Uji selisih rata-rata dua populasi merupakan salah satu uji hipotesis yang digunakan untuk mengetahui besarnya selisih rata-rata dari dua populasi berbeda. Pengujian diawali dengan pengambilan sampel dengan ukuran tertentu yang harus diambil secara acak.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Berdasarkan datanya, uji selisih rata-rata dua populasi dibagi menjadi dua jenis, yaitu uji selisih rata-rata dua populasi bebas (independent) dan uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan (paired). Pada uji selisih rata-rata dua populasi bebas, uji dapat dilakukan dengan menggunakan dua alternatif, yaitu uji-$z$ dan uji-$t.$ Jika varians kedua populasi diketahui, uji rata-rata satu populasi dapat dijalankan dengan menggunakan uji-$z$ sehingga nantinya akan melibatkan tabel-$z.$ Sebaliknya, jika varians populasi tidak diketahui, uji rata-rata satu populasi harus dijalankan dengan menggunakan uji-$t$ sehingga nantinya akan melibatkan tabel-$t.$ Dalam konteks dunia nyata, varians populasi jarang diketahui sehingga uji-$t$ lebih sering dipakai. Lebih lanjut, pada uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan, uji yang dipakai selalu uji-$t$ apa pun situasinya. Pada artikel ini, kita akan secara khusus membahas tentang uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Sesuai dengan namanya, uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan digunakan untuk mengetahui besarnya selisih rata-rata dari dua populasi yang berpasangan. Data yang diperoleh dikatakan “berpasangan” karena sebenarnya hanya melibatkan satu populasi, tetapi mendapat perlakuan yang berbeda sehingga diasumsikan sebagai dua populasi. Contoh data berpasangan adalah sebagai berikut.
- Berat badan sekelompok orang sebelum dan sesudah mengonsumsi suplemen tertentu.
- Nilai siswa sebelum dan sesudah pelaksanaan metode pembelajaran tertentu.
- Waktu yang diperlukan oleh seorang perawat untuk memasang infus sebelum dan sesudah mendapatkan pelatihan dari tim medis profesional.
Uji-$t$ selalu dipakai sebagai uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, uji ini juga sering disebut sebagai uji-$t$ sampel berpasangan (paired sample $t$-test). Sampel harus diambil secara acak dan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Kalaupun tidak, banyaknya sampel yang diambil harus cukup besar, biasanya berukuran $\ge 30.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d = \mu_1-\mu_2$ dengan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut menyatakan rata-rata populasi sebelum dan sesudah mendapat perlakuan.
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 = d_0. \\ H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ne d_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ge d_0. \\ H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 < d_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \le d_0. \\ H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 > d_0. \end{cases}$$Dalam hal ini, $d_0$ adalah selisih nilai rata-rata yang telah diduga/ditetapkan sebelumnya. Lebih lanjut, Anda tidak harus mendefinisikan $\mu_d$ sebagai $\mu_1-\mu_2.$ Anda diperbolehkan untuk mendefinisikannya sebagai $\mu_2-\mu_1$ asalkan melakukan sedikit penyesuaian.
Statistik uji yang digunakan dalam uji-$t$ adalah
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s/\sqrt{n}}$$dengan $t_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$t$ hitung, $\overline{x}_d$ adalah rata-rata dari data selisih nilai observasi yang berkorespondensi, $s$ adalah simpangan baku data selisih, dan $n$ adalah ukuran sampel.
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $-t_{\alpha/2; ~\text{dk}}$ dan $t_{\alpha/2; ~\text{dk}}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: \mu_d < d_0,$ maka nilai kritisnya adalah $-t_{\alpha;~ \text{dk}}.$
Sebaliknya, jika $H_1 :\mu_d > d_0,$ maka nilai kritisnya adalah $t_{\alpha; ~\text{dk}}.$
Dalam hal ini, $\text{dk} = n-1$ merupakan derajat kebebasan.
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika $t_{\text{hitung}} < -t_{\alpha/2;~\text{dk}}$ atau $t_{\text{hitung}} > t_{\alpha/2;~\text{dk}}.$ Di sisi lain, dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika $t_{\text{hitung}} < -t_{\alpha;~\text{dk}}$ untuk $H_1: \mu_d < d_0$ dan $t_{\text{hitung}} > t_{\alpha;~\text{dk}}$ untuk $H_1: \mu_d > d_0.$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Uji Hipotesis} & \text{Hypothesis Testing} \\ 2. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 5. & \text{Uji-}z & z\text{-Test} \\ 6. & \text{Uji-}t & t\text{-Test} \\ 7. & \text{Nilai Kritis} & \text{Critical Value} \\ 8. & \text{Daerah Kritis} & \text{Critical Region} \\ 9. & \text{Hipotesis Nol} & \text{Null Hypothesis} \\ 10. & \text{Hipotesis Alternatif} & \text{Alternative Hypothesis} \\ 11. & \text{Statistik Uji} & \text{Test Statistic} \\ 12. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 13. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 14. & \text{Uji Satu Arah} & \text{One-Tailed Test} \\ 15. & \text{Uji Dua Arah} & \text{Two-Tailed Test} \\ 16. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Ralph Waldo Emerson
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang binaragawan ingin mengetahui pengaruh penggunaan mesin lari (treadmill) terhadap berat badan penggunanya. Oleh karena itu, ia memilih secara acak $15$ orang pengunjung pusat kebugaran (fitness center). Binaragawan tersebut melakukan pengukuran berat badan sebelum dan sesudah menggunakan mesin lari selama $15$ menit dengan kecepatan yang konstan. Alhasil, diperoleh rata-rata berat badan sebelum dan sesudah penggunaan mesin lari berturut-turut adalah $55$ kg dan $52$ kg. Lebih lanjut, simpangan baku dari data selisih berat badan adalah $1$ kg. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah pengaruh penggunaan mesin lari terhadap berat badan penggunanya.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih berat badan orang sebelum dan sesudah menggunakan mesin lari (dalam kg). Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Diketahui ukuran sampel $n=15$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah $\overline{x}_d = 55-52=3$ kg dan $s_d = 1$ kg.
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata populasi dari berat badan orang sebelum dan sesudah menggunakan mesin lari. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_1-\mu_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{3-0}{1/\sqrt{15}} \approx 11,\!619.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=15-1=14$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 14} \approx 2,\!145.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!145$ atau $t > 2,\!145.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 11,\!619 > 2,\!145 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, mesin lari memiliki pengaruh yang signifikan terhadap berat badan penggunanya.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi
Soal Nomor 2
Seorang mahasiswa semester akhir melakukan penelitian terhadap dampak penggunaan ChatGPT terhadap prestasi belajar siswa pada materi pengantar statistika inferensial. Mahasiswa tersebut melakukan tes awal dan tes akhir kepada sekelompok siswa, kemudian memilih secara acak nilai dari $6$ orang siswa untuk dianalisis lebih lanjut.
$$\begin{array}{c|cccccc} \textbf{Tes Awal} & 68 & 80 & 75 & 60 & 85 & 35 \\ \hline \textbf{Tes Akhir} & 78 & 88 & 80 & 80 & 82 & 55 \\ \end{array}$$Dengan taraf signifikansi $1\%,$ ujilah dugaan bahwa penggunaan ChatGPT dapat meningkatkan prestasi belajar siswa.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih nilai tes awal dan tes akhir siswa karena penggunaan ChatGPT. Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|cccccc} \textbf{Tes Awal} & 68 & 80 & 75 & 60 & 85 & 35 \\ \hline \textbf{Tes Akhir} & 78 & 88 & 80 & 80 & 82 & 55 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & 10 & 8 & 5 & 20 & -3 & 20 \\ \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 6$ dan $\alpha = 1\% = 0,\!01.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{10 + 8 + 5 + \cdots + 20}{6} = 10$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 8,\!9219.$$Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata populasi dari nilai tes awal dan tes akhir siswa karena penggunaan ChatGPT. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_2-\mu_1.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_2-\mu_1 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_2-\mu_1 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{10-0}{8,\!9219/\sqrt{6}} \approx 2,\!745.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=6-1=5$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,005; 5} \approx 4,\!032.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -4,\!032$ atau $t > 4,\!032.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!745 < 4,\!032 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa penggunaan ChatGPT dapat meningkatkan prestasi belajar siswa.
Soal Nomor 3
Pada tahun 1976, J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat suksametonium klorida (sering dikenal sebagai succinychloline) terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas di suatu kawasan diambil melalui urat nadi leher segera setelah suksametonium klorida disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira $30$ menit setelah suntikan. Setelah itu, rusa dilepaskan kembali ke alam liar. Kadar androgen sesaat setelah disuntik dan $30$ menit setelah disuntik diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk $15$ ekor rusa. Data disajikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{No.} & \text{Kadar androgen sesaat} & \text{Kadar androgen 30 menit} & \text{Selisih} \\ & \text{setelah rusa disuntik (ng/ml)} & \text{setelah rusa disuntik (ng/ml)} & (d_i) \\ \hline 1. & 2,\!76 & 7,\!02 & 4,\!26 \\ 2. & 5,\!18 & 3,\!10 & -2,\!08 \\ 3. & 2,\!68 & 5,\!44 & 2,\!76 \\ 4. & 3,\!05 & 3,\!99 & 0,\!94 \\ 5. & 4,\!10 & 5,\!21 & 1,\!11 \\ 6. & 7,\!05 & 10,\!26 & 3,\!21 \\ 7. & 6,\!60 & 13,\!91 & 7,\!31 \\ 8. & 4,\!79 & 18,\!53 & 13,\!74 \\ 9. & 7,\!39 & 7,\!91 & 0,\!52 \\ 10. & 7,\!30 & 4,\!85 & -2,\!45 \\ 11. & 11,\!78 & 11,\!10 & -0,\!68 \\ 12. & 3,\!90 & 3,\!74 & -0,\!16 \\ 13. & 26,\!00 & 94,\!03 & 68,\!03 \\ 14. & 67,\!48 & 94,\!03 & 26,\!55 \\ 15. & 17,\!04 & 41,\!70 & 24,\!66 \\ \hline \end{array}$$Anggap populasi kadar androgen sesaat setelah rusa disuntik dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah dugaan bahwa konsentrasi androgen tersebut berubah setelah ditunggu $30$ menit.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih kadar androgen 30 menit setelah rusa disuntik terhadap kadar androgen sesaat setelah disuntik (dalam ng/ml). Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Diketahui ukuran sampel $n = 15$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{4,\!26 + (-2,\!08) + 2,\!76 + \cdots + 24,\!66}{15} = 9,\!848$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 18,\!474.$$Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata dari populasi kadar androgen pada rusa segera setelah disuntik suksametonium klorida dan setelah $30$ menit kemudian. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_2-\mu_1.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_2-\mu_1 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_2-\mu_1 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{9,\!848-0}{18,\!474/\sqrt{15}} \approx 2,\!06.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=15-1=14$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 14} \approx 2,\!145.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!145$ atau $t > 2,\!145.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!06 < 2,\!145 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa konsentrasi androgen tersebut berubah setelah ditunggu $30$ menit.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 4
Sebanyak $12$ mobil dengan ban biasa dipilih secara acak, lalu didata jarak tempuhnya (dalam km) untuk satu liter bahan bakar. Selanjutnya, ban biasa tersebut diganti menjadi ban radial pada $12$ mobil yang sama, lalu didata jarak tempuhnya (dalam km) untuk satu liter bahan bakar kembali.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Ban Biasa} & 4,\!1 & 4,\!9 & 6,\!2 & 6,\!9 & 6,\!8 & 4,\!4 & 5,\!7 & 5,\!8 & 6,\!9 & 4,\!7 & 6,\!0 & 4,\!9 \\ \hline \textbf{Ban Radial} & 4,\!2 & 4,\!7 & 6,\!6 & 7,\!0 & 6,\!7 & 4,\!5 & 5,\!7 & 6,\!0 & 7,\!4 & 4,\!9 & 6,\!1 & 5,\!2 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ dapatkah disimpulkan bahwa mobil dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dibandingkan mobil dengan ban biasa?
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih jarak tempuh mobil dengan ban radial dan ban biasa. Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Ban Biasa} & 4,\!1 & 4,\!9 & 6,\!2 & 6,\!9 & 6,\!8 & 4,\!4 & 5,\!7 & 5,\!8 & 6,\!9 & 4,\!7 & 6,\!0 & 4,\!9 \\ \hline \textbf{Ban Radial} & 4,\!2 & 4,\!7 & 6,\!6 & 7,\!0 & 6,\!7 & 4,\!5 & 5,\!7 & 6,\!0 & 7,\!4 & 4,\!9 & 6,\!1 & 5,\!2 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & -0,\!1 & 0,\!2 & -0,\!4 & -0,\!1 & 0,\!1 & -0,\!1 & 0 & -0,\!2 & -0,\!5 & -0,\!2 & -0,\!1 & -0,\!3 \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 12$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{-0,\!1 + 0,\!2 + (-0,\!4) + \cdots + (-0,\!3)}{12} \approx -0,\!1417$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 0,\!1975.$$Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata populasi jarak tempuh mobil dengan ban biasa dan ban radial per satu liter bahan bakar. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_1-\mu_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{-0,\!1417-0}{0,\!1975/\sqrt{12}} \approx -2,\!485.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=12-1=11$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 11} \approx 2,\!201.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!201$ atau $t > 2,\!201.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!485 > 2,\!201 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, dapat disimpulkan bahwa mobil dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dibandingkan mobil dengan ban biasa.
Soal Nomor 5
Divisi akademik di suatu fakultas melakukan survei terhadap dampak penerapan metode pembelajaran berbasis masalah kepada $8$ mahasiswa yang dipilih secara acak dari program studi Statistika. Dampak yang dimaksud adalah terkait ada tidaknya kenaikan terhadap IPK mahasiswa. Secara spesifik, IPK yang dicapai mahasiswa sebelum dan sesudah penerapan metode pembelajaran berbasis masalah dicatat dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Sebelum} & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!8 & 3,\!7 & 3,\!9 & 3,\!8 & 3,\!6 & 3,\!9 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 3,\!6 & 3,\!7 & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!6 & 3,\!4 & 3,\!5 & 3,\!5 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ dapatkah disimpulkan bahwa penerapan metode pembelajaran berbasis masalah berdampak pada kenaikan IPK mahasiswa dari program studi Statistika?
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih IPK mahasiswa sebelum dan sesudah penerapan metode pembelajaran berbasis masalah. Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Sebelum} & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!8 & 3,\!7 & 3,\!9 & 3,\!8 & 3,\!6 & 3,\!9 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 3,\!6 & 3,\!7 & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!6 & 3,\!4 & 3,\!5 & 3,\!5 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & 0,\!1 & -0,\!1 & 0,\!1 & 0,\!1 & 0,\!3 & 0,\!4 & 0,\!1 & 0,\!4 \\ \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 8$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{0,\!1 + (-0,\!1) + 0,\!1 + \cdots + 0,\!4}{8} \approx 0,\!175$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 0,\!1753.$$Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata populasi IPK mahasiswa dari program studi Statistika sebelum dan sesudah penerapan metode pembelajaran berbasis masalah. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_1-\mu_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{0,\!175-0}{0,\!1753/\sqrt{8}} \approx 2,\!824.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=8-1=7$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 7} \approx 2,\!365.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!365$ atau $t > 2,\!365.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!824 > 2,\!365 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, ada perbedaan yang signifikan pada rata-rata IPK mahasiswa dari program studi Statistika sebelum dan sesudah penerapan metode pembelajaran masalah. Namun, penerapan metode pembelajaran berbasis masalah ternyata berdampak pada penurunan IPK mahasiswa, bukan kenaikan.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Analisis Varians (ANAVA) Satu Jalur
Soal Nomor 6
Seorang peracik obat herbal ingin mengetahui apakah obat herbal yang diproduksinya dapat berfungsi untuk menurunkan berat badan seseorang atau tidak. Ia memilih $7$ orang pelanggannya sebagai sampel untuk kemudian dicatat berat badan sebelum dan sesudah mereka mengonsumsi obat herbal. Adapun data berat badan tersebut disajikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum} & 58,\!5 & 60,\!3 & 61,\!7 & 69,\!0 & 64,\!0 & 62,\!6 & 56,\!0 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 60,\!0 & 54,\!9 & 58,\!1 & 62,\!1 & 58,\!5 & 59,\!9 & 54,\!4 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $10\%,$ ujilah dampak penggunaan obat herbal yang diproduksi oleh peracik tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih berat badan pelanggan sebelum dan sesudah mengonsumsi obat herbal. Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum} & 58,\!5 & 60,\!3 & 61,\!7 & 69,\!0 & 64,\!0 & 62,\!6 & 56,\!0 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 60,\!0 & 54,\!9 & 58,\!1 & 62,\!1 & 58,\!5 & 59,\!9 & 54,\!4 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & -1,\!5 & 5,\!4 & 3,\!6 & 6,\!9 & 5,\!5 & 2,\!7 & 1,\!6 \\ \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 7$ dan $\alpha = 10\% = 0,\!1.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{-1,\!5 + 5,\!4 + 3,\!6 + \cdots + 1,\!6}{7} \approx 3,\!4571$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 2,\!8407.$$Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata berat badan pelanggan sebelum dan sesudah mengonsumsi obat herbal yang diproduksi oleh peracik tersebut. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_1-\mu_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{3,\!4571-0}{2,\!8407/\sqrt{7}} \approx 3,\!22.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=7-1=6$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05; 6} \approx 1,\!943.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -1,\!943$ atau $t > 1,\!943.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 3,\!22 > 1,\!943 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, ada perbedaan yang signifikan pada berat badan pelanggan sebelum dan sesudah mengonsumsi obat herbal yang diproduksi oleh peracik tersebut. Dengan kata lain, obat herbal tersebut dapat menaikkan berat badan dari yang mengonsumsinya.
Soal Nomor 7
Penelitian yang dilakukan oleh dinas kesehatan setempat menghasilkan data berupa banyaknya residu asam sorbat (dalam satuan bagian per juta, atau parts per million [ppm]) yang terkandung dalam $8$ potong daging sebagai sampel segera setelah ditetesi larutan sorbat dan setelah $60$ hari penyimpanannya.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum Disimpan} & 224 & 270 & 400 & 444 & 590 & 660 & 1.400 & 680 \\ \hline \textbf{Setelah Disimpan} & 116 & 96 & 239 & 329 & 437 & 597 & 689 & 576 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ apakah bukti sudah cukup untuk mengatakan bahwa lamanya penyimpanan memengaruhi konsentrasi residu asam sorbat yang terkandung dalam daging?
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih konsentrasi residu asam sorbat pada daging (dalam satuan bagian per juta) segera setelah larutan sorbat dan setelah disimpan selama $60$ hari. Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum Disimpan} & 224 & 270 & 400 & 444 & 590 & 660 & 1.400 & 680 \\ \hline \textbf{Setelah Disimpan} & 116 & 96 & 239 & 329 & 437 & 597 & 689 & 576 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & 108 & 174 & 161 & 115 & 153 & 63 & 711 & 104 \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 8$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{108 + 174 + 161 + \cdots + 104}{8} = 198,\!625$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 210,\!1652.$$Rumusan hipotesis:
Misalkan $\mu_1$ dan $\mu_2$ berturut-turut adalah rata-rata konsentrasi residu asam sorbat pada daging (dalam satuan bagian per juta) segera setelah ditetesi larutan sorban dan setelah $60$ hari disimpan. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_d,$ yaitu nilai dari $\mu_1-\mu_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_d = \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_d = \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}_d-d_0}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{198,\!625-0}{210,\!1652/\sqrt{8}} \approx 2,\!673.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=8-1=7$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 7} \approx 2,\!365.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!365$ atau $t > 2,\!365.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!673 > 2,\!365 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti sudah cukup untuk mengatakan bahwa lamanya penyimpanan memengaruhi konsentrasi residu asam sorbat yang terkandung dalam daging.