Tag: Garis Singgung

Dua lingkaran yang dimaksud dapat disketsakan seperti berikut.
Kedua lingkaran tersebut dikatakan saling lepas. Kita dapat membuat $2$ garis singgung persekutuan dalam seperti berikut.
Selain itu, garis singgung persekutuan luarnya juga ada $2$, seperti tampak pada gambar berikut.
(Jawaban A)

Karena $AB$ garis singgung lingkaran, maka $OB \perp AB$, berarti $\angle OBA = 90^{\circ}$. Jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga
$\begin{aligned} \angle O + \angle A + \angle B & = 180^{\circ} \\ 2x + x + 90^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 3x & = 90^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ sama dengan $\boxed{30^{\circ}}$
(Jawaban A)

Karena $AB$ dan $CB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OC \perp CB$ dan $OA \perp AB$ sehingga besar $\angle OCB = \angle OAB = 90^{\circ}$.
Jumlah sudut pada layang-layang (atau segi empat, pada umumnya) adalah $360^{\circ}$ sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} \angle A + \angle B + \angle C + \angle O & = 360^{\circ} \\ 90^{\circ} + 70^{\circ} + 90^{\circ} + \angle O & = 360^{\circ} \\ 250^{\circ} + \angle O & = 360^{\circ} \\ \angle O & = 110^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $AOC$ sama dengan $\boxed{110^{\circ}}$
(Jawaban C)

Karena $AB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka besar $\angle OBA = 90^{\circ}$ (siku-siku). Untuk itu, berlaku rumus Pythagoras pada $\triangle OBA$ untuk mencari panjang $AB$.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AO^2-OB^2} \\ & = \sqrt{51^2-24^2} \\ & = \sqrt{9(17^2-8^2)} \\ & = 3 \times \sqrt{289-64} \\ & = 3 \times 15 = 45~\text{cm} \end{aligned}$
(Ingat Tripel Pythagoras: $\textbf{(8, 15, 17)}$)
Luas segitiga $OBA$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OBA} & = \dfrac{OB \times AB}{2} \\ & = \dfrac{24 \times 45}{2} = 540~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas segitiga $OCA$ juga $540~\text{cm}^2$. Dengan demikian, luas layang-layang $OBAC$ sama dengan $\boxed{\begin{aligned} L_{\triangle OBA} + L_{\triangle OCA} & = 540+540 \\ & =1.080~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} p & = 13~\text{cm} \\ r_k & = 2~\text{cm} \\ l & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_b$, yang merupakan jari-jari lingkaran lain yang lebih besar ukurannya.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, diperoleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ 12^2 & = 13^2-(r_b-2)^2 \\ 144 & = 169-(r_b-2)^2 \\ 25 & = (r_b-2)^2 \\ r_b-2 & = \sqrt{25} = 5 \\ r_b & = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 15~\text{cm} \\ l & = CD = 16~\text{cm} \\ p & = AB = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_k$, yang merupakan panjang jari-jari $BC$ (lingkaran yang lebih kecil ukurannya).
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, kita peroleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ 16^2 & = 20^2-(15-r_k)^2 \\ 256 & = 400-(15-r_k)^2 \\ 144 & = (15-r_k)^2 \\ 12 & = 15-r_k \\ r_k & = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari $BC$ adalah $\boxed{3~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang tali minimal sama dengan panjang $AB + CD + EF + GH$, ditambah dengan panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC} + \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{DE}+ \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{FG} + \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{HA}$.
Perhatikan bahwa $AB = EF = 8r = 8(21) = 168~\text{cm}$, sedangkan $EF = HA = 2r = 2(21) = 42~\text{cm}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} p_{\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC}} & = \dfrac14 \times 2\pi r \\ & = \dfrac14 \times 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{3}{21} \\ & = 33~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{DE} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{FG} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{HA} = 33~\text{cm}$.
Oleh karena itu, panjang tali minimal yang dimaksud sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 2(AB) + 2(EF) + 4(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC}) \\ & = 2(168) + 2(42) + 4(33) \\ & = 336 + 84 + 132 = 552~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat drum adalah $\boxed{552~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 3~\text{cm} \\ r_k  & =  2~\text{cm} \\ d & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $p$, yaitu jarak kedua pusat lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 12^2 & = p^2-(3+2)^2 \\ 144 & = p^2-25 \\ p^2 & = 169 \\ p & = \sqrt{169}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran itu adalah $\boxed{\sqrt{169}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Karena $AP$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp AP$. Oleh karena itu, berlaku Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OAP$.
$\begin{aligned} OP & = \sqrt{OA^2+AP^2} \\ & = \sqrt{16^2 + 30^2} \\ & = \sqrt{256 + 900} \\ & = \sqrt{1.156} = 34~\text{cm} \end{aligned}$
Catatan: Dengan mengingat Tripel Pythagoras $(8, 15, 17) \Rightarrow (16, 30, 34)$, kita dapat lebih mudah menentukan panjang $OP$.
Jadi, panjang $OP$ sama dengan $\boxed{34~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Karena $AP$ merupakan garis singgung, maka $OA \perp AP$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OAP$.
$\begin{aligned} OA & = \sqrt{OP^2-AP^2} \\ & = \sqrt{50^2 + 40^2} \\ & = \sqrt{2.500-1.600} \\ & = \sqrt{900} = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Catatan: Dengan mengingat Tripel Pythagoras $(3, 4, 5) \Rightarrow (30, 40, 50)$, kita dapat lebih mudah menentukan panjang $OA$.
Luas $\triangle OAP$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OAP} & = \dfrac{OA \times AP}{2} \\ & = \dfrac{30 \times \cancelto{20}{40}}{\cancel{2} } = 600~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Ini berarti luas layang-layang $OAPB$ sama dengan $2 \times 600 = 1.200~\text{cm}^2$.
Sekarang, dengan menggunakan rumus luas layang-layang, diperoleh
$\begin{aligned} L_{OAPB} & = \dfrac{OP \times AB}{2} \\ 1.200 & = \dfrac{\cancelto{25}{50} \times AB}{\cancel{2}} \\ AB & = \dfrac{1.200}{25} = 48~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang tali busur $AB$ adalah $\boxed{48~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Diketahui $d = 14~\text{cm}$, artinya $r = 7~\text{cm}$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena ada $3$ belokan, maka sudut pusat di setiap belokan adalah $\dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}$ sama dengan
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{1}{3} \times 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \\ & = \dfrac{44}{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{EF} = \dfrac{44}{3}~\text{cm}$.
Jarak $BC$ sama dengan empat kali panjang diameter lingkaran.
$BC = 4d = 4(14) = 56~\text{cm}$
Perhatikan juga bahwa $BC = DE = FA = 56~\text{cm}$.
Panjang tali minimal yang digunakan sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 3(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}) + 3(BC) \\ & = \cancel{3}\left(\dfrac{44}{\cancel{3}}\right) + 3(56) \\ & = 44 + 168 = \color{red}{212~\text{cm}} \end{aligned}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 10~\text{cm} \\ r_k & = 2~\text{cm} \\ p & = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $l$, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, kita peroleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ & = 17^2-(10-2)^2 \\ & = 289-64 = 225 \\ l & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah $\boxed{15~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 5~\text{cm} \\ r_k & = 3~\text{cm} \\ p & = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $d$, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ & = 10^2-(5+3)^2 \\ & = 100-64 = 36 \\ d & =\sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 14~\text{cm} \\ r_k & = 5~\text{cm} \\ l & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $p$, yang merupakan jarak pusat kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, kita peroleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ 12^2 & = p^2-(14-5)^2 \\ 144 & = p^2-81 \\ p^2 & = 225 \\ p & = \sqrt{225}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak pusat kedua lingkaran adalah $\boxed{\sqrt{225}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Dari gambar, diketahui bahwa panjang jari-jari lingkaran besar $r_b = PA = 5~\text{cm}$ dan jari-jari lingkaran kecil $r_k = QB = 2~\text{cm}$. Diketahui juga bahwa $d = AB = 24~\text{cm}$.
Dengan menggunakan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, akan dicari jarak kedua pusat lingkaran $p$.
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 24^2 & = p^2-(5+2)^2 \\ 576 & = p^2-49 \\ p^2 & = 576+49 = 625 \\ p & = \sqrt{625} = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah $\boxed{25~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} p & = 17~\text{cm} \\ d & = 15~\text{cm} \\ r_k & = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_b$, yang merupakan panjang jari-jari lingkaran lain yang ukurannya lebih besar.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 15^2 & = 17^2-(r_b + 3)^2 \\ 225 & = 289-(r_b+3)^2 \\ (r_b + 3)^2 & = 64 \\ r_b + 3 & = \sqrt{64} = 8 \\ r_b & =5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah $\boxed{5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 15~\text{cm} \\ r_k & = 5~\text{cm} \\ d & = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $p$, yang merupakan jarak pusat kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 25^2 & = p^2-(15+5)^2 \\ 625 & = p^2-400 \\ p^2 & = 1.025 \\ p & = \sqrt{1.025}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak pusat kedua lingkaran adalah $\boxed{\sqrt{1.025}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Untuk mencari luas trapesium itu, kita harus mengetahui tinggi trapesium $PQ$ terlebih dahulu, yang merupakan garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = RQ = 7~\text{cm} \\ r_k & = SP = 5~\text{cm} \\ p & = SR = 14~\text{cm} \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} PQ^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ & = 14^2-(7-5)^2 \\ & = 196-4 = 192 \\ PQ & = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 8} \\ & = 8\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} L_{SPQR} & = \dfrac{SP + QR}{2} \times PQ \\ & = \dfrac{\cancelto{6}{5 + 7}}{\cancel{2}} \times 8\sqrt3 \\ & = 6 \times 8\sqrt3 = 48\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas trapesium $SPQR$ sama dengan $\boxed{48\sqrt3~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$B, D$ merupakan titik pusat kedua lingkaran. $AF, CF, EF$ merupakan tiga garis singgung lingkaran. Panjang jari-jari lingkaran dinotasikan $r_1$ dan $r_2$. Jarak pusat lingkaran ke titik $F$ sama dengan $s_1$ dan $s_2$.
Karena $AF, CF, EF$ garis singgung, maka sudut yang terbentuk siku-siku (lihat gambar di atas).
$\triangle ABF$ dan $\triangle BCF$ kongruen berdasarkan syarat SSA (side-side-angle) sehingga $AF = CF = 2x-7$.
$\triangle DEF$ dan $\triangle CDF$ juga kongruen berdasarkan syarat SSA (side-side-angle) sehingga $EF = CF = x$.
Oleh karena itu, diperoleh bahwa $2x-7 = x \Leftrightarrow x = 7$.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{7}$
(Jawaban B)

Posisikan titik $O$ pada ruas garis $RS$ sehingga $BO$ sejajar dengan $CT$. Karena $PT$ garis singgung lingkaran $C,$ maka $PT \perp CT,$ begitu juga dengan $PO \perp BO$ seperti tampak pada gambar.
Berdasarkan prinsip kesebangunan pada segitiga $POB$ dan $PTC$, kita peroleh panjang $OB$ dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{OB}{TC} & = \dfrac{PB}{PC} \\ \dfrac{OB}{5} & = \dfrac{15}{25} \\ \dfrac{OB}{5} & = \dfrac35 \\ OB & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan segitiga $RBS$. Berdasarkan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $ROB$ dan $SOB$, kita peroleh
$$\begin{aligned} RO & = \sqrt{RB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{5^2-3^2} \\ & = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, akan didapat $SO = 4~\text{cm}$.
Dengan demikian, panjang ruas garis $RS$ sama dengan $\boxed{RO + SO = 4 + 4 = 8~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Garis merah merepresentasikan bagian sabuk yang tidak menyentuh katrol. $k_1, k_2, k_3$ merepresentasikan panjang sabuk yang melilit masing-masing katrol. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, jelas bahwa jarak titik pusat lingkaran yang berpusat di $(12, 0)$ dan $(0, 5)$ (lihat garis biru) adalah $\sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} = 13$ satuan. Ini menunjukkan bahwa panjang sabuk yang menghubungkannya adalah $13$ satuan juga.
Sekarang, perhatikan bahwa $k_1 + k_2 + k_3$ sama dengan keliling lingkaran berjari-jari $2$ satuan, yakni
$$\begin{aligned} k_1 + k_2 + k_3 & = 2\pi r \\ & = 2\pi(2) \\ & = 4\pi \end{aligned}$$Jadi, panjang sabuk terpendek dapat kita tentukan saat ini, yaitu
$$\begin{aligned} p & = (5 + 12 + 13) + 4\pi \\ & = (30 + 4\pi)~\text{satuan} \end{aligned}$$(Jawaban D)

Jawaban a)
Perhatikan bahwa panjang $PA = PB = 24~\text{cm}$.
Karena $PB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OB \perp PB$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OPB$ untuk mencari panjang jari-jari $OB$.
$\begin{aligned} OB & = \sqrt{OP^2-PB^2} \\ & = \sqrt{30^2-24^2} \\ & = \sqrt{900-576} \\ & = \sqrt{324} = 18~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari $OB$ sama dengan $\boxed{18~\text{cm}}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $OB = OA = 18~\text{cm}$.
Segitiga $OPA$ merupakan segitiga siku-siku di $A$ sehingga
$\begin{aligned} L_{\triangle OPA} & = \dfrac{OA \times PA}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{9}{18} \times 24}{\cancel{2}} = 216~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $OPA$ sama dengan $\boxed{216~\text{cm}^2}$

Jawaban a)
Sketsakan dua lingkaran besar, lingkaran kecil, dan garis singgung persekutuan dalamnya beserta panjang jari-jari masing-masing lingkaran dan garis singgung tersebut seperti berikut.
Jawaban b)
Jarak terdekat kedua lingkaran sama dengan jarak antarpusat dikurangi jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu. Kita peroleh $\ell = 15-6-3 = 6~\text{cm}$. Jadi, jarak terdekat kedua lingkaran tersebut adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
Jawaban c)
Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 6~\text{cm} \\ r_k & = 3~\text{cm} \\ p & = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $d$, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ & = 15^2-(6+3)^2 \\ & = 225-81 = 144 \\ d & =\sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah $\boxed{12~\text{cm}}$

Diketahui:
$\begin{aligned} r_k & = 7~\text{cm} \\ r_b & = 23~\text{cm} \\ p & = 34~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $l$ terlebih dahulu, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, diperoleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ l^2 & = 34^2-(23-7)^2 \\ l^2 & = 1.156-256 \\ l^2 & = 900 \\ l & = \sqrt{900} = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu adalah $\boxed{30~\text{cm}}$
Selanjutnya akan dicari panjang garis singgung persekutuan dalam $d$.
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ d^2 & = 34^2-(23+7)^2 \\ d^2 & = 1.156-900 \\ d^2 & = 256 \\ d & = \sqrt{256} = 16~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran itu adalah $\boxed{16~\text{cm}}$

Diketahui $d = 20~\text{cm}$, artinya $r = 10~\text{cm}$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena ada $2$ belokan, maka sudut pusat di setiap belokan adalah $\dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}$ sama dengan
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{2} \times 3,14 \times 10 \\ & = 31,4~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} = 31,4~\text{cm}$.
Jarak $BC$ sama dengan empat kali panjang diameter lingkaran.
$BC = 4d = 4(20) = 80~\text{cm}$
Perhatikan juga bahwa $BC = DA = 80~\text{cm}$.
Panjang tali minimal yang digunakan sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 2(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}) + 2(BC) \\ & = 2(31,4) + 2(80) \\ & = 62,8 + 160 = \color{red}{222,8~\text{cm}} \end{aligned}$

Diketahui $r = 42~\text{cm}$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena ada $3$ belokan, maka sudut pusat di setiap belokan adalah $\dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}$ sama dengan
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{42} \\ & = 88~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{EF} = 88~\text{cm}$.
Jarak $BC$ sama dengan lima kali panjang diameter lingkaran.
$BC = 5d = 5(2(42)) = 420~\text{cm}$
Perhatikan juga bahwa $BC = DE = FA = 420~\text{cm}$.
Panjang tali minimal yang digunakan sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 3(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}) + 3(BC) \\ & = 3(88) + 3(420) \\ & = 264 + 1.260 = \color{red}{1.524~\text{cm}} \end{aligned}$

Letakkan satu titik di luar lingkaran. Panjang kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik tersebut adalah sama.
Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar di atas, diketahui bahwa $a+d = 8$ dan $b + c = 18$ sehingga jumlah panjang kedua kaki trapesium adalah
$$\begin{aligned} (a+b)+(c+d) & = (a+d)+(b+c) \\ & = 8 + 18 = 26. \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa panjang kaki trapesium adalah $13.$ Dengan kata lain, $KM = 13.$ Tarik garis $KL$ sedemikian sehingga tegak lurus dengan sisi alas trapesium. Karena trapesium tersebut sama kaki, maka $LM = (18-8) \div 2 = 5.$
$\triangle KLM$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} KL & = \sqrt{KM^2-LM^2} \\ & = \sqrt{13^2-5^2} \\ & = \sqrt{169-25} \\ & = 12 \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ yang mewakili panjang diameter lingkaran itu adalah $\boxed{12}$