Berikut ini adalah contoh soal latihan beserta penyelesaiannya mengenai gelanggang (teori ring), salah satu fondasi terbesar dalam aljabar abstrak. Anda diharuskan sudah menguasai konsep grup dan klasifikasinya sebelum mempelajari soal-soal berikut. Selain itu, beberapa soal di antaranya merupakan soal KN MIPA-PT sehingga dapat dijadikan referensi atau sumber belajar menghadapi olimpiade terkait maupun ujian mata kuliah yang bersangkutan.
Quote by Al Pacino
It’s easy to fool the eye, but it’s hard to fool the heart.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2016)
Diketahui merupakan ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod . Subring darinya yang mempunyai unity adalah (unity adalah identitas/unsur kesatuan terhadap perkalian)
A.
B.
C.
D.
E. semua alternatif jawaban benar
Pembahasan
Dengan bantuan Tabel Cayley, kita dapat menunjukkan bahwa semua himpunan dengan dua operasi yang dimaksud merupakan subring dari .
- Untuk pilihan A, unity-nya adalah karena
- Untuk pilihan B, unity-nya adalah karena
- Untuk pilihan C, unity-nya adalah karena
- Untuk pilihan D, unity-nya adalah karena
Catatan: Karena pada operasi perkalian modulo berlaku sifat komutatif, maka pada pembahasannya tidak ditulis bentuk komutatifnya lagi.
Jadi, semua alternatif pilihan jawaban A sampai D merupakan contoh subring dari yang masing-masing memiliki unity. Dengan demikian, pilih jawaban E.
[collapse]
Soal Nomor 2 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2016)
Jika adalah elemen suatu ring dengan dan terdapat elemen dari ring itu dengan sedemikian sehingga , maka disebut pembagi nol sejati.
Diberikan suatu ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod . Semua elemen pembagi nol sejati dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Jelas alternatif pilihan D dan E bukan jawabannya karena elemen pembagi nol sejati tidak memuat (sesuai definisinya).
- adalah pembagi nol sejati karena ada sedemikian sehingga berlaku
- adalah pembagi nol sejati karena ada sedemikian sehingga berlaku
- adalah pembagi nol sejati karena ada sedemikian sehingga berlaku
Jadi, semua elemen pembagi nol sejati dari adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 3 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Misalkan suatu gelanggang. Misalkan , disebut pembagi nol jika dan ada sedemikian sehingga . Banyaknya pembagi nol di adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui .
Umumnya, kita memeriksa pembagi nolnya dengan menggunakan Tabel Cayley, tetapi untuk kasus ini, kita tidak mungkin menggunakan tabel karena akan sangat panjang dan kompleks.
Kita harus mencari nilai sedemikian sehingga berlaku . Tentulah dari sini kita tahu bahwa haruslah merupakan kelipatan . Perhatikan bahwa
dan kombinasi lain yang hasilnya merupakan kelipatan juga melibatkan bilangan berkelipatan seperti di atas sehingga pembagi nol dari adalah
Jadi, banyak pembagi nol dari adalah .
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 4 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Dimisalkan adalah himpunan semua bilangan bulat. Operasi dan dalam didefinisikan oleh dan , untuk . Didapat bahwa terhadap operasi dan bukan merupakan ring karena
- tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
- tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap
- tidak terdapat elemen identitas terhadap
- tidak terdapat elemen identitas terhadap
- semua alternatif jawaban salah
Pembahasan
Akan ditunjukkan apakah berlaku untuk
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi .
Akan ditunjukkan apakah berlaku untuk
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi .
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap .
Misalkan , maka
Karena , maka adalah identitas terhadap operasi .
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap
Misalkan .
Karena , maka adalah identitas dari operasi .
Dari keempat pilihan, tidak ada satu pun yang benar. Jadi, alternatif jawabannya adalah E.
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan himpunan bilangan bulat kelipatan . Tunjukkan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, membentuk ring komutatif.
Pembahasan
Diberikan .
Langkah pertama adalah menunjukkan bahwa merupakan grup komutatif.
(Sifat tertutup)
Ambil sembarang dan . Akan ditunjukkan bahwa . Perhatikan bahwa
Karena , maka jelas bahwa .
(Sifat asosiatif)
Ambil sembarang , dan . Akan ditunjukkan bahwa , yakni sebagai berikut.
(Eksistensi identitas)
Ambil sembarang . Akan ditunjukkan bahwa ada sedemikian sehingga berlaku Perhatikan bahwa
Jadi, unsur identitas dalam terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah .
(Invers)
Ambil sembarang . Akan ditunjukkan bahwa ada sedemikian sehingga berlaku , yaitu
Jadi, setiap anggota memiliki invers.
(Sifat komutatif)
Ambil sembarang dan . Akan ditunjukkan bahwa , yaitu sebagai berikut.
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan merupakan grup komutatif (grup abelian).
Langkah kedua adalah menunjukkan bahwa merupakan semigrup.
(Sifat tertutup)
Ambil sembarang dan . Akan ditunjukkan bahwa . Perhatikan bahwa
Karena , maka dapat dikatakan bahwa
(Sifat asosiatif)
Ambil sembarang , dan . Akan ditunjukkan bahwa , yaitu sebagai berikut.
Kedua syarat terpenuhi dan oleh karenanya, merupakan semigrup.
Langkah ketiga adalah menunjukkan bahwa berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat pada .
Ambil sembarang , , dan . Akan ditunjukkan bahwa dan
(Sifat distributif kanan)
(Sifat distributif kiri)
Dari sini, sudah terbukti merupakan ring.
Langkah terakhir adalah menunjukkan bahwa berlakunya sifat komutatif pada perkalian, yaitu berlaku
Ambil sembarang dan Dengan demikian, diperoleh
Jadi, terbukti bahwa merupakan ring komutatif.
[collapse]
Soal Nomor 2
Diberikan dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo merupakan suatu ring (dapat ditunjukkan dengan mudah menggunakan Tabel Cayley).
Apakah dengan kedua operasi tersebut merupakan subgelanggang (subring) sejati?
Pembahasan
merupakan subset dari dirinya sendiri dan jelas bahwa dengan kedua operasi yang diberikan merupakan suatu ring. Jadi, dapat dikatakan bahwa merupakan subring dari dirinya sendiri. Karena himpunannya sama, maka adalah subring tak sejati (jika berbeda, disebut subring sejati).
[collapse]
Soal Nomor 3
Diberikan dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo adalah ring. Apakah dengan operasi yang sama merupakan ideal pada ?
Pembahasan
dengan operasi penjumlahan modulo tidak bersifat tertutup (misalnya ). Dengan kata lain, bukan subring sehingga dapat dipastikan bahwa bukan ideal di .
[collapse]
Soal Nomor 4
Didefinisikan . Buktikan bahwa himpunan tersebut merupakan subring (ring bagian) dari dengan operasi penjumlahan dan perkalian standar.
Pembahasan
Untuk membuktikannya, kita akan menggunakan teorema berikut.
Misalkan ring, dengan dikatakan subring dari R jhj , berlaku dan .
Karena himpunan tak kosong, maka juga himpunan tak kosong. Misalkan , berarti
Operasi perkalian pada elemen sebagai berikut.
Karena dan bilangan rasional (karena sifat ketertutupannya), maka memenuhi sifat keanggotaan .
Selanjutnya, operasi pengurangan pada elemen sebagai berikut.
Karena dan bilangan rasional (karena sifat ketertutupannya), maka memenuhi sifat keanggotaan .
Dengan demikian, terbukti bahwa merupakan subring dari .
[collapse]
Soal Nomor 5
Diketahui dan . Tunjukkan bahwa himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat merupakan ring komutatif.
Pembahasan
Buat tabel Cayley yang menyatakan hasil pengoperasian bilangan genap dan bilangan ganjil berikut.
Untuk menunjukkan bahwa merupakan ring komutatif, harus ditunjukkan bahwa grup abelian, semigrup abelian, dan berlakunya sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat.
( dengan operasi penjumlahan adalah grup abelian)
- Dari tabel penjumlahan, jelas bahwa tertutup dan berlaku sifat asosiatif.
- Struktur itu memiliki identitas, yang dituliskan
dan akhirnya diperoleh bahwa .
- Setiap unsur memiliki invers terhadap penjumlahan. Misalkan , maka ditulis . Didapat .
Misalkan juga , maka ditulis Didapat
- Terakhir, dari tabel di atas, jelas bahwa sifat komutatif berlaku dalam operasi penjumlahan.
Jadi, terbukti bahwa merupakan grup abelian.
( terhadap operasi perkalian bilangan bulat merupakan semigrup abelian)
Jelas bahwa operasi perkalian dalam bersifat tertutup, berlaku asosiatif, dan komutatif (tinjau tabel Cayley di atas). Jadi, terbukti bahwa merupakan semigrup abelian.
(Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
Kita dapat memeriksanya satu-satu misalnya seperti berikut.
Misalkan .
Jadi,
Dengan prinsip yang sama, sifat distributif kanan juga dapat ditunjukkan.
Jadi, terbukti bahwa merupakan ring komutatif.
[collapse]
Soal Nomor 6
Tunjukkan bahwa dengan membentuk ring pembagi (division ring). Apakah juga dapat disebut sebagai lapangan (field)?
Pembahasan
Suatu ring disebut ring pembagi jika merupakan grup abelian, merupakan grup dan berlaku sifat distributif.
Untuk menunjukkannya, gunakan Tabel Cayley yang menyatakan hasil pengoperasian dari dua elemen dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo dan perkalian bilangan bulat modulo tanpa berikut.
Jelas dari tabel tersebut merupakan grup abelian, sedangkan jika kita meninjau Tabel Cayley untuk perkalian bilangan bulat modulo tanpa , berlaku sifat tertutup, asosiatif, ada identitas yaitu , dan setiap elemennya memiliki invers (invers = , invers = , invers = ).
Selain itu, sifat distributif perkalian modulo terhadap penjumlahan modulo juga berlaku (Anda dapat menggunakan bantuan tabel untuk menunjukkannya), yaitu untuk setiap , berlaku
Dengan demikian, adalah ring pembagi.
Selanjutnya, untuk menjawab pertanyaan apakah merupakan lapangan atau bukan, kita harus mengingat kembali definisi lapangan (field), yaitu adalah lapangan (field) jika dan hanya jika adalah ring pembagi yang komutatif. Dapat juga diartikan bahwa lapangan jika ring dan grup abelian. Kita hanya perlu meninjau tabel hasil perkalian modulo di atas. Tampak bahwa untuk setiap dua elemen , berlaku sifat komutatif terhadap operasi perkalian modulo . Jadi, dapat dikatakan bahwa lapangan.
[collapse]
Soal Nomor 7 (Soal ON-MIPA PT Bidang Matematika Seleksi Wilayah)
Banyaknya unit di ring adalah
Pembahasan
Suatu elemen (R ring) disebut unit di jika ada sedemikian sehingga berlaku . Terkhusus untuk , unit-unitnya adalah elemen yang relatif prima dengan . Berarti, untuk , unitnya adalah elemen yang relatif prima dengan . Karena yang berarti tidak memuat faktor lain selain , maka seluruh bilangan ganjil positif relatif prima dengannya sehingga banyak unit di ring adalah .
[collapse]
Soal Nomor 8
Buktikan bahwa sembarang lapangan (field) pasti merupakan daerah integral.
Pembahasan
Misalkan adalah sembarang lapangan, yang berarti tanpa terhadap operasi keduanya membentuk grup abelian. Ambil . Andaikan , maka jelas syarat grup abelian pada operasi kedua di tidak terpenuhi sebab tidak memenuhi sifat tertutup. Dengan demikian, tidak ada sehingga berlaku . Jadi, merupakan ring tanpa pembagi nol atau disebut sebagai daerah integral. (Terbukti)
[collapse]
Soal Nomor 9 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2018)
Jika adalah unsur di ring yang memenuhi , maka nilai adalah
Pembahasan
Diberikan
Perhatikan bahwa
Kita dapatkan bahwa memenuhi sifat keanggotaan untuk dan Jadi, nilai yang dimaksud adalah
[collapse]
Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2018)
Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo . Bilangan asli terkecil sehingga membentuk lapangan adalah
Pembahasan
Jelas bahwa tidak mungkin bilangan ganjil karena mengakibatkan tidak terpenuhinya sifat tertutup pada operasi penjumlahan modulo di yang semua elemennya bilangan genap. Jika nilai sendiri diambil sebagai , maupun , maka tidak akan ditemukan identitas (unity) baik penjumlahan maupun perkalian modulonya sebab hasil pengoperasiannya tidak memuat salah satu atau lebih elemen . Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan bantuan Tabel Cayley. Jadi, nilai yang paling kecil agar membentuk lapangan adalah . Tabel Cayley berikut menunjukkan bahwa untuk membentuk lapangan.
Tabel Penjumlahan Bilangan Bulat Modulo pada
Tabel Perkalian Bilangan Bulat Modulo pada
[collapse]
Soal Nomor 11
Tentukan pembagi nol dari dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo jika telah diberikan adalah suatu ring komutatif. Apakah disebut sebagai daerah integral (integral domain)?
Pembahasan
Buat Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo sebagai berikut.
Berdasarkan definisi pembagi nol pada ring, kita hanya perlu meninjau operasi perkalian modulo dari dua elemen yang bukan , tetapi hasil operasinya . Perhatikan sel tabel yang diberi shading warna biru. Karena , tetapi maka dan disebut sebagai pembagi nol. Begitu juga dengan .
Jadi, pembagi nol dari adalah . disebut sebagai daerah integral jika tidak memiliki pembagi nol. Tetapi, kenyataannya memiliki pembagi nol, yaitu , dan . Jadi, bukan daerah integral.
[collapse]
Soal Nomor 12
Berilah contoh bahwa jika subring dari ring , maka bukan subring.
Pembahasan
Ambil , juga
Dapat ditunjukkan bahwa dan adalah suatu ring dengan operasi yang sama dengan . Karena , maka A dan B adalah subring dari R.
bukan subring dari . Salah satu alasannya adalah tidak berlakunya sifat tertutup pada operasi pertama, misalnya , padahal bukan elemen himpunannya.
[collapse]
Soal Nomor 13
Apakah merupakan ideal dari (operasi aditif dan multiplikatif standar)?
Pembahasan
Kita sudah mengetahui bahwa dan dengan operasi aditif dan multiplikatif standar merupakan suatu ring dan karena , maka adalah subring dari .
Ambil sembarang dan . Jelas bahwa (dapat dibuktikan dengan analisis teori bilangan). Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ternyata tidak berlaku atau Ambil sampel dan sehingga
Jadi, bukan ideal dari .
[collapse]
Soal Nomor 14
Setiap ideal adalah subring, tetapi tidak semua subring adalah ideal. Berilah contoh subring yang bukan ideal.
Pembahasan
Contoh subring yang bukan ideal adalah:
- dari
- dari
- dari
[collapse]
Soal Nomor 15
Diberikan
Operasi pertama dan operasi kedua didefinisikan sebagai berikut.
dengan .
Apakah dengan kedua operasi tersebut merupakan ring, field, atau daerah integral?
(Perhatikan bahwa di sini adalah himpunan yang telah terdefinisi, bukan himpunan bilangan real)
Pembahasan
Diketahui
Konstruksi Tabel Cayley berikut dengan operasi yang telah diberikan.
Pertama-tama, tinjau operasi penjumlahannya. Tampak dari tabel bahwa operasi penjumlahan mempertahankan sifat tertutup, asosiatif, dan komutatif. Selain itu, juga memiliki identitas, yaitu , sedangkan masing-masing anggotanya memiliki invers. Invers adalah , invers adalah , invers adalah , dan invers adalah . Dengan kata lain, invers dari anggota adalah dirinya sendiri. Jadi, merupakan grup abelian.
Kedua, tinjau operasi perkaliannya. Tampak juga dari tabel bahwa operasi perkalian mempertahankan sifat tertutup dan asosiatif. Berarti, adalah semigrup.
Selain itu, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dalam juga berlaku. Oleh karenanya, adalah ring.
Untuk menunjukkan bahwa daerah integral, kita harus memastikan bahwa tidak ada dua elemen (bukan ) yang bila dikalikan menghasilkan . Dari tabel, kita peroleh bahwa
Jadi, bukan daerah integral, sebab tidak memenuhi definisi yang telah diberikan di atas.
Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa field, kita harus memeriksa apakah merupakan ring pembagi atau bukan terlebih dahulu. Dari tabel di bawah, bukan grup karena tidak memenuhi sifat ketertutupan.
Jadi, berdasarkan definisi, bukan ring pembagi, yang mengimplikasikan bahwa juga bukan field.
[collapse]
Soal Nomor 16
merupakan gelanggang bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian standar. Carilah karakteristik dari gelanggang .
Pembahasan
Karakteristik dari ring , dinotasikan char(R) didefinisikan sebagai nilai bilangan bulat non-negatif terkecil sedemikian sehingga berlaku
dengan elemen identitas operasi dan elemen identitas operasi .
Untuk , identitas terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah dan sehingga kita harus mencari nilai sedemikian sehingga berlaku
Diperoleh bahwa sehingga karakteristik dari ring adalah .
[collapse]
Soal Nomor 17
Misalkan terhadap operasi dan operasi yang didefinisikan oleh tabel berikut ini merupakan suatu gelanggang.
Apakah gelanggang pembagi nol, daerah integral, atau lapangan?
Pembahasan
Berdasarkan tabel tersebut, identitas adalah , sedangkan identitas adalah .
Elemen disebut pembagi nol jika ada sedemikian sehingga
Berdasarkan tabel kanan, tidak ditemukan operasi yang hasilnya demikian sehingga bukan gelanggang pembagi nol (sebab tidak memiliki pembagi nol). Dengan kata lain, adalah daerah integral.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa adalah lapangan (ring pembagi yang komutatif). Berarti, kita perlu menunjukkan dan grup abelian dan berlaku sifat distributif. Berdasarkan informasi pada soal, gelanggang sehingga grup abelian dan sifat distributif telah terpenuhi (tidak perlu ditunjukkan lagi).
Perhatikan tabel berikut.
merupakan grup abelian karena berlaku sifat tertutup, asosiatif, memiliki identitas yaitu , dan setiap elemen memiliki invers , serta bersifat komutatif. Jadi, adalah lapangan.
[collapse]
Soal Nomor 18
Pandang sebagai ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo .
- Apakah merupakan field? Jelaskan.
- Carilah semua elemen di yang merupakan pembagi nol.
Pembahasan
Jawaban a)
Ingat kembali definisi lapangan (field), yaitu ring pembagi yang komutatif sehingga harus memenuhi syarat berikut.
- Himpunan terhadap operasi pertama membentuk grup abelian.
- Himpunan tanpa nol terhadap operasi kedua membentuk grup abelian.
- Berlaku sifat distributif.
bukan field karena ada salah satu syarat yang tak terpenuhi dari definisi tersebut, yaitu bukan grup (tidak memenuhi sifat tertutup alias memuat pembagi nol).
Jawaban b)
Kita harus menentukan elemen yang bila dioperasikan dengan perkalian modulo menghasilkan . Untuk ini, harus dicari elemen yang tidak relatif prima dengan , yaitu , dan . Elemen-elemen inilah yang merupakan pembagi nol di
Catatan: bukan pembagi nol (relatif prima dengan ) karena tidak ditemukan elemen yang bila dikalikan dengannya menghasilkan . Kita akan menemukan bahwa , sedangkan adalah bilangan terkecil dari elemen-elemen yang dimaksud, tetapi sendiri bukan elemen .
[collapse]
Soal Nomor 19
Tentukan unit di , dan .
Pembahasan
Suatu elemen ( ring) disebut unit di jika ada sedemikian sehingga berlaku
- Untuk (himpunan bilangan bulat), unitnya adalah karena
- Untuk (himpunan bilangan rasional), unitnya tak terhingga banyaknya, salah satunya adalah
- Untuk (himpunan bilangan bulat modulo ), unitnya adalah yaitu
Tips: Unit dari adalah elemen yang relatif prima (memiliki FPB 1) dengan .
[collapse]