Teorema: Kekhususan Identitas
Jika $\phi$ suatu homomorfisma dari $G$ ke $G’$, maka $\phi(e) = e’$, dengan $e’$ identitas $G’$.
Pembuktian:
Ambil sembarang $x \in G$, berarti $\phi(x) \in G’$. Dengan demikian, berlaku
$\phi(x) \star e’ = \phi(x)$
$\phi(x) \star e’ = \phi(x \star e)$
Karena $e \in G$ dan $\phi$ homomorfisma, maka berlaku $\phi(x \star e) = \phi(x) \star \phi(e)$. Jadi ditulis,
$\phi(x) \star e’ = \phi(x) \star \phi(e)$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kiri pada $\phi(x)$ di kedua ruas, diperoleh
$\phi(e) = e’$ (terbukti)
Teorema: Invers dalam Homomorfisma
Jika $\phi$ suatu homomorfisma dari $G$ ke $G’$, maka $\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}, \forall x \in G$
Pembuktian:
Gunakan teorema: kekhususan identitas (teorema sebelumnya).
$e’ = \phi(e)~~~(\cdots 1)$
Karena $e$ merupakan identitas di $G$, maka untuk $x \in G, x^{-1} \in G$, berlaku $e = x \star x^{-1}$, sehingga dari $(1)$, diperoleh
$e’ = \phi(x \star x^{-1})$
Dengan menggunakan definisi homomorfisma, diperoleh
$e’ = \phi(x) \circ \phi(x^{-1})$
Persamaan ini menunjukkan bahwa invers dari $\phi(x)$ adalah $\phi(x^{-1})$, dan sebaliknya.
Kita juga tahu bahwa invers dari $\phi(x)$ adalah $\phi(x)^{-1}$. Berarti,
$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} = (\phi(x)^{-1})$
Perhatikan bahwa penulisan $\phi(x)^{-1}$ berarti $(\phi(x))^{-1}$
(terbukti).
Teorema: Kernel Subgrup Normal dari G
Jika $\phi$ homomorfisma dari $G$ ke $G’$ dengan kernel $K$, maka $K$ merupakan subgrup normal dari $G$.
Pembuktian:
Misalkan $G$ grup dengan operasi $\star$ dan $G’$ grup dengan operasi $\circ$.
(I) Membuktikan bahwa $K$ subgrup dari $G$
a) Membuktikan bahwa $K$ subset $G$.
Dari definisi kernel, jelas bahwa $K \subseteq G$.
b) Membuktikan bahwa $K$ tidak kosong
Karena $e \in G$, dan dengan menggunakan Teorema Kekhususan Identitas (teorema pertama), $\phi(e) = e’$. Menurut definisi kernel, $e \in K$. Jadi, $K$ setidaknya memiliki $1$ anggota, yaitu $e$. Berarti, $k \neq \emptyset$
c) Membuktikan ketertutupan operasi biner $\star$ dalam $K$
Ambil $a, b \in K$, maka $\phi(a) = \phi(b) = e’$. Dengan demikian,
$\phi(a \star b) = \phi(a) \circ \phi(b)$
$ = e’ \circ e’ = e’$
Berarti, $a \star b \in K$ karena memenuhi sifat keanggotaan definisi kernel.
d) Membuktikan bahwa setiap anggota $K$ memiliki invers di $K$.
Ambil sembarang $a \in K$, sehingga $\phi(a) = e’$. Berdasarkan teorema invers dalam homomorfisma,
$\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1} = (e’)^{-1} = e’$.
Jadi, $a^{-1} \in K$.
Karena
$K \subseteq G, K \neq \emptyset, \forall a,b \in K \Rightarrow a \star b \in K$
dan
$\forall a \in K \Rightarrow a^{-1} \in K$, maka $K$ subgrup dari $G$
(II) Membuktikan bahwa $K$ subgrup normal dari $G$
Untuk $\forall x \in G, k \in K$,
akan ditunjukkan bahwa
$x \star k \star x^{-1} \in K$ atau $\phi(x \star k \star x^{-1}) = e’$
Perhatikan bahwa,
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = \phi(x) \circ \phi(k) \circ \phi(x^{-1})$
Karena $k \in K$, maka $\phi(k) = e’$, sehingga ditulis
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = \phi(x) \circ e’ \circ \phi(x^{-1})$
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = \phi(x) \circ \phi(x^{-1})$
Terakhir, gunakan teorema invers dalam homomorfisma, diperoleh
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = e’$
Jadi, $x \star k \star x^{-1} \in K$
Terbukti bahwa $K$ subgrup normal dari $G$.