Soal dan Pembahasan – Gelanggang (Teori Ring) dalam Struktur Aljabar

Berikut ini adalah contoh soal latihan beserta penyelesaiannya mengenai gelanggang (teori ring), salah satu fondasi terbesar dalam aljabar abstrak. Anda diharuskan sudah menguasai konsep grup dan klasifikasinya sebelum mempelajari soal-soal berikut. Selain itu, beberapa soal di antaranya merupakan soal KN MIPA-PT sehingga dapat dijadikan referensi atau sumber belajar menghadapi olimpiade terkait maupun ujian mata kuliah yang bersangkutan.

Quote by Al Pacino

It’s easy to fool the eye, but it’s hard to fool the heart.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2016)
Diketahui Z12={0,1,2,,11} merupakan ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod 12. Subring darinya yang mempunyai unity adalah (unity adalah identitas/unsur kesatuan terhadap perkalian)
A. {0}
B. {0,4,8}
C. {0,3,6,9}
D. {0,1,2,,11}
E. semua alternatif jawaban benar

Pembahasan

Soal Nomor 2 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2016)
Jika a adalah elemen suatu ring dengan a0 dan terdapat elemen b dari ring itu dengan b0 sedemikian sehingga ab=ba=0, maka a disebut pembagi nol sejati.
Diberikan Z8={0,1,2,,7} suatu ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod 8. Semua elemen pembagi nol sejati dari  Z8 adalah
A. {2}
B. {2,4}
C. {2,4,6}
D. {0}
E. {0,1,2,,7}

Pembahasan

Soal Nomor 3 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Misalkan R suatu gelanggang. Misalkan aG, a disebut pembagi nol jika a0 dan ada b0 sedemikian sehingga ab=0. Banyaknya pembagi nol di Z121 adalah
A. 1                      C. 10                  E. 25
B. 5                      D. 15          

Pembahasan

Soal Nomor 4 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Dimisalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat. Operasi dan dalam Z didefinisikan oleh ab=a+b+2 dan ab=a+ab+b, untuk a,bZ. Didapat bahwa Z terhadap operasi dan bukan merupakan ring karena

  1. tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
  2. tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
  3. tidak terdapat elemen identitas terhadap
  4. tidak terdapat elemen identitas terhadap
  5. semua alternatif jawaban salah

Pembahasan

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukkan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Pembahasan

Soal Nomor 2
Diberikan Z4={0,1,2,3} dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 4 merupakan suatu ring (dapat ditunjukkan dengan mudah menggunakan Tabel Cayley).
Apakah Z4 dengan kedua operasi tersebut merupakan subgelanggang (subring) sejati?

Pembahasan

Soal Nomor 3
Diberikan Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 8 adalah ring. Apakah {0,2,4} dengan operasi yang sama merupakan ideal pada Z8?

Pembahasan

Soal Nomor 4
Didefinisikan Q[2]={a+b2 | a,bQ}. Buktikan bahwa himpunan tersebut merupakan subring (ring bagian) dari R dengan operasi penjumlahan dan perkalian standar.

Pembahasan

Soal Nomor 5
Diketahui A={genap,ganjil} dan AZTunjukkan bahwa himpunan A dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat merupakan ring komutatif.

Pembahasan

Soal Nomor 6
Tunjukkan bahwa (R,+7,×7) dengan R={0,1,2,,6} membentuk ring pembagi (division ring). Apakah R juga dapat disebut sebagai lapangan (field)?

Pembahasan

Soal Nomor 7 (Soal ON-MIPA PT Bidang Matematika Seleksi Wilayah)
Banyaknya unit di ring Z2n adalah

Pembahasan

Soal Nomor 8
Buktikan bahwa sembarang lapangan (field) pasti merupakan daerah integral.

Pembahasan

Soal Nomor 9 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2018)
Jika x adalah unsur di ring Z[2]={a+b2 | a,bZ} yang memenuhi (17+122)x=1, maka nilai x adalah

Pembahasan

Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2018)
Misalkan F={0,2,4,6,8}. Pada F didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo n. Bilangan asli n terkecil sehingga F membentuk lapangan adalah

Pembahasan

Soal Nomor 11
Tentukan pembagi nol dari R={0,1,2,3,4,5} dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 6 jika telah diberikan (R,+6,×6) adalah suatu ring komutatif. Apakah R disebut sebagai daerah integral (integral domain)?

Pembahasan

Soal Nomor 12
Berilah contoh bahwa jika A,B subring dari ring R, maka AB bukan subring.

Pembahasan

Soal Nomor 13
Apakah Q merupakan ideal dari R (operasi aditif dan multiplikatif standar)?

Pembahasan

Soal Nomor 14
Setiap ideal adalah subring, tetapi tidak semua subring adalah ideal. Berilah contoh subring yang bukan ideal.

Pembahasan

Soal Nomor 15 
Diberikan R:Z2×Z2={(x,y)|xZ2,yZ2}.
Operasi pertama dan operasi kedua didefinisikan sebagai berikut.
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)×(c,d)=(a×c,b×d)
dengan  a,b,c,dR.

Apakah R dengan kedua operasi tersebut merupakan ring, field, atau daerah integral?
(Perhatikan bahwa R di sini adalah himpunan yang telah terdefinisi, bukan himpunan bilangan real)

Pembahasan

Soal Nomor 16
Z merupakan gelanggang bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian standar. Carilah karakteristik dari gelanggang Z.

Pembahasan

Soal Nomor 17
Misalkan R={a,b,c,d} terhadap operasi dan operasi yang didefinisikan oleh tabel berikut ini merupakan suatu gelanggang.
abcdaabcdbbadcccdabddcba abcdaaaaababcdcacdbdadbcApakah R gelanggang pembagi nol, daerah integral, atau lapangan?

Pembahasan

Soal Nomor 18
Pandang Z18 sebagai ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 18.

  1. Apakah Z18 merupakan field? Jelaskan.
  2. Carilah semua elemen di Z18 yang merupakan pembagi nol.

Pembahasan

Soal Nomor 19
Tentukan unit di Z,Q, dan Z6.

Pembahasan