Tag: Lingkaran

Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $8\text{cm}$ dan tinggi = $15\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{array}{rl}AB& =\sqrt{8^2+{15}^2}\\ & =\sqrt{289}\\ & =17\text{cm}\end{array}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L)$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{array}{rl}r& ={\displaystyle \frac{L}{s}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot 15}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(8+15+17)}}\\ & ={\displaystyle \frac{60}{20}}\\ & =3\text{cm}\end{array}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{{\displaystyle 3,0\text{cm}}}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar berikut.
Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $6$ dan tinggi = $12.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{array}{rl}x& =\sqrt{6^2+{12}^2}\\ & =\sqrt{180}\\ & =6\sqrt{5}\end{array}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L)$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{array}{rl}r& ={\displaystyle \frac{L}{s}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot 12}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(12+6+6\sqrt{5})}}\\ & ={\displaystyle \frac{12}{3+\sqrt{5}}}\times {\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cancel{12}}^3(3-\sqrt{5})}{\cancel{4}}}\\ & =9-3\sqrt{5}\end{array}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{{\displaystyle 9-3\sqrt{5}}}$
(Jawaban D)

Untuk mencari luas daerah yang diberi warna biru, kita harus mencari luas segitiga, kemudian dikurangi dengan luas lingkaran dalam.
Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang sisi $AB=9\text{cm}$ dan $BC=15\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya.
$$\begin{array}{rl}AC& =\sqrt{{15}^2-9^2}\\ & =\sqrt{144}\\ & =12\text{cm}\end{array}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $(L_{\mathrm{△}})$ terhadap setengah kelilingnya $(s).$
$$\begin{array}{rl}r& ={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{s}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 9\cdot 12}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(9+12+15)}}\\ & ={\displaystyle \frac{9\cdot \cancel{12}}{{\cancel{36}}^3}}\\ & =3\text{cm}\end{array}$$Dengan demikian, luas lingkaran sama dengan $L_O=\pi r^2=\pi (3{)}^2=9\pi {\text{cm}}^2,$ sedangkan luas segitiga sama dengan $L_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(9)(12)=54{\text{cm}}^2.$ Jadi, luas daerah yang diberi warna biru adalah
$$\begin{array}{rl}{L}_{\text{biru}}& =L_{\mathrm{△}}-L_O\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(9)(12)-9\pi \\ & =(54-9\pi ){\text{cm}}^2.\end{array}$$(Jawaban B)

Karena keliling lingkarannya ${\displaystyle \frac{8}{3}}\pi ,$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}k& =2\pi r\\ {\displaystyle \frac{8}{3}}\pi & =2\pi r\\ r& ={\displaystyle \frac{4}{3}}.\end{array}$$Karena lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga, maka berlaku hubungan berikut.
$$r={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{s}}$$Diketahui $L_{\mathrm{△}}=12{\text{cm}}^2.$ Kita akan mencari nilai dari $2s$ sebagaimana bahwa $s$ adalah setengah keliling segitiga.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{4}{3}}& ={\displaystyle \frac{12}{s}}\\ s& =12\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ s& =9\\ 2s& =18\end{array}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 18\text{cm}}}$
(Jawaban C)

Jika kita menarik jari-jari dari pusat lingkaran ke sisi $BC$ di titik $P,$ maka kita akan peroleh garis tinggi $\mathrm{△}BOC$ (karena $P$ adalah titik singgung lingkaran). Jadi, luas $\mathrm{△}BOC$ dapat kita hitung jika panjang $BC$ dan $OP$ diketahui.Panjang $BC$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\mathrm{△}ABC.$
$$\begin{array}{rl}BC& =\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\\ & =\sqrt{{12}^2+5^2}\\ & =\sqrt{169}\\ & =13\text{cm}\end{array}$$Panjang $OP$, yaitu jari-jari lingkaran dalam segitiga, dapat dicari dengan membagi luas $\mathrm{△}ABC$ terhadap setengah kelilingnya.
$$\begin{array}{rl}OP& ={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}ABC}}{s_{\mathrm{△}ABC}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 12\cdot 5}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(5+12+13)}}\\ & ={\displaystyle \frac{60}{30}}\\ & =2\text{cm}\end{array}$$Jadi, luas $\mathrm{△}BOC$ adalah $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot OP\cdot BC={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot 13=13{\text{cm}}^2.$$(Jawaban C)

Diketahui $L_{\mathrm{△}}=k_{\mathrm{△}}.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ditentukan oleh $r={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{s}}$ dengan $s={\displaystyle \frac{1}{2}}{k}_{\mathrm{△}}.$
$$\begin{array}{r}r={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}{k}_{\mathrm{△}}}}={\displaystyle \frac{\cancel{k_{\mathrm{△}}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cancel{k_{\mathrm{△}}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=2\end{array}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\boxed{{\displaystyle 2}}$
(Jawaban B)

Lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga adalah lingkaran luar segitiga itu, artinya lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga seperti gambar berikut.
Pertama, kita cari dulu panjang $AC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$$\begin{array}{rl}AC& =\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}\\ & =\sqrt{{36}^2+{15}^2}\\ & =\sqrt{3^2({12}^2+5^2)}\\ & =3\sqrt{169}\\ & =39\text{cm}\end{array}$$Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat kita cari dengan cara mengalikan panjang ketiga sisi segitiga, lalu dibagi dengan 4 kali luas segitiga.
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{\cancel{AB}\cdot AC\cdot \cancel{BC}}{4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \cancel{AB}\cdot \cancel{BC}}}\\ R& ={\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{39}{2}}=19,5\text{cm}\end{array}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\boxed{{\displaystyle 19,5\text{cm}}}$
(Jawaban C)

Hubungan luas segitiga dan jari-jari lingkaran dalamnya dinyatakan oleh
$$\boxed{{\displaystyle r={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{s}}}}$$dengan $s$ sama dengan setengah dari keliling segitiga. Ini berarti, kita akan menggunakan ini untuk mencari nilai dari keliling segitiga. Diketahui $L_{\mathrm{△}}=12\sqrt{6}{\text{cm}}^2$ dan $r={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{6}\text{cm}.$
$$s={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{r}}={\displaystyle \frac{12\sqrt{6}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{6}}}=18\text{cm}$$Artinya, keliling segitiga sama dengan $2\cdot 18=36\text{cm}.$ 
Keliling didapat dengan cara menjumlahkan ketiga panjang sisi segitiga.  Dari lima opsi jawaban di atas, kita hanya perlu mencari pasangan tiga bilangan yang bila dijumlahkan menghasilkan $36,$ tentunya dengan memperhatikan bahwa panjang ketiga sisinya harus memenuhi ketaksamaan segitiga. Setelah diselidiki, kita peroleh bahwa panjang ketiga sisi segitiga yang mungkin adalah $9,12,15$ cm karena $9+12+15=36.$
(Jawaban E)

Luas lingkaran dapat ditentukan jika jari-jarinya diketahui. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan menggunakan formula $R={\displaystyle \frac{abc}{4L_{\mathrm{△}}}}.$ Ini berarti, kita mesti mencari luas segitiga terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Heron.
Diketahui setengah keliling segitiga sama dengan $s={\displaystyle \frac{1}{2}}(10+17+21)=24$ cm sehingga
$$\begin{array}{rl}{L}_{\mathrm{△}}& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}\\ & =\sqrt{24(14)(7)(3)}\\ & =\sqrt{2^3\cdot 3\cdot 2\cdot 7\cdot 7\cdot 3}\\ & =\sqrt{2^4\cdot 3^2\cdot 7^2}\\ & =2^2\cdot 3\cdot 7\\ & =84{\text{cm}}^2.\end{array}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{abc}{4L_{\mathrm{△}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cancel{10}}^5\cdot 17\cdot \cancel{21}}{{\cancel{4}}^2\cdot {\cancel{84}}^4}}\\ & ={\displaystyle \frac{85}{8}}\text{cm}\end{array}$$Jadi, luas lingkaran luar sama dengan
$$L=\pi R^2=\cdot {\left({\displaystyle \frac{85}{8}}\right)}^2\pi ={\displaystyle \frac{7.225}{64}}\pi {\text{cm}}^2.$$(Jawaban A)

Perhatikan gambar berikut.Panjang $QR$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\mathrm{△}PQR.$
$$\begin{array}{rl}QR& =\sqrt{P{Q}^2+P{R}^2}\\ & =\sqrt{8^2+{15}^2}\\ & =\sqrt{289}\\ & =17\text{cm}\end{array}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dihitung dengan cara berikut.
$$\begin{array}{rl}r& ={\displaystyle \frac{L}{s}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot 15}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(8+15+17)}}\\ & ={\displaystyle \frac{120}{40}}=3\text{cm}\end{array}$$Panjang jari-jari lingkaran luar dihitung dengan cara berikut.
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{PQ\cdot PR\cdot QR}{4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot PQ\cdot PR}}\\ & ={\displaystyle \frac{QR}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{17}{2}}\text{cm}\end{array}$$Dengan demikian, perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle r:R=3:{\displaystyle \frac{17}{2}}=6:17}}$
(Jawaban D)

Misalkan kita memiliki $\mathrm{△}ABC$ dengan $\mathrm{\angle }ABC={50}^{\circ }.$ Gambarkan lingkaran dalamnya dengan pusat $I.$ Kemudian, gambarkan lingkaran luar $\mathrm{△}AIC$ dengan pusat $O.$ Posisikan titik $P$ di sembarang titik pada lingkaran sehingga terbentuk segi empat tali busur $PAIC$ seperti gambar berikut.Perhatikan bahwa titik $I$ (titik pusat lingkaran dalam) adalah titik perpotongan ketiga garis bagi pada $\mathrm{△}ABC.$ Garis bagi akan membagi dua sudut sama besar sehingga $\mathrm{\angle }ACI=\mathrm{\angle }BCI=\alpha$ dan $\mathrm{\angle }CAI=\mathrm{\angle }BAI=\beta .$ Jumlah sudut dalam segitiga adalah ${180}^{\circ }$ sehingga dapat kita tuliskan
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C& ={180}^{\circ }\\ (\beta +\beta )+{50}^{\circ }+(\alpha +\alpha )& ={180}^{\circ }\\ 2\beta +2\alpha & ={130}^{\circ }\\ \alpha +\beta & ={65}^{\circ }.\end{array}$$Selanjutnya, perhatikan $\mathrm{△}AIC$ yang jumlah ketiga sudutnya tentu saja ${180}^{\circ }.$
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }AIC+\mathrm{\angle }ACI+\mathrm{\angle }CAI& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }AIC+\alpha +\beta & ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }AIC+{65}^{\circ }& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }AIC& ={115}^{\circ }\end{array}$$Pada segi empat tali busur lingkaran, jumlah sudut yang berhadapan selalu ${180}^{\circ }.$ Dengan kata lain, $\mathrm{\angle }AIC+\mathrm{\angle }APC={180}^{\circ }$ sehingga berakibat $\mathrm{\angle }APC={65}^{\circ }.$
Karena $\mathrm{\angle }APC$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $AC,$ sedangkan $\mathrm{\angle }AOC$ merupakan sudut pusatnya, maka $\mathrm{\angle }AOC=2\times \mathrm{\angle }APC=2\times {65}^{\circ }={130}^{\circ }.$
Jadi, besar $\mathrm{\angle }AOC$ adalah $\boxed{{\displaystyle {130}^{\circ }}}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar berikut.
Kita akan mencari panjang jari-jari lingkaran luar $R$ dengan menggunakan hubungan panjang sisi dan luas segitiga. Kita juga akan menggunakan trigonometri untuk menentukan luas segitiga bahwa $L_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B.$
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4\cdot L_{\mathrm{△}ABC}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{AB}\cdot AC\cdot \bcancel{BC}}{4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \cancel{AB}\cdot \bcancel{BC}\sin A}}\\ & ={\displaystyle \frac{AC}{2\cdot \sin {60}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{8}{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}}\text{cm}\end{array}$$Karena $R={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}}$ cm, maka nilai dari $3R^2=3{\left({\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}}\right)}^2=64{\text{cm}}^2.$
(Jawaban D)

Misalkan kita mempunyai $\mathrm{△}ABC.$ Agar luas segitiganya maksimum, titik sudutnya harus terletak pada sisi lingkaran seperti gambar.
Perhatikan bahwa hubungan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $R,$ panjang sisi segitiga, dan sudut segitiga diberikan oleh $R={\displaystyle \frac{a}{2\sin A}}.$
Diketahui $R=1$ dan $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$ (karena segitiga sama sisi) sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{r}1={\displaystyle \frac{a}{2\sin {60}^{\circ }}}\iff a=2\sin {60}^{\circ }=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}=\sqrt{3}.\end{array}$$Karena segitiganya sama sisi, maka $a=b=c=\sqrt{3}.$ Dengan demikian, luas segitiga $L$ dapat kita tentukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan cara berikut.
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{abc}{4L}}\\ L& ={\displaystyle \frac{abc}{4R}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{4(1)}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{3}\end{array}$$Jadi, luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{3}}}$ 
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku karena panjang sisinya memenuhi rumus Pythagoras, yaitu ${15}^2+{20}^2={25}^2.$
Jawaban a)
Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan ketiga panjang sisinya.
$$k_{\mathrm{△}}=15+20+25=60\text{cm}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 60\text{cm}}}$
Jawaban b)
Segitiga tersebut siku-siku dengan alas $15$ cm dan tinggi $20$ cm sehingga luasnya dapat dihitung dengan cara berikut.
$$L_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{\cancel{2}}}\cdot 15\cdot {\cancel{20}}^{10}=150{\text{cm}}^2$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\text{Extra close brace or missing open brace}$
Jawaban c)
Perhatikan gambar berikut.
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan membagi luas segitiga terhadap setengah kelilingnya.
$$r={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{s}}={\displaystyle \frac{150}{\frac{1}{2}\cdot 60}}=5\text{cm}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga itu adalah $\boxed{{\displaystyle 5\text{cm}}}$

Jawaban a)
Keliling didapat dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya, yaitu $k_{\mathrm{△}}=13+24+15=52\text{cm}.$
Jawaban b)
Panjang jari-jari lingkaran luar dapat dicari dengan mengalikan ketiga panjang sisi segitiga, kemudian dibagi dengan $4$ kali luas segitiga.
Luas segitiga dapat kita cari dengan rumus Heron.
Diketahui setengah keliling segitiga $s={\displaystyle \frac{52}{2}}=26$ cm.
$$\begin{array}{rl}{L}_{\mathrm{△}}& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{26(26-13)(26-24)(26-15)}\\ & =\sqrt{26(13)(2)(11)}\\ & =\sqrt{2^2\cdot 11\cdot {13}^2}\\ & =2\cdot 13\sqrt{11}\\ & =26\sqrt{11}{\text{cm}}^2\end{array}$$Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{abc}{4\cdot L_{\mathrm{△}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{13}\cdot 24\cdot 15}{4\cdot {\cancel{26}}^2\sqrt{11}}}\\ & ={\displaystyle \frac{45}{\sqrt{11}}}\\ & ={\displaystyle \frac{45}{11}}\sqrt{11}\text{cm}.\end{array}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{45}{11}}\sqrt{11}\text{cm}}}$

Misalkan pusat lingkaran di $O.$ Tarik garis diameter dari titik $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya, yaitu di titik $Q.$ Karena jari-jarinya $R,$ maka $CQ=2R$ (diameter = 2 kali jari-jari).
Pada $\mathrm{△}BCQ,$ sudut $B$ besarnya ${90}^{\circ }$ (siku-siku) karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter.
Selain itu, $\mathrm{\angle }BQC=\mathrm{\angle }BAC$ karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, yaitu $BC.$
Dengan menggunakan definisi sinus pada $\mathrm{△}BCQ,$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }BQC& ={\displaystyle \frac{BC}{CQ}}\\ \sin BAC& ={\displaystyle \frac{BC}{2R}}\\ \sin A& ={\displaystyle \frac{BC}{2R}}\\ R& ={\displaystyle \frac{BC}{2\sin A}}.\end{array}$$Jadi, terbukti bahwa $R={\displaystyle \frac{BC}{2\sin A}}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Alternatif I:
Misalkan kita punya segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $x.$
Untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar, kita memerlukan informasi berupa luas segitiga dan setengah keliling segitiga.
Tinggi segitiga $t$ dapat kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{x^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)}^2}\\ & =\sqrt{x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}x\sqrt{3}.\end{array}$$Luas segitiga sama sisi tersebut selanjutnya dapat kita tentukan, yakni
$$L_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot t={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}x\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\sqrt{3}.$$Setengah keliling segitiga dapat dengan mudah dicari, yaitu $s={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+x+x)={\displaystyle \frac{3}{2}}x.$
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut adalah
$$r={\displaystyle \frac{L_{\mathrm{△}}}{s}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\sqrt{3}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}x}}={\displaystyle \frac{1}{6}}x\sqrt{3},$$sedangkan panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4\cdot L_{\mathrm{△}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{x\cdot x\cdot x}{4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{x}{3}}\sqrt{3}.\end{array}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah
$$\begin{array}{rl}R:r& ={\displaystyle \frac{x}{3}}\sqrt{3}:{\displaystyle \frac{1}{6}}x\sqrt{3}=2:1.\end{array}$$Alternatif II:
Perhatikan gambar berikut.
Segitiga sama sisi besar dapat kita bagi menjadi 4 segitiga sama sisi yang kongruen. Jadi, luas segitiga sama sisi besar sama dengan 4 kali luas segitiga sama sisi.
Lingkaran dalam segitiga sama sisi besar merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi kecil yang berwarna biru. Lingkaran hijau sendiri merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi besar. Jadi, luas lingkaran kecil akan sama dengan 4 kali luas lingkaran besar. Akibatnya,
$$\begin{array}{rl}{L}_R:L_r& =4:1\\ \pi R^2:\pi r^2& =4:1\\ R^2:r^2& =4:1\\ R:r& =2:1.\end{array}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $2:1.$