhatikan bahwa $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cup Z$ dengan $Z \subseteq \{7\}.$ Masing-masing anggota $Z$ memiliki dua kondisi, muncul atau tidak muncul. Karena $Z$ terdiri atas satu anggota, banyak kemungkinannya adalah $|A \cup B| = |Z| = 2^1 = 2.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A|+|B|-|A \cap B| \\ & = 4 + 16 -2 = 18. \end{aligned}$$Jadi, banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}$ adalah $\boxed{18}.$