Dalam aljabar linear, hasil kali dalam (inner product) adalah salah satu konsep paling mendasar dalam aljabar linear yang menjadi landasan bagi banyak aplikasi matematika yang beragam. Konsep ini memungkinkan kita untuk menggabungkan dua atau lebih vektor, matriks, polinomial, atau struktur lain untuk menghasilkan nilai tunggal atau struktur yang baru. Terdapat beberapa jenis hasil kali dalam yang berbeda, masing-masing memiliki karakteristik dan aplikasi unik.
Pemahaman yang kuat tentang hasil kali dalam sangat penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dalam rekayasa, hasil kali dalam digunakan dalam analisis struktur, pemrosesan sinyal, dan desain kontrol. Di bidang komputer grafis, hasil kali dalam digunakan untuk melakukan transformasi geometris, seperti rotasi, translasi, dan scaling pada objek-objek tiga dimensi. Selain itu, dalam pemrograman komputer, hasil kali dalam sangat penting dalam pengembangan algoritma dan struktur data yang efisien.
Berikut ini telah disertakan sejumlah soal dan pembahasan terkait hasil kali dalam (bagian dasar). Semoga dapat menjadi salah satu sumber belajar. Sebagai informasi, kami juga menyediakan paket soal premium yang diintegrasikan dalam satu folder Drive. Folder tersebut berisi ratusan paket soal dari situs web mathcyber1997.com. Jika berminat, silakan daftar melalui tautan bit.ly/Akses_Soal. Pantau juga informasi dari kanal Telegram kami di t.me/Akses_Soal.
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Misalkan $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = 4u_1v_1 + 5u_2v_2$ merupakan hasil kali dalam Euclides berbobot pada $\mathbb{R}^2.$ Jika $\textbf{u} = (4, -3)$ dan $\textbf{v} = (2, -7),$ nilai dari $\langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-105$ D. $105$
B. $-73$ E. $137$
C. $29$
Misalkan $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = 4u_1v_1 + 5u_2v_2$ merupakan hasil kali dalam Euclides berbobot pada $\mathbb{R}^2.$ Karena $\textbf{u} = (4, -3)$ dan $\textbf{v} = (2, -7),$ diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle & = 4(2)(4) + 5(-7)(-3) \\ & = 32 + 105 = 137. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle$ adalah $\boxed{137}.$
(Jawaban E)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ruang Vektor Umum
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan $\textbf{u} = (u_1, u_2)$ dan $\textbf{v} = (v_1, v_2)$ merupakan vektor di $\mathbb{R}^2.$ Tunjukkan bahwa $$\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = \dfrac{u_1v_1}{u_2v_2}$$tidak memenuhi semua aksioma hasil kali dalam.
Misalkan $\textbf{u} = (u_1, u_2)$ dan $\textbf{v} = (v_1, v_2)$ merupakan vektor di $\mathbb{R}^2.$ Akan ditunjukkan bahwa $$\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = \dfrac{u_1v_1}{u_2v_2}$$tidak memenuhi semua aksioma hasil kali dalam.
Aksioma 1: Simetris
Perhatikan bahwa
$$\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = \dfrac{u_1v_1}{u_2v_2} \neq \dfrac{u_2v_2}{u_1v_1} = \langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle.$$Dengan demikian, Aksioma 1 tidak terpenuhi.
Aksioma 2: Aditivitas
Definisikan vektor $\textbf{w} = (w_1, w_2) \in \mathbb{R}^2.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle & = \dfrac{(u_1+v_1)w_1}{(u_2+v_2)w_2} \\ & = \dfrac{u_1w_1 + v_1w_1}{u_2w_2 + v_2w_2} \\ & \neq \dfrac{u_1w_1}{u_2w_2} + \dfrac{v_1w_1}{v_2w_2} \\ & = \langle \textbf{u}, \textbf{w} \rangle + \langle \textbf{v}, \textbf{w} \rangle. \end{aligned}$$Dengan demikian, Aksioma 2 tidak terpenuhi.
Aksioma 3: Homogenitas
Definisikan $k$ sebagai skalar real. Perhatikan bahwa
$$\langle k\textbf{u}, \textbf{v} \rangle = \dfrac{(ku_1)v_1}{(ku_2)v_2} \neq k \cdot \dfrac{u_1v_1}{u_2v_2} = k\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle.$$Dengan demikian, Aksioma 3 tidak terpenuhi.
Aksioma 4: Positivitas
Perhatikan bahwa $$\langle \textbf{u}, \textbf{u} \rangle = \dfrac{u_1u_1}{u_2u_2} = \dfrac{u_1^2}{u_2^2}.$$Namun, pertidaksamaan $\dfrac{u_1^2}{u_2^2} \ge 0$ terpenuhi dengan syarat $u_2 \neq 0.$ Karena tidak berlaku untuk setiap nilai $u_2,$ Aksioma 4 tidak terpenuhi.
Jadi, terbukti bahwa $$\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = \dfrac{u_1v_1}{u_2v_2}$$tidak memenuhi semua aksioma hasil kali dalam.
Soal Nomor 2
Misalkan $\textbf{u} = (u_1, u_2)$ dan $\textbf{v} = (v_1, v_2)$ merupakan vektor di $\mathbb{R}^2.$ Tunjukkan bahwa hasil kali dalam Euclides berbobot
$$\langle u, v \rangle = 3u_1v_1 + 2u_2v_2$$memenuhi empat aksioma hasil kali dalam.
Misalkan $\textbf{u} = (u_1, u_2)$ dan $\textbf{v} = (v_1, v_2)$ merupakan vektor di $\mathbb{R}^2.$ Akan ditunjukkan bahwa $$\langle u, v \rangle = 3u_1v_1 + 2u_2v_2$$memenuhi empat aksioma hasil kali dalam.
Aksioma 1: Simetris
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = 3u_1v_1 + 2u_2v_2 && (\text{Definisi}) \\ & = 3v_1u_1 + 2v_2u_2 && (\text{Sifat komutatif di}~\mathbb{R}) \\ & = \langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle. && (\text{Definisi}) \end{aligned}$$Dengan demikian, Aksioma 1 terpenuhi.
Aksioma 2: Aditivitas
Definisikan vektor $\textbf{w} = (w_1, w_2) \in \mathbb{R}^2.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle & = 3(u_1+v_1)w_1 + 2(u_2+v_2)w_2 && (\text{Definisi}) \\ & = 3(u_1w_1 + v_1w_1) + 2(u_2w_2 + v_2w_2) && (\text{Sifat distributif di}~\mathbb{R}) \\ & = (3u_1w_1 + 2u_2w_2) + (3v_1w_1 + 2v_2w_2) && (\text{Sifat distributif & asosiatif di}~\mathbb{R}) \\ & = \langle \textbf{u}, \textbf{w} \rangle + \langle \textbf{v}, \textbf{w} \rangle. && (\text{Definisi}) \end{aligned}$$Dengan demikian, Aksioma 2 terpenuhi.
Aksioma 3: Homogenitas
Definisikan $k$ sebagai skalar real. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \langle k\textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = 3(ku_1)v_1 + 2(ku_2)v_2 && (\text{Definisi}) \\ & = k(3u_1v_1 + 2u_2v_2) && (\text{Sifat distributif di}~\mathbb{R}) \\ & = k\langle \textbf{u}, \textbf{v}\rangle. && (\text{Definisi}) \end{aligned}$$Dengan demikian, Aksioma 3 terpenuhi.
Aksioma 4: Positivitas
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{u} \rangle & = 3u_1u_1 + 2u_2u_2 && (\text{Definisi}) \\ & = 3u_1^2 + 2u_2^2. \end{aligned}$$Karena $u_1, u_2 \in \mathbb{R},$ haruslah $u_1^2$ dan $u_2^2$ bernilai taknegatif. Ini berarti, $3u_1^2 + 2u_2^2 \ge 0.$ Kemudian, jelas bahwa $u_1 = u_2 = 0$ mengakibatkan kesamaan terpenuhi. Dengan demikian, Aksioma 4 terpenuhi.
Jadi, terbukti bahwa hasil kali dalam Euclides berbobot
$$\langle u, v \rangle = 3u_1v_1 + 2u_2v_2$$memenuhi empat aksioma hasil kali dalam.
Soal Nomor 3
Misalkan $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ merupakan hasil kali dalam Euclides pada $\mathbb{R}^2.$ Misalkan juga $\textbf{u} = (1, 1),$ $\textbf{v} = (3, 2),$ $\textbf{w} = (0, -1),$ dan $k = 3.$ Tentukan hasil dari operasi berikut.
a. $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$
b. $\langle k\textbf{v}, \textbf{w} \rangle$
c. $\langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle$
d. $\lVert \textbf{v} \rVert$
e. $\text{d}(\textbf{u}, \textbf{v})$
f. $\lVert \textbf{u}-k\textbf{v}\rVert$
Misalkan $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ merupakan hasil kali dalam Euclides pada $\mathbb{R}^2.$ Misalkan juga $\textbf{u} = (1, 1),$ $\textbf{v} = (3, 2),$ $\textbf{w} = (0, -1),$ dan $k = 3.$
Jawaban a)
Karena $\textbf{u} = (1, 1)$ dan $\textbf{v} = (3, 2),$ haruslah
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = u_1v_1 + u_2v_2 \\ & = (1)(3) + (1)(2) = 5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ adalah $\boxed{5}.$
Jawaban b)
Karena $\textbf{v} = (3, 2),$ $\textbf{w} = (0, -1),$ dan $k = 3,$ haruslah
$$\begin{aligned} \langle k\textbf{v}, \textbf{w} \rangle & = k(\langle \textbf{v}, \textbf{w} \rangle) \\ & = k(v_1w_1 + v_2w_2) \\ & = 3((3)(0) + (2)(-1)) \\ & = 3(0 + (-2)) \\ & = -6. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle k\textbf{v}, \textbf{w} \rangle$ adalah $\boxed{-6}.$
Jawaban c)
Karena $\textbf{u} = (1, 1),$ $\textbf{v} = (3, 2),$ dan $\textbf{w} = (0, -1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle & = \langle (1,1)+(3,2), (0, -1)\rangle \\ & = \langle (4, 3), (0, -1) \rangle \\ & = (4)(0) + (3)(-1) \\ & = -3. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle$ adalah $\boxed{-3}.$
Jawaban d)
Karena $\textbf{v} = (3, 2),$ haruslah
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{v} \rVert & = \lVert (3, 2) \rVert \\ & = \sqrt{(3)^2 + (2)^2} \\ & = \sqrt{13}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lVert \textbf{v} \rVert$ adalah $\boxed{\sqrt{13}}.$
Jawaban e)
Karena $\textbf{u} = (1, 1)$ dan $\textbf{v} = (3, 2),$ haruslah
$$\begin{aligned} \text{d}(\textbf{u}, \textbf{v}) & = \lVert \textbf{u}-\textbf{v} \rVert \\ & = \lVert (1, 1)-(3,2) \rVert \\ & = \lvert (-2, -1) \rVert \\ & = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\text{d}(\textbf{u}, \textbf{v})$ adalah $\boxed{\sqrt5}.$
Jawaban f)
Karena $\textbf{u} = (1, 1),$ $\textbf{v} = (3, 2),$ dan $k = 3,$ haruslah
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{u}-k\textbf{v}\rVert & = \lVert (1, 1)-3(3, 2) \rVert \\ & = \lVert (1,1)-(9,6) \rVert \\ & = \lVert (-8, -5) \rVert \\ & = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2} \\ & = \sqrt{89}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lVert \textbf{u}-k\textbf{v}\rVert$ adalah $\boxed{\sqrt{89}}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)
Soal Nomor 4
Misalkan $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ merupakan hasil kali dalam pada $\mathbb{R}^2$ yang dibangkitkan oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Misalkan juga $\textbf{u} = (2, 1),$ $\textbf{v} = (-1, 1),$ $\textbf{w} = (0, -1).$ Tentukan hasil dari operasi berikut.
a. $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$
b. $\langle \textbf{v}, \textbf{w} \rangle$
c. $\langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle$
d. $\lVert \textbf{v} \rVert$
e. $\text{d}(\textbf{v}, \textbf{w})$
f. $\lVert \textbf{v}-\textbf{w}\rvert^2$
Misalkan $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ merupakan hasil kali dalam pada $\mathbb{R}^2$ yang dibangkitkan oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Misalkan juga $\textbf{u} = (2, 1),$ $\textbf{v} = (-1, 1),$ $\textbf{w} = (0, -1).$
Jawaban a)
Karena $\textbf{u} = (2, 1)$ dan $\textbf{v} = (-1, 1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \textbf{u} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \textbf{v} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = 5(-1) + 3(0) = -5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ adalah $\boxed{-5}.$
Jawaban b)
Karena $\textbf{v} = (-1, 1)$ dan $\textbf{2} = (0, -1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \textbf{u} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \textbf{v} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = (-1)(-1) + 0(-1) = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{v}, \textbf{w} \rangle$ adalah $\boxed{1}.$
Jawaban c)
Karena $\textbf{u} = (2, 1),$ $\textbf{v} = (-1, 1),$ dan $\textbf{w} = (0, -1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \left(\textbf{u} + \textbf{v}\right) + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \textbf{w} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \left(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = 4(-1) + 3(-1) \\ & = -7. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{u} + \textbf{v}, \textbf{w} \rangle$ adalah $\boxed{-7}.$
Jawaban d)
Karena $\textbf{v} = (-1, 1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{v} \rVert & =\sqrt{\langle \textbf{v}, \textbf{v} \rangle} \\ & = \sqrt{\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}} \\ & = \sqrt{\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}} \\ & = \sqrt{(-1)(-1) + 0(0)} \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lVert \textbf{v} \rVert$ adalah $\boxed{1}.$
Jawaban e)
Karena $\textbf{v} = (-1, 1)$ dan $\textbf{w} = (0, -1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \text{d}(\textbf{v}, \textbf{w}) & = \lVert \textbf{v}-\textbf{w} \rVert \\ & = \lVert (-1, 1)-(0,-1) \rVert \\ & = \lVert (-1, 2) \rVert \\ & = \sqrt{\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}} \\ & = \sqrt{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \\ & = \sqrt{0(0) + 1(1)} \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\text{d}(\textbf{v}, \textbf{w})$ adalah $\boxed{1}.$
Jawaban f)
Karena $\textbf{v} = (-1, 1)$ dan $\textbf{w} = (0, -1),$ haruslah
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{v}-\textbf{w}\rvert^2 & = \left(\text{d}(\textbf{v}, \textbf{w})\right)^2 \\ & = 1^2 = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lVert \textbf{v}-\textbf{w}\rvert^2$ adalah $\boxed{1}.$
Soal Nomor 5
Hitunglah $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ yang didefinisikan sebagai hasil kali dalam standar pada himpunan matriks berukuran $2 \times 2$ jika diketahui informasi berikut.
a. $\textbf{u} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}, \textbf{v} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
b. $\textbf{u} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}, \textbf{v} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$
Secara umum, jika $\textbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{pmatrix}$ dan $\textbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4 \end{pmatrix},$ maka $$\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 + u_4v_4.$$Jawaban a)
Karena $\textbf{u} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ dan $\textbf{v} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = 3(-1) + (-2)(3) + 4(1) + 8(1) \\ & = -3 + (-6) + 4 + 8 \\ & = 3. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ adalah $\boxed{3}.$
Jawaban b)
Karena $\textbf{u} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$ dan $\textbf{v} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 8 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = 1(4) + 2(6) + (-3)(0) + 5(8) \\ & = 4 + 12 + 0 + 40 \\ & = 56. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle$ adalah $\boxed{56}.$
Soal Nomor 6
Hitunglah $\langle \textbf{p}, \textbf{q} \rangle$ yang didefinisikan sebagai hasil kali dalam standar pada himpunan polinomial jika diketahui informasi berikut.
a. $\textbf{p} = -2 + x + 3x^2,$ $\textbf{q} = 4-7x^2$
b. $\textbf{p} = x^2 + 2x-5,$ $\textbf{q} = 3+2x-4x^2$
Secara umum, jika $$\textbf{p} = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$$dan $$\textbf{q} = b_0 + b_1x+\cdots + b_nx^n$$merupakan polinomial pada $P_n,$ maka $$\langle \textbf{p}, \textbf{q} \rangle = a_0b_0 + a_1b_1 +\cdots +a_nb_n.$$Jawaban a)
Karena $\textbf{p} = -2 + x + 3x^2$ dan $\textbf{q} = 4-7x^2,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{p}, \textbf{q} \rangle & = (-2)(4) + 1(0) + 3(-7) \\ & = -8 + 0 + (-21) \\ & = -29. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{p}, \textbf{q} \rangle$ adalah $\boxed{-29}.$
Jawaban b)
Karena $\textbf{p} = x^2 + 2x-5$ dan $\textbf{q} = 3+2x-4x^2,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{p}, \textbf{q} \rangle & = -5(3) + 2(2) + 1(-4) \\ & = -15 + 4 + (-4) \\ & = -15. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\langle \textbf{p}, \textbf{q} \rangle$ adalah $\boxed{-15}.$
Soal Nomor 7
Buktikan dua proposisi berikut.
- $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = 9u_1v_1 + 4u_2v_2$ adalah hasil kali dalam pada $\mathbb{R}^2$ yang dibangkitkan oleh matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.$
- $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = 5u_1v_1-u_1v_2-u_2v_1 + 10u_2v_2$ adalah hasil kali dalam pada $\mathbb{R}^2$ yang dibangkitkan oleh matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.$
Misalkan $\textbf{u} = (u_1, u_2)$ dan $\textbf{v} = (v_1, v_2).$
Jawaban a)
Berdasarkan definisi hasil kali dalam standar pada matriks, diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = A\textbf{u} \cdot A\textbf{v} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3u_1 \\ 2u_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3v_1 \\ 2v_2 \end{pmatrix} \\ & = (3u_1)(3v_1) + (2u_2)(2v_2) \\ & = 9u_1v_1 + 4u_2v_2. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = 9u_1v_1 + 4u_2v_2$ adalah hasil kali dalam pada $\mathbb{R}^2$ yang dibangkitkan oleh matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.$ $\blacksquare$
Jawaban b)
Berdasarkan definisi hasil kali dalam standar pada matriks, diperoleh
$$\begin{aligned} \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle & = A\textbf{u} \cdot A\textbf{v} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2u_1 + u_2 \\ -u_1 + 3u_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2v_1 + v_2 \\ -v_1 + 3v_2 \end{pmatrix} \\ & = (2u_1+u_2)(2v_1+v_2) + (-u_1 + 3u_2)(-v_1 +3v_2) \\ & = 4u_1v_1+2u_1v_2 + 2u_2v_1 +u_2v_2 + u_1v_1-3u_1v_2-3u_2v_1 + 9u_2v_2 \\ & = 5u_1v_1-u_1v_2-u_2v_1 + 10u_2v_2. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = 5u_1v_1-u_1v_2-u_2v_1 + 10u_2v_2$ adalah hasil kali dalam pada $\mathbb{R}^2$ yang dibangkitkan oleh matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.$
$\blacksquare$
Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks
Soal Nomor 8
Didefinisikan hasil kali dalam standar pada himpunan polinomial $P_2.$ Untuk setiap bagian, carilah nilai dari $\lVert \textbf{p} \lVert.$
a. $\textbf{p} = -2 + 3x + 2x^2$
b. $\textbf{p} = 4-3x^2$
Secara umum, jika $\textbf{p} = a_0 + a_1x + \cdots a_nx^n,$ maka $\lVert \textbf{p} \rVert = \sqrt{a_0^2 + a_1^2 + \cdots + a_n^2}$ dengan mengikuti aturan hasil kali dalam standar pada $P_n.$
Jawaban a)
Diketahui $\textbf{p} = -2 + 3x + 2x^2.$ Ini berarti,
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{p} \rVert & = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 2^2} \\ & = \sqrt{17}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lVert \textbf{p} \lVert$ adalah $\boxed{\sqrt{17}}.$
Jawaban b)
Diketahui $\textbf{p} = 4-3x^2.$ Ini berarti,
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{p} \rVert & = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} \\ & = 5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lVert \textbf{p} \lVert$ adalah $\boxed{5}.$