Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 1 (Versi B) – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

      Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Analisis Real 1 (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si pada tanggal 5 Juli 2018.

Soal Nomor 1
Carilah himpunan penyelesaian dari $|x -5| < 6 -|x|$

Penyelesaian

Diberikan pertidaksamaan $|x-5| < 6 -|x|$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, didapat
$|x-5| = \begin{cases} x – 5, &~\text{jika}~x \geq 5 \\ -x + 5, &~\text{jika}~x < 5 \end{cases}$
dan
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Perhatikan bahwa intervalnya terbagi dalam tiga daerah.
Daerah I: $x < 0$
Pada daerah ini, didapat $|x-5| = -x+5$ dan $|x| = -x$, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} -x+5 & < 6 -(-x) \\ -2x & < 1 \\ x & > -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Irisan dari $x < 0$ dan $x > -\dfrac{1}{2}$ adalah $-\dfrac{1}{2} < x < 0$ (penyelesaian pertama).
Daerah II: $0 \leq x < 5$
Pada daerah ini, didapat $|x-5| = -x+5$ dan $|x| = x$, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} -x+5 & < 6 -x \\ 5 & < 6 \end{aligned}$
Ketaksamaan di atas bernilai benar, sehingga penyelesaian dari kasus ini diambil dari interval syaratnya, yaitu $0 \leq x < 5$ (penyelesaian kedua).
Daerah III: $x \geq 5$
Pada daerah ini, didapat $|x-5| = x-5$ dan $|x| = x$, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} x-5 & < 6 – x\\ 2x & < 11 \\ x & < \dfrac{11}{2} \end{aligned}$
Irisan dari $x \geq 5$ dan $x < \dfrac{11}{2}$ adalah $5 \leq < x < \dfrac{11}{2} $ (penyelesaian ketiga).
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x-5| < 6 -|x|$ adalah gabungan dari ketiga penyelesaian tersebut, yaitu
$\boxed{\text{HP} = \left\{x \in \mathbb{R} | -\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{11}{2}\right\}}$ 

[collapse]

Soal Nomor 2
Sketsalah grafik dari $|y -1| = 5 -|2x|$

Penyelesaian

Pada persamaan $|y-1| = 5 -|2x|$, tinjau dalam 4 kasus berbeda dengan menggunakan definisi nilai mutlak, yaitu
$\begin{aligned} & |y-1| = \begin{cases} y -1, &~\text{jika}~y \geq 1_\\ -y + 1, &~\text{jika}~y < 1 \end{cases} \\& |2x| = \begin{cases} 2x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -2x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus pertama:
Untuk $y \geq 1$ dan $x \geq 0$, diperoleh
$\begin{aligned} y-1 & = 5 -2x \\ 2x + y & = 6 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y \geq 1$ dan $x \geq 0$.
Kasus kedua:
Untuk $y \geq 1$ dan $x < 0$, diperoleh
$\begin{aligned} y-1 & = 5 -(-2x) \\ -2x + y & = 6 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y \geq 1$ dan $x < 0$.
Kasus ketiga:
Untuk $y < 1$ dan $x \geq 0$, diperoleh
$\begin{aligned} -y+1 & = 5 -2x \\ 2x – y & = 4 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y < 1$ dan $x \geq 0$.
Kasus keempat:
Untuk $y < 1$ dan $x < 0$, diperoleh
$\begin{aligned} -y+1 & = 5 -(-2x) \\ 2x + y & = -4 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y < 1$ dan $x < 0$.
Catatan: kita akan menemukan bahwa 4 garis yang digambar itu ternyata memiliki titik ujung di $(0,1)$. Keempat garis tersebut merupakan hasil penggambaran grafik dari $|y-1| = 5-|2x|$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Berikan penjelasan apa yang dimaksud dengan:
a. Batas atas sebuah himpunan
b. Supremum sebuah himpunan
Berikan masing-masing sebuah contoh.

Penyelesaian

Jawaban a)
Batas atas suatu himpunan adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan dari semua elemen di himpunan tersebut. Misalnya, diberikan himpunan $A = \{1,2,3,4,5\}$. Batas atas himpunan $A$ adalah bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 5$.
Jawaban b)
Supremum suatu himpunan adalah batas atas terkecil pada himpunan tersebut. Pada himpunan $A = \{1,2,3,4,5}$, batas atas himpunan ini adalah bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 5$. Ini berarti, $5$ merupakan batas atas terkecil (supremum) dari $A$. 

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan himpunan $C = \left\{\dfrac{1-3n}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}$.
a. Apakah $-3,11$ adalah batas bawah $C$? Berikan penjelasan.
b. Tentukan infimum himpunan $C$.

Penyelesaian

Jawaban a)
$-3,11$ adalah batas bawah $C$, karena untuk setiap $n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{n} > 0$, dan akibatnya,
$\dfrac{1-3n}{n} = \dfrac{1}{n} -3 \geq -3,11 \iff \dfrac{1}{n} \geq  -0,11 > 0$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $\dfrac{1-3k}{k} = \dfrac{1}{k} -3 \in C, k \in \mathbb{N}$.
Dengan menggunakan pendekatan limit,
$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left(\dfrac{1}{k} -3\right) = 0 -3 = -3$
Jadi, infimum dari $C$ adalah $-3$.
(Anda juga dapat menunjukkan bahwa himpunan $\left\{\dfrac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\right\}$ memiliki infimum 0) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan himpunan berikut.
$S = \left\{\dfrac{2n^2-4n}{n^2-5}: n \in \mathbb{N}\right\}$
a. Tunjukkan bahwa himpunan $S$ terbatas
b. Tentukan supremum himpunan $S$
b. Tentukan infimum himpunan $S$

Penyelesaian

Jawaban a)
Bila $S$ dinyatakan dengan tabulasi (didaftarkan anggotanya), didapat
$S = \left\{\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{3}{2}, \dfrac{16}{11}, \dfrac{3}{2}, \cdots\right\}$
Karena $\dfrac{2n^2-4n} {n^2-5} \geq 0$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, maka jelas bahwa seluruh bilangan real negatif akan menjadi batas bawah $S$. Jadi, $S$ terbatas di bawah. Selanjutnya, gunakan pendekatan limit,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^2-4n} {n^2-5} = 2$
Ini berarti, batas atas himpunan $S$ adalah setiap bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 2$. Jadi, $S$ terbatas di atas.
Dapat disimpulkan bahwa $S$ merupakan himpunan terbatas (bounded set).
Jawaban b) Batas atas terkecil dari himpunan $S$ adalah $2$. Jadi, $\sup(S) = 2$.
Jawaban c) Batas bawah terbesar dari himpunan $S$ adalah $0$. Jadi, $\inf(S) = 0$.

[collapse]