Tag: Kalimat Tertutup

Pengantar: Logika

     Berbicara tentang kalimat tertutup dan kalimat terbuka tidak akan pernah jauh dari bahasan mengenai logika. Logika merupakan studi mengenai penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), penalaran diartikan sebagai cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Bahasan logika tidak pernah luput dari hubungan antara beberapa pernyataan. Dengan mempelajari logika, kita bisa menarik kesimpulan yang sah (valid) dari beberapa pernyataan yang diberikan.

    Logika merupakan salah satu fondasi yang memberi struktur pada matematika. Semua teorema yang ada dalam matematika dibuktikan dengan menggunakan hukum logika. Tak heran bila banyak yang mendefinisikan matematika bukan hanya sebagai ilmu hitung-menghitung, melainkan tentang ilmu bernalar (berlogika).

    Logika pertama kali dikembangkan oleh filsuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu. Sampai sekarang, banyak disiplin ilmu yang menerapkan penggunaan logika, termasuk di antaranya dalam bidang komputer, seperti bahasa pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (artificial intellegence), perakitan komputer, dan lain-lain.

Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

    Kalimat terbuka dan kalimat tertutup merupakan bahasan dasar yang perlu dipahami oleh setiap orang yang ingin mendalami ilmu logika. Sebelum memahami definisinya, kita perlu tahu istilah berikut terlebih dahulu.

1. Kalimat deklaratif, disebut juga kalimat berita, adalah kalimat yang berisi informasi tentang suatu hal. Contoh: Budi dan Ani sekarang telah berusia 17 tahun.
2. Kalimat imperatif, disebut juga kalimat perintah, adalah kalimat yang bertujuan meminta objek untuk melakukan suatu hal. Contoh: Tolong pelajari materi ini dengan baik.
3. Kalimat interogatif, disebut juga kalimat tanya, yaitu kalimat yang dibuat untuk menanyakan suatu hal dan diakhiri dengan tanda tanya. Contoh: Bagaimana cara kamu menjelaskannya kepada ibu guru?

Sekarang, pahami baik-baik pengertian kalimat terbuka dan kalimat tertutup berikut.

Definisi: Kalimat Terbuka

Definisi: Kalimat Tertutup

    Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan kedua kalimat tersebut, meskipun istilahnya mungkin terdengar asing bagi awam, seperti yang disajikan pada contoh-contoh di bawah ini.

1. Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimantan Barat.
2. Tari Tidayu (Tionghua-Dayak-Melayu) merupakan tari tradisional yang menggambarkan keharmonisan masyarakat di provinsi Kalimantan Barat.
3. Susilo Bambang Yudhoyono menjadi presiden RI pada tahun 2003 – 2013.
4. Provinsi $m$ terletak di pulau Sulawesi.
5. Dua ditambah suatu bilangan menghasilkan delapan.
6. Hari ini hujan deras.
7. Susi adalah siswa di sekolah itu.

     Kalimat no. 1 dan 2 merupakan kalimat tertutup yang bernilai benar, sedangkan kalimat no. 3 merupakan kalimat tertutup yang bernilai salah, karena seharusnya SBY menjadi presiden RI pada tahun 2004 – 2014. Kalimat no. 4 dan 5 merupakan kalimat terbuka karena terdapat variabel berupa huruf $m$ dan frasa “suatu bilangan”. Selama variabel tersebut belum diketahui nilainya secara pasti, maka kalimat tersebut tetap menjadi kalimat terbuka. Kalimat no. 6 dan 7 merupakan kalimat tertutup faktual atau pernyataan faktual, yaitu kalimat tertutup yang nilai kebenarannya bisa ditentukan, asalkan diselidiki terlebih dahulu.

Baca Juga: Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

    Sebelumnya dikatakan bahwa kalimat terbuka memuat variabel yang nilainya belum diketahui secara pasti. Ketika variabel tersebut diberi nilai atau batasan tertentu, maka kalimat terbuka tersebut akan menjadi kalimat tertutup karena nilai kebenarannya sudah dapat ditentukan, seperti contoh-contoh berikut.

1. $x$ adalah bilangan ganjil.
   $\Rightarrow$ Kalimat terbuka karena benar-salahnya tergantung pada nilai variabel $x$.
2. $4$ adalah bilangan ganjil.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai salah.
3. $11$ adalah bilangan ganjil.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai benar.
4. Kabupaten $y$ terletak di provinsi Kalimantan Barat.
   $\Rightarrow$ Kalimat terbuka, karena benar-salahnya tergantung pada nilai variabel $y$
5. Kabupaten Sambas terletak di provinsi Kalimantan Barat.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai benar.
6. Kabupaten Penajam Paser Utara terletak di provinsi Kalimantan Barat.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai salah.

    Tidak semua kalimat yang memuat variabel selalu digolongkan kalimat terbuka. Apabila variabel tersebut memuat kuantor (seperti kata “ada”, “beberapa”, “terdapat”, “setiap”, “semua” dan lain-lain), kalimat tersebut merupakan kalimat tertutup. Perhatikan contoh berikut.

1. $2n$ merupakan bilangan genap positif, untuk setiap bilangan asli $n$.
2. Ada anggota himpunan bilangan bulat $x$ yang memenuhi persamaan $2x + 4 = 3.$
3. Pertidaksamaan $x^2 + 4x + 4 < 0$ tidak memiliki penyelesaian untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
4. $x + y = y + x$ untuk setiap $x$ dan $y$ bilangan real.

Kalimat no.1 di atas termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar karena substitusi nilai $n = 1, 2, 3, \cdots$ pada bentuk $2n$ selalu menghasilkan bilangan genap. Kalimat no. 2 termasuk kalimat tertutup yang bernilai salah, karena penyelesaian $2x + 4 = 3$ adalah $x = -\frac12$, artinya $x$ bukan termasuk anggota bilangan bulat. Terakhir, kalimat no. 3  dan 4 termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar. Kalimat no. 4 merupakan cara lain untuk menyatakan hukum komutatif (kebalikan) penjumlahan pada sistem bilangan real.

     Kalimat tertutup selanjutnya dikenal luas dengan istilah proposisi (proposition). Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic). Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, seperti $p, q, r, \cdots$. Misalnya,
$$\begin{aligned} p&: 20~\text{adalah bilangan kelipatan 10} \\ q&: \text{Indonesia merdeka secara}~\textit{de facto}~\text{pada tahun 1945} \\ r&: 3 + 3 = 6 \end{aligned}$$Berikut disajikan beberapa soal beserta pembahasannya mengenai kalimat terbuka dan kalimat tertutup. Semoga dapat lebih memperluas pemahaman materi.

Quote by Kong Fu Tse

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Contoh kalimat terbuka adalah $\cdots \cdot$

1. Jam berapa kamu tiba di rumah saya?
2. Segera datang ke sini!
3. $x + 3 = 5.$
4. $2 + 4 = 6.$
5. Candi Borobudur terletak di Magelang, Jawa Tengah

Soal Nomor 2

Kalimat berikut yang termasuk proposisi (pernyataan) dengan nilai kebenaran yang pasti adalah $\cdots \cdot$

1. $x$ adalah bilangan ganjil
2. COVID-19 adalah penyakit yang disebabkan oleh SARS-CoV-2
3. Kehidupan hanya ditemukan di planet Bumi
4. Kemarin sore terjadi hujan deras
5. Tolong ambilkan gelas di ruangan saya

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Soal Nomor 3

Manakah di antara kalimat berikut yang tergolong kalimat terbuka?

1. Penyelesaian $x + 4 = 7$ adalah $x = 3.$
2. Semua bilangan rasional merupakan bilangan real.
3. $a^0 = 1$ untuk semua bilangan real $a \neq 0.$
4. Bilangan asli yang kurang dari $10$ ada sebanyak $m.$
5. Untuk bilangan asli $n$, bentuk $(2n-1)$ merupakan bilangan ganjil.

Soal Nomor 4

Diberikan kalimat terbuka
$$p_n : n~\text{adalah bilangan prima}$$Kalimat terbuka di atas akan menjadi kalimat tertutup yang bernilai salah ketika $n = \cdots \cdot$
A. $5$                    C. $19$                E. $41$
B. $11$                 D. $27$

Soal Nomor 5

Diberikan kalimat terbuka
$$p_n: \dfrac{n(n+1)}{3}~\text{adalah bilangan bulat}$$Kalimat terbuka di atas akan menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar ketika $n = \cdots \cdot$
A. $8$                    C. $19$                  E. $49$
B. $10$                 D. $28$

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Tentukan kalimat yang merupakan proposisi. Tentukan juga nilai kebenaran pada proposisi tersebut.

1. $10 + 13 = 22.$
2. Untuk beberapa bilangan bulat $n$, berlaku $500 = n \cdot 20.$
3. Setiap bilangan bulat genap lebih dari empat merupakan penjumlahan dua bilangan prima.
4. Planet terbesar di Tata Surya adalah Jupiter.
5. Ambil 5 buah buku di atas meja.
6. $4 + x = 5$

Soal Nomor 2

Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan pernyataan benar, pernyataan salah, pernyataan faktual, atau bukan pernyataan.

1. Dasar negara Republik Indonesia adalah Pancasila.
2. Diagonal jajar genjang berpotongan tegak lurus.
3. Dani telah bekerja di PT. ABC sebagai seorang teknisi.
4. Ada nilai $x$ untuk $4x-3=9.$
5. Jumlah sudut-sudut pada setiap segitiga adalah $180^\circ.$
6. Apa pekerjaan Anda sekarang?
7. $p$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $7.$