Soal dan Pembahasan – Gelanggang (Ring) dalam Aljabar Abstrak


Berikut ini adalah contoh soal latihan beserta penyelesaiannya mengenai gelanggang (ring), salah satu fondasi terbesar dalam aljabar abstrak. Anda diharuskan sudah menguasai konsep grup dan klasifikasinya sebelum mempelajari soal-soal berikut. Selain itu, beberapa soal di antaranya merupakan soal ON-MIPA Tingkat Perguruan Tinggi sehingga dapat dijadikan referensi atau sumber belajar menghadapi olimpiade terkait maupun ujian mata kuliah yang bersangkutan.

Soal Nomor 1
Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukkan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Penyelesaian

Diberikan P = \{3x | x \in \mathbb{Z}\}
Langkah pertama adalah menunjukkan bahwa (P, +) merupakan grup komutatif.
(Sifat tertutup) Ambil sembarang a = 3x \in P dan b = 3y \in P. Akan ditunjukkan bahwa a + b \in P
a + b = 3x + 3y = 3(x + y)
Karena x + y \in \mathbb{Z}, maka jelas bahwa 3(x + y) \in P
(Sifat asosiatif) Ambil sembarang a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P. Akan ditunjukkan bahwa (a + b) + c = a + (b + c)
\begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}
(Eksistensi identitas) Ambil sembarang a = 3x \in P. Akan ditunjukkan bahwa ada b = 3.0\in P sedemikian sehingga berlaku a + b = a
\begin{aligned} a + b & = 3x + 3.0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a \end{aligned}
Jadi, unsur identitas dalam P terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah 0.
(Invers) Ambil sembarang a = 3x \in P. Akan ditunjukkan bahwa ada b = 3(-x) \in P sedemikian sehingga berlaku a + b = 0
\begin{aligned} a + b & = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0 \end{aligned}
(Sifat komutatif) Ambil sembarang a = 3x \in P dan b = 3y \in P. Akan ditunjukkan bahwa a + b = b + a
\begin{aligned} a + b & = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan (P, +) merupakan grup komutatif (grup abelian).
Langkah kedua adalah menunjukkan bahwa (P, \times) merupakan semigrup.
(Sifat tertutup) Ambil sembarang a = 3x \in P dan b = 3y \in P. Akan ditunjukkan bahwa a \times b \in P
a \times b = 3x \times 3y = 3(3xy)
Karena 3xy \in \mathbb{Z}, maka dapat dikatakan bahwa 3(3xy) \in P
(Sifat asosiatif) Ambil sembarang a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P. Akan ditunjukkan bahwa (ab)c = a(bc)
\begin{aligned} (ab)c & = (3x.3y)3z \\ & = 3.3((xy).3z) \\ & = 3.3.3((xy)z) \\ & = 3.3.3(x(yz)) \\ & = 3x(3(3(yz)) \\ & = 3x(3y.3z) \\ & = a(bc) \end{aligned}
Kedua syarat terpenuhi dan oleh karenanya, (P, \times) merupakan semigrup.
Langkah ketiga adalah menunjukkan bahwa berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat pada P.
Ambil sembarang a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P. Akan ditunjukkan bahwa (a + b)c = ac + bc dan a(b + c) = ab + ac
(Sifat distributif kanan)
\begin{aligned} (a + b)c & = (3x + 3y)3z = ((x + y)3)3z \\ & = ((x + y)z)3.3 = (xz + yz)3.3 \\ & = 3.3xz + 3.3yz = 3x.3z + 3y.3z \\ & = ac + bc \end{aligned}
(Sifat distributif kiri)
\begin{aligned} a(b + c) & = 3x(3y + 3z) = 3x(3(y +z)) \\ & = 3.3(x(y + z)) = 3.3(xy + xz) \\ & = 3x.3y + 3x.3z = ab + ac \end{aligned}
Dari sini, (P, +, \times) sudah terbukti merupakan ring.
Langkah terakhir adalah menunjukkan bahwa berlakunya sifat komutatif pada perkalian, yaitu berlaku ab = ba
Ambil sembarang a = 3x \in P dan b = 3y \in P
\begin{aligned} ab & = 3x.3y = 3.3xy \\ & = 3.3yx = 3y.3x = ba \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa (P, +, \times) merupakan ring komutatif.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan \mathbb{Z} _4 = \{0,1,2,3\} dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 4 merupakan suatu ring (dapat ditunjukkan dengan mudah menggunakan Tabel Cayley).
Apakah \mathbb{Z} _4 dengan kedua operasi tersebut merupakan subgelanggang (subring) sejati?

Penyelesaian

\mathbb{Z} _4 merupakan subset dari dirinya sendiri dan jelas bahwa \mathbb{Z} _4 dengan kedua operasi yang diberikan merupakan suatu ring. Jadi, dapat dikatakan bahwa \mathbb{Z} _4 merupakan subring dari dirinya sendiri. Karena himpunannya sama, maka \mathbb{Z} _4 adalah subring tak sejati (jika berbeda, disebut subring sejati).

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan \mathbb{Z} _8 = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 8 adalah ring. Apakah \{0, 2, 4\} dengan operasi yang sama merupakan ideal pada \mathbb{Z} _8?

Penyelesaian

\{0,2,4\} dengan operasi penjumlahan modulo 8 sendiri tidak bersifat tertutup (misalnya 2 +_8 4 = 6 \notin \{0,2,4\}). Berarti, \{0,2,4\} bukan subring sehingga dapat dipastikan bahwa \{0,2,4\} bukan ideal di \mathbb{Z} _8.

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa himpunan \mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, 3, \cdots, n - 1\} merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian modulo n

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 5
Didefinisikan Q[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} | a, b \in \mathbb{Q}\}. Buktikan bahwa himpunan tersebut merupakan subring (ring bagian) dari \mathbb{R} dengan operasi penjumlahan dan perkalian standar.

Penyelesaian

Untuk membuktikannya, kita akan menggunakan teorema:
“Misalkan R ring, S \subseteq R dengan S \neq \emptyset, S dikatakan subring dari R jhj \forall a, b \in S, berlaku i) a - b \in S, ii) ab \in S
Karena \mathbb{Q} himpunan tak kosong, maka Q[\sqrt{2}] juga himpunan tak kosong. Misalkan a, b, c, d \in \mathbb{Q}, berarti a + b\sqrt{2}, c + d\sqrt{2} \in Q[\sqrt{2}]
Operasi perkalian pada elemen Q[\sqrt{2}] sebagai berikut.
(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bd)\sqrt{2}
Karena ac + 2bd dan ad + bd bilangan rasional (karena sifat ketertutupannya), maka (ac + 2bd) + (ad + bd)\sqrt{2} memenuhi sifat keanggotaan Q[\sqrt{2}]
Selanjutnya, operasi pengurangan pada elemen Q[\sqrt{2}] sebagai berikut.
(a + b\sqrt{2})-(c + d\sqrt{2}) = (a - c) + (b - d)\sqrt{2}
Karena a - c dan b - d bilangan rasional (karena sifat ketertutupannya), maka (a - c) + (b - d)\sqrt{2} memenuhi sifat keanggotaan Q[\sqrt{2}]
Dengan demikian, terbukti bahwa Q[\sqrt{2}] merupakan subring dari \mathbb{R}

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui A = \{\text{genap}, \text{ganjil}\} dan A \in \mathbb{Z}
Tunjukkan bahwa himpunan A dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat merupakan ring komutatif.

Penyelesaian

Buat tabel Cayley yang menyatakan hasil pengoperasian bilangan genap dan bilangan ganjil berikut.

Untuk menunjukkan bahwa (A, +, \times) merupakan ring komutatif, harus ditunjukkan bahwa (A, +) grup abelian, (A, \times) semigrup abelian, dan berlakunya sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat.
(A dengan operasi penjumlahan adalah grup abelian) Dari tabel penjumlahan, jelas bahwa (A, +) tertutup dan berlaku sifat asosiatif. Juga struktur itu memiliki identitas, yang dituliskan
\text{genap} + e = e + \text{genap} = \text{genap}
\text{ganjil} + e = e + \text{ganjil} = \text{ganjil}
dan akhirnya diperoleh bahwa e = \text{genap}
Setiap unsur A memiliki invers terhadap penjumlahan.
Misalkan a = \text{genap} \in A, maka ditulis
\text{genap} + a^{-1} = \text{genap}
Didapat a^{-1} = \text{genap}
Misalkan juga b = \text{ganjil} \in A, maka ditulis
\text{ganjil} + a^{-1} = \text{genap}
Didapat a^{-1} = \text{ganjil}
Terakhir, dari tabel di atas, jelas bahwa sifat komutatif berlaku dalam operasi penjumlahan. Jadi, terbukti bahwa (A, +) merupakan grup abelian.
(A terhadap operasi perkalian bilangan bulat merupakan semigrup abelian). Jelas bahwa operasi perkalian dalam A bersifat tertutup, berlaku asosiatif, dan komutatif (tinjau tabel Cayley di atas). Jadi, terbukti bahwa (A, \times) merupakan semigrup abelian.
(Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) Anda dapat memeriksanya satu-satu misalnya seperti berikut. Misalkan a = \text{ganjil}, b = \text{genap}, c = \text{genap}
\text{aligned} a(b+c) & = \text{ganjil}(\text{genap} + \text{genap}) \\ & = \text{ganjil}.\text{genap} = \text{genap}\end{aligned}
\begin{aligned} ab + ac & = \text{ganjil}.\text{genap} + \text{ganjil}.\text{genap} \\ & = \text{genap} + \text{genap} = \text{genap} \end{aligned}
Jadi, a(b + c) = ab + ac
Dengan prinsip yang sama, sifat distributif kanan juga dapat ditunjukkan.
Jadi, terbukti bahwa (A, +, \times) merupakan ring komutatif.

[collapse]

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa (R, +_7, \times_7) dengan R = \{0, 1, 2, \cdots, 6\} membentuk ring pembagi (division ring). Apakah R juga dapat disebut sebagai lapangan (field)?

Penyelesaian

Suatu ring R disebut ring pembagi jika (R, +_7) merupakan grup abelian, (R - \{0\}, \times_7) merupakan grup, dan berlaku sifat distributif.
Untuk menunjukkannya, gunakan Tabel Cayley yang menyatakan hasil pengoperasian dari dua elemen R dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 7 dan perkalian bilangan bulat modulo 7 tanpa 0 berikut.

Jelas dari tabel tersebut (R, +_7) merupakan grup abelian (ingat kembali definisi grup abelian).
Sedangkan jika kita meninjau Tabel Cayley untuk perkalian bilangan bulat modulo 7 tanpa 0, berlaku sifat tertutup, asosiatif, ada identitas yaitu 1, dan setiap elemennya memiliki invers (invers 2 = 4, invers 3 = 5, invers 6 = 6).
Selain itu, sifat distributif perkalian modulo 7 terhadap penjumlahan modulo 7 juga berlaku (Anda dapat menggunakan bantuan tabel untuk menunjukkannya), yaitu untuk setiap a, b, c \in R, berlaku
a \times_7 (b +_7 c) = (a \times_7 b) +_7 (a \times_7)
Dengan demikian, R adalah ring pembagi.
Selanjutnya, untuk menjawab pertanyaan apakah R merupakan lapangan atau bukan, kita harus mengingat kembali definisi lapangan (field), yaitu sebagai berikut.
R adalah lapangan (field) jika dan hanya jika R adalah ring pembagi yang komutatif”
Dapat juga diartikan bahwa R lapangan jika R ring dan (R - \{0\}, \times_7) grup abelian.
Anda hanya perlu meninjau tabel hasil perkalian modulo 7 di atas. Tampak bahwa untuk setiap dua elemen R, berlaku sifat komutatif terhadap operasi perkalian modulo 7. Jadi, dapat dikatakan bahwa R lapangan.

[collapse]



Soal Nomor 8
Buktikan bahwa sembarang lapangan (field) pasti merupakan daerah integral.

Penyelesaian

Misalkan R adalah sembarang lapangan, yang berarti R tanpa 0 terhadap operasi keduanya membentuk grup abelian. Ambil a,b \in R - \{0\}. Andaikan ab = 0, maka jelas syarat grup abelian pada operasi kedua di R tidak terpenuhi, sebab tidak memenuhi sifat tertutup. Dengan demikian, tidak ada a \neq 0, b \neq 0, sehingga berlaku ab = 0. Jadi, R merupakan ring tanpa pembagi nol atau disebut sebagai daerah integral. (Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 9 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Diketahui \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, 2, \cdots, 11\} merupakan ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod 12. Subring darinya yang mempunyai unity adalah \cdots (unity adalah identitas/unsur kesatuan terhadap perkalian)
A. \{0\}
B. \{0, 4, 8\}
C. \{0, 3, 6, 9\}
D. \{0, 1, 2, \cdots, 11\}
E. semua alternatif jawaban benar

Penyelesaian

Dengan bantuan Tabel Cayley, kita dapat menunjukkan bahwa semua himpunan dengan dua operasi yang dimaksud merupakan subring dari \mathbb{Z}_{12}.
Untuk pilihan A, unity-nya adalah 0, sebab
0 \times_{12} 0 = 0
Untuk pilihan B, unity-nya adalah 4, sebab
0 \times _{12} 4 = 4 \times _{12} 0 = 0
4 \times _{12} 4 = 16 \mod 12 = 4
8 \times _{12} 4 = 32 \mod 12 = 8
Untuk pilihan C, unity-nya adalah 9, sebab
0 \times_{12} 9 = 0
3 \times_{12} 9 = 27 \mod 12 = 3
6 \times_{12} 9 = 54 \mod 12 = 6
9 \times_{12} 9 = 81 \mod 12 = 9
Untuk pilihan D, unity-nya adalah 1, sebab
0 \times_{12} 1 = 0
1 \times_{12} 1 = 1
\vdots~~\vdots~~\vdots~~\vdots
11 \times_{12} 1 = 11
(Catatan: Karena pada operasi perkalian modulo 7 berlaku sifat komutatif, maka pada pembahasannya tidak ditulis bentuk komutatifnya lagi)
Jadi, semua alternatif pilihan jawaban A sampai D merupakan contoh subring dari \mathbb{Z}_{12} yang masing-masing memiliki unity. Dengan demikian, pilih jawaban E.

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Jika a adalah elemen suatu ring dengan a \neq 0 dan terdapat elemen b dari ring itu dengan b \neq 0 sedemikian sehingga ab = ba = 0, maka a disebut pembagi nol sejati.
Diberikan \mathbb{Z}_8 = \{0, 1, 2, \cdots, 7\} suatu ring terhadap penjumlahan dan perkalian mod 8. Semua elemen pembagi nol sejati dari  \mathbb{Z}_8 adalah \cdots
A. \{2\}
B. \{2, 4\}
C. \{2, 4, 6\}
D. \{0\}
E. \{0, 1, 2, \cdots, 7\}

Penyelesaian

Jelas alternatif pilihan D dan E bukan jawabannya karena elemen pembagi nol sejati tidak memuat 0 (sesuai definisinya).
2 adalah pembagi nol sejati, karena ada 4 \in \mathbb{Z}_8, sedemikian sehingga berlaku
2 \times_8 4 = 4 \times_8 2 = 0
4 adalah pembagi nol sejati, karena ada 2 \in \mathbb{Z}_8, sedemikian sehingga berlaku
4 \times_8 2 = 2 \times_8 4 = 0
6 adalah pembagi nol sejati, karena ada 4 \in \mathbb{Z}_8, sedemikian sehingga berlaku
6 \times_8 4 = 4 \times_8 6 = 24 \mod 8 = 0
Jadi, semua elemen pembagi nol sejati dari \mathbb{Z}_8 adalah \{2, 4, 6\} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Jika x adalah unsur di ring
\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb{Z}\}
yang memenuhi (17 + 12\sqrt{2})x = 1, maka nilai x adalah \cdots

Penyelesaian

Diberikan
\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb{Z}\}
(17 + 12\sqrt{2})x = 1
x = \dfrac{1}{17 + 12\sqrt{2}} = 17 - 12\sqrt{2}
Kita dapatkan bahwa x memenuhi sifat keanggotaan \mathbb{Z}[\sqrt{2}] (a = 17, b = -12). Jadi, nilai x yang dimaksud adalah \boxed{17 - 12\sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 12 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Misalkan F = \{0, 2, 4, 6, 8\}. Pada F didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo n. Bilangan asli n terkecil sehingga F membentuk lapangan adalah \cdots

Penyelesaian

Jelas bahwa n tidak mungkin bilangan ganjil karena mengakibatkan tidak terpenuhinya sifat tertutup pada operasi penjumlahan modulo n di F yang semua elemennya bilangan genap. Jika nilai n sendiri diambil sebagai 2, 4, 6, maupun 8, maka tidak akan ditemukan identitas (unity) baik penjumlahan maupun perkalian modulonya sebab hasil pengoperasiannya tidak memuat salah satu atau lebih elemen F. Untuk membuktikannya, Anda dapat menggunakan bantuan Tabel Cayley. Jadi, nilai n yang paling kecil agar F membentuk lapangan adalah n = 10. Tabel Cayley berikut menunjukkan bahwa untuk (F, +_{10}, \times_{10}) membentuk lapangan.

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan pembagi nol dari R = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 6 jika telah diberikan (R, +_6, \times_6) adalah suatu ring komutatif. Apakah R disebut sebagai daerah integral (integral domain)?

Penyelesaian

Buat Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 6 sebagai berikut.

Berdasarkan definisi pembagi nol pada ring, kita hanya perlu meninjau operasi perkalian modulo 6 dari dua elemen R yang bukan 0, tetapi hasil operasinya 0. Perhatikan sel tabel yang diberi shading warna biru. Karena 2 \neq 0, 3 \neq 0, tetapi 2 \times_6 3 = 0, maka 2 dan 3 disebut sebagai pembagi nol. Begitu juga dengan 4.
Jadi, pembagi nol dari (R, +_6, \times_6) adalah \{2, 3, 4\}. R disebut sebagai daerah integral jika tidak memiliki pembagi nol. Tetapi, kenyataannya R memiliki pembagi nol, yaitu 2, 3, dan 4. Jadi, R bukan daerah integral.

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Misalkan R suatu gelanggang. Misalkan a \in G, a disebut pembagi nol jika a \neq 0 dan ada b \neq 0 sedemikian sehingga ab = 0. Banyaknya pembagi nol di \mathbb{Z}_{121} adalah \cdots
A. 1
B. 5
C. 10
D. 15
E. 25

Penyelesaian

G = \{0, 1, 2, 3, \cdots, 120\}
Umumnya, kita memeriksa pembagi nolnya dengan menggunakan Tabel Cayley, tapi untuk kasus ini, kita tidak mungkin menggunakan tabel karena akan sangat panjang dan kompleks jika kita harus membuat tabel dengan ukuran 121 \times 121.
Kita harus mencari nilai a, b \in \mathbb{Z}_{121} - \{0\} sedemikian sehingga berlaku (a \times b) \mod 121 = 0. Tentulah dari sini kita tahu bahwa a \times b haruslah merupakan kelipatan 121. Karena,
1 \times 121 = 11 \times 11
2 \times 121 = 22 \times 11
3 \times 121 = 33 \times 11
\vdots~~\vdots~~\vdots~~\vdots
10 \times 121 = 110 \times 11
dan kombinasi lain yang hasilnya merupakan kelipatan 121 juga melibatkan bilangan berkelipatan 11 seperti di atas, maka pembagi nol dari G adalah \{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110\}
Jadi, banyak pembagi nol dari G adalah 10. (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15 (Soal ON-MIPA Bidang Matematika)
Dimisalkan \mathbb{Z} adalah himpunan semua bilangan bulat. Operasi * dan \circ dalam \mathbb{Z} didefinisikan oleh a * b = a + b + 2 dan a \circ b = a + ab + b, untuk \forall a,b \in \mathbb{Z}. Didapat bahwa \mathbb{Z} terhadap operasi * dan \circ bukan merupakan ring karena \cdots
A. tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap *
B. tidak memenuhi sifat asosiatif terhadap \circ
C. tidak terdapat elemen identitas terhadap *
D. tidak terdapat elemen identitas terhadap \circ
E. semua alternatif jawaban salah

Penyelesaian

Akan ditunjukkan apakah berlaku (a * b)*c = a*(b*c) untuk \forall a, b, c \in \mathbb{Z}(a*b)*c = (a+b+2)*c
= (a+b+2) + c + 2 = a + (b + c + 2) + 2
= a * (b + c + 2) = a * (b * c)
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi terhadap operasi *.

Akan ditunjukkan apakah berlaku (a  \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) untuk \forall a, b, c \in \mathbb{Z}
(a \circ b) \circ c = (a+ab+b) \circ c
= (a+ab+b) + (a+ab+b)c + c
= a + a(b + bc + c) + (b + bc + c)
= a \circ (b + bc + c) = a \circ (b \circ c)
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi terhadap operasi \circ.

Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap *
Misalkan a, b \in \mathbb{Z}.
a * b = a
a + b + 2 = a
b = -2
Karena b = -2 \in \mathbb{Z}, maka b adalah identitas terhadap operasi *.

Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap \circ
Misalkan a, b \in \mathbb{Z}.
a \circ b = a
a + ab + b = a
ab + b = 0
(a + 1)b = 0
b = 0
Karena b = 0 \in \mathbb{Z}, maka b adalah identitas terhadap operasi \circ.
Dari keempat pilihan, tidak ada satupun yang benar. Jadi, alternatif jawabannya adalah E.

[collapse]

Soal Nomor 16
Berilah contoh bahwa jika A, B subring dari ring R, maka A \cup B bukan subring.

Penyelesaian

Ambil R = (\mathbb{Z}, +, \times), juga
A = 2\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, 0, 2, 4, \cdots\}
B = 3 \mathbb{Z} = \{\cdots, -3, 0, 3, 6, \cdots\}
Dapat ditunjukkan bahwa A dan B adalah suatu ring dengan operasi yang sama dengan R. Karena A \subseteq R, B \subseteq R, maka A dan B adalah subring dari R.
A \cup B = \{\cdots, -3, -2, 0, 2, 3, 4, 6, \cdots\} bukan subring dari R. Salah satu alasannya adalah tidak berlakunya sifat tertutup pada operasi pertama, misalnya 2 + 3 = 5, padahal 5 bukan elemen himpunannya.

[collapse]

Soal Nomor 17
Apakah \mathbb{Q} merupakan ideal dari \mathbb{R} (operasi aditif dan multiplikatif standar)?

Penyelesaian

Kita sudah mengetahui bahwa \mathbb{Q} dan \mathbb{R} dengan operasi aditif dan multiplikatif standar merupakan suatu ring dan karena \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}, maka \mathbb{Q} adalah subring dari \mathbb{R}.
Ambil sembarang a, b \in \mathbb{Q} dan r \in \mathbb{R}. Jelas bahwa a - b \in \mathbb{Q} (dapat dibuktikan dengan analisis teori bilangan). Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ternyata tidak berlaku ar \in \mathbb{Q} atau ra \in \mathbb{Q}. Ambil sampel a = 1 dan r = \sqrt{2}, sehingga
ar = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2} \neq \mathbb{Q}
Jadi, \mathbb{Q} bukan ideal dari \mathbb{R}.

[collapse]

Soal Nomor 18
Setiap ideal adalah subring, tetapi tidak semua subring adalah ideal. Berilah contoh subring yang bukan ideal.

Penyelesaian

Contoh subring yang bukan ideal adalah
(\mathbb{Z}, +, \times) dari (\mathbb{R}, +, \times)
(\mathbb{Q}, +, \times) dari (\mathbb{R}, +, \times)
(\mathbb{Z}, +, \times) dari (\mathbb{Q}, +, \times)
dan masih banyak lagi. (Silakan tambahannya di kolom komentar ^_^)

[collapse]

Soal Nomor 19 (Requested by “Tamvan” on December, 31st 2017, the last day of the year)
Diberikan R : \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 = \{(x, y) | x \in \mathbb{Z}_2, y \in \mathbb{Z}_2\}
Operasi pertama dan operasi kedua didefinisikan sebagai berikut.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), & \forall~a, b, c, d \in R
(a, b) \times (c, d) = (a \times c, b \times d), & \forall~a, b, c, d \in R
Apakah R dengan kedua operasi tersebut merupakan ring, field, atau daerah integral?
(Perhatikan bahwa R di sini adalah himpunan yang telah terdefinisi, bukan himpunan bilangan real)

Penyelesaian

Diketahui \mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}
Konstruksi Tabel Cayley berikut dengan operasi yang telah diberikan.

Pertama-tama, tinjau operasi penjumlahannya. Tampak dari tabel bahwa operasi penjumlahan mempertahankan sifat tertutup, asosiatif, dan komutatif. Selain itu, (R,+) juga memiliki identitas, yaitu (0, 0). Sedangkan, masing-masing anggotanya memiliki invers. Invers (0, 0) adalah (0, 0), invers (1, 1) adalah (1, 1), invers (1, 0) adalah (1, 0), dan invers (0, 1) adalah (0, 1). Dengan kata lain, invers dari anggota R adalah dirinya sendiri.  Jadi, (R, +) merupakan grup abelian.
Kedua, tinjau operasi perkaliannya. Tampak juga dari tabel bahwa operasi perkalian mempertahankan sifat tertutup dan asosiatif. Berarti, (R, \times) adalah semigrup.
Selain itu, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dalam R juga berlaku. Oleh karenanya, (R, +, \times) adalah ring.
Untuk menunjukkan bahwa R daerah integral, kita harus memastikan bahwa tidak ada dua elemen R (bukan (0, 0)) yang bila dikalikan menghasilkan (0, 0). Dari tabel, kita peroleh bahwa
(1, 0) \times (0, 1) = (0, 0)
(0, 1) \times (1, 0) = (0, 0)
Jadi, R bukan daerah integral, sebab tidak memenuhi definisi yang telah diberikan di atas.
Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa R field, kita harus memeriksa apakah R merupakan ring pembagi atau bukan terlebih dahulu. Dari tabel, Identitas dalam operasi perkalian dalam R - \{0,0\} adalah (1, 1), sedangkan setiap anggotanya juga memiliki invers dirinya sendiri. Jadi, berdasarkan definisi, R merupakan ring pembagi. Terakhir, agar R disebut field (field adalah ring pembagi yang komutatif), maka harus ditunjukkan bahwa berlaku sifat komutatif pada operasi perkalian. Jelas dari tabel perkalian di atas bahwa sifat komutatif berlaku (operasi perkalian ini mengawetkan sifat operasi perkalian standar). Jadi, R adalah field.

[collapse]

Soal Nomor 20
\mathbb{Z} merupakan gelanggang bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian standar. Carilah karakteristik dari gelanggang \mathbb{Z}

Penyelesaian

Karakteristik dari ring (R, \circ, *), dinotasikan char(R) didefinisikan sebagai nilai n bilangan bulat non-negatif terkecil sedemikian sehingga berlaku
\underbrace{e' \circ e' \circ \cdots \circ e'}_{n} = n \circ e'= e
dengan e elemen identitas operasi \circ dan e' elemen identitas operasi *.

Untuk (\mathbb{Z}, +, \times), identitas \mathbb{Z} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah 0 dan 1, sehingga kita harus mencari nilai n sedemikian sehingga berlaku
\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n} = n \times 1 = 0
Diperoleh bahwa n = 0 sehingga karakteristik dari ring \mathbb{Z} adalah 0.

[collapse]

Soal Nomor 21
Misalkan R = \{a, b, c, d\} terhadap operasi \bigoplus dan operasi \bigotimes yang didefinisikan oleh tabel berikut ini merupakan suatu gelanggang.

Apakah R gelanggang pembagi nol, daerah integral, atau lapangan?

Penyelesaian

Berdasarkan tabel tersebut, identitas (R, \bigoplus) adalah a, sedangkan  identitas (R, \bigotimes) adalah b.
Elemen x \in R, x \neq a disebut pembagi nol jika ada y \in R, y \neq a sedemikian sehingga 
x \bigotimes y = a
Berdasarkan tabel kanan, tidak ditemukan operasi yang hasilnya demikian, sehingga R bukan gelanggang pembagi nol (sebab tidak memiliki pembagi nol). Dengan kata lain, R adalah daerah integral.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa R adalah lapangan (ring pembagi yang komutatif). Berarti, kita perlu menunjukkan (R, \bigoplus) dan (R - {0}, \bigotimes) grup abelian dan berlaku sifat distributif. Berdasarkan informasi pada soal, R gelanggang sehingga (R, \bigoplus) grup abelian dan sifat distributif telah terpenuhi (tidak perlu ditunjukkan lagi).
Perhatikan tabel (R - {a}, \bigotimes) berikut.

(R - {a}, \bigotimes) merupakan grup abelian karena berlaku sifat tertutup, asosiatif, memiliki identitas yaitu b, dan setiap elemen memiliki invers (b^{-1} = b, c^{-1} = d, d^{-1} = c), serta bersifat komutatif. Jadi, R adalah lapangan.

[collapse]

Soal Nomor 22
Pandang \mathbb{Z} _{18} sebagai ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 18.
a. Apakah \mathbb{Z} _{18} merupakan field? Jelaskan.
b. Carilah semua elemen di \mathbb{Z}_{18} yang merupakan pembagi nol.

Penyelesaian

(Jawaban a) Ingat kembali definisi lapangan (field), yaitu ring pembagi yang komutatif sehingga harus memenuhi syarat berikut.
1. Himpunan terhadap operasi pertama membentuk grup abelian.
2. Himpunan tanpa nol terhadap operasi kedua membentuk grup abelian.
3. Berlaku sifat distributif.
\mathbb{Z} _{18} bukan field karena ada salah satu syarat yang tak terpenuhi dari definisi tersebut, yaitu (\mathbb{Z} _{18} - \{0\}) bukan grup (tidak memenuhi sifat tertutup alias memuat pembagi nol).
(Jawaban b) Kita harus menentukan elemen (\mathbb{Z} _{18} - \{0\}) yang bila dioperasikan dengan perkalian modulo 18 menghasilkan 0. Untuk ini, harus dicari elemen yang tidak relatif prima dengan 18, yaitu 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, dan 16. Elemen-elemen inilah yang merupakan pembagi nol di (\mathbb{Z} _{18} - \{0\})
Catatan: 5 bukan pembagi nol (relatif prima dengan 18) karena tidak ditemukan elemen (\mathbb{Z} _{18} - \{0\}) yang bila dikalikan dengannya menghasilkan 0. Kita akan menemukan bahwa 5 \times_{18} 18 = 0, di mana 18 adalah bilangan terkecil dari elemen-elemen yang dimaksud tetapi 18 sendiri bukan elemen (\mathbb{Z} _{18} - \{0\}).

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan unit di \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, dan \mathbb{Z}_6

Penyelesaian

Suatu elemen a \in R (R ring) disebut unit di R jika ada b \in R sedemikian sehingga berlaku a \bigotimes b = 1
Untuk \mathbb{Z} (himpunan bilangan bulat), unitnya adalah \{1\}, (karena 1 \times 1 = 1)
Untuk \mathbb{Q} (himpunan bilangan rasional), unitnya tak terhingga banyaknya (salah satunya adalah \dfrac{4}{7} \times \dfrac{7}{4} = 1)
Untuk \mathbb{Z}_6 (himpunan bilangan bulat modulo 6), unitnya adalah \{1, 5\} (yaitu 1 \times_6 1 = 1, 5 \times_6  5 = 1)
Tips: Unit dari \mathbb{Z}_n adalah elemen yang relatif prima (memiliki FPB 1) dengan n.

[collapse]

Soal Nomor 24 (Soal ON-MIPA PT Bidang Matematika Seleksi Wilayah)
Banyaknya unit di ring \mathbb{Z}_{2^n} adalah \cdots

Penyelesaian

Suatu elemen a \in R (R ring) disebut unit di R jika ada b \in R sedemikian sehingga berlaku a \bigotimes b = 1. Terkhusus untuk \mathbb{Z}_n, unit-unitnya adalah elemen yang relatif prima dengan n. Berarti, untuk \mathbb{Z}_{2^n}, unitnya adalah elemen yang relatif prima dengan 2^n. Karena 2^n = \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{n}, yang berarti 2^n tidak memuat faktor lain selain 2, maka seluruh bilangan ganjil positif relatif prima dengannya, sehingga banyak unit di ring  \mathbb{Z}_{2^n} adalah \dfrac{1}{2}(2^n) = 2^{n-1}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

4 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Gelanggang (Ring) dalam Aljabar Abstrak”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *