Tag: Akar Kembar

Diketahui persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$ memiliki jumlah akar
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -3$
dan hasil kali akarnya
$x_1x_2 = \dfrac{c} {a} = 1.$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{(3x_1+1)(x_1+3)+(3x_2+1)(x_2+3)}{(3x_1+1)(3x_2+1)(x_1+3)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{3x_1^2 + 10x_1 + 3 + 3x_2^2 + 10x_2 + 3}{(9x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 1)(x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9)} \\ & = \dfrac{3(x_1^2+x_2^2)+10(x_1+x_2) + 6}{(9x_1x_2 + 3(x_1+x_2)+1)(x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9)} \\ & = \dfrac{3[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2] +10(x_1+x_2) + 6}{(9x_1x_2 + 3(x_1+x_2)+1)(x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9)} \\ & = \dfrac{3[(-3)^2 – 2(1)] + 10(-3) + 6}{(9(1) + 3(-3) + 1)(1 + 3(-3) + 9)} \\ & = \dfrac{3(9-2) -30 + 6}{(9-9+1)(1 -9 + 9)} \\ & = \dfrac{21 -30 + 6}{1 \cdot 1} = -3. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} = -3}$$(Jawaban A)

Dari persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$m + n = -\dfrac{p} {4}$
dan hasil kali akarnya adalah
$mn = \dfrac{8}{4} = 2.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} & = m^3+n^3 \\ \dfrac{2m + 2n} {mn} & = (m + n)^3- 3m^2n -3mn^2 \\ \dfrac{2(m+n)} {mn} & = (m+n)^3 -3mn(m + n) \\ \dfrac{\cancel{2}\left(-\frac{p} {4}\right)} {\cancel{2}} & = \left(-\dfrac{p} {4}\right)^3 -3(\cancel{2})\left(-\dfrac{p} {\cancelto{2}{4}} \right) \\ -\dfrac{p}{4} & = -\dfrac{p^3}{64} + \dfrac{3p} {2} \\ \text{Bagi kedua}~&\text{ruas dengan}~p \\ -\dfrac{1} {4} & = -\dfrac{p^2}{64} + \dfrac{3} {2} \\ \dfrac{p^2}{64} & = \dfrac74 \\ p^2 & = \dfrac{7}{\cancel{4}} \times \cancelto{16}{64} \\ p^2 & = 112 \\ p^2 -16 & = 96. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p^2-16$ adalah $\boxed{96}$
(Jawaban B)

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x + 1 = 0$ memiliki jumlah akar $\color{red}{p + q = -\dfrac{b}{a} = 1}.$
Perhatikan bahwa persamaan $x^2 -x + 1 = 0$ ekuivalen dengan $x^2 = x – 1$. Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan $x$, kita peroleh
$\begin{aligned} x^3 & = x^2 -x \\ \text{Substitusikan}~&x^2 = x -1 \\ x^3 & = (x -1) -x \\ x^3 & = -1. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$x^{2016} = (x^3)^{672} = (-1)^{672} = 1$
sehingga
$x^{2017} = x^{2016} \cdot x = x.$
Karena $p, q$ merupakan akar-akar persamaan kuadratnya, maka berlaku
$p^{2017} = p$ dan $q^{2017} = q$. Jumlahkan kedua persamaan ini untuk memperoleh
$p^{2017} + q^{2017} = \color{red}{p + q} = 1.$
Jadi, nilai dari $\boxed{p^{2017} + q^{2017} = 1}$
(Jawaban B)

Dari persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$x_1+x_2=-\dfrac{b} {a} = -1.$
Perhatikan juga bahwa persamaan $x^2+x-3=0$ ekuivalen dengan $x^2+x=3.$
Karena $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\boxed{\begin{aligned} x_1^2 + x_1 & = 3 \\ x_2^2+x_2 & = 3 \\ x_1+x_2 & = -1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} & 4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) -2x_1- 2x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) -2(x_1+x_2) \\ & = 4(3) + 3(3) -2(-1) = 23 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 = 23}$
(Jawaban D)

Persamaan $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki jumlah akar
$a + b = -\dfrac{-9}{1} = 9$
dan hasil kali akarnya 
$ab = \dfrac{64}{1} = 64.$
Perhatikan bahwa bentuk $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ ekuivalen dengan $\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}$ sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}} & = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{a + b + 2\sqrt{ab}} {ab}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 2\sqrt{64}} {64}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 16}{64}} \\ & = \dfrac58. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\boxed{\dfrac58}$
(Jawaban C)

Dari persamaan kuadrat $x^2-45x-8=0$, diketahui jumlah akarnya
$\alpha + \beta = -\dfrac{-45}{1} = 45$
dan hasil kali akarnya
$\alpha \beta = \dfrac{-8}{1} = -8.$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta})^3 & = a + b + 3(\alpha)^{\frac23}b^{\frac13} + 3(\alpha)^{\frac13}b^{\frac23} \\ & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}(\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta}) \\ \text{Misalkan}~(\sqrt[3]{\alpha} & + \sqrt[3]{\beta}) = x \\ x^3 & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-8)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-2)x \\ x^3 + 6x -45 & = 0 \\ (x -3)(x^2 + 3x + 15) & = 0. \end{aligned}$$Karena $x^2+3x+15=0$ merupakan persamaan kuadrat dengan definit positif, maka satu-satunya akar adalah $x = 3$. 
Ini berarti, nilai dari $\boxed{\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = 3}$
(Jawaban A)

Diketahui hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah $ab = \dfrac{-3}{2}.$
Karena $a$ merupakan salah satu akar persamaan kuadrat $2x^2+3x-3=0$, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a-3 & =0 \\ 2a^2 + 3a & = 3 \\ \text{Kalikan}~2ab~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 2a^2(2ab) + 3a(2ab) & = 3(2ab) \\ 4a^3b + 6a^2b & = 6ab \\ 4a^3+6a^2b & = 6\left(-\dfrac32\right) \\ & = -9. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{4a^3b + 6a^2b = -9}$
(Jawaban C)

Persamaan kuadrat di atas ekuivalen dengan $2x^2+3x=4$. Karena $a$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a & = 4 \\ \text{Kalikan}~2~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 4a^2 + 6a & = 8 \\ 4a^2 + 6a + 2 & = 10. \end{aligned}$
Karena $b$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2b^2+3b & = 4 \\ 2b^2 + 3b + 5 & = 9. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari 
$$\boxed{\begin{aligned} (4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5) & = (10)(9) \\ & = 90 \end{aligned}}$$(Jawaban D)

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $2x^2 -x-4 = 0$, maka berlaku persamaan $2p^2 -p -4 = 0$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 2p^2 -p -4 & = 0 \\ 2p^2 – p & = 4 \\ (2p^2 -p)^2 & = 4^2 \\ 4p^4 -4p^3 + p^2 & = 16. \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & 4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p  \\ & = (4p^4 -4p^3 + p^2) + (2p^2 -p) \\ & = 16 + 4 = 20. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{4p^4 -4p^3 + 3p^2 -p = 20}$
(Jawaban D)

Diketahui $x^2-2x-5=0$.
Karena $\alpha$ merupakan akar dari persamaan kuadrat itu, maka berlaku
$\begin{aligned} \color{red}{\alpha^2-2\alpha-5} &~\color{red}{~= 0} \\ \alpha^2 & = 2\alpha+5 \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ (\alpha^2)^2 & = (2\alpha+5)^2 \\ \alpha^4 & = 4\alpha^2+20\alpha+25. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \alpha^4-28\alpha & = (4\alpha^2+20\alpha+25)-28\alpha \\ & = 4\alpha^2-8\alpha+25 \\ & = 4(\color{red}{\alpha^2-2\alpha-5})+45 \\ & = 4(\color{red}{0})+45=45. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\alpha^4-28\alpha=45}$
(Jawaban A)

Misalkan $x = \sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$ sehingga dapat disederhanakan menggunakan sifat akar
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt a \pm \sqrt b}$
menjadi
$\begin{aligned} x& = \sqrt{(2018 + 1) + 2\sqrt{2018 \cdot 1}} \\ & = \sqrt{2018} + \sqrt 1 \\ & = \sqrt{2018} + 1 \end{aligned}$
Karena $x$ merupakan akar persamaan kuadrat itu, maka substitusi $x$ pada $x^2 + ax + b = 0$ menghasilkan
$$\begin{aligned} (\sqrt{2018} + 1)^2 + a(\sqrt{2018} + 1) + b & = 0 \\ (2018 + 2\sqrt{2018} + 1) + a\sqrt{2018} + a + b & = 0 \\ 2019 + (2 + a)\sqrt{2018} + a + b & = 0 \end{aligned}$$Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2 + a$ harus bernilai $0$ untuk diperoleh hasil bilangan bulat. Dengan demikian, nilai $a = -2$ dan akibatnya $b = -2019 + 2 = -2017$. Jadi, nilai dari $a + b$ adalah $\boxed{-2019}$
(Jawaban C)

Karena $c$ dan $d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{blue}{cd = b}.$
Karena $a$ dan $b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{a + b = -c}$ dan $\color{blue}{ab = d}.$
Dari persamaan $\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{red}{a+b=-c}$, diperoleh $b=d$.
Dari persamaan $\color{blue}{ab = d}$, diperoleh
$ad = d \implies a = 1.$
Dari persamaan $\color{blue}{cd = b}$, diperoleh
$cd = d \implies c = 1.$
Dari persamaan $\color{red}{c+d=-a}$, diperoleh
$1 + d = -1 \Leftrightarrow d = -2 = b.$
Dengan demikian,
$$\boxed{\begin{aligned} a + b + c + d & = 1 + (-2) + 1 + (-2) \\ & = -2 \end{aligned}}$$(Jawaban B)

Karena akar-akar persamaan kuadrat $x^2+bx+c=0$ real, maka diskriminan $D \geq 0$ sehingga kita tulis
$\begin{aligned} b^2-4ac & \geq 0 \\ b^2-4(1)c & \geq 0 \\ 4c & \leq b^2. \end{aligned}$
Karena nilai $c$ dibatasi dalam interval $1 \leq c \leq 6$, maka haruslah
$4 \leq 4c \leq 24$.
Sekarang, uji syarat $4c \leq b^2$ dengan batas nilai $b$, yaitu $1 \leq b \leq 6$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~b & \text{Hasil}~4c \leq b^2 & \text{Nilai}~c & \text{Banyak nilai}~c \\ \hline 1 & 4c \leq 1 & – & 0 \\ \hline 2 & 4c \leq 4 & 1 & 1 \\ \hline 3 & 4c \leq 9 & 1, 2 & 2 \\ \hline 4 & 4c \leq 16 & 1,2,3,4 & 4 \\ \hline 5 & 4c \leq 25 & 1,2,3,4,5,6 & 6 \\ \hline 6 & 4c \leq 36 & 1,2,3,4,5,6 & 6 \\ \hline \end{array}$$Banyak pasangan $(a, b) \in \{1,2,3,4,5,6\}$ yang memenuhi persamaan $x^2+bx+c=0$ agar akarnya real adalah
$\boxed{0+1+2+4+6+6=19}$
(Jawaban D)

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ berbentuk
$$\boxed{x^2-(a+b)x+ab = 0}$$Oleh karena itu, akan dicari nilai $a+b$ dan $ab.$
Diketahui bahwa
$$\begin{cases} 2015+a & = b^2 && (\cdots 1) \\ 2015+b & = a^2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Kurangi kedua persamaan tersebut sehingga akan diperoleh
$$\begin{aligned} (2015+a)-(2015+b) & = b^2-a^2 \\ a-b & = (b+a)(b-a) \\ -\cancel{(b-a)} & = (b+a)\cancel{(b-a)} \\ -1 & = b+a. \end{aligned}$$Diperoleh $\color{blue}{a+b=-1}$
Selanjutnya, kalikan kedua persamaan di atas sesuai ruasnya.
$$\begin{aligned} (2015+a)(2015+b) & = (b^2)(a^2) \\ 2015^2 + 2015(a + b) + ab & = (ab)^2 \\ \text{Substitusi}~a+b & = -1 \\ 2015^2 + 2015(-1) & = (ab)^2-ab \\ 2015^2-2015 & = (ab)²-ab \end{aligned}$$Diperoleh $\color{blue}{ab = 2015}.$
Jadi, persamaan kuadrat yang terbentuk adalah
$$\boxed{\begin{aligned} x^2-(-1)x + 2015 & = 0 \\ x^2 + x + 2015 & = 0 \end{aligned}}$$(Jawaban B)

Diketahui $$x^2-(a+1)x + \left(-a-\dfrac52\right) = 0.$$Karena akar-akarnya $p$ dan $q,$ maka kita peroleh jumlah akar dan hasil kali akarnya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{-(a+1)}{1} = a+1 \\ pq & = \dfrac{-a-\dfrac52}{1} = -a-\dfrac52 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p^2+q^2 & = (p+q)^2-2pq \\ & = (a+1)^2-2\left(-a-\dfrac52\right) \\ & = a^2+2a+1+2a+5 \\ & = a^2+4a+6 \\ & = (a+2)^2+2. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $p^2+q^2$ akan bernilai minimum jika $a = -2.$ Akibatnya, nilai minimumnya adalah $(-2+2)^2 + 2 = 2.$
(Jawaban B)

Gunakan rumus kuadrat/ABC (atau bisa juga menggunakan metode kuadrat sempurna) untuk mencari masing-masing akar dari dua persamaan kuadrat tersebut.
$$\begin{aligned} 2d^2-3d-1 = 0 \Rightarrow d_{1,2} & = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4(2)(-1)}}{2(2)} \\ & = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{4} \\ j^2+3j-2 = 0 \Rightarrow j_{1,2} & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \end{aligned}$$Kita peroleh ada dua nilai untuk $d$ dan $j$, tetapi perlu diperiksa agar $dj \neq 1.$
Kasus 1:
Jika $d = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-9 + 17}{8} = 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini ditolak.
Kasus 2:
Jika $d = \dfrac{3-\sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3-\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-26 + 6\sqrt{17}}{8} \\ & = \dfrac{-13 + 3\sqrt{17}}{4} \neq 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini diterima. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} (dj+d+1)j^{-1} & = \left(\dfrac{-13 + 3\sqrt{17}}{4} + \dfrac{3-\sqrt{17}}{4} + \dfrac44 \right) \cdot \dfrac{2}{-3 + \sqrt{17}} \\ & = \dfrac{-6 + 2\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{2}{-3 + \sqrt{17}} \\ & = \dfrac{2\cancel{(-3 + \sqrt{17})}}{4} \cdot \dfrac{2}{\cancel{-3 + \sqrt{17}}} \\ & = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{1} = \color{red}{1} \end{aligned}$$Kasus 3:
Jika $d = \dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3+\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-26 -6\sqrt{17}}{8} \\ & = \dfrac{-13-3\sqrt{17}}{4} \neq 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini diterima. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} (dj+d+1)j^{-1} & = \left(\dfrac{-13- 3\sqrt{17}}{4} + \dfrac{3+\sqrt{17}}{4} + \dfrac44 \right) \cdot \dfrac{2}{-3-\sqrt{17}} \\ & = \dfrac{-6-2\sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{2}{-3-\sqrt{17}} \\ & = \dfrac{2\cancel{(-3-\sqrt{17})}}{4} \cdot \dfrac{2}{\cancel{-3\sqrt{17}}} \\ & = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{1} = \color{red}{1} \end{aligned}$$Kasus 4:
Jika $d = \dfrac{3- \sqrt{17}}{4}$ dan $j = \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},$ kita peroleh
$$\begin{aligned} dj & = \dfrac{3- \sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-3- \sqrt{17}}{2} \\ & = \dfrac{-9 + 17}{8} = 1 \end{aligned}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini ditolak.

Jadi, nilai dari $(dj + d + 1)j^{-1}$ adalah $\boxed{1}$
(Jawaban D)

Misalkan $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B).$
Perhatikan bahwa $(0,0)$ merupakan koordinat titik tengah kedua titik itu sehingga berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{x_A+x_B}{2} & = 0 \Rightarrow x_A+x_B = 0 \\ \dfrac{y_A+y_B}{2} & = 0 \Rightarrow y_A+y_B = 0. \end{aligned}$$Karena dua titik tersebut melalui grafik fungsi $f(x) = y = 4-x-x^2,$ maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} y_A & = 4-x_A-x_A^2 && (\cdots 1) \\ y_B & = 4-x_B-x_B^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas.
$$\begin{aligned} y_A+y_B & = (4-x_A-x_A^2) + (4-x_B-x_B^2) \\ y_A + y_B & = 8-(x_A+x_B)-(x_A^2+x_B^2) \\ y_A + y_B & = 8-(x_A+x_B)-\left[(x_A+x_B)^2-2x_Ax_B\right] \\ \Rightarrow 0 & = 8-0-\left[0^2-2x_Ax_B\right] \\ 0 & = 8-2x_Ax_B \\ x_Ax_B & = 4 \end{aligned}$$Nilai $x_A$ dan $x_B$ yang memenuhi adalah $x_A = 2$ dan $x_B = -2.$
Substitusi masing-masing nilai $x$ tersebut pada $y = 4-x-x^2$ untuk memperoleh $y_A = -2$ dan $y_B = 2.$
Jadi, titik $A$ dan $B$ berturut-turut berkoordinat $(2, -2)$ dan $(-2, 2).$
Jarak kedua titik tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-2))^2+(-2-(2))^2} \\ & = 4\sqrt2. \end{aligned}$$(Jawaban B)

Diketahui $2x^2-7x+2 = 0$.
Karena $r, s$ akar-akar persamaan kuadrat tersebut, maka $r + s = \dfrac{7}{2}$ dan $rs = 1$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \dfrac{r}{(r^2+1)^2} + \dfrac{s}{(s^2+1)^2} \\ & = \dfrac{r(s^2+1)^2+s(r^2+1)^2}{(r^2+1)^2(s^2+1)^2} \\ & = \dfrac{r(s^4+2s^2+1)+s(r^4+2r^2+1)}{(r^2s^2 + r^2 + s^2 + 1)^2} \\ & = \dfrac{rs^4 + r^4s + 2rs^2 + 2r^2s + r + s}{((rs)^2 + (r + s)^2-2rs + 1)^2} \\ & = \dfrac{(rs(s^3 + r^3) + 2rs(s + r) + r + s}{((rs)^2 + (r + s)^2-2rs + 1)^2} \\ & = \dfrac{rs[(s+r)^3-3rs(r+s)] + 2rs(s + r) + r + s}{((rs)^2 + (r + s)^2-2rs + 1)^2} \\ & =\dfrac{1[(\frac72)^3-3(1)(\frac72)] + 2(1)(\frac72) + \frac72}{((1)^2 + (\frac72)^2-2(1) + 1)^2} \\ & = \dfrac{(\frac72)^3-\frac{21}{2}+7+\frac72}{(1 + (\frac72)^2-2+1)^2} \\\ & = \dfrac{(\frac72)^3}{(\frac72)^4} \\ & = \dfrac{1}{\frac72} = \dfrac27. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{r}{(r^2+1)^2} + \dfrac{s}{(s^2+1)^2} = \dfrac27}$

Dari persamaan $x^2-x-1=0$, kita akan mencari nilai $x$ yang memenuhi dengan menggunakan metode kuadrat sempurna.
$\begin{aligned} \left[(x-1)^2-1\right]-1 & = 0 \\ (x-1)^2-2 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 2 \\ x-1 & = \pm \sqrt2 \\ x & = \pm \sqrt2 + 1 \end{aligned}$
Kita peroleh akar-akarnya $x_1 = \sqrt2+1$ dan $x_2 = -\sqrt2+1$
(terbalik tanda $\pm$ tidak menjadi masalah).
Persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar $\dfrac{x_1^2-1}{2x_1}$ dan $\dfrac{2x_2}{x_2^2-1}.$
Jumlah akar-akarnya ($\text{JA}$) adalah
$$\begin{aligned} \text{JA} & = \dfrac{x_1^2-1}{2x_1} + \dfrac{2x_2}{x_2^2-1} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+1)^2-1}{2(\sqrt2+1)} + \dfrac{2(-\sqrt2+1)}{(-\sqrt2+1)^2-1} \\ & = \dfrac{(2 + 2\sqrt2 + 1)-1}{2\sqrt2 + 2} + \dfrac{-2\sqrt2 + 2}{(2-2\sqrt2+1)-1} \\ & = \dfrac{2\sqrt2 + 2}{2\sqrt2 + 2} + \dfrac{-2\sqrt2+2}{-2\sqrt2 + 2} \\ & = 1+1 = 2. \end{aligned}$$Hasil kali akar-akarnya ($\text{HKA}$) adalah
$$\begin{aligned} \text{HKA} & = \dfrac{x_1^2-1}{\cancel{2}x_1} \cdot \dfrac{\cancel{2}x_2}{x_2^2-1} \\ & = \dfrac{(x_1+1)(x_1-1)}{x_1} \cdot \dfrac{x_2}{(x_2+1)(x_2-1)} \\ & = \dfrac{x_2(x_1+1)(x_2-1)}{x_1(x_2+1)(x_2-1)} \\ & = \dfrac{(-\sqrt2+1)(\sqrt2+2)(\cancel{\sqrt2})}{(\sqrt2+1)(-\sqrt2+2)(-\cancel{\sqrt2})} \\ & = -\dfrac{(-\sqrt2+1)(\sqrt2+2)}{(\sqrt2+1)(-\sqrt2+2)} \\ & = -\dfrac{-2-2\sqrt2+\sqrt2+2}{-2+2\sqrt2-\sqrt2+2} \\ & = -\dfrac{-\sqrt2}{\sqrt2} = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} x^2-(\text{JA})x + \text{HKA} & = 0 \\ x^2-2x+1 & = 0. \end{aligned}$
Jawaban: $\boxed{x^2-2x+1=0}$

Diketahui $3x^2-2x+1=0$. Jumlah akar dan hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} m+n & = \dfrac23 \\ mn & = \dfrac13. \end{aligned}$
Berdasarkan Ekspansi Deret Taylor,
$\dfrac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 1+m^2+m^3+\cdots & = (1+m+m^2+m^3+\cdots)-m \\ & = \dfrac{1}{1-m}-m \\ & = \dfrac{1}{1-m}-\dfrac{m(1-m)}{1-m} \\ & = \dfrac{m^2-m+1}{1-m}. \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, akan diperoleh $1+n^2+n^3+\cdots = \dfrac{n^2-n+1}{1-n}$.
Dari sini, didapat
$$\begin{aligned} & (1+m^2+m^3+\cdots)(1+n^2+n^3+\cdots) \\ & = \dfrac{m^2-m+1}{1-m} \cdot \dfrac{n^2-n+1}{1-n} \\ & = \dfrac{m^2n^2-m^2n+m^2-mn^2+mn-m+n^2-n+1}{1-m-n+mn} \\ & = \dfrac{m^2n^2-(m^2n+mn^2)+(m^2+2mn+n^2)-mn-m-n+1}{1-(m+n)+mn} \\ & = \dfrac{(mn)^2-mn(m+n)+(m+n)^2-mn-(m+n)+1}{1-(m+n)+mn} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac13\right)^2-\dfrac13\left(\dfrac23\right) + \left(\dfrac23\right)^2-\dfrac13-\dfrac23+1}{1-\dfrac23+\dfrac13} \\ & = \dfrac{\dfrac19-\dfrac29+\dfrac49-1+1}{\dfrac23} = \dfrac{\dfrac13}{\dfrac23} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{(1+m^2+m^3+\cdots)(1+n^2+n^3+\cdots) = \dfrac12}$$

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ adalah $x^2-(a+b)x+ab=0$, sedangkan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $c$ dan $d$ adalah $x^2-(c+d)x+cd=0$, dengan $a, b, c, d \in P$, $P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$, serta $a \neq c$. $P$ adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari $15$ dengan $\text{n}(P) = 6$.
Kita akan membagi persoalan ini dalam $2$ kasus.

Kasus 1: $(a, b)$ dan $(b, c)$ dengan $a = b \neq c$.
Ini artinya, kita hanya memilih $2$ dari $6$ bilangan di $P$. Banyak caranya sama dengan $C_2^6 = \dfrac{6!}{2! \cdot 2!} = \color{red}{30}$.
Jika kita pilih $(2, 3)$, maka pasangan akar yang mungkin adalah $\{(2, 2), (2, 3)\}$ dan $\{(2, 3), (3, 3)\}$. Keduanya menghasilkan pasangan persamaan kuadrat yang berbeda. Jadi, untuk setiap pilihan $2$ bilangan, akan ada $\color{red}{2}$ pasangan persamaan kuadrat yang dapat dibentuk. Dengan demikian, untuk kasus pertama banyak pasangan persamaan kuadrat sama dengan $\color{red}{2} \times \color{red}{30} = 60$.

Kasus 2: $(a, b)$ dan $(b, c)$ dengan $a \neq b \neq c$.
Ini artinya, kita memilih $3$ dari $6$ bilangan di $P$. Banyak caranya sama dengan $C_3^6 = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = \color{red}{20}$.
Jika kita pilih $(2, 3, 5)$, maka pasangan akar yang mungkin adalah $\{(2, 3), (3, 5)\}$, $\{(3, 2), (2, 5)\}$, dan $\{(2, 5), (5, 3)\}$. Ketiganya menghasilkan pasangan persamaan kuadrat yang berbeda. Jadi, untuk setiap pilihan $3$ bilangan, akan ada $\color{red}{3}$ pasangan persamaan kuadrat yang dapat dibentuk. Dengan demikian, untuk kasus kedua banyak pasangan persamaan kuadrat sama dengan $\color{red}{3} \times \color{red}{20} = 60$.
Total pasangan persamaan kuadrat yang dapat dibentuk adalah $\boxed{60+60=120}$