Category: Program Linear

Grafik garis lurus di atas memotong sumbu $X$ di $(-3, 0)$ dan memotong sumbu $Y$ di $(0,-1).$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk
$\begin{aligned}-1x + (-3)y & = (-1)(-3) \\-x- 3y & = 3 \\ 3y + x & =-3 \end{aligned}$
Uji titik $(0, 0)$ untuk mengecek tanda:
$0 + 3(0) = 0 \geq-3.$
Dengan demikian, pertidaksamaan garisnya adalah $\boxed{3y + x \geq-3}$
(Catatan: Bila garisnya putus-putus, gunakan tanda $>$)
(Jawaban A)

Titik potong garis $2x + y \leq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 3 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,6) & (3, 0) \\ \hline \end{array}$
Daerah I dan III adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\leq$ (arsirannya ke bawah).
Titik potong garis $x+3y \geq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 6 \\ \hline y & 2 & 0  \\ \hline (x, y) & (0,2) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Daerah III dan IV adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\geq$ (arsirannya ke atas).
Perhatikan bahwa pertidaksamaan $x \geq 0, y \geq 0$ membatasi daerah penyelesaiannya hanya pada kuadran pertama.
Daerah irisannya adalah daerah III. Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah daerah III.
(Jawaban C) 

Grafik dari pertidaksamaan $3x + 2y \leq 36$ memotong sumbu $X$ di $x = 12$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 18$. Karena bertanda $\leq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V. 
Grafik dari pertidaksamaan $x + 2y \geq 20$ memotong sumbu $X$ di $x = 20$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 10$. Karena bertanda $\geq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V. 
$x, y$ juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II.
(Jawaban D)

Gambar garis $5x + 6y \geq 30$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 5 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 5) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 5)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $5x + 6y \geq 30$ sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 30$ (bernilai salah) sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.
Daerah penyelesaian meliputi daerah II dan III.
Selanjutnya, gambar garis $-2x + y \leq 0$ dengan menentukan dua titik yang dilalui garis
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2  \\ \hline y & 2 & 4 \\ \hline (x, y) & (1, 2) & (2, 4) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(1, 2)$ dan $(2, 4)$. Uji titik $(1, 1)$ pada $-2x + y \leq 0$ sehingga diperoleh $-2(1) + 1 =-1 \leq 0$ (bernilai benar) sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(1, 1)$.
Daerah penyelesaian meliputi daerah III, IV, dan V.
Terakhir, gambarkan garis $y \geq 2$.
Daerah penyelesaian meliputi daerah I, II, III, dan V.
Daerah yang terkena ketiga arsiran daerah penyelesaian di atas adalah daerah III.
(Jawaban C) 

Gambar garis $x + 2y \geq 2$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 1) & (2,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 1)$ dan $(2, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 2$ sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 2$ (bernilai salah) sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $-3x + y \leq-3$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y &-3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,-3) & (1,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0,-3)$ dan $(1, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $-3x + y \leq-3$ sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq-3$ (bernilai salah) sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $y \leq 4$ seperti berikut.

Gabungkan ketiga gambar di atas dalam satu sistem koordinat.

(Jawaban C)

Persamaan garis yang memotong sumbu $X$ di $x = 4$ dan sumbu $Y$ di $y = 3$ adalah $3x + 4y = 12$. Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah $\geq$ karena arsirannya di atas garis sehingga diperoleh pertidaksamaan linear $3x+4y \geq 12.$
Persamaan garis yang memotong sumbu $X$ di $x = 2$ dan sumbu $Y$ di $y = 6$ adalah $6x + 2y = 12$ atau disederhanakan menjadi $3x+y = 6$.
Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah $\leq$ karena arsirannya di bawah garis sehingga diperoleh pertidaksamaan linear $3x+y \leq 6$.
Karena daerah arsiran terletak di kuadran pertama, maka kendala nonnegatif ($x, y$ tak boleh bernilai negatif) diberlakukan.
Jadi, sistem pertidaksamaan linearnya adalah
$\begin{cases} 3x + 4y \geq 12 \\ 3x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban A)

Persamaan garis pertama: $50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya sehingga didapat $\boxed{5x + 4y = 200}$
Titik $(0, 0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya) sehingga diperoleh $\boxed{5x + 4y \leq 200}$
Persamaan garis kedua: $40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya sehingga didapat $\boxed{x + 2y = 80}$
Titik $(0, 0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya) sehingga diperoleh $\boxed{x + 2y \leq 80}$
Kendala nonnegatif diberikan oleh $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
$$\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0}$$(Jawaban E) 

Gambarkan grafik pertidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius seperti gambar.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian. Tampak bahwa daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku sama kaki $(AB = BC = 8).$
(Jawaban E)

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt}- \\ &-y  =-1 \\ & y = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $y = 1$ pada persamaan pertama,
$\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4, 1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0,0),$ $(0, 3), (4, 1)$, dan $(5, 0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P = 3x + 5y$.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 0) & 3(0) + 5(0) = 0 \\  (0, 3) & 3(0) + 5(3) = 15  \\  \color{red}{(4, 1)} & \color{red}{3(4) + 5(1) = 17} \\ (5, 0) & 3(5) + 5(0) = 15 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P = 3x+5y$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 6x + 3y & = 18 \Rightarrow 2x + y = 6 \\ 4x + 4y & = 16 \Rightarrow x + y = 4 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & 2x + y  = 6 \\ & x + y = 4 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt}- \\ & x  = 2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 2$ pada persamaan kedua,
$\begin{aligned} x + y & = 4 \\ 2 + y & = 4 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(2, 2).$
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(4, 0), (2, 2)$, dan $(0, 6)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $Z=2x+5y$.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z=2x+5y \\ \hline  \color{red}{ (4, 0)} & \color{red}{2(4) + 5(0) = 8} \\ (2, 2) & 2(2) + 5(2) = 14  \\ (0, 6) & 2(0) + 5(6) = 30 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, nilai minimum fungsi objektif $Z=2x+5y$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

Gambar garis $x + 2y \geq 6$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 3) & (6,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 3)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 6$ sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 6$ (bernilai salah) sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.
Gambar garis $x + y \leq 8$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 8 \\ \hline y & 8 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 8) & (8, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 8)$ dan $(8, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + y \leq 8$ sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq 8$ (bernilai benar) sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(0, 0)$.
Daerah penyelesaian dari $x \geq 0$ berarti seluruh daerah di kuadran I dan IV.
Daerah penyelesaian dari $y \geq 2$ dapat dilihat langsung pada gambar di bawah sekaligus dengan semua garis yang ada.
Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan 4 titik pojok, yaitu titik $A(0, 3), B, C$, dan $D(0, 8)$.
Garis $y = 2$ dan $x + 2y = 6$ berpotongan di titik $B$ dengan koordinat $(2, 2)$.
Garis $y = 2$ dan $x + y = 8$ berpotongan di titik $C$ dengan koordinat $(6, 2)$.
Uji keempat titik pojok pada fungsi objektif $f(x, y) = 4x + 5y$.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 4x + 5y \\ \hline A(0, 3) & 4(0) +5(3) = 15  \\  B(2, 2) & 4(2) + 5(2) = 18  \\ C(6, 2) & 4(6) + 5(2) = 34 \\ \color{red}{D(0, 8)} & \color{red}{4(0) + 5(8) = 40} \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y) = 4x+5y$ adalah $\boxed{40}$
(Jawaban D)

Gambarkan keempat garis pada bidang Kartesius.
Tabel pasangan titik untuk $2y = x$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 0 & (0, 0) \\ 2 & 1 & (2, 1) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 0)$ dan $(2,1)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $2y = x$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $2y \geq x$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(1, 0)$, lalu substitusi:
$2(0) \geq 1 \Leftrightarrow 0 \geq 1$ (SALAH).
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang atas (menolak titik $(1, 0)$).
Tabel pasangan titik untuk $y = 2x$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 0 & (0, 0) \\ 1 & 2 & (1, 2) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 0)$ dan $(1,2)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $y = 2x$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $y \leq 2x$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(1, 0)$, lalu substitusi:
$0 \leq 2(1) \Leftrightarrow 0 \leq 2$ (BENAR).
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang bawah (menerima titik $(1, 0)$).
Tabel pasangan titik untuk $2y + x \leq 20$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 10 & (0, 10) \\ 20 & 0 & (20, 0) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 10)$ dan $(20, 0)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $2y+x=20$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $2y+x \leq 20$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(0, 0)$, lalu substitusi:
$2(0) + 0 \leq 20 \Leftrightarrow 0 \leq 20$ (BENAR).
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang bawah (menerima titik $(0, 0)$).
Tabel pasangan titik untuk $x + y \geq 9$:
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & (x, y) \\ \hline 0 & 9 & (0, 9) \\ 9 & 0 & (9, 0) \\ \hline \end{array}$
Buat titik di $(0, 9)$ dan $(9, 0)$, lalu tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. Garis itu mewakili persamaan $x+y=9$. Karena pertidaksamaannya berbentuk $x+y \geq 9$, maka kita perlu menentukan titik uji guna mencari daerah penyelesaiannya. Pilih titik $(0, 0)$, lalu substitusi:
$0 + 0 \geq 9 \Leftrightarrow 0 \geq 9$ (SALAH).
Artinya, daerah penyelesaiannya di bidang atas (menolak titik $(0, 0)$).

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah segi empat $PQRS$. Langkah selanjutnya adalah mencari koordinat masing-masing titik dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi (SPLDV).
Titik $P$ merupakan titik potong garis $x + y = 9$ dan $2y = x$. Penyelesaiannya adalah $(6, 3)$. Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(6, 3)$.
Titik $Q$ merupakan titik potong garis $x + y = 9$ dan $y = 2x$. Penyelesaiannya adalah $(3, 6)$. Jadi, koordinat titik $Q$ adalah $(3, 6)$.
Titik $R$ merupakan titik potong garis $2y + x = 20$ dan $y = 2x$. Penyelesaiannya adalah $(4, 8)$. Jadi, koordinat titik $R$ adalah $(4, 8)$.
Titik $S$ merupakan titik potong garis $2y + x = 20$ dan $2y = x$. Penyelesaiannya adalah $(10, 5)$. Jadi, koordinat titik $S$ adalah $(10, 5)$.
Terakhir, kita akan menguji nilai setiap titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi objektif $f(x, y) = 3y-x$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & \text{Nilai} \\ \hline P(6,3) & 3(3)-6=3 \\ \hline Q(3,6) & 3(6)-3 = 15 \\ \hline R(4, 8) & \color{red}{3(8)-4 = 20} \\ \hline S(10, 5) & 3(5)-10 = 5 \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari $3y-x$ adalah $\boxed{20}$ dan tercapai di titik $R$.
(Jawaban C)

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Colt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} x + y \geq 28 \\  14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$(Jawaban B) 

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya mangga dan $y$ menyatakan banyaknya apel, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mangga} & \text{Apel} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Uang} & 2.000 & 4.000  &  \leq 20.000 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 12 \\ & \leq 6 & & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} 2.000x + 4.000y \leq 20.000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 10 \\  x + y \geq 12 \\ x \leq 6 \end{cases}$$(Jawaban B) 

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Roti Jenis I} & \text{Roti Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15  & \leq 5000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4000 \\ \hline \end{array}$$Semua satuan produk pada tabel di atas menggunakan satuan gram (5 kg = 5.000 g, 4 kg = 4.000 g). Tanda $\leq$ digunakan karena kebutuhan bahan pembuatan roti tidak boleh melebihi persediaan yang ada. Karena $x, y$ masing-masing mewakili banyaknya roti jenis I dan roti jenis II, maka haruslah $x \geq 0, y \geq 0$.
Untuk itu, model matematika persoalan tersebut adalah
$\begin{cases} 20x + 15y \leq 5.000 \\ 10x + 10y \leq 4.000 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 4x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban D)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya sedan dan truk. Untuk itu, dapat dibuat sistem pertidaksamaan linear yang disusun berdasarkan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Sedan} & \text{Truk} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas parkiran} & 5 & 15  & \leq 420 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 60 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 5x + 15y \leq 420 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} x + 3y \leq 84 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban A) 

Misalkan banyaknya kue jenis I dan II berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$. Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{K1} & \text{K2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} &  1 & 1 & \leq 400 \\ \text{Biaya} & 1000 & 1500 & \leq 500.000 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 1.000x + 1.500y \leq 500.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 800x + 900y$. Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $B(400, 0), C(200, 200)$, dan $D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right)$. Uji ketiga titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 800x + 900y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 800x+900y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\  B(400,0) & 320.000  \\ \color{green}{C(200, 200)} & \color{green}{340.000} \\ D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right) & 300.000 \\ \hline \end{array}$
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah Rp340.000,00.
(Jawaban C) 

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Tablet Jenis I} & \text{Tablet Jenis II} & \text{Kebutuhan} \\ \hline \text{Vit. A} & 5 & 10  & \geq 25 \\ \text{Vit. B} & 3 & 1 & \geq 5 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear
$\begin{cases} & 5x + 10y \geq 25 \Rightarrow x + 2y \geq 5 \\ & 3x + y \geq 5 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 4.000x + 8.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.
Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $A(0,5), B(1, 2)$, dan $C(5, 0)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $B$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 4.000x+8.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 4.000x+8.000y \\ \hline A(0, 5) & 40.000 \\ \color{green}{B(1, 2)} & \color{green}{20.000} \\ \color{green} {C(5, 0)} & \color{green}{20.000} \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari sesuai dengan persoalan tersebut adalah Rp20.000,00.
(Jawaban D) 

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil kecil dan mobil besar, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mobil Kecil} & \text{Mobil Besar} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas} & 4 & 20  &  \leq 1.760 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 200 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 4x + 20y \leq 1.760 \Leftrightarrow x + 5y \leq 440 \\ x + y \leq 200 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Fungsi objektif: $Z = 1.000x + 2.000y$
Gambarkan sistem pertidaksamaan linear di atas ke dalam sistem koordinat.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan tiga titik pojok, yaitu titik $B(200, 0), C(140, 60)$, dan $D(0, 88)$.
Untuk mencari koordinat titik $C$, carilah penyelesaian dari
$\begin{cases} x + y = 200 \\ x + 5y = 440 \end{cases}$
karena $C$ merupakan titik potong kedua garis itu.
Uji ketiga titik pojok pada fungsi objektif $Z = 1.000x + 2.000y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z = 1.000x + 2.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ B(200, 0) & 200.000 \\ \color{green}{C(140, 60)} & \color{green}{260.000} \\ D(0, 88) & 176.000  \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, diketahui bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai sebesar Rp260.000,00.
(Jawaban C)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya bus jenis A dan bus jenis B yang disewa.
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 3.000.000x + 4.500.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Kapasitas} & 30 & 40 & \ge 240 \\ \text{Banyak Bus} & 1 & 1 & \le 7 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 30x + 40y & \ge 240 \\ x + y & \le 7 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} 3x + 4y & \ge 24 \\ x + y & \le 7 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $3$ titik pojok, yaitu titik $A, B$, dan $C$. Titik $B$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x + 4y & = 24 \\ x + y & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+4y & = 24 \\ 3x + 3y & = 21 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$ sehingga didapat $x = 4$. Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(4, 3)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 3.000.000x + 4.500.000y \\ \hline A(0, 6) & 27.000.000 \\ \hline B(4, 3) & \color{red}{25.500.000} \\ \hline C(0, 7) & 31.500.000 \\ \hline \end{array}$$Pengeluaran minimum tercapai di titik pojok $B(4, 3)$. Ini artinya, pengeluaran akan minimum bila jenis bus yang disewa adalah 4 bus jenis A dan 3 bus jenis B.
(Jawaban C)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya kopi campuran pertama dan kopi campuran kedua (dalam satuan kg).
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 80.000x + 100.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Kopi Toraja} & 4 & 8 & \le 48.000 \\ \text{Kopi Flores} & 6 & 2 & \le 54.000 \\ \hline \end{array}$$Catatan: 1 ton = 1.000 kg.
Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 4x + 8y & \le 48.000 \\ 6x + 2y & \le 54.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} x + 2y & \le 12.000 \\ 3x + y & \le 27.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $4$ titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + 2y & = 12.000 \\ 3x + y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x + 6y & = 36.000 \\ 3x + y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 9.000 \\ y & = 1.800 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1.800$ sehingga didapat $x = 8.400$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(8.400, 1.800)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 80.000x + 100.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ \hline B(9.000, 0) & 720.000.000 \\ \hline C(8.400, 1.800) & \color{red}{852.000.000} \\ \hline D(0, 6.000) & 600.000.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, penghasilan maksimum yang diperoleh sebesar Rp852.000.000,00, tercapai ketika terjual sebanyak 8.400 kg kopi campuran pertama dan 1.800 kopi campuran kedua.
(Jawaban C)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya kue sus kering dan kue nastar yang dijual (dalam satuan stoples).
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah
$$\begin{aligned} f(x, y) & = 40\% \cdot 20.000x + 30\% \cdot 30.000 \\ & = 8.000x + 9.000y \end{aligned}$$Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Harga Beli} & 20.000 & 30.000 & \le 10.000.000 \\ \text{Banyak Kue (Stoples)} & 1 & 1 & \le 400 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 20.000x + 30.000y & \le 10.000.000 \\ x + y & \le 400 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} 2x + 3y & \le 1.000 \\ x +y & \le 400 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $4$ titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 1.000 \\ x+y & = 400 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y & = 1.000 \\ 2x+2y & = 800 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 200 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 200$ sehingga didapat $x = 200$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(200, 200)$. Karena nilai $y$ menyatakan banyak stoples kue, maka nilainya harus bulat sehingga diambil $D$ berkoordinat $(0, 333)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 8.000x + 9.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ \hline B(400, 0) & 3.200.000 \\ \hline C(200, 200) & \color{red}{3.400.000} \\ \hline D(0, 333) & 2.997.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, penghasilan maksimum yang diperoleh Bu Beatrix sebesar Rp3.400.000,00, tercapai ketika terjual sebanyak 200 stoples kue sus kering dan 200 stoples kue nastar.
(Jawaban C)

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Model I} & \text{Model II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kain Polos} & 1 & 2  & \leq 20 \\ \text{Kain Bergaris} & 3 & 1 & \leq 20 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear di mana $x$ adalah banyaknya pakaian model I dan $y$ adalah banyaknya pakaian model II.
$\begin{cases} & x + 2y \leq 20 \\ & 3x + y \leq 20 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.
Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right), C(4, 8)$, dan $D(0, 10)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $C$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 150.000x + 100.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\  B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right) & 1.000.000 \\ \color{green}{C(4, 8)} & \color{green}{1.400.000} \\ D(0, 10) & 1.000.000 \\ \hline \end{array}$$Berdasarkan tabel di atas, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah Rp1.400.000,00.
(Jawaban A) 

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya tas jenis I dan tas jenis II yang dijual. Fungsi objektif dari masalah di atas adalah $f(x, y) = 30.000x + 25.000y$.
Tabel berikut dapat dipakai untuk membuat sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Kulit Sintetis} & 300 & 250 & \le 4.500 \\ \text{Kain Kanvas} & 1.000 & 500 & \le 12.000 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang merepresentasikan kasus di atas adalah $$\begin{cases} 300x + 250y & \le 4.500 \\ 1.000x + 500y & \le 12.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $$\begin{cases} 6x + 5y & \le 90 \\ 2x + y & \le 24 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Selanjutnya, tentukan daerah penyelesaian dan titik-titik pojoknya.
Dari gambar, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik pojok $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + y & = 24 \\ 6x + 5y & = 90 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10x+5y & = 120 \\ 6x + 5y & = 90 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4x & = 30 \\ x & = 7,5 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi dan diperoleh $x = 9$. Perlu diperhatikan bahwa $x$ menyatakan banyak tas sehingga nilainya harus bulat. Oleh karena itu, kita anggap titik pojok $C$ berkoordinat $(7, 9)$. Sekarang, kita sudah peroleh 4 titik pojok beserta koordinatnya. Uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 30.000x + 25.000y \\ \hline A(0,0) & 0 + 0 = 0 \\ \hline B(12, 0) & 30.000(12) + 0 = 360.000 \\ \hline C(7, 9) & 30.000(7) + 25.000(9) = \color{red}{435.000} \\ \hline D(0, 18) & 0 + 25.000(8) = 200.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, laba maksimum yang diperoleh perajin tas adalah sebesar Rp435.000,00, tercapai Ketika menjual 7 tas jenis I dan 9 tas jenis II.
(Jawaban B)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut adalah banyaknya alat kesenian A dan B yang diproduksi.
Fungsi objektifnya adalah $f(x, y) = 175.000x + 215.000y.$
Tabel berikut dapat dipakai untuk membuat sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Mesin Pemotong} & 2 & 2 & \le 12 \\ \text{Mesin Pengamplas} & 1 & 3 & \le 12 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang merepresentasikan kasus di atas adalah $$\begin{cases} 2x + 2y & \le 12 \\ x + 3y & \le 12 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $$\begin{cases} x + y & \le 6 \\ x + 3y & \le 12 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Selanjutnya, tentukan daerah penyelesaian dan titik-titik pojoknya.Dari gambar, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik pojok $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+3y & = 12 \\ x+y & = 6 \end{aligned} \\ \rule{2.1 cm}{0.6pt} – \\  \! \begin{aligned} 2y & = 6 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi dan diperoleh $x = 3$. Sekarang, kita sudah peroleh 4 titik pojok beserta koordinatnya. Uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 175.000x + 215.000y \\ \hline A(0,0) & 0 + 0 = 0 \\ \hline B(6, 0) & 175.000(6) + 0 = 1.050.000 \\ \hline C(3,3) & 175.000(3) + 215.000(3) = \color{red}{1.170.000} \\ \hline D(0, 4) & 0 + 215.000(4) = 860.000 \\ \hline \end{array}$$Keuntungan maksimum yang dapat dicapai per hari dari penggunaan satu unit mesin pemotong dan mesin pengamplas adalah Rp1.170.000,00. Karena mesinnya masing-masing ada tiga unit, maka keuntungan maksimum menjadi 3 kali lipat, yaitu Rp3.510.000,00.
(Jawaban E)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan luas lahan yang ditanami padi dan jagung (dalam satuan hektare).
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 500.000x + 600.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Hasil Panen} & 3 & 4 & \ge 30 \\ \text{Luas Lahan} & 1 & 1 & \le 8 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 3x + 4y & \ge 30 \\ x + y & \le 8 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $3$ titik pojok, yaitu titik $A, B$, dan $C$. Titik $B$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y & = 30 \\ x+y & = 8\end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+4y & = 30 \\ 3x+3y & = 24 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 6 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 6$ sehingga didapat $x = 2$. Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(2, 6)$. Perhatikan bahwa koordinat $A$ tidak bulat, tetapi ini tidak menjadi masalah, karena $x$ mewakili luas lahan dalam hektare sehingga nilainya tidak harus bulat.
Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 500.000x + 600.000y \\ \hline A(0; 7,5) & \color{red}{4.500.000} \\ \hline B(2, 6) & 4.600.000 \\ \hline C(0, 8) & 4.800.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan Pak Alim adalah Rp4.500.000,00.
(Jawaban D)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya helikopter dan truk yang digunakan.
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 2.500.000x + 1.500.000y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Makanan} & 10 & 10 & \ge 100 \\ \text{Obat-obatan} & 14 & 6 & \ge 84 \\ \hline \end{array}$$Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 10x + 10y & \ge 100 \\ 14x + 6y & \ge 84 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} x + y & \ge 10 \\ 7x + 3y & \ge 42 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $3$ titik pojok, yaitu titik $A, B$, dan $C$. Titik $B$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x + 3y & = 42 \\ x+y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~7x+3y & = 42 \\ 3x+3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 3$ sehingga didapat $y = 7$. Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(3, 7)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 2.500.000x + 1.500.000y \\ \hline A(10, 0) & 25.000.000 \\ \hline B(3, 7) & \color{red}{18.000.000} \\ \hline C(0, 14) & 21.000.000 \\ \hline \end{array}$$Biaya minimum tercapai di titik pojok $B(3, 7)$, yaitu sebesar Rp18.000.000,00.
(Jawaban C)

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya paku jenis I dan paku jenis II yang dibuat.
Fungsi objektif dari kasus di atas adalah $f(x, y) = 500x + 350y$.
Tabel berikut digunakan untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x & y & \text{Batas} \\ \hline \text{Bahan}~A & 200 & 250 & \le 60.000 \\ \text{Obat-obatan} & 160 & 400 & \le 72.000 \\ \hline \end{array}$$Catatan: 1 kg = 1.000 g.
Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah
$$\begin{cases} 200x + 250y & \le 60.000 \\ 160x + 400y & \le 72.000 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$\begin{cases} 4x + 5y & \le 1.200 \\ 2x + 5y & \le 900 \\ x & \ge 0 \\ y & \ge 0 \end{cases}$$Gambarkan daerah penyelesaiannya, kemudian tentukan titik pojoknya.
Dari gambar, diketahui ada $4$ titik pojok, yaitu titik $A, B, C$, dan $D$. Titik $C$ merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
$$\begin{aligned} & 4x+5y = 1.200 \\ & 2x + 5y = 900 \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt}- \\ & 2x = 300 \\ & x = 150 \end{aligned}$$Substitusi $x = 150$ sehingga didapat $y = 120$. Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(150, 120)$. Sekarang, uji nilai pada fungsi objektif.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 500x + 350y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ \hline B (300, 0) & \color{red}{150.000} \\ \hline C(150, 120) & 117.000 \\ \hline D(0, 180) & 63.000 \\ \hline \end{array}$$Jadi, paku yang harus dibuat setiap hari agar penghasilan maksimum adalah paku jenis I sebanyak $300$ buah.
(Jawaban E)