Salah satu identitas aljabar terkenal yang berhubungan dengan bentuk faktor adalah Identitas Sophie Germain. Identitas ini jarang dimunculkan di dalam kelas, tetapi kerap kali diperlukan untuk menyelesaikan soal-soal setingkat olimpiade matematika.
Teorema: Identitas Sophie-Germain
$${\large \boxed{a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2-2ab)}}$$
Identitas aljabar ini sebenarnya sangat mendasar dan pembuktiannya juga sederhana, yaitu bisa dengan menguraikan ruas kanan sehingga penyederhanaannya menghasilkan ruas kiri, atau bisa juga dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dan menggunakan identitas selisih kuadrat $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ pada ruas kiri seperti berikut.
$$\begin{aligned} a^4+4b^4 & = a^4\color{blue}{+4a^2b^2}+4b^4\color{blue}{-4a^2b^2} \\ & = (a^2+2b^2)^2-(2ab)^2 \\ & = (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab) \end{aligned}$$Identitas ini dinamai dari seorang matematikawan, filsuf, dan fisikawan berkebangsaan Prancis bernama Marie-Sophie Germain (1776–1831). Jarang sekali ada matematikawan perempuan pada zaman dulu, hanya ada beberapa, dan beliau adalah salah satunya.
Menggunakan Identitas Sophie Germain untuk menyelesaikan soal juga sebenarnya gampang gampang susah, terutama ketika disuguhi pertanyaan kapan Identitas Sophie Germain digunakan. Perhatian lebih ditujukan kepada ekspresi matematika yang disajikan. Jika ada ekspresi berpangkat 4 (atau kelipatannya), atau sedikit manipulasi aljabar bisa memunculkan ekspresi berpangkat 4, maka ada kemungkinan bahwa kita bisa menyelesaikan soal dengan menggunakan identitas aljabar ini.
Berikut ini disajikan beberapa soal dan pembahasan terkait penggunaan Identitas Sophie Germain. Soal diambil dari berbagai referensi yang pembahasannya dibuat secara mandiri.
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Jika $2019^4 + 4^{2019} = A \cdot B$ dengan $A, B > 1$ dan $A-B = 2^{2011} \cdot 2019,$ maka nilai $A+B = \cdots \cdot$
A. $2 \cdot 2019^2 + 2^{2019}$
B. $2 \cdot 2019^2 + 2^{2020}$
C. $2 \cdot 2020^2 + 2^{2019}$
D. $2 \cdot 2020^2 + 2^{2020}$
E. $2019^4 + 4^{2019}$
Alternatif 1:
Kita akan menggunakan identitas aljabar berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} x^2+y^2 & = (x+y)^2-2xy \\ x^2-y^2 & = (x+y)(x-y) \end{aligned}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2019^4 + 4^{2019} & = (\underbrace{2019^2}_{x})^2 + (\underbrace{2^{2019}}_{y})^2 \\ & = (2019^2 + 2^{2019})^2-2 \cdot 2019^2 \cdot 2^{2019} \\ & = (2019^2 + 2^{2019})^2- \cdot 2019^2 \cdot 2^{2020} \\ & = (\underbrace{2019^2 + 2^{2019}}_{x})^2- (\underbrace{(2019 \cdot 2^{2010}}_{y})^2 \\ & = (2019^2 + 2^{2019} + 2019 \cdot 2^{1010})(2019^2 + 2^{2019}- 2019 \cdot 2^{1010}). \end{aligned}$$Karena $A-B=2^{2011} \cdot 2019$ bernilai positif, maka pastilah $A > B.$ Jadi,
$$\begin{cases} A & = 2019^2 + 2^{2019} + 2019 \cdot 2^{1010} \\ B & = 2019^2 + 2^{2019}- 2019 \cdot 2^{1010} \end{cases}$$Dapat diperiksa bahwa benar $A-B = 2^{2011} \cdot 2019.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A+B & = \left(2019^2 + 2^{2019} + 2019 \cdot 2^{1010}\right) +\left(2019^2 + 2^{2019}- 2019 \cdot 2^{1010}\right) \\ & = 2 \cdot 2019^2 + 2 \cdot 2^{2019} \\ & = 2 \cdot 2019^2 + 2^{2020}. \end{aligned}$$Alternatif 2:
Akan digunakan Identitas Sophie-Germain berikut.
$$\boxed{a^4+4b^4 = (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2019^4 + 4^{2019} & = 2019^4 + 4 \cdot 4^{2018} \\ & = (\underbrace{2019}_{a})^4 + 4 \cdot (\underbrace{4^{504,5}}_{b})^4 \\ & = (2019^2 + 2(4^{504,5})^2+2 \cdot 2019 \cdot 4^{504,5})(2019^2 + 2(4^{504,5})^2-2 \cdot 2019 \cdot 4^{504,5}) \end{aligned}$$Karena $A-B=2^{2011} \cdot 2019$ bernilai positif, maka pastilah $A > B.$ Jadi,
$$\begin{cases} A & = 2019^2 + 2(4^{504,5})^2+2 \cdot 2019 \cdot 4^{504,5} \\ B & = 2019^2 + 2(4^{504,5})^2-2 \cdot 2019 \cdot 4^{504,5} \end{cases}$$Dapat diperiksa bahwa benar $A-B = 2^{2011} \cdot 2019.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A+B & = (2019^2 + 2(4^{504,5})^2+2 \cdot 2019 \cdot 4^{504,5})+(2019^2 + 2(4^{504,5})^2-2 \cdot 2019 \cdot 4^{504,5}) \\ & = 2 \cdot 2019^2 + 4(4^{1009}) \\ & = 2 \cdot 2019^2 + 2^{2020}. \end{aligned}$$(Jawaban B)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Carilah faktor prima terbesar dari $5^4 + 4 \cdot 6^4.$
Faktorkan ekspresi tersebut dengan menggunakan Identitas Sophie Germain (ambil $a = 5$ dan $b=6$).
$$\begin{aligned} 5^4 + 4 \cdot 6^4 & = (5^2 + 2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6)(5^2 + 2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6) \\ & = (25 + 72 + 60)(25+72-60) \\ & = 157 \cdot 37 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $157$ dan $37$ keduanya merupakan bilangan prima. Jelas bahwa $\boxed{157}$ merupakan faktor prima terbesar dari $5^4 + 4 \cdot 6^4.$
Soal Nomor 2
Buktikan untuk setiap bilangan asli $n > 1,$ $n^4+4^n$ adalah bilangan komposit.
Bilangan komposit didefinisikan sebagai bilangan asli yang memiliki lebih dari $2$ faktor. Bisa juga dikatakan bahwa bilangan komposit adalah bilangan nonprima selain $1.$
Karena $n$ merupakan bilangan asli, maka kita dapat membagi kasus untuk $n$ berupa bilangan genap dan $n$ berupa bilangan ganjil.
Kasus 1: $n$ genap
Misalkan $n = 2k$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} n^4 + 4^n & = (2k)^4 + 4^{2k} \\ & = 16k^4 + 2^{4k} \\ & = 2 \cdot 8k^4 + 2 \cdot 2^{4k-1} \\ & = \color{red}{2}(8k^4 + 2^{4k-1}). \end{aligned}$$Karena $n^4+4^n$ dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian yang salah satu faktornya $2$ dengan $8k^4 + 2^{4k-1}$ jelas lebih besar dari $1,$ maka $n^4 + 4^n$ genap dan akibatnya pasti komposit.
Kasus 2: $n$ ganjil
Misalkan $n = 2k + 1$ untuk suatu bilangan asli $k.$ Dengan menggunakan Identitas Sophie Germain, kita peroleh
$$\begin{aligned} n^4 + 4^n & = n^4 + 4^{2k+1} \\ & = n^4 + 4 \cdot (2^k)^4 \\ & = (n^2 + 2 \cdot (2^k)^2 + 2n^2 \cdot 2^k)(n^2 + 2 \cdot (2^k)^2- 2n^2 \cdot 2^k) \\ & = (n^2 + 2 \cdot 4^k + 2n^2 \cdot 2^k)(n^2 + 2 \cdot 4^k- 2n^2 \cdot 2^k). \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $$(n^2 + 2 \cdot 4^k + 2n^2 \cdot 2^k)$$jelas bernilai lebih dari $1,$ sedangkan
$$\begin{aligned} & n^2 + 2 \cdot 4^k + 2n^2 \cdot 2^k \\ & = \underbrace{(n-2^k)^2}_{\text{minimum}~=0} + 4^k \geq 4. \end{aligned}$$Jadi, bentuk $n^4+4^n$ selalu dapat dituliskan dalam bentuk perkalian dua bilangan yang bukan $1$ sehingga terbukti bahwa $n^4+4^n$ adalah bilangan komposit.
(Terbukti)
Soal Nomor 3
Tentukan banyaknya bilangan bulat $x$ yang mungkin agar $x^4 + 4$ bilangan prima.
Menurut Identitas Sophie-Germain, berlaku
$$\boxed{a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)}$$Bentuk $x^4 + 4$ dapat kita faktorkan dengan menggunakan identitas tersebut dengan memandang bahwa $a = x$ dan $b = 1.$
$$\begin{aligned} x^4 + 4 & = x^4 + 4(1)^4 \\ & = (x^2 + 2(1)^2-2(x)(1))(x^2 + 2(1)^2+2(x)(1)) \\ & = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2) \end{aligned}$$Untuk bilangan prima genap, persamaan $x^4 + 4 = 2$ tidak memiliki solusi. Selanjutnya, kita periksa untuk bilangan prima ganjil. Perhatikan bahwa $x$ juga harus bernilai ganjil. Karena setiap bilangan prima ganjil pasti memiliki faktor $1$ dan tidak ada faktor lain selain dirinya sendiri, maka berdasarkan hasil pemfaktoran di atas, kita peroleh dua kemungkinan.
Kemungkinan pertama:
$$\begin{aligned} x^2-2x + 2 = 1 & \Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 1 \end{aligned}$$Kemungkinan kedua:
$$\begin{aligned} x^2+2x + 2 = 1 & \Leftrightarrow x^2+2x+1 = 0 \\ & \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = -1 \end{aligned}$$Jadi, hanya ada $\boxed{2}$ bilangan bulat $x$ yang mengakibatkan $x^4+4$ menjadi bilangan prima.
Soal Nomor 4
Hitunglah nilai $$\dfrac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)}.$$
Perhatikan bahwa masing-masing ekspresi dalam tanda kurung pada pecahan di atas berbentuk $x^4 + 324.$ Berdasarkan Identitas Sophie Germain, diperoleh
$$\begin{aligned} x^4 + 324 & = x^4 + 4 \cdot 3^4 \\ & = (x^2 + 2 \cdot 3^2-2 \cdot x \cdot 3)(x^2 + 2 \cdot 3^2+2 \cdot x \cdot 3) \\ & =(x(x-6)+18)(x(x+6)+18) \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} & \dfrac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)} \\ & = \dfrac{\left[(10(10-6)+18)(10(10+6)+18)\right]\left[(22(22-6)+18)(22(22+6)+18)\right]\cdots\left[(58(58-6)+18)(58(58+6)+18)\right]}{\left[(4(4-6)+18)(4(4+6)+18)\right]\left[(16(16-6)+18)(16(16+6)+18)\right]\cdots\left[(52(52-6)+18)(52(52+6)+18)\right]} \\ & = \dfrac{\color{red}{(10(4) + 18)}\color{blue}{(10(16)+18)}\color{green}{(22(28)+18)}\cdots(58(52)+18)(58(64)+18)}{(4(-2)+18)\color{red}{(4(10)+18)}\color{blue}{(16(10)+18)}\color{green}{(16(22)+18)}\cdots(52(46)+18)(52(58)+18)} \\ & = \dfrac{58(64)+18}{4(-2)+18} \\ & = \dfrac{3730}{10} = 373. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari ekspresi tersebut sama dengan $\boxed{373}$
Soal Nomor 5
Buktikan bahwa $3^{4^5} + 4^{5^6}$ adalah hasil perkalian dua bilangan bulat yang masing-masing lebih besar dari $10^{2002}.$
Perhatikan bahwa
$$3^{4^5} + 4^{5^6} = 3^{4^5} + 4 \cdot 4^{5^6-1}.$$Kita akan menggunakan Identitas Sophie Germain. Sebelumnya, kita harus menentukan nilai $a$ dan $b$ terlebih dahulu yang sesuai untuk soal ini.
$$\begin{aligned} \bigstar~a^4 & = 3^{4^5} \\ a^{4 \cdot \frac14} & = 3^{4^5 \cdot \frac14} \\ a & = 3^{4^4} \\ \bigstar~b^4 & = 4^{5^6-1} \\ b^4 & = 2^{2(5^6-1)} \\ b^{4 \cdot \frac14} & = 2^{2(5^6-1) \cdot \frac14} \\ b & = 2^{\sqrt{5^6-1}} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} 3^{4^5} + 4 \cdot 4^{5^6-1} & = a^4 + 4b^4 \\ & = (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab). \end{aligned}$$Jelas bahwa $(a^2+2b^2+2ab)$ lebih besar dari $10^{2002}.$ Sekarang, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a^2+2b^2-2ab & = (a-b)^2+b^2 \\ & \geq b^2 = 2^{5^6-1} \\ & > 10^{2002}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $3^{4^5} + 4^{5^6}$ adalah hasil perkalian dua bilangan bulat yang masing-masing lebih besar dari $10^{2002}.$
Soal Nomor 6
Hitunglah nilai dari $$\dfrac{2014^4 + 4 \times 2013^4}{2013^2 + 4027^2}-\dfrac{2012^4 + 4 \times 2013^4}{2013^2 + 4025^2}.$$
Tinjau bentuk $2014^4 + 4 \times 2013^4.$ Gunakan Identitas Sophie Germain untuk memfaktorkan bentuk tersebut, kemudian dimisalkan $n = 2013.$
$$\begin{aligned} & 2014^4 + 4 \times 2013^4 \\ & = (2014^2 + 2 \cdot 2013^2 + 2 \cdot 2014 \cdot 2013)((2014^2 + 2 \cdot 2013^2- 2 \cdot 2014 \cdot 2013) \\ & = ((n+1)^2 + 2n^2 + 2(n+1)(n))((n+1)^2+2n^2-2(n+1)(n)) \\ & = ((n^2+2n+1)+2n^2+(2n^2+2n))((n^2+2n+1)+2n^2-(2n^2+2n)) \\ & = (5n^2+4n+1)(n^2+1) \end{aligned}$$Sekarang tinjau bentuk $2013^2 + 4027^2.$ Karena $n = 2013,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 2013^2+4027^2 & = n^2+(2n+1)^2 \\ & = n^2+(4n^2+4n+1) \\ & = 5n^2+4n+1. \end{aligned}$$Jadi, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \dfrac{2014^4 + 4 \times 2013^4}{2013^2 + 4027^2} & = \dfrac{\cancel{(5n^2+4n+1)}(n^2+1)}{\cancel{5n^2+4n+1}} \\ & = n^2+1. \end{aligned}$$Dengan menggunakan prinsip yang sama dan pemisalan bahwa $n = 2013,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2012^4 + 4 \times 2013^4}{2013^2 + 4025^2} \\ & = \dfrac{(2012^2 + 2 \cdot 2013^2 + 2 \cdot 2012 \cdot 2013)(2012^2 + 2 \cdot 2013^2- 2 \cdot 2012 \cdot 2013)}{2013^2 + 4025^2} \\ & = \dfrac{((n-1)^2 + 2n^2 + 2(n-1)(n))((n-1)^2 + 2n^2- 2(n-1)(n))}{n^2 + (2n-1)^2} \\ & = \dfrac{((n^2-2n+1) + 2n^2 + (2n^2-2n))((n^2-2n+1) + 2n^2- (2n^2-2n))}{n^2 + (4n^2-4n+1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(5n^2-4n+1)}(n^2+1)}{\cancel{5n^2-4n+1}} \\ & = n^2+1. \end{aligned}$$Akhirnya didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{2014^4 + 4 \times 2013^4}{2013^2 + 4027^2}-\dfrac{2012^4 + 4 \times 2013^4}{2013^2 + 4025^2} & = (n^2+1)-(n^2+1) \\ & = 0. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah $\boxed{0}$
Soal Nomor 7
Tentukan faktor prima terbesar dari $13^4+16^5-172^2.$
Petunjuk: Bilangan tersebut merupakan hasil perkalian tiga bilangan prima berbeda.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 13^4 + 16^5-172^2 & = 169^2 + (2^4)^5-172^2 \\ & = 2^{20} + (169^2-172^2) \\ & = 2^{20} + (-3)(341) \\ & = 2^{20}-1023 \\ & = 2^{20}-2^{10}+1 \\ & = \dfrac{(2^{20}-2^{10}+1)(2^{10}+1)}{2^{10}+1} \\ & = \dfrac{2^{30}+1}{2^{10}+1}. \end{aligned}$$Sekarang gunakan Identitas Sophie Germain pada masing-masing pembilang dan penyebut.
Pembilang:
$$\begin{aligned} 2^{30} + 1 & = 1^4 + 4 \cdot (2^{7})^4 \\ & = (1^2 + 2 \cdot 2^{14} + 2 \cdot 1 \cdot 2^7)(1^2 + 2 \cdot 2^{14} -2 \cdot 1 \cdot 2^7) \\ & = (1+2^{15}+2^8)(1+2^{15}-2^8) \end{aligned}$$Penyebut:
$$\begin{aligned} 2^{10} + 1 & = 1^4 + 4 \cdot (2^{2})^4 \\ & = (1^2 + 2 \cdot 2^{4} + 2 \cdot 1 \cdot 2^2)(1^2 + 2 \cdot 2^{4} -2 \cdot 1 \cdot 2^2) \\ & = (1+2^5+2^3)(1+2^5-2^3) \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2^{30}+1}{2^{10}+1} & = \dfrac{(1+2^{15}+2^8)(1+2^{15}-2^8)}{(1+2^5+2^3)(1+2^5-2^3)} \\ & = \dfrac{33025 \cdot 32513}{41 \cdot 25} \\ & = \dfrac{(\cancel{25} \cdot 1321) \cdot (\bcancel{41} \cdot 793)}{\bcancel{41} \cdot \cancel{25}} \\ & = 793 \cdot 1321 \\ & = 13 \cdot 61 \cdot 1321. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $13, 61, 1321$ ketiganya merupakan bilangan prima. Jadi, faktor prima terbesar dari bilangan tersebut adalah $\boxed{1321}$