Misalkan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ dan $b_1, b_2, \cdots, b_n$ merupakan barisan bilangan real. Dengan demikian, berlaku
$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2.$$Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $$\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}.$$
Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk file PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut juga berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetisi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Bagian Esai
Untuk setiap bilangan real positif $a, b,$ dan $c,$ buktikan bahwa
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \ge 9.$$
Perhatikan bahwa
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)$$dapat ditulis dalam bentuk yang melibatkan kuadrat, yaitu
$$\left[(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2\right] \left[ \left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right].$$Kemudian, dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh
$$\begin{aligned} \left[(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2\right] \left[ \left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right] & \ge \left(\sqrt{a} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{b} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{b}} + \sqrt{c} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 \\ & \ge (1 + 1 + 1)^2 \\ & \ge 3^2 \\ & \ge 9. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \ge 9.$$ $\blacksquare$
Tentukan nilai maksimum dari $x + 2y + 3z$ dengan $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ untuk setiap bilangan real $x, y,$ dan $z.$ Tentukan juga nilai $x, y,$ dan $z$ sehingga nilai maksimum tersebut tercapai.
Diketahui bilangan real $x, y,$ dan $z$ sehingga memenuhi $x^2 + y^2 + z^2 = 1.$ Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh
$$\begin{aligned} (1x + 2y + 3z)^2 & \le (1^2 + 2^2 + 3^2)(x^2 + y^2 + z^2) \\ (1x + 2y + 3z)^2 & \le (1 + 4 + 9)(1) \\ (1x + 2y + 3z)^2 & \le 14. \end{aligned}$$Dari pertidaksamaan terakhir, diperoleh
$$-\sqrt{14} \le x + 2y + 3z \le \sqrt{14}.$$Ini berarti, $\sqrt{14}$ merupakan nilai maksimum dari $x + 2y + 3z.$
Nilai maksimum ini tercapai ketika perbandingan berikut berlaku.
$$x : y : z = 1 : 2 : 3.$$Artinya, $y = 2x$ dan $z = 3x.$ Diketahui $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ sehingga substitusi menghasilkan
$$\begin{aligned} x^2 + (2x)^2 + (3x)^2 & = 1 \\ x^2 + 4x^2 + 9x^2 & = 1 \\ 14x^2 & = 1 \\ x^2 & = \dfrac{1}{14} \\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{14}}. \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{2}{\sqrt{14}}$ dan $z = \dfrac{3}{\sqrt{14}}.$
Jadi, nilai maksimum tersebut ketika $x = \dfrac{1}{\sqrt{14}},$ $y = \dfrac{2}{\sqrt{14}},$ dan $z = \dfrac{3}{\sqrt{14}}.$
Tentukan nilai maksimum dari $\sqrt{x} + \sqrt{3x-2} + \sqrt{5-4x}$ untuk setiap bilangan real $x.$ Tentukan juga nilai $x$ sehingga nilai maksimum tersebut tercapai.
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh
$$\begin{aligned} \left(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\right)^2 & \le (1^2 + 1^2 + 1^2)((\sqrt{x})^2 + (\sqrt{3x-2})^2 + (\sqrt{5-4x})^2 \\ \left(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\right)^2 & \le (3)(x + (3x-2) + (5-4x)) \\ \left(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\right)^2 & \le (3)(3) \\ \left(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\right)^2 & \le 9. \end{aligned}$$Karena $\sqrt{x} + \sqrt{3x-2} + \sqrt{5-4x}$ tidak mungkin bernilai negatif, haruslah pertidaksamaan terakhir hanya mengimplikasikan
$$\sqrt{x} +\sqrt{3x-2} + \sqrt{5-4x} \le 3.$$Jadi, nilai maksimum dari bentuk tersebut adalah $3.$
Nilai maksimum ini tercapai ketika perbandingan berikut berlaku.
$$\sqrt{x} : \sqrt{3x-2} : \sqrt{5x-4} = 1 : 1 : 1..$$Ini berarti, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sqrt{x} & = \sqrt{3x-2} \\ x & = 3x-2 \\ x & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum tersebut tercapai ketika $x = 1.$