Teorema dan Pembuktian: Homomorfisma Grup dan Kernel (Struktur Aljabar)

Teorema: Kekhususan Identitas
Jika $\phi$ suatu homomorfisma dari $G$ ke $G’$, maka $\phi(e) = e’$, dengan $e’$ identitas $G’$.

Pembuktian:
Ambil sembarang $x \in G$, berarti $\phi(x) \in G’$. Dengan demikian, berlaku
$\phi(x) \star e’ = \phi(x)$
$\phi(x) \star e’ = \phi(x \star e)$
Karena $e \in G$ dan $\phi$ homomorfisma, maka berlaku $\phi(x \star e) = \phi(x) \star \phi(e)$. Jadi ditulis,
$\phi(x) \star e’ = \phi(x) \star \phi(e)$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kiri pada $\phi(x)$ di kedua ruas, diperoleh
$\phi(e) = e’$ (terbukti)

Teorema: Invers dalam Homomorfisma
Jika $\phi$ suatu homomorfisma dari $G$ ke $G’$, maka $\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}, \forall x \in G$

Pembuktian:
Gunakan teorema: kekhususan identitas (teorema sebelumnya).
$e’ = \phi(e)~~~(\cdots 1)$
Karena $e$ merupakan identitas di $G$, maka untuk $x \in G, x^{-1} \in G$, berlaku $e = x \star x^{-1}$, sehingga dari $(1)$, diperoleh
$e’ = \phi(x \star x^{-1})$
Dengan menggunakan definisi homomorfisma, diperoleh
$e’ = \phi(x) \circ \phi(x^{-1})$
Persamaan ini menunjukkan bahwa invers dari $\phi(x)$ adalah $\phi(x^{-1})$, dan sebaliknya.
Kita juga tahu bahwa invers dari $\phi(x)$ adalah $\phi(x)^{-1}$. Berarti,
$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} = (\phi(x)^{-1})$
Perhatikan bahwa penulisan $\phi(x)^{-1}$ berarti $(\phi(x))^{-1}$
(terbukti).

Teorema: Kernel Subgrup Normal dari G
Jika $\phi$ homomorfisma dari $G$ ke $G’$ dengan kernel $K$, maka $K$ merupakan subgrup normal dari $G$.

Pembuktian:
Misalkan $G$ grup dengan operasi $\star$ dan $G’$ grup dengan operasi $\circ$.
(I) Membuktikan bahwa $K$ subgrup dari $G$
a) Membuktikan bahwa $K$ subset $G$.
Dari definisi kernel, jelas bahwa $K \subseteq G$.
b) Membuktikan bahwa $K$ tidak kosong
Karena $e \in G$, dan dengan menggunakan Teorema Kekhususan Identitas (teorema pertama), $\phi(e) = e’$. Menurut definisi kernel, $e \in K$. Jadi, $K$ setidaknya memiliki $1$ anggota, yaitu $e$. Berarti, $k \neq \emptyset$
c) Membuktikan ketertutupan operasi biner $\star$ dalam $K$
Ambil $a, b \in K$, maka $\phi(a) = \phi(b) = e’$. Dengan demikian,
$\phi(a \star b) = \phi(a) \circ \phi(b)$
$ = e’ \circ e’ = e’$
Berarti, $a \star b \in K$ karena memenuhi sifat keanggotaan definisi kernel.
d) Membuktikan bahwa setiap anggota $K$ memiliki invers di $K$.
Ambil sembarang $a \in K$, sehingga $\phi(a) = e’$. Berdasarkan teorema invers dalam homomorfisma,
$\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1} = (e’)^{-1} = e’$.
Jadi, $a^{-1} \in K$.
Karena
$K \subseteq G, K \neq \emptyset, \forall a,b \in K \Rightarrow a \star b \in K$
dan
$\forall a \in K \Rightarrow a^{-1} \in K$, maka $K$ subgrup dari $G$

(II) Membuktikan bahwa $K$ subgrup normal dari $G$
Untuk $\forall x \in G, k \in K$,
akan ditunjukkan bahwa
$x \star k \star x^{-1} \in K$ atau $\phi(x \star k \star x^{-1}) = e’$
Perhatikan bahwa,
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = \phi(x) \circ \phi(k) \circ \phi(x^{-1})$
Karena $k \in K$, maka $\phi(k) = e’$, sehingga ditulis
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = \phi(x) \circ e’ \circ \phi(x^{-1})$
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = \phi(x) \circ \phi(x^{-1})$
Terakhir, gunakan teorema invers dalam homomorfisma, diperoleh
$\phi(x \star k \star x^{-1}) = e’$
Jadi, $x \star k \star x^{-1} \in K$
Terbukti bahwa $K$ subgrup normal dari $G$.

CategoriesStruktur AljabarTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *