Tag: Matriks

Misalkan $\lVert \textbf{e} \rVert$ menyatakan besar galat kuadrat terkecil dengan $\textbf{e} = (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3).$ Ini berarti, $\lVert \textbf{e} \rVert = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2}.$
Cek opsi A: $y = 1 + x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-(1+1)| = 0 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-(1+2)| = 1 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-(1+3)| = 0. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(0)^2 + (1)^2 + (0)^2} \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=1+x$ adalah $\boxed{1}.$
Cek opsi B: $y = 1 -x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-(1-1)| = 2 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-(1-2)| = 3 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-(1-3)| = 6. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (6)^2} \\ & = 7. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=1-x$ adalah $\boxed{7}.$
Cek opsi C: $y = -2 -2x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-(-2-2(1))| = 6 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-(-2-2(2))| = 8 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-(-2-2(3))| = 12. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(6)^2 + (8)^2 + (12)^2} \\ & = 2\sqrt{61}. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=-2-2x$ adalah $\boxed{2\sqrt{61}}.$
Cek opsi D: $y = x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-1| = 1 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-2| = 0 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-3| = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=x$ adalah $\boxed{\sqrt2}.$
Cek opsi E: $y = \dfrac23 + x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-\left(\dfrac23+1\right)| = \dfrac13 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-\left(\dfrac23+2\right)| = \dfrac23 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-\left(\dfrac23+3\right)| = \dfrac13. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac23\right)^2 + \left(\dfrac13\right)^2} \\ & = \dfrac13\sqrt6. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=\dfrac23+x$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt6}.$

Secara geometris, kelima persamaan garis tersebut memiliki grafik sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas, diketahui bahwa $$\dfrac13\sqrt6 < 1 < \sqrt2 < 7 < 2\sqrt{61}.$$Jadi, persamaan garis yang memberikan nilai galat kuadrat terkecil paling kecil untuk pasangan data $(1, 2),$ $(2, 2),$ dan $(3, 4)$ adalah $\boxed{y = \dfrac23 + x}.$
(Jawaban E)

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 & 8 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 24 & 8 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 24x_1 +8x_2 = 12 \\ 8x_1 + 6x_2 = 8. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = \dfrac{1}{10}$ dan $x_2 = \dfrac{6}{5}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\ \frac65 \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\ \frac65 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ \frac{14}{5} \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \frac{8}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Ini berarti, besar galat kuadrat terkecilnya adalah
$$\lVert \textbf{e} \rVert = \sqrt{\left(\dfrac85\right)^2 + \left(-\dfrac45\right)^2 + 0^2} = \dfrac45\sqrt5.$$(Jawaban C)

Misalkan persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan data tersebut adalah $y = a + bx.$ Substitusi nilai $x$ dan $y$ untuk masing-masing titik akan menghasilkan
$$\begin{aligned} (0, 0) & \rightarrow 0=a \\ (1, 2) & \rightarrow 2 = a+b \\ (2, 7) & \rightarrow 7 = a+2b. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh persamaan matriks $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dengan
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \textbf{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \textbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 9 \\ 16 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 16 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 3a+3b & = 9 \\ 3a+5b & = 16 \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $a = -\dfrac12$ dan $b = \dfrac72.$ Jadi, persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(0, 0),$ $(1, 2),$ dan $(2, 7)$ adalah $\boxed{y = -\dfrac12 + \dfrac72x}.$
(Jawaban A)

Misalkan persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan data tersebut adalah $y = a + bx.$ Substitusi nilai $x$ dan $y$ untuk masing-masing titik akan menghasilkan
$$\begin{aligned} (0, 1) & \rightarrow 1=a \\ (2, 0) & \rightarrow 0 = a+2b \\ (3, 1) & \rightarrow 1 = a+3b \\ (3, 2) & \rightarrow 2 = a + 3b. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh persamaan matriks $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dengan
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \textbf{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \textbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 22 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 22\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 4a+8b & = 4 \\ 8a+22b & = 9 \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $a = \dfrac23$ dan $b = \dfrac16.$ Jadi, persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(0, 1),$ $(2, 0),$ $(3, 1),$ dan $(3, 2)$ adalah $\boxed{y = \dfrac23 + \dfrac16x}.$
(Jawaban E)

Misalkan persamaan kuadrat yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan data tersebut adalah $y = a + bx + cx^2.$ Substitusi nilai $x$ dan $y$ untuk masing-masing data akan menghasilkan
$$\begin{aligned} (-1, 1) & \rightarrow 1=a-b+c \\ (0, -1) & \rightarrow -1 = a \\ (1, 0) & \rightarrow 0 = a+b+c \\ (2, 2) & \rightarrow 2 = a + 2b + 4c. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh persamaan matriks $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dengan
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \textbf{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \textbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 6 & 8 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan persamaan matriks tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 6 & 8 & 18\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 9\end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $a, b,$ dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 4a+2b+6c & = 2 \\ 2a+6b+8c & = 3 \\ 6a+8b+18c & = 9 \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $a = -\dfrac{7}{10},$ $b = -\dfrac35,$ dan $c = 1.$
Jadi, persamaan kuadrat yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(-1, 1),$ $(0, -1),$ $(1, 0),$ dan $(2, 2)$ adalah $\boxed{y = -\dfrac{7}{10}-\dfrac35x+x^2}.$
(Jawaban A)

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 25 \\ 25 & 35 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 21 & 25 \\ 25 & 35 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix}.$$

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\textbf{b} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 15 & -1 & 5 \\ -1 & 22 & 30 \\ 5 & 30 & 45 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan $$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 15 & -1 & 5 \\ -1 & 22 & 30 \\ 5 & 30 & 45 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}.$$

Berdasarkan jawaban soal nomor 1, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem tersebut adalah $$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 21 & 25 \\ 25 & 35 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix}.$$Ini berarti, kita hanya perlu mencari nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 21x_1 + 25x_2 = 20 \\ 25x_1 + 35x_2 = 20. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = \dfrac{20}{11}$ dan $x_2 = -\dfrac{8}{11}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{20}{11} \\ -\frac{8}{11} \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{20}{11} \\ -\frac{8}{11} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{28}{11} \\ \frac{16}{11} \\ \frac{40}{11} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -\frac{6}{11} \\ -\frac{27}{11} \\ \frac{15}{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem tersebut akan dicari. Karena $A^TA$ merupakan matriks diagonal, perhitungan sederhana akan menghasilkan $x_1 = \dfrac{3}{7}$ dan $x_2 = -\dfrac{2}{3}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{46}{21} \\ -\frac{5}{21} \\ \frac{13}{21} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -\frac{4}{21} \\ -\frac{16}{21} \\ \frac{8}{21} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 14 \\ -7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ -7 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 3x_1 -2x_2 = 14 \\ -2x_1 + 6x_2 = -7. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = 5$ dan $x_2 = \dfrac{1}{2}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ \frac12\end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ \frac12 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{11}{2} \\ -\frac{9}{2} \\ -4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{9}{2} \\ 11 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \\ -6 & -3 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 7 & 4 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \\ -6 & -3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $x_1, x_2,$ dan $x_3$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 7x_1+4x_2-6x_3 = 18 \\ 4x_1+3x_2-3x_3 = 12 \\ -6x_1-3x_2+6x_3 = -9. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = 12,$ $x_2 = -3,$ dan $x_3 = 9.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Diketahui fungsi $z = f(x, y) = Bx + Cy + D$ menyatakan keuntungan/kerugian total yang bergantung pada keuntungan/kerugian investasi emas $(x)$ dan bitcoin $(y).$
Jawaban a)
Berdasarkan tabel yang diberikan, diperoleh
$$\begin{aligned} f(1, 0) & = B(1) + C(0) + D = B + D = 0 \\ f(0, 1) & = B(0) + C(1) + D = C + D = 1 \\ f(-1, 0) & = B(-1) + C(0) + D = -B + D = 3 \\ f(0, -1) & = B(0) + C(-1) + D = -C + D = 4. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh sistem linear
$$\begin{cases} B + D & = 0 \\ C + D & = 1 \\ -B + D & = 3 \\ -C + D = 4 \end{cases}$$atau jika dinyatakan dalam bentuk matriks, sistem tersebut menjadi
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B \\ C \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$$Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = A^T\textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} B \\ C \\ D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, nilai $B, C,$ dan $D$ yang memenuhi sistem tersebut akan dicari. Karena $A^TA$ merupakan matriks diagonal, perhitungan sederhana akan menghasilkan $B = C = -\dfrac32$ dan $D = 2.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac32 \\ -\frac32 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Dengan kata lain, nilai $B, C,$ dan $D$ dengan metode aproksimasi kuadrat terkecil berturut-turut adalah $-\dfrac32, -\dfrac32,$ dan $2.$
Jawaban b)
Berdasarkan perhitungan nilai $B, C,$ dan $D$ sebelumnya, diperoleh $f(x, y) = -\dfrac32x-\dfrac32y+2.$ Untuk $x = -2$ dan $y = 1,$ diperoleh
$$\begin{aligned} f(-2, 1) & = -\dfrac32(-2)-\dfrac32(1) + 2 \\ & = 3-\dfrac32+2 \\ & = 3,\!5. \end{aligned}$$Ini berarti, keuntungan total yang diperoleh dari investasi emas dan bitcoin sebesar itu diestimasikan senilai Rp350 juta rupiah.