Tag: Bilangan Prima

Alternatif 1:
Kita akan menggunakan identitas aljabar berikut.
$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =(x+y{)}^2-2xy\\ x^2-y^2& =(x+y)(x-y)\end{array}}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{2019}^4+4^{2019}& =(\underset{x}{\underbrace{{2019}^2}}{)}^2+(\underset{y}{\underbrace{2^{2019}}}{)}^2\\ & =({2019}^2+2^{2019}{)}^2-2\cdot {2019}^2\cdot 2^{2019}\\ & =({2019}^2+2^{2019}{)}^2-\cdot {2019}^2\cdot 2^{2020}\\ & =(\underset{x}{\underbrace{{2019}^2+2^{2019}}}{)}^2-(\underset{y}{\underbrace{(2019\cdot 2^{2010}}}{)}^2\\ & =({2019}^2+2^{2019}+2019\cdot 2^{1010})({2019}^2+2^{2019}-2019\cdot 2^{1010}).\end{array}$$Karena $A-B=2^{2011}\cdot 2019$ bernilai positif, maka pastilah $A>B.$ Jadi,
$$\{\begin{array}{ll}A& ={2019}^2+2^{2019}+2019\cdot 2^{1010}\\ B& ={2019}^2+2^{2019}-2019\cdot 2^{1010}\end{array}$$Dapat diperiksa bahwa benar $A-B=2^{2011}\cdot 2019.$
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}A+B& =({2019}^2+2^{2019}+2019\cdot 2^{1010})+({2019}^2+2^{2019}-2019\cdot 2^{1010})\\ & =2\cdot {2019}^2+2\cdot 2^{2019}\\ & =2\cdot {2019}^2+2^{2020}.\end{array}$$Alternatif 2:
Akan digunakan Identitas Sophie-Germain berikut.
$$\boxed{{\displaystyle a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{2019}^4+4^{2019}& ={2019}^4+4\cdot 4^{2018}\\ & =(\underset{a}{\underbrace{2019}}{)}^4+4\cdot (\underset{b}{\underbrace{4^{504,5}}}{)}^4\\ & =({2019}^2+2(4^{504,5}{)}^2+2\cdot 2019\cdot 4^{504,5})({2019}^2+2(4^{504,5}{)}^2-2\cdot 2019\cdot 4^{504,5})\end{array}$$Karena $A-B=2^{2011}\cdot 2019$ bernilai positif, maka pastilah $A>B.$ Jadi,
$$\{\begin{array}{ll}A& ={2019}^2+2(4^{504,5}{)}^2+2\cdot 2019\cdot 4^{504,5}\\ B& ={2019}^2+2(4^{504,5}{)}^2-2\cdot 2019\cdot 4^{504,5}\end{array}$$Dapat diperiksa bahwa benar $A-B=2^{2011}\cdot 2019.$
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}A+B& =({2019}^2+2(4^{504,5}{)}^2+2\cdot 2019\cdot 4^{504,5})+({2019}^2+2(4^{504,5}{)}^2-2\cdot 2019\cdot 4^{504,5})\\ & =2\cdot {2019}^2+4(4^{1009})\\ & =2\cdot {2019}^2+2^{2020}.\end{array}$$(Jawaban B)

Faktorkan ekspresi tersebut dengan menggunakan Identitas Sophie Germain (ambil $a=5$ dan $b=6$).
$$\begin{array}{rl}{5}^4+4\cdot 6^4& =(5^2+2\cdot 6^2+2\cdot 5\cdot 6)(5^2+2\cdot 6^2+2\cdot 5\cdot 6)\\ & =(25+72+60)(25+72-60)\\ & =157\cdot 37\end{array}$$Perhatikan bahwa $157$ dan $37$ keduanya merupakan bilangan prima. Jelas bahwa $\boxed{{\displaystyle 157}}$ merupakan faktor prima terbesar dari $5^4+4\cdot 6^4.$

Bilangan komposit didefinisikan sebagai bilangan asli yang memiliki lebih dari $2$ faktor. Bisa juga dikatakan bahwa bilangan komposit adalah bilangan nonprima selain $1.$
Karena $n$ merupakan bilangan asli, maka kita dapat membagi kasus untuk $n$ berupa bilangan genap dan $n$ berupa bilangan ganjil.

Kasus 1: $n$ genap
Misalkan $n=2k$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{n}^4+4^n& =(2k{)}^4+4^{2k}\\ & =16k^4+2^{4k}\\ & =2\cdot 8k^4+2\cdot 2^{4k-1}\\ & =2(8k^4+2^{4k-1}).\end{array}$$Karena $n^4+4^n$ dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian yang salah satu faktornya $2$ dengan $8k^4+2^{4k-1}$ jelas lebih besar dari $1,$ maka $n^4+4^n$ genap dan akibatnya pasti komposit.

Kasus 2: $n$ ganjil
Misalkan $n=2k+1$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Dengan menggunakan Identitas Sophie Germain, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{n}^4+4^n& =n^4+4^{2k+1}\\ & =n^4+4\cdot (2^k{)}^4\\ & =(n^2+2\cdot (2^k{)}^2+2n^2\cdot 2^k)(n^2+2\cdot (2^k{)}^2-2n^2\cdot 2^k)\\ & =(n^2+2\cdot 4^k+2n^2\cdot 2^k)(n^2+2\cdot 4^k-2n^2\cdot 2^k).\end{array}$$Perhatikan bahwa $$(n^2+2\cdot 4^k+2n^2\cdot 2^k)$$jelas bernilai lebih dari $1,$ sedangkan
$$\begin{array}{rl}& n^2+2\cdot 4^k+2n^2\cdot 2^k\\ & =\underset{\text{minimum}=0}{\underbrace{(n-2^k{)}^2}}+4^k\ge 4.\end{array}$$Jadi, bentuk $n^4+4^n$ selalu dapat dituliskan dalam bentuk perkalian dua bilangan yang bukan $1$ sehingga terbukti bahwa $n^4+4^n$ adalah bilangan komposit.
(Terbukti)

Menurut Identitas Sophie-Germain, berlaku
$$\boxed{{\displaystyle a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)}}$$Bentuk $x^4+4$ dapat kita faktorkan dengan menggunakan identitas tersebut dengan memandang bahwa $a=x$ dan $b=1.$
$$\begin{array}{rl}{x}^4+4& =x^4+4(1{)}^4\\ & =(x^2+2(1{)}^2-2(x)(1))(x^2+2(1{)}^2+2(x)(1))\\ & =(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)\end{array}$$Untuk bilangan prima genap, persamaan $x^4+4=2$ tidak memiliki solusi. Selanjutnya, kita periksa untuk bilangan prima ganjil. Perhatikan bahwa $x$ juga harus bernilai ganjil. Karena setiap bilangan prima ganjil pasti memiliki faktor $1$ dan tidak ada faktor lain selain dirinya sendiri, maka berdasarkan hasil pemfaktoran di atas, kita peroleh dua kemungkinan.
Kemungkinan pertama:
$$\begin{array}{rl}{x}^2-2x+2=1& \iff x^2-2x+1=0\\ & \iff (x-1{)}^2=0\\ & \iff x=1\end{array}$$Kemungkinan kedua:
$$\begin{array}{rl}{x}^2+2x+2=1& \iff x^2+2x+1=0\\ & \iff (x+1{)}^2=0\\ & \iff x=-1\end{array}$$Jadi, hanya ada $\boxed{{\displaystyle 2}}$ bilangan bulat $x$ yang mengakibatkan $x^4+4$ menjadi bilangan prima.

Perhatikan bahwa masing-masing ekspresi dalam tanda kurung pada pecahan di atas berbentuk $x^4+324.$ Berdasarkan Identitas Sophie Germain, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{x}^4+324& =x^4+4\cdot 3^4\\ & =(x^2+2\cdot 3^2-2\cdot x\cdot 3)(x^2+2\cdot 3^2+2\cdot x\cdot 3)\\ & =(x(x-6)+18)(x(x+6)+18)\end{array}$$sehingga
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{({10}^4+324)({22}^4+324)({34}^4+324)({46}^4+324)({58}^4+324)}{(4^4+324)({16}^4+324)({28}^4+324)({40}^4+324)({52}^4+324)}}\\ & ={\displaystyle \frac{[(10(10-6)+18)(10(10+6)+18)][(22(22-6)+18)(22(22+6)+18)]\cdots [(58(58-6)+18)(58(58+6)+18)]}{[(4(4-6)+18)(4(4+6)+18)][(16(16-6)+18)(16(16+6)+18)]\cdots [(52(52-6)+18)(52(52+6)+18)]}}\\ & ={\displaystyle \frac{(10(4)+18)(10(16)+18)(22(28)+18)\cdots (58(52)+18)(58(64)+18)}{(4(-2)+18)(4(10)+18)(16(10)+18)(16(22)+18)\cdots (52(46)+18)(52(58)+18)}}\\ & ={\displaystyle \frac{58(64)+18}{4(-2)+18}}\\ & ={\displaystyle \frac{3730}{10}}=373.\end{array}$$Jadi, nilai dari ekspresi tersebut sama dengan $\boxed{{\displaystyle 373}}$

Perhatikan bahwa
$$3^{4^5}+4^{5^6}=3^{4^5}+4\cdot 4^{5^6-1}.$$Kita akan menggunakan Identitas Sophie Germain. Sebelumnya, kita harus menentukan nilai $a$ dan $b$ terlebih dahulu yang sesuai untuk soal ini.
$$\begin{array}{rl}★a^4& =3^{4^5}\\ a^{4\cdot \frac{1}{4}}& =3^{4^5\cdot \frac{1}{4}}\\ a& =3^{4^4}\\ ★b^4& =4^{5^6-1}\\ b^4& =2^{2(5^6-1)}\\ b^{4\cdot \frac{1}{4}}& =2^{2(5^6-1)\cdot \frac{1}{4}}\\ b& =2^{\sqrt{5^6-1}}\end{array}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{rl}{3}^{4^5}+4\cdot 4^{5^6-1}& =a^4+4b^4\\ & =(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab).\end{array}$$Jelas bahwa $(a^2+2b^2+2ab)$ lebih besar dari ${10}^{2002}.$ Sekarang, perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{a}^2+2b^2-2ab& =(a-b{)}^2+b^2\\ & \ge b^2=2^{5^6-1}\\ & >{10}^{2002}.\end{array}$$Jadi, terbukti bahwa $3^{4^5}+4^{5^6}$ adalah hasil perkalian dua bilangan bulat yang masing-masing lebih besar dari ${10}^{2002}.$ 

Tinjau bentuk ${2014}^4+4\times {2013}^4.$ Gunakan Identitas Sophie Germain untuk memfaktorkan bentuk tersebut, kemudian dimisalkan $n=2013.$
$$\begin{array}{rl}& {2014}^4+4\times {2013}^4\\ & =({2014}^2+2\cdot {2013}^2+2\cdot 2014\cdot 2013)(({2014}^2+2\cdot {2013}^2-2\cdot 2014\cdot 2013)\\ & =((n+1{)}^2+2n^2+2(n+1)(n))((n+1{)}^2+2n^2-2(n+1)(n))\\ & =((n^2+2n+1)+2n^2+(2n^2+2n))((n^2+2n+1)+2n^2-(2n^2+2n))\\ & =(5n^2+4n+1)(n^2+1)\end{array}$$Sekarang tinjau bentuk ${2013}^2+{4027}^2.$ Karena $n=2013,$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{2013}^2+{4027}^2& =n^2+(2n+1{)}^2\\ & =n^2+(4n^2+4n+1)\\ & =5n^2+4n+1.\end{array}$$Jadi, kita dapatkan
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{2014}^4+4\times {2013}^4}{{2013}^2+{4027}^2}}& ={\displaystyle \frac{\cancel{(5n^2+4n+1)}(n^2+1)}{\cancel{5n^2+4n+1}}}\\ & =n^2+1.\end{array}$$Dengan menggunakan prinsip yang sama dan pemisalan bahwa $n=2013,$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{{2012}^4+4\times {2013}^4}{{2013}^2+{4025}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{({2012}^2+2\cdot {2013}^2+2\cdot 2012\cdot 2013)({2012}^2+2\cdot {2013}^2-2\cdot 2012\cdot 2013)}{{2013}^2+{4025}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{((n-1{)}^2+2n^2+2(n-1)(n))((n-1{)}^2+2n^2-2(n-1)(n))}{n^2+(2n-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{((n^2-2n+1)+2n^2+(2n^2-2n))((n^2-2n+1)+2n^2-(2n^2-2n))}{n^2+(4n^2-4n+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{(5n^2-4n+1)}(n^2+1)}{\cancel{5n^2-4n+1}}}\\ & =n^2+1.\end{array}$$Akhirnya didapat
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{2014}^4+4\times {2013}^4}{{2013}^2+{4027}^2}}-{\displaystyle \frac{{2012}^4+4\times {2013}^4}{{2013}^2+{4025}^2}}& =(n^2+1)-(n^2+1)\\ & =0.\end{array}$$Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 0}}$

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{13}^4+{16}^5-{172}^2& ={169}^2+(2^4{)}^5-{172}^2\\ & =2^{20}+({169}^2-{172}^2)\\ & =2^{20}+(-3)(341)\\ & =2^{20}-1023\\ & =2^{20}-2^{10}+1\\ & ={\displaystyle \frac{(2^{20}-2^{10}+1)(2^{10}+1)}{2^{10}+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^{30}+1}{2^{10}+1}}.\end{array}$$Sekarang gunakan Identitas Sophie Germain pada masing-masing pembilang dan penyebut.
Pembilang:
$$\begin{array}{rl}{2}^{30}+1& =1^4+4\cdot (2^7{)}^4\\ & =(1^2+2\cdot 2^{14}+2\cdot 1\cdot 2^7)(1^2+2\cdot 2^{14}-2\cdot 1\cdot 2^7)\\ & =(1+2^{15}+2^8)(1+2^{15}-2^8)\end{array}$$Penyebut:
$$\begin{array}{rl}{2}^{10}+1& =1^4+4\cdot (2^2{)}^4\\ & =(1^2+2\cdot 2^4+2\cdot 1\cdot 2^2)(1^2+2\cdot 2^4-2\cdot 1\cdot 2^2)\\ & =(1+2^5+2^3)(1+2^5-2^3)\end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2^{30}+1}{2^{10}+1}}& ={\displaystyle \frac{(1+2^{15}+2^8)(1+2^{15}-2^8)}{(1+2^5+2^3)(1+2^5-2^3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{33025\cdot 32513}{41\cdot 25}}\\ & ={\displaystyle \frac{(\cancel{25}\cdot 1321)\cdot (\bcancel{41}\cdot 793)}{\bcancel{41}\cdot \cancel{25}}}\\ & =793\cdot 1321\\ & =13\cdot 61\cdot 1321.\end{array}$$Perhatikan bahwa $13,61,1321$ ketiganya merupakan bilangan prima. Jadi, faktor prima terbesar dari bilangan tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 1321}}$